1. Trang chủ
  2. Cao đẳng - Đại học

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

20 41.8K 55
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 (Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số: a. 2 2 2 1 z a x y   Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 2 2 2 2 0a x y x y a       KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   2 2 2 ( , ):D M x y x y a   b. 2 arcsin x z y     Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 22 2 2 22 2 2 10 11 1 0 x x y yx yy x yx x y x y y x y y                                   Với  0 ( ; ] ;x x x         còn Với 2 0x y x   (luôn đúng) KL: Vậy miền xác định của hàm số là:     ( , ): 0: ; ;D M x y x x x         c. ln x z y     Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 00 x x y x y y          KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   ( , ): 0D M x y x y   d. u x y z   Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 0x y z    KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   ( , , ): 0D M x y z x y z    1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần. 1. ( , ) . x f x y xy y  Tính '' (2,1) (2,1) xy ff Hướng dẫn: Ta có: ' 2 '' 1 11 ( , ) (2,1) 2 222 xx x xy y y y y f x y f x x x xy xy y xy y y y               Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' 2 2 '' 2 ( , ) (2,1) 0 222 yy x x xy x y xy x y f x y f x x x xy xy y xy y y y               2. 22 . xy ze   Tính: '' , xy zy Hướng dẫn: Ta có:     2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y x z e x y e xe        Chú ý CT: (e u )’ = u’.e u     2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y y z e x y e ye        3. ( , ) ( 1)arcsin . x f x y x x y    Tính: ' (1,1) x f Hướng dẫn: Ta có:   '' ' 1 ( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin x x x x x x f x x x y y y y yx                             ( Như chúng ta đã biết 22 dx ax  là arcsin x C a  . Khi đó ta coi x ở CT trên chính là x ,a ở CT trên chính là y . Do đó ' 1 arcsin x y yx       ) Vậy ' 2 (1,1) 1 22 x f      4. 33 3 ( , ) .f x y x y Tính: '' (0,0), (0,0) xy ff Hướng dẫn: Ta có:             ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 xx f x y x y x y x y x y x x y f                            ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 yy f x y x y x y x y x y y x y f                5. Cho lnz y x .Tìm '' '' '' ,, xx xy yy z z z . Hướng dẫn: Ta có: '' '' ( ln ) '.ln (ln )'. ( ln ) '.ln (ln )'. ln x y y z y x y x x y x z y x y x x y x         Vậy:       ' '' ' 2 ' '' ' ' '' ' 1 0 xx x x xy x y yy y y y zz x zz x zz      6. Cho lntan . y z x     Tìm: '' xy z Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 ' 22 2 tan 2 ln tan 22 tan cos .tan sin .sin x yy y yy xx x z y y y y y x x x x x x x                           Vậy:     '' ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2 2 2 2 2 .sin .sin .sin 2 4 2 2.sin .cos . 2 .sin xy x y y y y y y x x y x x y y x x x x zz y y y x x x x x x yy y x x x y x x                             7. Cho 1 ln 2 u z v  với 22 tan , cot .u x v x .Tìm ' x z . Hướng dẫn: Với 22 tan , cot .u x v x thì 2 24 2 4 2 24 2 sin 1 tan 1 1 sin 1 cos ln ln ln lntan cos 2 cot 2 2 cos 2 sin x xx x zx x xx x     . Khi đó:     3 ' ' 4 3 3 25 1 4sin tan 4. tan '.tan 4. .tan . cos cos x x z x x x x xx     8. a)   22 lnz x x y   Hướng dẫn: Ta có:       22 ' 22 2 2 2 2 22 ' 22 22 2 2 2 2 1 1 ln , ln x y x xy z z x x y x x y x y x xy x z z x x y x x y x x y x y                               Vậy   22 2 2 2 2 dx xdy dz xy x x y x y      . b)   cos sin x z e y x y Hướng dẫn: Ta có:     ' ' cos sin cos sin sin xx x z e y x y e y x y y        Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com     ' ' cos sin cos sin xx y z e y x y e x y y       Vậy:     cos sin sin cos sin x dz e y x y y dx x y y dy        . c) 2 . yz ux Hướng dẫn: Ta có:       2 2 2 2 22 '' ' 2 1 ' ' '2 , .2 .ln . .ln y z y z y z y z xy y z y z z u x y zx u x x yz x u x x y x       Vậy 2 2 2 ' ' ' 2 1 2 . 2 .ln . .ln y z y z y z x y z du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz        . 9. 10. Cho 2 2 xy z xy    với y = 3x + 1. Tìm dz dx . Hướng dẫn: Từ đề bài ta có: 2 2 31 31 xx z xx    Ta có: '' ( ; ) ( ; ) xy dz z x y dx z x y dy Khi đó: ' ( ; ) x dz z x y dx  . Vậy:   ' ' 22 ' 2 22 2 3 1 6 2 6 20 9 ( ; ) 1 3 1 3 1 31 x x x x x x dz z x y x x x x dx xx                       11. Cho   22 ln .z y x y   Tính: 2 (0,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy          ' 22 22 ' ' 2 2 22 2 2 2 2 2 ln x xy xy x z y x y y x y x y y x y                    ' 22 2 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 ln y xy y x y x y z y x y y x y y x y x y                  Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 5 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com                              ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xx x x x y y x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y x y x y x y y x y x x y y x y x y x y x x y xy x y y x y x y x y y x y                                                                          ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xy x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y y y x y x y x y xy xy y x y xy x y x x y x y y x y x y x y y x y                                                        ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 22 ' 12 yy y y xy y zz x y x y xy               '' '' '' (0,1) 1 (0,1) 0 (0,1) 1 xx xy yy z z z      Vậy: 2 2 2 (0,1)dz dx dy 12. Cho (2 ).ln x z x y y     . Tính 2 (1,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy    '' ' 2 (2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln x x x x x x y z x y x y y y y y x                    '' ' 2 (2 )ln ln ln (2 ) ln y x x x x x y z x y x y y y y y y                      ' ' '' ' 2 22 2.ln xx x x x x y y zz y x x x             ' ' '' ' 2 2 1 2.ln xy x y x x y zz y x y x           Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 6 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com    ' ' '' ' 2 2 1 2 ln yy y y x x y x zz y y y y            '' '' '' (1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1 xx xy yy z z z      Vậy: 2 2 2 (1,1)dz dx dxdy dy   13. 14. Cho   22 lnz y x y .Tính     2 2 2,1 ; 2,1 . x dz x   Hướng dẫn: Ta có:             '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y xy z y x y x y y xy y z y x y x y x y y x y xy                                   ' 23 '' 2 2 2 22 2 2 xx xy x y y z xy xy               Vậy:       '' 2,1 2,1 2,1 2 2 2 xy dz z dx z dy dx dy    . Tính:   2 2 2,1 . x x             2 ' 2 2 2 22 2 '' 2 3 2 3 2 22 2 2. x xx xy z x y x xy xz x y y xy x y y xy           Vậy:   2 2 2,1 6 x x    . 15. Chứng tỏ rằng hàm số   22 lnz y x y thỏa mãn phương trình: 2 11z z z x x y y y    Hướng dẫn: Ta có:             '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y z xy z y x y x y y x x y zy z y x y x y x y y x y y x y                                     Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Như vậy ta có:         2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 . ln ln ln ln . 22 z z xy y VT x y x x y y x x y y x y x y x y x y y y y z VP x y y x y y y y                           đpcm. 16. 17. 18. 19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí. 20. 21. 22. 23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11) 24. Cho ( , ) cos sin .f x y x y Tìm     2 0,0 ; 0,0 .df df Hướng dẫn: Ta có:     ' ' ' ' cos sin sin .sin cos sin cos cos . x y f x y x y f x y x y     Nên:     ' ' 0,0 0 0,0 1 x y f f   Vậy   0,0df dy . Lại có:       2 '' 2 '' '' 2 0,0 0,0 2 0,0 (0,0) xx xy yy df f dx f dxdy f dy               '' '' '' ' '' ' ' ' '' ' sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos cos cos cos sin . xx x xy x xy yy y y f f x y x y f f x y x y f f x y x y               Suy ra :       '' '' '' 0,0 0; 0,0 0; 0,0 0 xx xy yy f f f   . Vậy:   2 0,0 0df  25. Cho 3 2 3 ( , ) .f x y x xy y   Tính 2 ( , ); ( , ).df x y df x y Hướng dẫn: Ta có: '' ( , ) . xy df x y f dx f dy Tính:         '' ' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2 ' ' 2 2 2 3 ; 2 3 ( , ) 3 2 3 xy xy f x xy y x y f x xy y xy y df x y f dx f dy x y dx xy y dy                           2 '' 2 '' '' 2 , , 2 , ( , ) xx xy yy df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy   Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 8 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com             ' ' ' ' '' ' 2 2 '' ' 2 2 '' '' ' 2 3 6 ; 3 2 2 3 2 6 xx x xy x xy yy y y f f x y x f f x y y f f xy y x y                 Vậy:     2 2 2 , 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy    . 1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp. 1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi 2 2 3 3 ,,x u v y u v z u v      . Tính: '' , xy zz Hướng dẫn: Ta có:      3 33 3.z u v u v uv u v      Vậy:     2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 x u v x u v y x uv y u v uv z x x y x x x xy x xy                         Nên ta có: ' '3 ' '3 1 3 3 3 2 2 2 2 1 3 3 2 2 2 x y z x xy x y z x xy x                 2. Cho hàm hợp   1z xy y (1) với 22 ,.x u v y u v    Tính 2 dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 xx xy yy dz z dx z dxdy z dy   . 2 (1) y xy Nên:      '' ' 2 2 ' 2 ; 1 2 xy z y xy y z y xy xy                        ' ' ' ' '' ' 2 '' ' 2 ' ' '' ' 2 2 0; 2 2 ; 1 2 2 2 . xx x xy x xy yy y y z z y z z y y u v z z xy x u v               Vậy     2 2 2 2 22dz u v dxdy u v dy    . 3. 4. 1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học) 1.5 Tìm cực trị của các hàm số: 1. 33 3z x y xy   . Hướng dẫn:  MXĐ: 2 D  Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 9 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com  Ta có: ' 23 x z x y , '2 33 y z y x             ' '' ' ' '' ' '' '' ' 2 2 3 ' 2 2 3 ' 3 3 3 6 xx x x xy x y yy y y z z x y z z x y z z y x y               Ta xét hệ phương trình: ' 2 22 ' 2 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 3 3 0 0 x y z x y x y yy y x y x z yx                            2 0 0 9 3 4 2 3 2 xy y x y y yx                                Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:   12 93 0;0 , ; . 42 MM     Xét điểm   1 0;0M .       '' '' '' 1 1 1 2, 3, 0. xx xy yy A z M B z M C z M        Ta thấy: AC – B 2 = – 9 < 0. Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại   1 0;0M .  Xét điểm 2 93 ;. 42 M          '' '' '' 2 2 2 2, 3, 9. xx xy yy A z M B z M C z M        Ta thấy: AC – B 2 = 9 > 0 và A = 2 > 0. Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 93 ;. 42 M    2. 22 ( , ) 1f x y x y   . Hướng dẫn:  MXĐ:     22 , : 0D M x y x y    Ta có:     '' ' 2 2 2 2 22 1 x x z x y x y xy              '' ' 2 2 2 2 22 1 y y z x y x y xy              ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xx x x xy zz x y x y x y             Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com           ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xy x y yy y y xy x y x zz x y x y x y yx zz x y x y x y                          Ta xét hệ phương trình: ' 2 2 2 2 2 2 2 ' 22 22 0 0 0 0 0 0 x y x z x y x x y xy x yy y x y z y x y xy                                        . Vậy hàm số đã cho có điểm dừng   1 0;0M . '' '' '' 1 1 1 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 xx xy yy A z M B z M C z M       Ta thấy AC – B 2 = =. Vậy không có KL gì cho hàm số. 3. 10 20 ( , ) , 0, 0f x y xy x y xy      Hướng dẫn:  MXĐ:     , : 0, 0D M x y x y    Ta có: '' 22 50 20 , xy z y z x xy     .       '' '' '' ' '' ' 2 3 2 ' ' '' ' 23 50 100 50 ;1 20 40 xx x xy x xy yy x y z z y z z y x x x z z x yy                             Ta xét hệ phương trình: 4 3 ' 22 ' 2 22 2 50 50 50 0 8 0 5 400 20 20 20 20 2 0 0 x y y yy y y z x xx x y z xx x y yy y                                                   . Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2). '' '' '' 4 25 ( ) ; ( ) 1; ( ) 52 xx xy yy A z M B z M C z M       . Ta thấy AC – B 2 = 9 > 0 và 4 0 5 A  . Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2). 4. ( , ) . y f x y x y x e   . [...]... 2 ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 '  x 2  y 2   x2  y 2    x2  y 2  '' ' ' 1   x 2  y 2    2 x.e  zxx   zx  x   2 x.e 1   x 2  y 2   1   x 2  y 2  2 x.e              ' 2 2   x 2  y 2      x2  y 2  '  x  y  2 2   2 x  e  2 x e  1   x  y   2 x .2 x.e         x 2  y 2   x 2  y 2    x 2  y 2   2. e  4 x 2 e ... 2  y 2             2 x x 2  y 2 e x  y   2 x.e x  y  1  x 2  y 2       ' zx   x 2  y 2  e    2 x.e   x2  y 2   x2  y 2 ' 2 22 2 2 2 ' 2 2    x 2  y 2 ' e x  y   e x  y   x 2  y 2             2 y x 2  y 2 e x  y   2 y.e x  y  1  x 2  y 2       z 'y   x 2  y 2  e    2 y.e   x2  y 2  x2  y 2. ..  2 y  x2 y  5 y 2  x2 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 13 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Hướng dẫn:  MXĐ: D  2  Ta có: f x'   2 y3  x2 y  5 y 2  x2   2 xy  2x; f y'   2 y 3  x 2 y  5 y 2  x 2   6 y 2  x 2  10 y ' ' '' '' f xx   f x' x   2 xy  2 x   2 y  2; f xy   f x'  y   2 xy  2 x   2. .. x 2  y 2   4 x 2 e       ' ' '  x 2  y 2   x2  y 2    x2  y 2  '' ' ' 1   x 2  y 2    2 x.e  zxy   zx  y   2 x.e 1   x 2  y 2   1   x 2  y 2  2 x.e              ' 2 2   x 2  y 2     x2  y 2  '  x  y  2 2   2 x  e  2 x e  1   x  y   4 xy.e        '  4 xy.e     x2  y 2 '   1  x 2  y 2. .. e  2 y e 1   x 2  y 2   4 y 2 e         x 2  y 2   x 2  y 2    x 2  y 2   2. e  4 y 2 e 1   x 2  y 2   4 y 2e       2 ' 2 2 2 '  Xét hệ phương trình:  x  0  2 2 x.e x2  y2  1  x 2  y 2   0 ' 2   zx  0      x  y    ' 2 2  z y  0 2 y.e x  y  1   x 2  y 2   0  y  0      x2  y 2   x  0   y...   2 2  Email: caotua5lg3@gmail.com Page 16 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 ' '  x  y   x y    x2  y 2  1   x 2  y 2    2 y.e  z ''yy   z 'y  y   2 y.e 1   x 2  y 2   1   x 2  y 2  2 y.e              ' 2 2   x 2  y 2     x 2  y 2  '  x  y    2 y  e  2 y...  3x3 y 2 ' '' ' zxx   zx  x  18x2 y 2  4 x3 y 2  3x2 y3   36 xy 2  12 x2 y 2  6 xy3 ' ' '' ' zxy   zx  y  18x2 y 2  4 x3 y 2  3x2 y3   36 x2 y  8x3 y  9 x2 y 2 ' Email: caotua5lg3@gmail.com ' Page 17 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú z  z '' yy Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên   12x y  2x y  3x y   12x ' ' y y 3 4 3 2 ' 3 HD giải BT Toán cao cấp 2  2x  6x... đạt cực tiểu tại M 2  0,1 11 z  x4  y 4  x2  y 2  2xy, x  0 Hướng dẫn:  MXĐ: D  2 ' zx   x4  y 4  x2  y 22 xy   4 x3  2 x  2 y '  Ta có: z 'y   x4  y 4  x 2  y 22 xy   4 y3  2 y  2 x ' '' ' '' ' zxx   zx x   4 x3  2 x  2 y   12 x  2; zxy   zx  y   4x3  2x  2 y   2 ' ' ' ' ' z ''yy   zx  y   4 y3  2 y  2x   12 y  2 ' '  Xét hệ phương...  2 y 4  y 2  2x2 Hướng dẫn:  MXĐ: D  2  Ta có: f 'x   x4  2 y 4  y 22 x2   4 x3  4 x; f ' y   x4  2 y 4  y 2  2x2   8 y3  2 y ' ' '' '' f xx   f x' x   4x3  4x   12x  4; f xy   f x'  y   4x3  4x   0 ' ' ' ' '' f yy   f x'  y  8 y3  2 y   24 y 22 ' '  Ta xét hệ phương trình: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 12 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao. .. 2e 1 e Ta thấy AC  B 2   0& A  2  0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, 2) 16. 17. 18. 19. 20 . - Có thể tham khảo tại Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí Email: caotua5lg3@gmail.com Page 19 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Gợi ý: 16 Hệ phương trình có các nghiệm là:  x  1   x  y  0  y  2 ' 2 .    ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xx x x x y y x y x x y y x y x zz x y y x y x y.                      ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xy x y x x y y x y x zz x y y x y x.          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '' ' ' '' ' 2 2 2 2 2 2 ' ' 22 2 2 2 2 2 . 1 2 . . 1 1 .2 . 2 . 2 . . 1 2 .2 . 2. 4 . . 1 4 x y x

Ngày đăng: 08/04/2014, 20:44

Xem thêm: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2, HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan