Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp TÓM TẮT KHÓA LUẬN "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" Khóa luận chia làm ba phần chính: I. PHẦN MỞ ĐẦU(4 TRANG). II. PHẦN NỘI DUNG(58 TRANG). III. PHẦN KẾT LUẬN(1 TRANG). Phần nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương: Chương I: Kiến thức liên quan. 1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng. 1.2 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxy. 1.3 Phép toán vectơ trong mặt phẳng. 1.4 Các công thức trong mặt phẳng. 1.5 Khái niệm hệ tọa độ trong không gian. 1.6 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxyz. 1.7 Các phép toán vectơ trong không gian. Chương II: Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ. 2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán. 2.2 Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định. 2.3 Bài toán quỹ tích. 2.4 Bài toán dựng hình. 2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình. 2.6 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình. 2.7 Bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2.8 Bài toán cực trị. Chương III: Một số bài tập vận dụng. Ngoài ra khóa luận còn có: PHẦN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO. GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 1 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp Phần I: MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định những kiến thức về vectơ, tọa độ của môn hình học giải tích là cần thiết và có hiệu quả trong khi giải một số dạng bài toán sơ cấp. Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết. Hình học giải tích đươc sáng lập ra do hai nhà bác học người Pháp: Descartes (1596 − 1650) và Ferma(1601 −1655). Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một sự tương ứng giữa các cặp số thực có thứ tự với các vectơ, các điểm trong mặt phẳng hay không gian; nhờ đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng giữa các dữ kiện cố định của bài toán giúp cho việc giải một bài toán hình học được chuyển sang tính toán một cách định lượng. Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng dược giải bằng phương pháp tọa độ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Hay đó là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị. Với các lí do đó đã gợi cho em đề xuất đề tài "Ứng dụng của phương pháp tọa độ vào giải một số bài toán sơ cấp". Qua việc nghiên cứu nội dung này, em đã có điều kiện củng cố lại kiến thức đã học, bổ sung thêm nhiều điều bổ ích. II. Mục đích nghiên cứu Với các lý do như ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau: - Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ. - Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dược tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán. III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng của phương pháp tọa độ. V. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận. GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 2 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp Phần II: NỘI DUNG Phần này, em tập trung nhắc lại những kiến thức liên quan trong hệ tọa độ phẳng và hệ tọa độ không gian: khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, của một vectơ, phép toán vectơ (các phép cộng, trừ, tích của các vectơ), các công thức ( công thức trung điểm, trọng tâm, điểm chia đoạn thẳng, công thức tính góc,khoảng cách), các công thức liên quan về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng,phương trình đường tròn và xét vị trí tương đối. Ngoài ra đề cập đến một số ứng dụng về phép toán vectơ có sử dụng trong khóa luận. Trong bản tóm tắt này, em chỉ xin trình bày một số kiến thức sử dụng nhiều trong khóa luận: GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 3 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Chương 1 Kiến thức liên quan A. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG 1.3 Phép toán vec tơ Trong mục này, ta cần chú ý hai phép toán sau: a//  b⇔a = k  b hay  a 1 a 2 b 1 b 2  = 0 a ⊥  b⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 1.4 Các công thức Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy Đường thẳng d đi qua M(x 0 ,y 0 ) nhận u(a,b) làm vectơ chỉ phương sẽ có phương trình tham số là:  x = x 0 + at y = y 0 + bt ,t ∈ R và có phương trìh chính tắc là: x −x 0 a = y −y 0 b . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ,y A ),B(x B ,y B ) là: x −x A x B −x A = y −y A y B −y A Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng: Ax +By +C = 0, A 2 + B 2 = 0 Đường thẳng d đi qua M(x 0 ,y 0 ) và có hệ số góc k cho trước là: y = k(x −x 0 ) +y 0 Phương trình đường thẳng đi qua A(a,0),B(0,b) có phương trình: x a + y b = 1 ( còn gọi là phương trình đoạn chắn). Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax + By +C = 0 hoặc y = kx +m . + Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax+By+M = 0 hoặc y = kx +m. + Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx−Ay+N = 0 hoặc y = − 1 k x+n 4 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp Phương trình đường tròn Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình: (x −a) 2 + (y −b) 2 = R 2 hay x 2 + y 2 −2ax −2by + c = 0 với c = a 2 + b 2 −R 2 . Phương tích của một điểm đối với đường tròn: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 −2ax −2by + c = 0 . Phương tích của điểm M(x 0 ,y 0 ) đối với (C): P M/(C) = x 2 0 + y 2 0 −2ax 0 −2by 0 + c Trục đẳng phương của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ): Cho hai đường tròn có phương trình: (C 1 ) : x 2 + y 2 −2a 1 x −2b 1 y +c 1 = 0 và (C 2 ) : x 2 + y 2 −2a 2 x −2b 2 y +c 2 = 0. Phương trình trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 ) có được bằng cách trừ hai phương trình của hai đường tròn vế theo vế: 2(a 1 −a 2 )x +2(b 1 −b 2 )y +R 2 1 −R 2 1 = 0. B. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1.7 Các phép toán vectơ Các phép tính Ta cần chú ý đến công thức tích của vectơ mà có ứng dụng rất nhiều: Công thức tính tích của hai vectơ: + Tích vô hướng: a.  b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Đặc biệt, nếu a⊥  b ⇔a.  b = 0. +Tích vectơ( hay tích có hướng) c = a ∧  b =       a 2 a 3 b 2 b 3      ;      a 3 a 1 b 3 b 1      ;      a 1 a 2 b 1 b 2       . Các tính chất a ∧  b = −(  b ∧a). a và  b cùng phương ⇔a ∧  b =  0. (a ∧  b) ⊥a và (a ∧  b) ⊥  b. |a ∧  b |=|a |. |  b | .sin(a,  b). Ba vectơ a,  b,c đồng phẳng ⇔ (a∧  b).c = 0. Ứng dụng của các phép toán và các công thức liên quan Ứng dụng của tích vectơ Gọi S ABCD là diện tích hình bình hành ABCD, ta có: S ABCD =|  AB ∧  AD |. Gọi S ABC là diện tích tam giác ABC, ta có: S ABC = 1 2 |  AB ∧  AC |. Gọi V ABCD.A  B  C  D  là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có: GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 5 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp V ABCD.A  B  C  D  =| (  AB ∧  AD).  AA  |. Gọi V ABCD là thể tích hình tứ diện ABCD ta có: V ABCD = 1 6 | (  AB ∧  AD).  AA  |. Công thức phương trình mặt phẳng Măt phẳng (P) đi qua M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) có vectơ pháp tuyến n(A,B,C) có phưng trình là: A(x −x 0 ) +B(y −y 0 ) +C(z −z 0 ) = 0. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: Ax + By +Cz +D = 0 (A 2 + B 2 +C 2 > 0). Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c) với abc = 0 thì (P) có phương trình theo đoạn chắn là: x a + y b + z c = 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 được tính bởi công thức: d(M,α) = | Ax 0 + By 0 +Cz 0 + D | √ A 2 + B 2 +C 2 Phương trình đường thẳng trong không gian Phương trình tổng quát Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng: A 1 x +B 1 y +C 1 z +D 1 = 0 A 2 x +B 2 y +C 2 z +D 2 = 0 trong đó: A 2 1 + B 2 1 +C 2 1 = 0; A 2 2 + B 2 2 +C 2 2 = 0 và (A 1 ,B 1 ,C 1 ) = k(A 2 ,B 2 ,C 2 ) Giao tuyến ∆ của α và β có phương trình tổng quát là: (1)  A 1 x +B 1 y +C 1 z +D 1 = 0 A 2 x +B 2 y +C 2 z +D 2 = 0 GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 6 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Chương 2 Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ 2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán 2.1.1 Phương pháp giải Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các bước giải cần tuân thủ theo các bước sau: B 1 . Chọn hệ tọa độ thích hợp Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó. Trong không gian, thông thường chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp. B 2 .Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm phương trình đường, mặt, các đường và các mặt đã cho. B 3 . Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải. 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a √ 2,SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm BM và AC. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 7 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O ≡ A). Gọi E là giao điểm của AC và và BD. Ta có: A(0; 0; 0),B(a; 0; 0),C(a; a √ 2; 0),D(0; a √ 2; 0),S(0; 0; a), N( a 2 ; a √ 2 2 ; a 2 ),E( a 2 ; a √ 2 2 ; 0),M(0; a √ 2 2 ; 0) và I( a 3 ; a √ 2 2 ; 0), vì I là trọng tâm của ∆ABD. *) Chứng minh: (SBM) ⊥SAC). Ta có −→ BM = (−a; a √ 2 2 ; 0), −→ AC = (a; a √ 2; 0) ⇒ −→ BM. −→ AC = 0 ⇒BM ⊥ AC. Mặt khác: SA ⊥(ABCD) nên BM ⊥ SA. Từ đây suy ra BM ⊥ (SAC) ⇒ (SBM) ⊥ (SAC) (đpcm). *) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Ta có −→ AB = (a;0;0), −→ AI = ( a 3 ; a √ 2 2 ; 0) và −→ AN = ( a 2 ; a √ 2 2 ; a 2 ) ⇒  −→ AB, −→ AN  = (0; − a 2 2 ; a 2 √ 2 2 ). Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là: V = 1 6     −→ AB, −→ AN  . −→ AI    = a 3 √ 2 36 (đvtt). 2.2 Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định 2.2.1 Phương pháp Điểm M(x 0 ,y 0 ) được gọi là điểm cố định của họ đồ thị đã cho nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m ∈T đều đi qua M. Trong đó giả sử y = f (m,x),m ∈ T là tham số. GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 8 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp 2.2.2 Các ví dụ Ví dụ 3 Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chử nhật có chu vi không đổi, A, C là hai điểm thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đường d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn - Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện khi ta đại số hóa bằng phương pháp tọa độ. - Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy. Lời giải: - Chọn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ). - Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0),B(a;c),C(0; c). Đặt a +c = b = const ( vì chu vi OABC không đổi). Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là: x a + y c = 1 ⇔y = −c a x +c. Phương trình đường thẳng d qua B(a; c) và vuông góc với AC có dạng: y −c = a c (x −a) ⇔y = a c x +c − a 2 c ⇒ y = a c x +b(1 − a c ) do a +c = b Giả sử d đi qua điểm cố định M(x 0 ; y 0 ). Khi đó: y 0 = a c x 0 + b(1 − a c ),∀ a c ⇔ a c (x 0 −b) −(y 0 −b) = 0, ∀ a c ⇒  x 0 −b = 0 y 0 −b = 0 ⇔  x 0 = b y 0 = b Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua điểm cố định M(b; b). (đpcm) GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 9 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp 2.3 Bài toán quỹ tích 2.3.1 Phương pháp giải B 1 Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết. B 2 Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó. 2.3.2 Các ví dụ Ví dụ 5 Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA = 2MB. Lời giải: Cho hệ trục tọa độ vuông góc Oxy sao cho: O ≡ A và  i ≡ −→ AB. Trục Ox chứa A, B, trục Oy vuông góc với AB tại A. Ta có: A(0; 0),B(1; 0). Theo giả thiết MA = 2MB, ta có:  x 2 + y 2 = 2  (1 −x) 2 + y 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4[(1 −2x + x 2 ) +y 2 ] ⇔ (3x 2 −8x +4) + 3y 2 = 0 ⇔  x − 4 3 ) 2  + y 2 =  2 3  2 ⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm H( 4 3 ; 0), bán kính R = 2 3 , điểm H thỏa mãn: nằm trên đường thẳng AB, cùng phía với hai điểm A, B. 2.4 Bài toán dựng hình 2.4.1 Phương pháp giải B 1 . Ta chọn hệ tọa độ thích hợp. B 2 . Dùng các số đại số để xác định vị tríc và kích thước của các hình. B 3 . Dựa vào đó ta dựng hình và biện luận các trường hợp có thể xảy ra. GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 10 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 [...]... điểm của phương pháp tọa độ Và tất nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệ tọa độ như thế nào là thích hợp Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ, ta cần chọn hệ trục tọa độ sao cho hình vẽ của hình vẽ của chúng ta dễ quan sát tốt nhất trên hệ trục đó, việc tính toán cũng dơn giản nhất Để chọn được một hệ trục tọa độ tốt, chúng ta cần căn cứ vào các yếu tố cố định của bài toán. .. khi đã chọn được hệ trục tọa độ tốt rồi, cũng cần phải có phương pháp tính và kĩ năng tính tốt, thì việc giải một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ mới trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn Thông qua bài khóa luận này đã chứng tỏ được một điều rằng: " không phải phương pháp tọa độ làm mất đi vẻ đẹp của hình học, mà phương pháp tọa độ làm tăng thêm vẻ quyến rũ của hình học" Do trình độ còn hạn chế và thời... Trí, (12 − 2008), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội 8 Nguyễn Văn Lộc, (5 − 2008), Phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian, NXB Giáo Dục 9 Nguyễn Phương Thảo, (2009), Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT, khóa luận tốt nghiệp trường ĐH Hùng Vương 10 Các trang web: vnmath.com.vn; vuptnk.tk; pdanghai.wordpress.com; ; các diễn đàn toán học.v.v GVHD:... đại học Hình học giải tích, NXB Giáo Dục 3 Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục 4 Trần Đình Thì,(2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ,, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 5 Lê Hồng Đức, Lê Đức trí, (2010), Phương pháp giải toán hình học giải tích không gian, NXB Hà Nội 6 Lê Hồng Đức, Lê Đức Trí, (2012), Phương pháp giải toán hình học trong... đối xứng với B qua Oy - Dựng D đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với B qua Ox ⇒ ABCD là hình chữ nhật cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh + Biện luận: bài toán có nghiệm hình khi p > 8R2 − p2 hay p > 2R GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 11 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp 2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình 2.5.1 Phương pháp giải. .. pháp giải - Sử dụng bất đẳng thức vectơ: | u + v | | u | + | v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔ u = kv (k > 0) | u − v | | u | − | v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔ u = kv (k > 0) - Với mỗi phương trình, hệ phương trình đều cho ta mỗi phương trình là phương rình của 1 đường vì vậy tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình là tìm giao điểm của hai đường, hoành độ và tung độ của giao điểm là nghiệm của phương trình 2.5.2... 4y + 10 2.8 Bài toán cực trị 2.8.1 10( đpcm) Phương pháp giải * Sử dụng các bất đẳng thức vectơ: uv | u || v |; | u + v | | u | + | v | | u − v | | u | − | v |; | u + v + w | | u | + | v |+ | w | * Chọn hệ tọa độ, các vectơ thích hợp * Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng tìm cực trị * Lựa chọn phương pháp tìm cực trị: phương pháp tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng thức hoặc sử dụng đạo hàm... ĐHSP Toán- Lý K50 Chương 3 Một số bài tập vận dụng Trong chương này, em đưa ra 21 bài tập có lời giải liên quan đến các dạng bài vừa nêu, bổ sung, làm rõ và phong phú thêm các dạng bài; đồng thời em cũng đưa ra 10 bài tập tự giải đầy đủ các dạng nhằm giúp người đọc tự thử sức bản thân sau khi tham khảo khóa luận 17 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua các bài toán trên, cũng đủ để thấy... tiếp xúc trong tức là: I1 I2 =| R1 − R2 | √ 5 √ 1 2 2= + 1 + m2 m− +3 hay: 2 2  m=2 ⇔ 2m2 + 7m − 22 = 0 ⇒  11 m=− 2 Vậy có hai giá trị của m để hệ đã cho cho có nghiệm duy nhất 2.6 2.6.1 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình Phương pháp giải * Sử dụng bất đẳng thức vectơ: uv | u || v |; | u+v | | u | + | v | | u − v | | u | − | v |; | u + v + w | | u | + | v |+ | w | ax + by + c < 0:... b)2 = a2 + b2 − c * Sử dụng sự tương giao giữa các đường, các mặt trong mặt phẳng để tìm nghiệm của hệ bất phương trình 2.6.2 Các ví dụ Ví dụ 12 Giải bất phương trình: √ √ x2 + x + 1 − x2 − x + 1 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 13 1 (*) SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp Lời giải: D≡R Tập xác định: 1 x+ 2 (∗) ⇔ 2 + √ 3 2 2 1 x− 2 − Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: √ 1 3 ⇒ . dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ 2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán 2.1.1 Phương pháp giải Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các bước giải cần. dạng bài toán. III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ. niệm hệ tọa độ trong không gian. 1.6 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxyz. 1.7 Các phép toán vectơ trong không gian. Chương II: Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ. 2.1