Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt các phương pháp tính tích phân. Giải các dạng bài tập từ cơ bản đến năng cao
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 1 NGUYÊN HÀM A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ; ) a b nếu với mọi ( ; ) x a b ∈ '( ) ( ) F x f x = 2. Định lý: Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ; ) a b thì: a) Với mỗi hằng số C, hàm số ( ) ( ) G x F x C = + cũng là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ; ) a b . b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ; ) a b đều có thể viết dưới dạng ( ) F x C + , với C là hằng số. Theo định lý trên để tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x ta chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó rồi cộng vào nó một hằng số C. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số ( ) f x gọi là họ nguyên hàm của hàm số ( ) f x kí hiệu: ( ) f x dx ∫ (hay còn gọi là tích phân bất định): ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ 3. Các tính chất của nguyên hàm: a) . ( ) ( ) k f x dx k f x dx = ∫ ∫ với k là hằng số b) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ ; [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx − = − ∫ ∫ ∫ 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: 1) 1 dx dx x C = = + ∫ ∫ 1 2) ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ 1 3) ln ( 0) dx x C x x = + ≠ ∫ 6) sin cos xdx x C = − + ∫ 7) cos sin xdx x C = + ∫ 2 1 8) tan cos dx x C x = + ∫ 2 1 9) cot sin dx x C x = − + ∫ 4) x x e dx e C = + ∫ 5) (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG • Công Thức Lượng Giác 2 1 1) sin (1 cos 2 ) 2 x x = − 2 1 2) cos (1 cos2 ) 2 x x = + 1 3) cos .cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b = − + + 1 4) sin .sin [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b = − − + 1 5) sin .cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b = − + + • Nguyên hàm mở rộng: với 0, 0 a k ≠ ≠ Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 2 1 1 ( ) 1) ( ) . ( 1) 1 ax b ax b dx C a α α α α + + + = + ≠ − + ∫ 1 1 2) .ln ( 0) dx ax b C x ax b a = + + ≠ + ∫ 1 5) sin( ) cos( ) ax b dx ax b C a + = − + + ∫ 1 6) cos( ) .sin( ) ax b dx ax b C a + = + + ∫ 2 1 1 7) .tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫ 2 1 1 8) .cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a = − + + + ∫ 1 3) . ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ 1 4) . (0 1) ln kx m kx m a a dx C a k a + + = + < ≠ ∫ B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1. Tính nguyên hàm bằng phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ( ) f x dx ∫ hoặc tính tích phân ( ) b a f x dx ∫ ta phân tích: 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m f x k f x k f x k f x = + + + trong đó: 0 i k ≠ (với 1,2,3, , i m = ) và hàm ( ) i f x (với 1,2,3, , i m = ) là hàm số có trong bảng nguyên hàm cơ bản. Ví dụ 1: Tính: 1 1 1 3 1) (3cos 3 ) 3cos 3 3sin ln3 x x x I x dx xdx dx x C − − − = − = − = − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2) ( ) 2 ln 2 x x x I dx x x dx xdx x dx dx x x C x x x − − + + = = + + = + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số 4 2 2 3 ( ) x f x x + = biết 1 (1) 3 F = − . Ta có: 4 3 2 2 2 2 3 2 3 ( ) ( 3 ) 3 x x F x dx x x dx C x x − + = = + = − + ∫ ∫ Do 1 2 1 (1) 3 2 3 3 3 F C C = − ⇒ − + = − ⇔ = Vậy 3 2 3 ( ) 2 3 x F x x = − + 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến: Quy trình giải: ( ) ( ( )). '( ) f x dx g u x u x dx = ∫ ∫ Bước 1: Đặt ( ) t u x = Bước 2: Lấy vi phân hai vế: '( ) dt u x dx = Bước 3: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt giả sử ( ) ( ) f x dx g t dt = . Bước 4: Tính ( ) ( ) g t dt G t C = + ∫ Bước 5: Thay t trong F(t) bởi biểu thức ( ) t u x = Ví dụ 1: Tính: 9 (3 1) I x x dx = + ∫ Cách 1: (đổi biến) Đặt 1 1 3 1 3 3 t t x x dx dt − = + ⇒ = ⇒ = Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 3 Do đó: 11 10 9 10 9 1 1 1 1 . . ( ) ( ) 3 3 9 9 11 10 t t t I t dt t t dt C − = = − = − + ∫ ∫ Thay 3 1 t x = + ta được: 11 10 1 (3 1) (3 1) 9 11 10 x x I C + + = − + Cách 2: (sử dụng đồng nhất thức) 11 10 9 10 9 1 1 1 (3 1) (3 1) [(3 1) 1](3 1) [(3 1) (3 1) ] 3 3 9 11 10 x x I x x dx x x dx + + = + − + = + − + = − ∫ ∫ Một số cách đổi biến số thường gặp: • Biểu thức có chứa lũy thừa ( ) n u x ta đặt ( ) t u x = . • Biểu thức có chứa căn ( ) n u x ta đặt ( ) n t u x = • Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu • Biểu thức có chứa ( ) Q x e ta đặt ( ) t Q x = • Đôi khi ta cần biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm sau đó mới đổi biến. Ví dụ 1: Tính: 3 2 1 x I dx x = + ∫ Cách 1: đổi biến Đặt 2 2 1 1 1 2 2 t x x t dt xdx xdx dt = + ⇒ = − ⇒ = ⇔ = ( ) 3 2 2 2 . 1 ( 1) 1 1 1 (1 ) ln 1 1 2 2 2 x x xdx t I dx dt dt t t C x x t t − = = = = − = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 2 2 1 1 ln( 1) 2 2 x I x C + = + + + Cách 2: 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( 1) 1 ln( 1) 1 1 2 1 2 2 x x x x d x x I dx dx xdx x C x x x + − + = = = − = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính: 1 1 x I dx e = + ∫ (1 ) ( 1) ln( 1) 1 1 1 x x x x x x x x e e e d e I dx dx dx dx x e C e e e + − + = = − = − = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần: Nếu ( ) u x và ( ) v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx = − ∫ ∫ Lưu ý: • Ta thường sử dụng nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng ( ). ( ) f x g x dx ∫ với ( ) f x và ( ) g x là 2 trong 4 loại hàm: đa thức ( ) P x ; mũ ( ) Q x a ; logarit log ( ) a Q x ; lượng giác sin ( ) Q x hoặc cos ( ) Q x . Thứ tự ưu tiên đặt u là: ln sin ;cos x x x x x e ≫ ≫ ≫ • Khi sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn hai điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tính Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 4 Tích phân sau '( ). ( ) u x v x dx ∫ phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( ). '( ) u x v x dx ∫ Ví dụ 1: Tính ( 1)cos I x xdx = − ∫ Đặt 1 cos u x dv xdx = − = ta có: sin du dx v x = = Do đó: ( 1)sin sin ( 1)sin cos I x x xdx x x x C = − − = − + + ∫ Ví dụ 2: Tính 2 I x ln(x 1)dx = + ∫ đặt 2 2 2 2 ln( 1) 1 1 2 choïn x du dx u x x dv xdx x v = = + + ⇒ = + = Khi đó: 2 2 2 2 2 1 1 ln( 1) ln( 1) 2 2 2 x x x I x xdx x C + + = + − = + − + ∫ Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln( ( )) u x thường xuất hiện phân số nên ta cần chọn ( ) v dv F x C = = + ∫ với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn. Bài tập: 1. Tính: 2 2 1) ( 1) I x x dx = − ∫ 2 5 3 2) 1 x x I dx x − + = + ∫ 3 2 3 5 3 3) 2 x x x I dx x − − + = − ∫ 1 4) 1 I dx x x = + + ∫ 2 1 5) I dx x 4 = − ∫ 2 x 6) I dx x 5x 6 − = − + ∫ 2. Tính: 1) cos6 .cos 2 I x xdx = ∫ 2 2) sin (2 ) 4 I x dx π = − ∫ 3 3) cos I xdx = ∫ 3 4) cos .sin I x xdx = ∫ 2 2 sin 2x 5) I dx cos x 4sin x = + ∫ 1 sin 2x cos2x 6) I dx sin x cos x + + = + ∫ 7) tan I xdx = ∫ 2 8) tan I xdx = ∫ 2 9) tan I xdx = ∫ 3. Tính: sin 2 1) cos 1 x I dx x = + ∫ 2 3 2) (3 2 ) x I dx x = − ∫ 3 3 4 3) 1 1 x I dx x = + + ∫ 2 sin 4) .sin 2 x I e xdx = ∫ 5 3 6 5) (1 ) I x x dx = − ∫ 3 4 2 6) 3 2 x I dx x x = + + ∫ 1 3ln ln 7) x x I dx x + = ∫ 2 1 8) 1 I dx x = + ∫ 2 dx 9) I x x 4 = + ∫ 4. Tính: 1) ln I xdx = ∫ 2 2) (3 1) x I x e dx = + ∫ 3) (2 1)sin I x xdx = + ∫ 4) I x(1 cos x)dx = + ∫ x 5) I (2x xe )dx = + ∫ 2 6) I ln(x x 1)dx = + + ∫ Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 5 Nhận xét: đối với nguyên hàm cần tìm có dạng 2 dx I x a = − ∫ hoặc 2 dx I x a = + ∫ ta đặt 2 2 2 (1 ) x dt dx t x x a dt dx t x a x a = + − ⇒ = + ⇒ = − − hoặc 2 2 dt dx t x x a t x a = + + ⇒ = + . 5. Tính: 3 2 1) I x ln xdx = ∫ 2 3 ln x 2) I dx (x 1) + = + ∫ 2 3) ( 1) x xe I dx x = + ∫ 2 1 sin 4) cos x x I dx x + = ∫ 2 1 ln(x 1) 5) I dx x + + = ∫ 3 6) I (2x )ln xdx x = − ∫ 7) sin I xdx = ∫ 2 8) .cos I x xdx = ∫ 2 9) .tan I x xdx = ∫ Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 6 TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa tích phân: Cho ( ) f x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên đoạn [ ; ] a b . Hiệu số ( ) ( ) F b F a − được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ] a b ) của hàm số ( ) f x , kí hiệu: ( ) b a f x dx ∫ . Ta dùng kí hiệu ( ) b a F x để chỉ hiệu số: ( ) ( ) F b F a − . ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ Ta gọi: b a ∫ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ( ) f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân, ( ) f x là hàm số dưới dấu tích phân. Lưu ý: tích phân ( ) b a f x dx ∫ chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân, tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a F b F a f x dx f t dt f u du − = = = ∫ ∫ ∫ 2. Các tính chất của tích phân: ) ( ) 0 a a a f x dx = ∫ ) ( ) ( ) b a a b b f x dx f x dx = − ∫ ∫ [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a c f x g x dx f x dx g x dx α β α β ± = ± ∫ ∫ ∫ ) ( ) ( ) ( ) c b c a a b d f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ ) ( ) 0 e f x ≥ trên đoạn [ ; ] ( ) 0 b a a b f x dx ⇒ ≥ ∫ ) ( ) ( ) f f x g x ≥ trên đoạn [ ; ] ( ) ( ) b b a a a b f x dx g x dx ⇒ ≥ ∫ ∫ ) ( ) , [ ; ] ( ) ( ) ( ) b b b a a a g m f x M x a b m b a m dx f x dx M dx M b a ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − = ≤ ≤ = − ∫ ∫ ∫ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN: 1. Tính nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp phân tích: Để tính tích phân ( ) b a f x dx ∫ ta phân tích: 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m f x k f x k f x k f x = + + + trong đó: 0 i k ≠ (với 1,2,3, , i m = ) và hàm ( ) i f x (với 1,2,3, , i m = ) là hàm số có trong bảng nguyên hàm cơ bản. Ví dụ 1: Tính 2 3 1 ( 2 1) I x x dx = + + ∫ ( ) 2 2 4 3 2 1 1 1 3 ( 2 1) 1 2 2 1 1 2 4 4 4 x I x x dx x x = + + = + + = + + − + + = + ∫ Ví dụ 2: Tính 2 0 I 1 cos 2xdx π = − ∫ Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 7 Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 I 1 cos 2xdx 1 (1 2sin x)dx 2sin xdx 2 sin x dx π π π π = − = − − = = ∫ ∫ ∫ ∫ Vì sin x 0 x sin x sin x x 2 neáu neáu ≤ ≤ π = − π < ≤ π Do đó: 2 2 2 0 0 0 I 2 sin x dx 2 sin x dx 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 4 2 π π π π π π π = = + = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Lưu ý: 2n 2n x x = với n ∈ ℕ Muốn tính ( ) b a I f x dx = ∫ ta làm như sau: Giải phương trình: ( ) 0 f x = lấy nghiệm 1 2 n a x x x b < < < < < 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n x x x x b b b a a x x a x x I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx = = + + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: a) Phương pháp đổi biến số: ( ) t u x = Quy trình giải: ( ) ( ( )). '( ) b b a a f x dx g u x u x dx = ∫ ∫ Bước 1: Đặt ( ) t u x = , với ( ) u x có đạo hàm liên tục trên [ ; ] a b Bước 2: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt; giả sử ( ) ( ) f x dx g t dt = Bước 3: Đổi cận: ( ), ( ) u a u b α β = = Bước 4: Tính: ( ) I g t dt β α = ∫ b) Phương pháp đổi biến số: ( ) x u t = Quy trình giải: ( ) ( ( )). '( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt β β α α = = ∫ ∫ ∫ Bước 1: Đặt ( ), [ ; ] x u t t α β = ∈ , với ( ) u t có đạo hàm liên tục trên [ ; ] α β , ( ( )) f u t được xác định trên [ ; ] α β . Bước 2: Đổi cận: ta cần tìm α và β sao cho ( ), ( ) a u b u α β = = Bước 3: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt; giả sử ( ) ( ) f x dx g t dt = Bước 4: Tính: ( ) I g t dt β α = ∫ Một số cách đổi biến số • Đối với nguyên hàm có dạng ( ). ( ). n f x g x dx ∫ ta thử đặt ( ) t f x = . Khi đó ( ). g x dx có thể phân tích thành . '( ). k f x dx , với k ∈ ℝ hoặc . ( ). '( ). m k f x f x dx • Đối với nguyên hàm có dạng ( ). ( ). n f x g x dx ∫ ta thường đặt ( ) ( ) n n t f x t f x = ⇒ = . Khi đó ( ). g x dx có thể phân tích thành . '( ). k f x dx , với k ∈ ℝ hoặc . ( ). '( ). m k f x f x dx • Đối với nguyên hàm có chứa ẩn ở mẫu thì ta thử đặt ẩn mới là biểu thức dưới mẫu. Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 8 • Đặc biệt: 2 dx I x a = − ∫ ta có thể đặt 2 2 dt dx t x x a t x a = + − ⇒ = − hoặc đối với tích phân 2 2 1 b a I dx k x = − ∫ ta còn có thể đặt .sin x k t = hoặc .cos x k t = , nhưng cần phải chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. • 2 2 1 b a I dx k x = + ∫ ta có thể đặt x k.tan t = hoặc x k.cot t = nhưng cần phải chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. • Tìm nguyên hàm dạng: 1 dx f (x) g(x) ± ∫ trong đó f (x) g(x) k − = ∈ ℝ . Ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp để đưa về dạng: f (x) g(x) 1 1 dx f (x).dx g(x).dx k k k = ∫ ∫ ∫ ∓ ∓ Tính tích phân hàm số hữu tỷ Dạng 1: P(x) I dx ax b = + ∫ với a 0 ≠ , P(x) là một đa thức của x. • Sử dụng công thức: 1 1 dx ln ax b C ax b a = + + + ∫ • Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 1 thì ta chia đa thức để đưa về dạng: Q(x) ax b α + + với Q(x) là một đa thức. Dạng 2: 2 P(x) I dx ax bx c = + + ∫ với a 0 ≠ , P(x) là một đa thức của x. Trường hợp 1: Tam thức bậc hai 2 f (x) ax bx c = + + có hai nghiệm 1 2 x ,x . Khi đó ta có: 2 1 2 ax bx c a(x x )(x x ) + + = − − • Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn 2, ta phân tích: mx n A B (x a)(x b) x a x b + = + + + + + như sau: Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) mx n A x b B x a mx n A x b B x a x a x b x a x b + + + + = ⇔ + = + + + + + + + sau đó cho x a = − và x b = − thì ta sẽ tìm được A và B. Từ đó ta có: ( ) ln ln ( )( ) mx n A B dx dx A x a B x b x a x b x a x b + = + = + + + + + + + ∫ ∫ • Nếu bậc của P(x) lớn hơn 1, ta chia đa thức để đưa về dạng: 2 mx n Q(x) ax bx c + + + + với Q(x) là một đa thức. • Đặc biệt đối với nguyên hàm dạng: 1 dx (x a)(x b) + + ∫ với a b ≠ thì ta có thể phân tích như sau: 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) x a x b dx dx dx x a x b a b x a x b a b x b x a + − + = = − + + − + + − + + ∫ ∫ ∫ 1 1 x b (ln x b ln x a ) C ln a b a b x a + = + − + + = − − + Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 9 Trường hợp 2: Tam thức bậc hai 2 f (x) ax bx c = + + có nghiệm kép 0 x Khi đó: 2 2 0 P(x) 1 P(x) I dx dx ax bx c a (x x ) = = + + + ∫ ∫ sau đó đặt 0 t x x = + Trường hợp 3: Tam thức bậc hai 2 f (x) ax bx c = + + vô nghiệm • Đưa về dạng: 2 2 1 dx x a + ∫ sau đó đặt x a tan t = với t 2 2 π π − < < Tính tích phân hàm số lượng giác Dạng 1: I sin nx.cosmxdx;I sin nx.sin mxdx;I cosnx.cos mxdx = = = ∫ ∫ ∫ Phương pháp: • Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos x.cos y [cos(x y) cos(x y)] 2 = + + − 1 sin x.sin y [cos(x y) cos(x y)] 2 = − + − − 1 sin x.cos y [sin(x y) sin(x y)] 2 = + + − 1 cos x.sin y [sin(x y) sin(x y)] 2 = + − − • Sử dụng các công thức nguyên hàm: 1 sin(ax b)dx cos(ax b) C a + = − + + ∫ 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C a + = + + ∫ Dạng 2: n m I sin x.cos xdx = ∫ với m, n là các số tự nhiên Trường hợp 1: có ít nhất 1 số là số lẻ (giả sử n là số lẻ; khi đó: n 2k 1,k = + ∈ ℕ ) • Ta phân tích: n m 2k 1 m 2k m I sin x.cos xdx sin x.cos xdx sin x.cos x.sin xdx + = = = ∫ ∫ ∫ • Thay 2 2 sin x 1 cos x = − hoặc 2 2 cos x 1 sin x = − • Đặt t cosx = hoặc t sin x = Trường hợp 2: m, n đều là số chẵn Phương pháp: Sử dụng công thức hạ bậc 2 1 cos 2x sin x 2 − = 2 1 cos2x cos x 2 + = Dạng 3: Một số dạng khác: Ta dử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. • 1 1 sin[( ) ( )] . sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( ) x a x b x a x b a b x a x b + − + = + + − + + sử dụng sin( ) 1 sin( ) a b a b − = − • 1 1 sin[( ) ( )] . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( ) x a x b x a x b a b x a x b + − + = + + − + + sử dụng sin( ) 1 sin( ) a b a b − = − • 1 1 cos[( ) ( )] . sin( ).cos( ) cos( ) cos( ).cos( ) x a x b x a x b a b x a x b + − + = + + − + + sử dụng cos( ) 1 cos( ) a b a b − = − • Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos ) R x x R x x − = − thì đặt cos t x = • Nếu (sin , cos ) (sin ,cos ) R x x R x x − = − thì đặt sin t x = • Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos ) R x x R x x − − = − thì đặt tan t x = hoặc cot t x = Ví dụ: Tính 3 5 sin cos dx I x x = ∫ Cách 1: Đặt t = cosx ⇒ dài Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị. Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 10 ( ) ( ) ( ) 2 4 3 3 3 5 2 2 tan tan 1 3 1 8 8 3ln tan tan tan sin cos 2 tan 2 4 sin 2 2 tan 1 tan d x d x dx x x x c x x x x x x = = = − + + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính: 1 3 4 2 0 1 x I dx x = − ∫ Giải: Đặt 2 2 2 t 1 x t 1 x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: 1 15 x 0 t 1;x t 4 4 = ⇒ = = ⇒ = 1 15 15 15 3 2 3 4 4 4 4 2 2 0 1 1 1 (1 ) 2 11 15 (1 ) 3 3 64 1 x t tdt t I dx t dt t t x − = = − = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ Một số dấu hiệu đổi biến số thường gặp: • Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu • Biểu thức có chứa ( ) Q x e ta đặt ( ) t Q x = • Đôi khi ta cần biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm sau đó mới đổi biến. • 2 2 dx x a + ∫ đặt tan ; ; 2 2 x a t t π π = ∈ − • 2 2 dx a x − ∫ đặt sin ; 0; 2 x a t t π = ∈ hoặc [ ] cos ; 0; x t t = ∈ π Ví dụ 1: Tính 1 2 0 1 x I dx x = + ∫ Đặt 2 1 1 2 2 t x dt xdx xdx dt = + ⇒ = ⇒ = ; Đổi cận: khi 0 1; 1 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Do đó: 2 2 1 1 1 1 1 ln ln 2 2 2 I dt t t = = = ∫ Ví dụ 2: Tính: 3 2 2 4 sin cos cos 1 x I dx x x = + ∫ π π 2 2 3 3 tan 1 2 2 2 2 2 4 4 sin tan 2 2 cos cos 1 cos tan 1 t x x x I dx dx dt x x x x = + = = ←→ = − + + ∫ ∫ ∫ π π π π Ví dụ 1: Tính 1 2 0 1 I x dx = − ∫ Đặt sin ; [0; ] cos . 2 x t t dx t dt π = ∈ ⇒ = ; Đổi cận: 0 0; 1 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 cos2 2 sin 2 cos cos cos cos 2 4 4 t t t I tdx t tdt tdt dt π π π π π π + + = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Nếu ( ) u x và ( ) v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì: [...]... Nội Bộ 01/2013 Trang 19 Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Diện Tích Hình Phẳng Dạng 1: Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b là: b S = ∫ f (x) dx (1) a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị... thiết lập công thức tính diện tích 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = − x 2 + 4x − 3 và hai tiếp tuyến tại các điểm A ( 0; −3) , B ( 3;0 ) 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x 2 , y = 4x − 4 và y = −4x − 4 Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 21 Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Thể Tích Vật Thể Cho một vật thể trong... Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân 1 1 Khi đó: I = ( x 2 − x + 1) ln( x 3 + 1) 0 − ∫ 0 GV: Lê Hữu Hòa 1 2 3x 1 3 dx = ln 2 − 3∫ x − 1 + dx = − 2 ln 2 x +1 x +1 2 0 Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln(u ( x)) thường xuất hiện phân số nên ta cần chọn v = ∫ dv = F ( x) + C với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản... = ln x còn đối với 5) và 6) ta sẽ dùng phương pháp tính nguyên hàm (tích phân) từng phần 2 lần để suy ra yêu cầu của bài toán • Khi sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần hay tích phân từng phần việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn hai điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tính Tích phân sau ∫ u '( x).v( x) dx phải đơn giản hơn tích phân cần tính ∫ u ( x).v '( x) dx Ví dụ: Tính: I = ∫ 2 1 ln x dx x5... ra: I = 1 1 1 x 2 + 3x 2x 1 1 e 2x e − ∫ (2x + 3)e 2x dx + ∫ (x + 1)e 2x dx = 2e 2 − ∫ e 2x dx = 2e 2 − 2 20 20 4 0 0 1 = 0 7e 2 1 + 4 4 Nhận xét: Khi tích tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ta có thể tách tích phân thành 2 phần; sau đó dùng tích phần đối với phần 1 sao cho phần còn lại khử vdu Đối với I = ∫ (an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ).e ax +b dx ta có thể làm như sau: Hệ số của... 1 15 ln 2 Do đó: I = − 4 + ∫ 5 = − + − 4 = − 1 x 4x 1 4 64 4 4 x 1 256 64 Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln(u ( x)) thường xuất hiện phân số nên ta cần chọn v = ∫ dv = F ( x) + C với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn 3 Ví dụ: Tính I = ∫ ln( x 2 − x) dx 2 Đặt u = ln( x 2 − x) ⇒ du = 3 2x −1 dx ; dv =... diện tích hình phẳng (H) b) Tính thể tích của hình phẳng (H) khi quay quanh trục Ox 3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình x2 phẳng giới hạn bởi Parabol ( P ) : y = , trục tung và y = 2, y = 4 2 4 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xe x , x = 0, y = 0 với 0 ≤ x ≤ 1 5 Tính thể tích. ..Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân ∫ b a b GV: Lê Hữu Hòa b u ( x).v '( x) dx = u ( x).v( x) a − ∫ u '( x).v( x) dx a Lưu ý: Một số dạng nguyên hàm (tích phân) sau đây tính được một cách thuận lợi bằng phương pháp tính từng phần với n ∈ ℕ 1) 4) ∫ x e dx ∫ x ln xdx n x 2) n 5) ∫ x sin xdx... dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f ( y ) (liên tục trên đoạn [ a; b ] ), hai đường thẳng y = a, y = b và trục tung” Khi đó b công thức tính diện tích là: S = ∫ f ( y ) dy a • Khi đề bài không cho hai đường thẳng x = a, x = b thì các giá trị a và b được hiểu là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong số các nghiệm của phương trình f (x) = 0 1 Tính diện tích hình phẳng... Trang 20 Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân e) x = 1; x = e; y = 0; y = GV: Lê Hữu Hòa ln x 2 x f ) x = 1; x = e; y = 0; y = 1 + ln x x 2x 2 − 10x − 12 và đường thẳng y = 0 x+2 Dạng 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) (liên tục trên đoạn [ a; b ] ) 2 Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S là: b S = ∫ f ( x ) − . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN: 1. Tính nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp phân tích: Để tính tích phân ( ) b a f x dx ∫ ta phân tích: 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m f x. − ∫ Ta gọi: b a ∫ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ( ) f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân, ( ) f x là hàm số dưới dấu tích phân. Lưu ý: tích phân ( ) b a f x dx ∫ chỉ. 4 + = − + + + = − = − = + ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Khi tích tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ta có thể tách tích phân thành 2 phần; sau đó dùng tích phần đối với phần 1 sao cho phần còn lại