Đang tải... (xem toàn văn)
Trong phầ n tiể u luậ n này chúng ta dùng phép biế n đ ổ i Lapl ace l àm mộ t kỹ t huậ tkhác đ ể gi ả i phư ơ ng trình - hệ phư ơ ng trình vi phân tuy ế n t í nh hệ số hằ ng. Nó c ũ ng là mộ tkỹ t huậ t đ ặ c biệ t đ ể giả i phhư ơ ng trình vi phân có vế phả i là hàm bậ c thang Heavis ide1.Nhữ ng hàm này thư ờ ng xuấ t hi ệ n t r ong cơ họ c và trong mạ ch đ iệ n t ử .Ý tư ở ng củ a phư ơ ng pháp này là: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vi phân thành ph ư ơ ng trìnhđ ạ i s ố , gi ả i phư ơ ng trình đ ạ i số vừ a bi ế n đ ổ i đ ó, t ừ nghiệ m c ủ a phư ơ ng trình đ ạ i số vừ atìm đ ư ợ c t a dùng biế n đ ổ i ngư ợ c La pl a ce đ ể c ho ra nghiệ m phư ơ ng trình vi phân c ầ n t ìm.
Trang 1 MỤC LỤC MỤC LỤC____________________________________________________________________1 I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: _____________________________________2 A. HÀM GỐC:__________________________________________________________________ 2 B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace ______________________________________________________ 2 C. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: __________________________________ 3 Ví dụ: _________________________________________________________________________________3 D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: _____________________________________________ 4 Định nghĩa:_____________________________________________________________________________4 II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:______________5 A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:_____________________________________________________ 5 B. CÁC VÍ DỤ: _________________________________________________________________ 6 Ví dụ 1: ________________________________________________________________________________6 Ví dụ 2: ________________________________________________________________________________7 Ví dụ 3: ________________________________________________________________________________8 III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: _____________________________________________________________________9 1) Định nghĩa: __________________________________________________________________ 9 2) Biến đổi Laplace: ____________________________________________________________ 10 Ví dụ: ________________________________________________________________________________ 11 3) Biến đổi Laplace ngược: ______________________________________________________ 12 Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________12 Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________14 IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG ______15 A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: ____________________________________________________ 15 B. CÁC VÍ DỤ: ________________________________________________________________ 15 Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________15 Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________16 Ví dụ 3: _______________________________________________________________________________17 V. KẾT LUẬN: _______________________________________________________________20 Trang 2 DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG Trong phần tiểu luận này chúng ta dùng phép biến đổi Laplace làm một kỹ thuật khác để giải phương trình-hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phhương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside 1 . Những hàm này thường xuất hiện trong cơhọc và trong mạch điện tử. Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số, giải phương trình đại số vừa biến đổi đó, từ nghiệm của phương trình đại số vừa tìm được ta dùng biến đổi ngược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm. I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: A. HÀM GỐC: Ta gọi hàm phức tùy ý )(tf là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau: 1) Hữu hạn điểm ,0,ba 2) Tăng không quá nhanh 0 S 0 ,.)(0,0 0 tteMtfSM t , S 0 được gọi là mũ tăng của hàm )(tf 3) )(tf =0 khi t<0 B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace CpdttfepF pt ;)()( 0 F(p) là ảnh Laplace của biến )(tf Kí hiệu: L[ )(tf ] = F(p) )(tf = F(p); F(p) = )(tf 1 http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function Trang 3 C. MỘT SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: 1) Cho 2 Laplace )(tf , g(t); )(tf = F(p); g(t) = G(p) )(tf +g(t) = F(p) + G(p) 2) )(tf , k là hằng số k. )(tf = k.F(p) 3) Đạo hàm gốc: )0( )0(')0()()( )0(')0()()('' )()0()0(),0()()(' )()( )1(21)( 2 0 lim nnnnn t ffpfppFptf fpfpFptf tffffppFtf pFtf Chứng Minh: Ta có: )()0(0 )()(')(' 0 0 0 )( ppFf dttfep pt dttfetf ptpt tfe )0(')0()( )0(')0()()('' 2 fpfpFp ffppFptf Tương tựcho )( )( tf n 4) Tịnh tiến ảnh tconsaapFtfeL pFtfL at tan)()( )()( Chứng minh: 0 )( 0 )()()(.)( apFdttfedttfeetfeL tapatptat Ví dụ: Biến đổi Laplace: a) pp e dte pt pt 1 )( 1.1 0 0 Trang 4 b) papa e dtedteee tpa tpaatptat 1 )( 0 0 )( )( 0 c) 2 0 2 0 0 0 1 pp e dt p e p te tdtet ptptpt pt D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: Định nghĩa: Cho ảnh )(pF tìm gốc )(tf )()( 1 tfpFL BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI Laplace THÔNG DỤNG )(tf )( pF 1 0, 1 p p t 0, 1 2 p p n t np p n n ,0, ! 1 là sốtựnhiên 2 1 t p , p>0 2 1 t 2/3 2 p ) 2 1 (n t p p n nn 2 )12 (5.3.1 ,p>0, n là sốtựnhiên at e ap ap , 1 at e ap ap , 1 at te ap ap , )( 1 2 Trang 5 at te ap ap , )( 1 2 atn et nap ap n n ,, )( ! 1 là sốtựnhiên atn et nap ap n n ,, )( ! 1 là sốtựnhiên at cos 0, 22 p ap p atsin 0, 22 p ap a at t cos 0, )( 222 22 p ap ap attsin 0, )( 2 222 p ap ap bte at sin ap bap b , )( 22 bte at cos ap bap ap , )( 22 atcosh ap ap p , 22 atsinh ap ap a , 22 II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG: A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng: )()()(' )()( 01 )( 1 )( tftyatyatyatya n n n n Trong đó Raaa n ,,, 10 1 )1( 10 , ,)0(',)0( n n bybyby là những điều kiện đầu Phép biến đổi trực tiếp Laplace không cho nghiệm tổng quát. Các bước giải là: Trang 6 1) Đánh giá Laplace dựa vào 2 mặt của phương trình. 2) Sử dụng bảng biến đổi Laplace cơbản. )0( )0(.)(.))(( )1(1)( nnnn ffppFptfL 3) Sau quá trình biến đổi đại số ta được: Y(p) = L(y(t)) 4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L -1 , tìm y(t). B. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm phương trình vi phân 1)0(',1)0( 2'3'' 3 yy eyyy t Giải Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace: )3)(2)(1( 1 1 1 )( 3 1 2)()2)(1( 3 1 2)()23( 3 1 )(23)(31)( 3 1 )(2)0()(3)0(')0()( 2 2 2 pppp pY p ppYpp p ppYpp p pYppYppYp p pYyppYypypYp Dùng phương pháp đại sốphân tích: )3)(2)(1( )236()345()( )3)(2)(1( )2)(1()3)(1()3)(2( )3()2()1()3)(2)(1( 1 2 ppp CBApCBApCBA ppp ppCppBppA p C p B p A ppp Cân bằng hệsố2 vế: cho 2 1 ,1, 2 1 CBA Trang 7 )3( 2/1 )2( 1 )1( 2/1 )3)(2)(1( 1 pppppp 3 1 2 1 2 1 1 1 2 3 )( ppp pY Sửdụng biến đổi ngược Laplace Vậy nghiệm phương trình là: ttt eeety 32 2 1 2 3 )( Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân: 0)0('',0)0(',0)0( '''' yyy eyy t Giải Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace: ))(1( 1 )( 1 1 )(.)( 1 1 )0()(.)0('')0(.)0(''.)(. 3 3 23 ppp pY p pYpp p ypYpyypyppYp Dùng phương pháp đại số phân tích vếphải )1)(1( )()()( )1)(1( )1()()1()1)(1( 11))(1( 1 2 23 2 22 23 ppp ApDBApDCApCBA ppp ppDCppBpppA p DCp p B p A ppp Cân bằng trên tử2 vếta được: 2 1 , 2 1 , 2 1 ,1 DCBA )1( 2/1 )1( )2/1( )1( 2/11 )1( 2/1)2/1( )1( 2/11 )( 22 2 pp p pp p p pp pY Trang 8 Sửdụng biến đổi ngược Laplace Vậy nghiệm của phương trình là: ttety t sin 2 1 cos 2 1 2 1 1)( Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình vi phân: 0)0(''',0)0('',1)0(',0)0( 0 )4( yyyy yy Giải Dùng biến đổi Laplace cả2 vế, ta được: 1 )( )()1( 0)()(. 0)()0(''')0(''.)0('.)0(.)(. 4 2 24 24 234 p p pY ppYp pYppYp pYyypypyppYp Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải. )1)(1)(1( )()()()( )1)(1)(1( )1)(()1)(1()1)(1( 1 11 )1)(1)(1(1 2 23 2 222 22 2 4 2 ppp DBApCBApDBApCBA ppp pDCpppBppA p DCp p B p A ppp p p p Cân bằng tử2 vếta được: 2 1 ,0, 4 1 , 4 1 DCBA 1 2/1 1 4/1 1 4/1 )( 2 ppp pY Sửdụng biến đổi ngược Laplace: Vậy nghiệm phương trình là: teety tt sin 2 1 4 1 4 1 )( Trang 9 III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: Hàm bậc thang Heaviside: 1) Định nghĩa: a) 01 00 )( t t tH Hàm bậc thang Heaviside, cũng được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị0 khi đối số(t) âm và nhận giá trị1 khi đối số(t) dương. Hàm này được sửdụng trong lý thuyết toán học điều khiển hay trong xửlý tín hiệu. b) Và ta có hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside , cho sốthực c. Ta có: ct ct ctHtH c 1 0 )()( Nếu c>0 (c<0) thì đồthịcủa H c sẽđược tịnh tiến qua phải (qua trái) 1 đơn vịc, so với đồ thịcủa H. c) Hàm khoảng H ab với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside )()()()()( btHatHtHtHtH baab Thật vậy: 1) t<a thì H a (t) và H b (t) bằng 0 0)( tH ab 2) bta thì H a (t) =1 và H b (t) = 0 1)( tH ab 3) tb thì H a (t) =1 và H b (t) = 1 0)( tH ab Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến H a , và hàm khoảng H ab thường được dùng đểmô tảhàm liên tục từng khúc. Vậy: tb bta at btHatHtHtHtH baab 0 1 0 )()()()()( Trang 10 Ví dụ: Mô tảhàm: t tt tf 12 102 )( sửdụng hàm bậc thang Heaviside. Giải Từ )(tf là hàm khảvi từng khúc trên khoảng 10 t và 1 t , chúng ta sửdụng hàm khoảng H 01 (t) trên khoảng 10 t , và dùng hàm tịnh tiến H 1 (t) trên 1 t . Vậy: )1()1(2)(.2 )1(2)1()(2)(2)(.2)( 101 tHttHt tHtHtHttHtHttf 2) Biến đổi Laplace: c cp ptpt cc p e dtedtetHpHL 0 )()( Chứng minh: p e ee pp e dtedtetHpHL cp pcpb b b c pt b c ptpt cc 1 limlim)()( 0 ( 1)( ctH khi c t và 0)( ctH khi t<c). Ta đã có: H ab =H a -H b . Nên: p ee pHLpHLpHL bpap baab )()()( Biến đổi Laplace cho hàm tịnh tiến: )()()()( pFepctfctHL cp Chứng minh: c pt pt dtectf dtectfctHpctfctHL ).( ).()()()()( 0 Vì 1)( ctH khi c t và 0)( ctH khi t<c. Đổi biến c t thì c t và ddt . Ta được: [...]... đi Laplace ngư c ta đ ợ n ổ ợ ư c: y (t ) 2t (t ) H (t ) H (t ) sin(t ) t 2 1 1 2 1 1 sin 2t t ) t ) (t ) sin 2 (t 1 sin( 1 H 1 Vậ nghiệ phư ng trình là: y m ơ 2 sin t t y (t ) 2 1 sin 2 sin(t ) t 0 t 1 1 t Trang 14 IV ỨNG DỤ Laplace GIẢ HỆPHƯƠ TRÌNH VI PHÂN HỆSỐHẰ NG I NG NG A PHƯƠ NG PHÁP CHUNG: Cũ nhưphư ng trình vi phân tuyế tính hệsốhằ đ i hệ ơ trình. .. công thứ biế đi Laplace củ hàm bậ thang Heaviside và bả biế đi a c n ổ a c ng n ổ Laplace ta đ ợ ư c: L ) f (p p e p e2 e p p e 2 2 ( 2 ) p2 2 p 2 p 2 3) Biế đ i Laplace ngư c: n ổ ợ Cho hàm f (t ) là hàm liên tụ từ đ n và F ( p) L ) thì: c ng oạ f (p 1 cp L e F ( p) (t ) H (t ) f (t ) c c Các ví dụ Ứ : NG DỤ Laplace GIẢ PHƯƠ NG I NG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾPHẢ... ) 2 2 (p ) 2 Phân tích: p 2 p 4 C D C ( p 2) D C , D 2 1 2 2 2 (p ) 2 ( p 2) ( p 2) (p ) 2 Trang 15 1 2 X ( p) ( p 2) ( p 2) 2 ( p) 1 2 Y ( p ) ( p )2 2 2 Sử ng biế đi Laplace ngư c dụ n ổ ợ Vậ nghiệ hệ ơ trình vi phân là: y m phư ng 2 2 (t ) t e t t x e 2 2 (t ) e t e 2t t y 2 Ví dụ 2: TÌm nghiệ hệ ơ trình vi phân: m phư ng... 2/5 3/ 5 2 2 3 12 Y ( p) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) p 2 p 12 2 5 12 p 12 5 2 p Sử ng biế đi Laplace ngư c dụ n ổ ợ Vậ nghiệ hệ ơ trình vi phân là: y m phư ng 1 3 x sin 2t sin 2 3t (t ) 5 2 5 3 (t ) 2 sin 2t 3 sin 2 3t y 5 2 10 3 Ví dụ 3: Tìm nghiệ hệ ơ trình vi phân: m phư ng ' ' x x y 4 1 x 2 t2 ' x y x( 0) , y (0) 2 1 Trang 17 Giả i Sử ng tính... 3 4( p ) 4 Sử ng biế đi Laplace ngư c dụ n ổ ợ Vậ nghiệ củ hệ ơ trình: y m a phư ng 5 1 11 4 t x (t ) 8 2 t 8 e 11 (t ) 7 2 e 4 t y t t 4 4 Trang 19 V KẾ LUẬ T N: So vớ phư ng pháp cổ iể giảphư ng trình vi phân hệ hằ ta thấ phư ng i ơ đn i ơ số ng y ơ pháp sử ng toán tử dụ Laplace có nhữ ư đ m sau: ng u iể -Dù n lớ bao nhiêu ta chỉ n giảmộphư ng trình đi số c nhấđi vớY(p)... 1 p 1 Dùng biế đi Laplace ngư c ta đ ợ n ổ ợ ư c: 3 ( t y (t ) 5e e t ) H (t ) t ) H (t ) t ) H (t ) sin( cos( 2 3 e e (t ) t t H (t ) 5 t sin cos 2 Vậ nghiệ phư ng trình là: y m ơ e 5 t y (t ) 3 (t ) 5 t t t sin cos e e 2 0 t t Trang 13 Ví dụ 2: Tìm nghiệ củ phư ng trình vi phân: m a ơ y ' ' f (t... nghiệ hệ ơ trình vi phân: m phư ng x 3 ' x y 0 y x 0 ' y x( 0) , y (0) 1 1 Giả i Sử ng tính chấđo hàm gố biế đi ta đ ợ dụ t ạ c n ổ ư c: ( p) ( 0) X ( p ) ( p ) pX x 3 Y 0 pY Y 0 ( p) y (0) X ( p ) ( p ) pX 1 3 Y ( p) X ( p ) ( p) 0 pY 1 X Y ( p) ( p) ( p) 0 p ) X ( p) ( p ) ( 3 Y 1 ( 1 1 X ( p) p ) Y ( p) Giảhệ ơ trình đi... TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾPHẢ I LÀ HÀM BẬ THANG C Ví dụ 1: Tìm nghiệ củ phư ng trình vi phân: m a ơ y ' f (t ) y y (0) 5 0 3 cos t Khi đ f (t ) ó: 0 t t Giả i Ta có: f (t ) H 0 (t ) cos tH cos tH (t ) cos(t ) H (t ) 0 3 3 3 L ) f (p 3 pe p p2 1 Trang 12 Sử ng tính chấđo hàm gố và biế đi Laplace ta đ ợ dụ t ạ c n ổ ư c: pY ( p) y (0) ( p) Y 3 ( p ... ) X ( p) ( p) 2 ( 2 Y 2 p3 (1) ( 2) Nhân phư ng trình (2) cho –p, cộ 2 phư ng trình lạta đợ ơ ng ơ i ư c: 1 2 ( p ) X ( p ) p 2 p) X ( p) 2 p 4 ( 2 1 2 p p 2 p 3 p 2 p ( p )(2 p 2 p ) 2 1 3 2 X ( p) 2 2 2 p (p p ) 3 4 p ( p )( p ) 4 1 (2 p 2 p ) 3 2 2 p (p ) 4 Thay X (p ) vào phư ng trình (1), ta đợ ơ ư c: (2 p 2 p 2) 3 1 (p ) 4 pY ( p)... A PHƯƠ NG PHÁP CHUNG: Cũ nhưphư ng trình vi phân tuyế tính hệsốhằ đ i hệ ơ trình vi phân ng ơ n ng, ểgiả phư ng tuyế tính hệ hằ ta thay các hàm phảtìm, các đo hàm củ chúng và các hàm ởvế n số ng i ạ a phả(nế là hệ i u không thuầ nhấ bằ ả củ chúng (bằ cách áp dụ đo hàm gố n t) ng nh a ng ng ạ c) Khi đ ta sẽ đ ợ mộhệ ơ trình đi số n tính đi vớ ả củ các hàm phả ó thu ư c t phư ng ạ tuyế ố i nh a i tìm . ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG Trong phần tiểu luận này chúng ta dùng phép biến đổi Laplace làm một kỹ thuật khác để giải phương trình-hệ phương trình vi phân. đổi ngược Laplace: Vậy nghiệm phương trình là: teety tt sin 2 1 4 1 4 1 )( Trang 9 III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: Hàm bậc thang Heaviside: 1). công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được: )()( 22 2 22 2 22 p ee p e p e pfL pppp 3) Biến đổi Laplace ngược: Cho