Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng Chơng IV Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng A Các quy luật rời rạc I Phân phối Bernoulli Định nghĩa Hàm khối lợng xác suÊt P(X = x) = p x (1 − p)1− x (x=0, 1) xác lập nên quy luật phân phối xác suất gọi quy luật Bernoulli (hoặc phân phèi “0-1”) víi tham sè lµ p ( ≤ p 1) Luật phân phối đợc ký hiệu quy luật A(p) B(1; p) Ghi chú: Nếu mét phÐp thư ta chØ cã hai kÕt qu¶ A A với P(A) = p để rõ có đợc A hay không ta dùng biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật A(p) để mô hình hoá phép thử Cụ thể ta đặt (X=1) đợc A P(X =1) = P(A) = p Suy P(X = 0) = P( A ) = 1- p (hc ký hiệu q) xác suất không đợc A Thí dụ: Từ hộp có chứa M cầu trắng N M cầu đen, ta lấy ngẫu nhiên Gọi X số lần đợc cầu trắng Khi X có bảng phân phèi x¸c suÊt nh− sau: X p(x) N−M = 1− p = q N N =p M VËy hàm khối lợng xác suất X có dạng LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 154 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  ⎧p x q1− x p(x) = ⎨ ⎩0 (x = 0,1) (x 0,1) Do X tuân theo quy luật A(p) ta ký hiệu điều X~A(p) X~B(1;p) Kỳ vọng toán phơng sai Định lý: Nếu X ~B(1;p) E(X)=p V(X)=pq Chøng minh a Ta cã E(X) = ∑ x i p(x i ) = (0)q + (1)p = p i∈I b Nếu dùng công thức định nghĩa để tính V(X) ta cã: V(X) = ∑ [ x i − E(X)] p(x i ) = (0 − p) q + (1 − p) p i∈I = p q + q p = pq(p + q) = pq Nếu dùng công thức tính toán để tính V(X) ta cã V(X) = E(X ) − [ E(X) ] = ∑ x i2 p(x i ) − [ E(X) ] i∈I = ⎡(0)2 q + (1)2 p ⎤ − p = p − p = p(1 − p) = pq ⎣ ⎦ Hµm đặc trng Định lý: Nếu X~A(p) g x (t) = q + peit Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 155 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  Chøng minh Ta cã g x (t) = E ⎡eitx ⎤ = ∑ eitx p(x) = eit q + eit1p ⎣ ⎦ x =0 = q + peit Ghi chó: NÕu dùng hàm đặc trng để tính E(X) V(X) ta cã 1 E(X) = α1 = g′(0) = ⎡ q + peit ⎤′ ⎦ t =0 i i⎣ 1 = ⎡ipeit ⎤ = ip = p ⎣ ⎦ t =0 i i E(X ) = α = = 1 g′′(0) = ⎡ipeit ⎤′ ⎦ t =0 i i ⎣ it ⎡i pe ⎤ = i p = p ⎣ ⎦ t =0 i i VËy V(X) = E(X ) − [ E(X) ] = p − p = p(1 − p) = pq Hc lµ V(X) = μ = − itα1 ⎡ e (q + peit ) ⎤′′ = ⎡ e − itp (q + peit ) ⎤′′ ⎦ t =0 ⎦ t =0 i2 ⎣ i ⎣ = ⎡ qe − itp + peit (1−p) ⎤′′ ⎣ ⎦ t =0 i = 1 2 − itp 2 itq ⎡ −ipqe − itp + ipqeitq ⎤′ ⎣ ⎦ t =0 = i ⎡i p qe + i q pe ⎤ t =0 ⎣ ⎦ i = 2 ⎡i p q + i q p ⎤ ⎣ ⎦ i = ⎡ qe − itp + peitq ⎤′′ ⎣ ⎦ t =0 i = p q + q p = pq(p + q) = pq II Phân phối nhị thức Định nghĩa LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 156 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng x Hàm khối lợng xác suất P(X = x) = C n p x q n − x (x = 0, n) xác lập nên quy luật phân phối xác suất gọi quy luật nhị thức với hai tham số n p đợc ký hiệu B(n; p) Sở dĩ quy luật có tên gọi nh đà nêu xác suất quy luật trùng với số hạng khai triển nhÞ thøc sau: n x (p + q) = ∑ Cn p x q n −x n x =0 Ghi chú: Hàm xác suất nêu công thức Bernoulli Vì biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật B(n; p) thờng đợc dùng để số lần xuất biến cố A lợc đồ Bernoulli víi hai tham sè lµ n vµ p” ThÝ dụ 1: Nều từ hộp chứa M cầu trắng N M cầu đen đà nêu ta lần lợt lấy ngẫu nhiên n theo phơng thức có trả lại gọi X số lần lấy đợc trắng X biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật (n;p) với p = M N ThÝ dơ 2: Mét ng−êi b¾n viên đạn độc lập với vào bia với xác suất trúng viên 0, Gọi X Số viên trúng bia HÃy lập bảng phân phối xác suất X Bài giải Nếu ta coi lần bắn phép thử ta có phép thử độc lập Gọi A biến cố Viên đạn trúng bia theo giả thiết P(A) 0, lần bắn Vậy ta có lợc đồ Bernoulli với n =3, p = 0, Do X biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức B(3; 0,7) Vì bảng phân phối xác suất X nh− sau: Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 157 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  X C3 (0,7)0 (0,3)3 C1 (0,7)1 (0,3) C3 (0,7) (0,3)1 C3 (0,7)3 (0,3)0 3 p(x) = (0,3)3 = 0,027 = 3(0,7)1 (0,3) = 3(0,7) (0,3)1 = (0,7)3 = 0,189 = 0, 441 = 0,343 Ta thấy xác suất bảng phân phối trùng với số hạng khai triển nhị thức sau ®©y: (0,3 + 0, 7) = (0,3)3 + 3(0,3) (0, 7)1 + 3(0,3)1 (0, 7) + (0,7)3 Hàm đặc trng quy luật nhị thức vài quan hệ suy từ hàm đặc trng a Hàm đặc trng ( Định lý: Nếu X~ B(n;p) th× g x (t) = q + peit ) n Chøng minh Ta cã g x (t) = E ⎡e ⎤ = ⎣ ⎦ itx n ∑e x =0 itx n x P(X = x) = ∑ eitx Cn p x q n −x x =0 n x = ∑ Cn (peit ) x q n −x = (peit + q) n x =0 ThÝ dơ: NÕu gäi X lµ số lần đợc mặt sấp tung hai đồng xu đối xứng đồng chất X~ B ⎜ 2; ⎟ ⎛1 ⎞ Do hàm đặc trng X g x (t) = + eit Kết ta đà 2 thu đợc thí dụ cuối chơng LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 158 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng b Mối quan hệ quy luật A(p) quy luật B(n;p) Định lý NÕu X = n ∑X k =1 víi X k độc lập tuân theo quy luËt A(p) th× X~ k B(n; p) Chøng minh V× biến ngẫu nhiên X k biến ngẫu nhiên i.i.d với phân phối chung A(p) nên theo tính chất hàm đặc trng ta có g x (t) = g ⎛ n ⎞ ⎜ Xk ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k =1 ⎠ n ∑ n k =1 k =1 (t) = ∏ g x k (t) = ∏ (q + peit ) = (q + peit )n Đây hàm đặc trng quy luật B(n; p) Vì có tơng ứng 1-1 hàm đặc trng hàm phân phối nên ta suy X~ B(n; p) c Mèi quan hƯ gi÷a quy lt B( n k ; p ) với k=1, 2, , r Định lý NÕu X = r ∑X k =1 k theo B(n;p) với n = với X k độc lập tuân theo B( n k ;p ) X sÏ tu©n r ∑n k =1 k Chøng minh Do X k biến ngẫu nhiên i.i.d nên tơng tự nh chứng minh trên, ta có: r r r k =1 víi n = ∑ nk k =1 g x (t) = ∏ g x k (t) = ∏ (q + pe ) it n k = (q + pe ) k =1 it = (q + peit ) n r ∑n k =1 k Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 159 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng Biểu thức thu đợc hàm đặc trng cđa quy lt (n;p) nªn ta cã kÕt ln cđa định lý Các tham số đặc trng quy luật nhị thức a Kỳ vọng toán phơng sai Định lý: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luËt B(n; p) th×: E(X) = np V(X) = npq Chứng minh: Theo định lý vừa nêu ta thấy X~ B(n; p) ta phân tÝch n X = ∑ X k víi c¸c X k độc lập tuân theo quy luật B(1; p) k =1 ®ã E(X k ) = p V(X k ) = pq Vì n ⎛ n ⎞ n E(X) = E ⎜ ∑ X k ⎟ = ∑ E(X k ) =∑ p = np ⎝ k =1 ⎠ k =1 k =1 n ⎛ n ⎞ n V(X) = V ⎜ ∑ X k ⎟ = ∑ V(X k ) = ∑ pq = npq ⎝ k =1 ⎠ k =1 k =1 Hệ Nếu ký hiệu f tần suất xuất biến cố A cần xét lợc ®å Bernoulli víi hai tham sè lµ n vµ p f = X X~ B(n;p) n Từ ®ã ta cã: ⎛X⎞ E(f ) = E ⎜ ⎟ = E(x) = np = p n ⎝n⎠ n pq ⎛X⎞ V(f ) = V ⎜ ⎟ = V(X) = npq = n n ⎝n⎠ n Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 160 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng  n n Ghi chó: NÕu thay X bëi ∑ X k th× f cã d¹ng f = ∑ X k n k =1 k =1 VËy f cịng cã thĨ coi lµ biÕn ngÉu nhiên trung bình (ký hiệu X ) n biến ngẫu nhiên thành phàn X k (k = 1, n) với đặc điểm X k độc lập tuân theo quy luật A(p) b Mốt quy luật nhị thức Định lý: Đối với quy luật B(n;p) mốt M0 số nguyên dơng thoả mÃn bất đẳng thức kép sau: np q ≤ M o ≤ np + p Chøng minh Ta ký hiÖu P(X = x) = Pn (x) (x = 0, n) vµ xÐt diƠn biÕn cđa d·y gåm (n + 1) xác suất theo x n không đổi Với x n ta cã x Pn (x + 1) C n +1p x +1q n −(x +1) (n − x)p = = x Pn (x) Cn p x q n −x (x + 1)q (1) Khi x tăng từ tới n-1 tử số giảm mẫu số tăng nên (1) dÃy giảm Pn (1) Pn (2) P (n) > > > n Pn (0) Pn (1) Pn (n 1) (2) Giá trị tỷ số thø nhÊt lµ Pn (1) np = Pn (0) q (3) Giá trị tỷ số cuối Pn (n) p = Pn (n − 1) nq Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD (4) 161 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng  Tõ ®ã ta thÊy: α ) NÕu np ≤ q Khi Êy Pn (1) np = ≤1 Pn (0) q D·y (2) cho ta ≥ Pn (1) Pn (2) P (n) > > > n Pn (0) Pn (1) Pn (n − 1) Suy Pn (0) ≥ Pn (1) > Pn (2) > > Pn (n) Vậy trờng hợp {Pn (x)} dÃy đơn điệu giảm ta có M = M0 = Đồ thị Pn(x) x n β) NÕu nq ≤ p Khi Êy Pn (n) p = ≥1 Pn (n − 1) nq D·y (2) cho ta Pn (1) Pn (2) P (n) > > > n ≥1 Pn (0) Pn (1) Pn (n − 1) Suy Pn (0) < Pn (1) < Pn (2) < < Pn (n − 1) ≤ Pn (n) VËy tr−êng hỵp {Pn (x)} dÃy đơn điệu tăng ta cã M = n −1 vµ M = n LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 162 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng Đồ thị Pn(x) n-1 n x γ ) NÕu np > q vµ nq > p Khi Êy Pn (1) np = > vµ Pn (0) q Pn (n) p = > > n > Pn (0) Pn (1) Pn (x − 1) 1≥ Pn (x + 1) Pn (2) P (n) > > > n Pn (x ) Pn (1) Pn (n − 1) (5) (6) Tõ (5) ta suy Pn (0) < Pn (1) < Pn (2) < < Pn (x − 1) ≤ Pn (x ) (7) Tõ (6) ta suy Pn (x ) ≥ Pn (x + 1) > Pn (x + 2) > > Pn (n − 1) > Pn (n) (8) Vậy xét điểm ranh giới x ta cã Pn (x − 1) < Pn (x ) ≤ Pn (x + 1) Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 163 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  §Ỉt y = st z = t2 ∂y ∂ ( y, z ) ∂s J ( s, t ) = = ∂ ( s, t ) ∂y ∂t Khi ®ã ∂z ∂s t = = 2t ∂z s 2t ∂t J ( s, t ) = 2t Vì t = z mà z > nên t > Vì y < z z x nên st < ⋅x n n Suy s < VËy x (b»ng c¸ch thay z = t ë biĨu thức dới căn) n x n + FX (x) = n +1 ∫ ∫e ⎛n⎞ πΓ ⎜ ⎟ −∞ ⎝2⎠ x n − s2 t + t 2 n 2 −1 (t ) dtds 1 = ds ⋅ n +1 ∫ ⎛ n ⎞ −∞ πΓ ⎜ ⎟ 22 2⎠ ⎝ +∞ ∫e − t2 s +1 ( ) n 2 −1 (t ) 2t dt Thõa sè thø cã thĨ biÕn ®ỉi nh− sau: Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 198 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  +∞ ∫e n +1 2 t2 s +1 +∞ = ∫e − ) (t ) ( + 1) 2t dt = 2 t2 − s +1 ( ) ⎛t ⎞ t d⎜ ⎟ = ⎝2⎠ n −1 ) ⎡ t2 ( s + 1)⎤ ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ (s n 2 −1 t2 s +1 = ( ∫e n −1 +∞ = − n +1 n −1 +∞ ∫e − n −1 +∞ ∫e t2 − s +1 ( t2 s +1 ( ) )⎛t ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ n 2 −1 (t ) n −1 t dt ⎛ t2 ⎞ d⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎡ t2 ⎤ d ⎢ ( s + 1) ⎥ n +1 ⎣2 ⎦ ( s + 1) ⎛ n +1⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x n 1 ⎛ n +1⎞ ⋅Γ⎜ ⎟∫ n +1 ⎛ n ⎞ ⎝ ⎠ −∞ πΓ ⎜ ⎟ ( s + 1) ⎝2⎠ VËy FX (x) = Suy n +1 ⎛ n +1⎞ Γ⎜ − ⎟⎡ ⎛ x ⎞′ ⎝ ⎠ 1+ ⎛ x ⎞ ⎤ f (x) = ⋅⎜ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎟ ⎛n⎞⎢ ⎝ n ⎠ ⎥ ⎝ n⎠ ⎦ πΓ ⎜ ⎟ ⎣ ⎝2⎠ ⎛ n +1⎞ n +1 Γ⎜ ⎟ ⎛ x ⎞− 2 ⎠ = ⎝ ⎜1 + ⎟ n ⎠ ⎛ n Đây hàm mật độ quy luật T(n) Bảng điểm tíi h¹n cđa quy lt T(n) NÕu ký hiƯu t (n ) điểm tới hạn bậc biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật T( n) theo định nghĩa ta có: LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 199 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng ( ) P X > t (αn ) = α ( x 1) Các điểm tới hạn tuỳ theo n đà đợc tính sẵn bảng Vì hàm mật độ Student đối xứng qua trơc tung nªn ta cã hƯ thøc: (n ) t (n ) = − t1−α α Do kÕt qu¶ cđa định lý nên n > 30 ta có thĨ thay t (n ) xÊp xØ b»ng α ®iĨm tới hạn chuẩn U V Quy luật phân phối Fisher Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X đợc gọi tuân theo quy luật Fisher với bËc tù thø nhÊt lµ m vµ bËc tù thứ hai n hàm mật độ xác st cđa nã cã d¹ng: ⎛m+n⎞ m m+n Γ⎜ − m ⎟ ⎠ ⎛ m ⎞ 2 −1 ⎛ m ⎞ f (x) = ⎝ ⎜ ⎟ x ⎜1 + x ⎟ n ⎠ ⎛ m⎞ ⎛ n ⎞⎝ n ⎠ ⎝ Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ ( x > 0) Quy luật đợc ký hiệu F ( m; n ) Đồ thị hàm mật độ quy luật F ( m; n ) tuỳ theo giá trị m n có dạng nh sau: Đồ thị thiếu (IV.58) Kỳ vọng toán phơng sai Ngời ta chứng minh đợc biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luËt F ( m; n ) th×: E (X) = n víi n > n−2 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 200 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng  V (X) = n ( 2n + 2m − ) m ( n − 2) ( n − 4) víi n > Mèi quan hƯ quy luật Fisher với quy luật Khi-bình phơng Định lý: Nếu U V hai biến ngẫu nhiên ®éc lËp, ®ã U tu©n theo quy luËt χ ( m ) V tuân theo quy luật ( n ) biến ngẫu nhiên U m sÏ tu©n theo quy luËt F ( m; n ) X= V n Chøng minh Ta cã ⎛ ⎞ ⎛0 < V ⎞ ⎜mU ⎟ ⎟ FX ( x ) = P ( X < x ) = P ⎜ < x ⎟ = P⎜ m ⎜ < U < Vx ⎟ ⎜ V ⎟ ⎝ ⎠ n ⎝ n ⎠ = m vx +∞ n ∫ ∫ 0 m ⎛m⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ − u e u = m+n ⎛m⎞ ⎛n⎞ 2 Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ m −1 ⋅ m vx +∞ n ∫ ∫ e − n ⎛n⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ − u+v u m −1 v v e v n −1 dudv n −1 dudv ⎛ < t < + u = st Nếu ta đặt ⎜ m ⎟ ⎜0 < s < x⎟ v=t ⎝ n ⎠ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 201 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng  ∂u ∂s Do ®ã J ( s, t ) = ∂u ∂t VËy ∂v ∂s t = =t ∂v s ∂t J ( s, t ) = t = t t > Suy FX ( x ) = m+ n ⎛m⎞ ⎛n⎞ 2 Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ = ⎛m⎞ ⎛n⎞ Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ m x +∞ n ∫ ∫e m x n ∫ ds ⋅ st + t ( st ) m −1 t n −1 tdsdt +∞ − ∫e m+ n m x n − t m m+n −1 ( s +1) −1 2 s t dt +∞ e − t ( s+1) m −1 = s ds ∫ ⎛m⎞ ⎛n⎞ ∫ Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎛ m + n ⎞ mx m −1 Γ⎜ ⎟ n s2 ⎠ ⎝ = ds + ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ∫ s + m2 n Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ( ) ⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎡t ⎤ ⎢ ( s + 1) ⎥ ⎣ ⎦ m+n −1 ( s + 1) m+ n ⎡t ⎤ d ⎢ ( s + 1) ⎥ ⎣2 ⎦ Tõ biểu thức hàm phân phối ta suy biểu thức hàm mật độ là: m m+n ⎛m ⎞ Γ⎜ ⎟ ⎜ x⎟ ⎝ ⎠ ⎝n ⎠ f (x) = m+n ⎛m⎞ ⎛n⎞ m Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ x + 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠⎜ n ⎝ ⎠ ⎛ m ⎞′ ⋅⎜ x ⎟ ⎝n ⎠ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 202 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  m −1 ⎛ m+n ⎞ ⎛ m ⎞2 Γ⎜ ⎟ ⎜ x⎟ m ⎝ ⎠ ⎝n ⎠ = ⋅ m+n n ⎛m⎞ ⎛n⎞ m Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ n x + 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛m+n⎞ m m+ n Γ⎜ − m ⎟ ⎠ ⎛ m ⎞ 2 −1 ⎛ m ⎞ = ⎝ ⎜ ⎟ x ⎜1 + x ⎟ n ⎠ ⎛ m⎞ ⎛ n ⎞⎝ n ⎠ ⎝ Γ⎜ ⎟Γ⎜ Vì biểu thức hàm mật độ quy luật F ( m; n ) nên định lý đợc chứng minh Mối quan hệ quy luật Fisher quy luật Student Định lý: Bình phơng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luËt T ( n ) lµ mét biÕn ngẫu nhiên tuân theo quy luật F (1; n ) Chứng minh Giả sử T biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật T ( n ) ®ã ta cã: T= U V n ®ã U V hai biến ngẫu nhiên độc lập với UN(0, 1), U2 V (n) Từ ta có: T = V n 2 Do U∼N(0, 1) nªn U ~ χ (1) VËy ta cßn cã thÓ viÕt: U2 χ (1) = T = V χ (n) n n LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 203 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng Theo định lý mục ta thÊy T ~ F (1;n ) Bảng điểm tới hạn quy luật F ( m; n ) NÕu ký hiÖu f α ( m; n ) điểm tới hạn bậc biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật F ( m; n ) th× ta cã: P ( X > f α ( m; n ) ) = α ( 1) Các điểm tới hạn tuỳ theo , m n đà đợc tính sắn b¶ng ThÝ dơ: f 0,1 ( 7;5 ) = 3,37 Giữa điểm tới hạn quy luật Fisher cã mèi quan hÖ sau: f α ( m; n ) = f1−α ( n; m ) ThËt vËy, định lý nên ta viết χ2 ( m ) m ⎞ P ( X > f α ( m;n ) ) = P ⎜ > f α ( m; n ) ⎟ = α ⎝ χ (n) n ⎠ ⎛ χ2 ( n ) n ⎞ = P⎜ < ⎟=α χ ( m ) m f α ( m;n ) ⎠ ⎝ Kết lại tơng đơng với ( n ) n ⎞ P⎜ ≥ ⎟ = 1− α χ ( m ) m f α ( m; n ) ⎠ ⎝ χ2 ( n ) n Do tỷ số biến ngẫu nhiên tuân theo quy luËt F ( m; n ) nªn χ (m) m ta suy điểm tới hạn bậc (1 ) biến ngẫu nhiên f α ( m; n ) Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 204 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thơng dụng  Tõ ®ã ta suy ThÝ dô: = f1−α ( n; m ) f α ( m; n ) f 0,9 ( 5;7 ) = 1 = = 0, 2967 f 0,1 ( 7;5 ) 3,37 C Quy luËt chuÈn hai chiều I Định nghĩa Giả sử U1 U hai biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật N ( 0;1) hàm mật độ đồng thời chúng là: 2 − u21 − u22 g ( u1 ; u ) = e ⋅ e 2π 2π (1) − ( u12 + u ) ⎡ 2 ⎤ = = e exp ⎢ − ( u1 + u ) ⎥ 2π 2π ⎣ ⎦ víi (u1, u2)∈R2 Víi c¸c h»ng sè lµ μ1 , μ , σ1 , σ2 vµ ς cho −∞ < μi < +∞ ; σi > ( i = 1, ) vµ < < ta xác định hai biến ngÉu nhiªn míi nh− sau: ⎧X = σ1U1 + μ1 ⎪ ⎡ ⎤ ⎨ 2 Y = σ ⎢ ςU1 + (1 − ς ) U ⎥ + μ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ (2) Ta xác định hàm mật độ đồng thời f ( x, y ) cđa X vµ Y Tõ (2) ta thiết lập đợc ánh xạ ngợc: LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 205 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng ⎪ ⎪ x − μ1 ⎪ u1 = σ ⎪ ⎪ ⎨u = ⎡ ⎣ y − ( ςσ u1 + μ1 ) ⎤ ⎦ 2 ⎪ σ (1 − ς ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ x − μ1 ⎞ ⎪= ⎢ y − ςσ2 ⎜ ⎟ − μ2 ⎥ ⎪ σ − ς2 ⎣ ⎝ σ1 ⎠ ⎦ ( ) ⎩ (3) ®ã (x1, x2)∈R2 Jacobien phép biến đổi (3) là: u1 σ2 ∂y = = ς ∂u − 2 1 σ1σ (1 − ς ) 2 2 ∂y σ1 (1 − ς ) σ (1 − ς ) ∂u1 ∂x J= ∂u ∂x Do J > nªn J= 2πσ1σ (1 − ς σ1σ2 (1 − ς 2 ) f ( x; y ) = g ⎡ u1 ( x; y ) ; u ( x; y ) ⎤ J ⎣ ⎦ Tõ ®ã ta suy = 1 2 ) ⎧ ⎡ ⎛ ⎪ ⎪ ⎢⎛ x − μ1 ⎞ ⎜ exp ⎨− ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎪ ⎢⎝ σ1 ⎠ ⎜ (1 − ς ) ⎝ ⎪ ⎢ ⎩ ⎣ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎛ x − μ1 ⎞ ⎢ y − ςσ ⎜ ⎟ − μ2 ⎥ ⎟ σ1 ⎠ ⎝ ⎣ ⎦⎟ ⎠ Sau vài phép biến đổi đơn giản, cuối ta cã Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 206 ⎤⎫ ⎪ ⎥⎪ ⎥⎬ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎦⎭ Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  ⎧ ⎡⎛ x − μ ⎞ ⎛ x − μ1 ⎞⎛ y − μ ⎞ ⎤ ⎫ ⎪ ⎢⎜ ⎟ − 2ς ⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ ⎪ σ1 ⎠ σ1 ⎠⎝ σ ⎠ ⎥ ⎪ ⎪ 1 ⎢⎝ ⎝ f ( x; y ) = exp ⎨− ⎢ ⎥⎬ 2 ⎛ y − μ2 ⎞ ⎥ ⎪ ⎪ (1 − ς ) ⎢ 2π (1 − ς ) σ1σ +⎜ ⎟ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎝ σ2 ⎠ (4) với (x, y)R2 Định nghĩa: BiÕn ngÉu nhiªn liªn tơc hai chiỊu V = ( X; Y ) đợc gọi tuân theo quy luật chuẩn hai chiều với tham số , μ , σ1 , σ vµ ς hàm mật độ đồng thời có dạng nh (4) II Các quy luật phân phối biên Qua công thức biến đổi (2) ta thấy X Y tổ hợp tuyến tính cđa U1 vµ U Do U1 vµ U độc lập tuân theo quy luật N ( 0;1) nên ta suy X Y tu©n theo quy lt chn víi a E ( X ) = σ1E ( U1 ) + μ1 = σ1 ( ) + μ1 = μ1 2 V ( X ) = σ1 V ( U1 ) = σ1 (1) = σ1 ( ) VËy X ~ N μ1 ; σ1 víi f1 ( x ) = σ1 2π e − ( x −μ1 )2 2 σ1 b.T−¬ng tù ⎡ ⎤ 2 E ( Y ) = σ ⎢ςE ( U1 ) + (1 − ς ) E ( U ) ⎥ + μ = μ ⎣ ⎦ V ( Y ) = σ ⎡ς V ( U1 ) + (1 − ς ) V ( U ) ⎤ ⎣ ⎦ = σ ⎡ ς (1) + (1 − ς ) (1) ⎤ = σ 2 ⎣ ⎦ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 207 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  ( ) VËy Y ~ N μ ; σ2 víi f2 ( y ) = σ 2π e − ( y −μ )2 2 Ghi chú: Qua kết ta thấy đợc ý nghĩa tham số μ1 , μ , σ1 , σ biểu thức (4) Để tìm hiểu ý nghĩa cđa tham sè ς , chóng ta h·y tÝnh cov ( X, Y ) Ta cã: cov ( X, Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y ) = E ( XY ) Mặt khác ⎤⎫ 2 E ( XY ) = E ⎨[ σ1U1 + μ1 ] ⎢σ2 ςU1 + σ2 (1 − ς ) U + μ ⎥ ⎬ ⎣ Khai triển biểu thức ngoặc, sau ¸p dơng tÝnh chÊt cđa kú väng ta sÏ E ( XY ) = ςσ1σ + μ1μ cã VËy cov ( X, Y ) = ςσ1σ Suy ς= cov ( X, Y ) σ1σ Do ®ã tham sè ς (4) chÝnh lµ hƯ sè tơng quan tuyến tính X Y III Sự tơng đơng khái niệm độc lập v không tơng quan phân phối chuẩn hai chiều Nh ta đà biết hai biến ngẫu nhiên độc lập dứt khoát liên hệ tơng quan, nhng ngợc lại hai biến ngẫu nhiên không tơng quan cha đà ®éc lËp Tuy nhiªn ®èi víi hƯ hai biÕn ngÉu nhiên phân phối chuẩn hai khái niệm tơng đơng Thật vậy, giả sử hệ ( X, Y ) tu©n theo quy lt chn hai chiỊu víi X Y liên hệ tơng quan, tức = Khi biểu thức (4) trở thành: Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 208 Chương 4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  f ( x, y ) = e 2πσ1σ e 2πσ1 = − 2 ⎡⎛ x −μ1 ⎞ ⎛ y −μ ⎞ ⎤ − ⎢⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎝ σ1 ⎠ ⎝ σ2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ( x −μ1 )2 2 σ1 ⋅ e 2πσ2 − ( y −μ )2 σ2 = f1 ( x ) f ( y ) Điều chứng tỏ X Y độc lập IV Đờng hồi quy trờng hợp phân phối chuẩn Giả sử ta nghiên cøu ®−êng håi quy cđa Y ®èi víi X trờng hợp hệ ( X, Y ) tuân theo quy lt chn hai chiỊu Mn vËy ta h·y t×m mËt ®é cã ®iỊu kiƯn: f (y x) = f ( x, y ) f1 ( x ) Thay f ( x, y ) f1 ( x ) biĨu thøc t−¬ng øng cđa chóng, ta cã: f (y x) = σ2 − ς ⎧ ⎪ exp ⎨− 2 2π ⎪ (1 − ς ) σ ⎩ ⎡ ⎤ σ2 ⎢ y − μ − ς σ ( x − μ1 ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ Nh phân phối có điều kiện phân phối chuẩn với kỳ vọng độ lệch tiêu chuÈn lµ: E ( Y x ) = μ2 + ς σ2 ( x − μ1 ) σ1 σ ( Y x ) = σ2 − ς Kú vọng có điều kiện viết dới dạng: E(Y x) = ς ⎛ ⎞ σ2 σ x + ⎜ μ − ς μ1 ⎟ σ1 σ1 ⎠ LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 209 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng Khi cho x thay đổi E ( Y x ) cho ta phơng trình hồi quy Y X Ta thấy phơng trình có dạng E ( Y x ) = ax + b đó: a= b = μ − ς σ2 μ1 σ1 VËy ®−êng hồi quy Y X đờng thẳng Đặc biệt = phơng trình hồi quy Y X có dạng: E ( Y x ) = μ = E ( Y ) = const Trong trờng hợp đờng hồi quy đờng thẳng song song với trục hoành Ghi chú: Việc nghiên cứu đờng hồi quy X Y đợc tiến hành tơng tự Bi tập Số lần xuống sở năm cán quan biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có trung bình 30 lần độ lệch tiêu chuẩn lần a Tìm tỷ lệ cán có số lần xuống sở 25 lần năm? b Muốn tỷ lệ cán có số lần xuống sở 28 lần năm không 5% thủ trởng phải quy định số lần xuống sở trung bình năm bao nhiêu? Giả sử độ lệch tiêu chuẩn không đổi Thời gian bảo hành sản phẩm công ty Chiến Thắng theo quy định năm Nếu bán đợc sản phẩm công ty lÃi 100 ngàn đồng song sản phẩm hỏng thới gian bảo hành công ty trung bình triệu đồng cho việc sửa chữa Giả thiết tuổi thọ sản phẩm biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với = năm = 1,5 năm LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 210 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng a Tìm tiền lÃi trung bình bán đợc sản phẩm b Nếu muốn tiền lÃi trung bình sản phẩm bán 50 ngàn phải quy định thời gian bảo hành bao nhiêu? Năng suất loại ăn biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với suất trung bình 20kg/cây độ lệch chuẩn 2,5 kg Cây đạt tiêu chuẩn hàng hóa có st tèi thiĨu lµ 15kg a H·y tÝnh tû lƯ đạt tiêu chuẩn hàng hóa b Nếu đạt tiêu chuẩn hàng hóa lÃi 500 ngàn đồng, ngợc lại không đạt tiêu chuẩn làm lỗ triệu đồng Ngời ta thu hoạch ngẫu nhiên lô gồm 100 cây, hÃy tính tiền lÃi trung bình cho lô Công ty Z lÃi 300 nghìn đồng bán đợc loại điện thoại X bảo hành, song lỗ 1,5 triệu đồng phải bảo hành Biết tuổi thọ điện thoại X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng năm, độ lệch chuẩn năm thời gian bảo hành sản phẩm X năm a Tính tỷ lệ sản phẩm mà công ty phải bảo hành b Nếu muốn tiền lÃi trung bình sản phẩm bán 30 nghìn đồng phải quy định thời gian bảo hành bao nhiêu? Một trạm cho thuê xe taxi có xe, hàng ngày trạm phải nộp thuế 80 nghìn/xe/ngày Mỗi xe đợc thuê với giá 200 nghìn/ngày Giả sử yêu cầu thuê xe trạm biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số = a) Tính xác suất để ngày có khách thuê xe b) Tính tiền lÃi trung bình trạm thu đợc ngày Chiều dài chi tiết đợc gia công máy tự động đại lợng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,01mm Chi tiết đợc coi đạt tiêu chuẩn nÕu kÝch th−íc thùc tÕ cđa nã sai lƯch so với kích thớc trung bình không vợt 0,02mm LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 211 Chng4.Mtsquylutphõnphixỏcsutthụngdng a) Tìm tỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn b) Xác định độ đồng cần thiết sản phẩm để tỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn 1% Độ dài chi tiết (tính cm) máy tự động sản suất đại lợng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 9cm Nếu đợc biết 84,13% chi tiết máy sản suất có độ dài không vợt 81cm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết đợc chi tiết có độ dài không dới 80cm bao nhiêu? Một sở sản suất giày phơng pháp thủ công Giá bán đôi giày 100 nghìn đồng Số giày bán đợc tháng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 530 đôi, độ lệch tiêu chuẩn 30 Để sản suất, hàng tháng sở phải trả chi phí cố định 1.000.000 đồng Các chi phí khác 85 nghìn đồng cho đôi giày a) Tìm trung bình độ lệch tiêu chuẩn lợi nhuận tháng b) Tính xác suất để sở có lợi nhuận 6275 nghìn đồng c) Xác suất để tháng sở bán đợc 590 đôi giày bao nhiêu? LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 212 ... 166 Chương? ?4.? ?Một? ?số? ?quy? ?luật? ?phân? ?phối? ?xác? ?suất? ?thơng? ?dụng? ? VËy hµm xác suất nêu xác lập nên quy luật phân phối xác suất gọi quy luật siêu bội với tham số n, N, M Quy luật đợc ký hiệu quy luật. .. kết tích phân đặc biệt nêu bắt tay vào việc nghiên cứu quy luật phân phối xác suất liên tục thông dụng Vì số quy luật liên tục đơn giản (nh quy luật phân phối ®Ịu, quy lt ph©n phèi mị, quy lt ph©n... nhiên tuân theo quy luật nhị thức B(3; 0,7) Vì bảng phân phối xác suất X nh sau: Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 157 Chương? ?4.? ?Một? ?số? ?quy? ?luật? ?phân? ?phối? ?xác? ?suất? ?thông? ?dụng? ? X C3 (0,7)0