Mở đầu I.Lý do chọn đề tài Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần thiết và không thể thiếu đợc trong chơng trình toán THPT. Phơng pháp toạ độ là phơng pháp toán cơ bản ở lớp 10, xong việc ứng dụng của nó thì học sinh cha nhận thấy hết đợc. Đến lớp 12 thì phơng pháp toạ độ là một công cụ khá hữu hiệu để giải các bài toán hình học. Để giúp các em thấy đợc tầm quan trọng của phơng pháp toạ độ (PPTĐ) phơng pháp chuyển từ việc nghiên cứu hình học Ơclit bằng phơng pháp sơ cấp (phơng pháp tổng hợp) sang việc nghiên cứu nó bằng công cụ mới đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm h- ớng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán hình học phẳng bằng PPTĐ để các em không bị bỡ ngỡ khi giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp này trong chơng trình lớp 12. Trong thực tế, một số bài toán hình học phẳng ở lớp 10 sẽ đợc giải quyết nhanh gọn, dễ hiểu hơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phơng pháp sơ cấp khác. II.Mục đích nghiên cứu Với những lý do nh ở trên tôi đã chọn dề tài này nhằm mục đích sau: - Làm sáng tỏ cơ sở khoa học của PPTĐ. - Đề xuất phơng án xây dựng quy trình giải bài toán hình học phẳng bằng PPTĐ. III.Đối tợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tợng : Hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ. - Phạm vi : Hình học lớp 10. IV.Nhiệm vụ nghiên cứu - Nhắc lại các kết quả về PPTĐ. - Xây dựng quy trình giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ. - Thực hành. V.Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận. - Tổng kết kinh nghiệm. - Thực nghiệm. 2 Nội dung Chơng 1 : Kiến thức toạ độ 1.Toạ độ của vectơ và của diểm trên trục - Cho u nằm trên trục (O, i ) a R sao cho: ia. u = . Số a nh thế đợc gọi là toạ độ của vectơ u đối với trục (O, i ). O I x i x - Cho điểm M trên trục (O, i ) im. OM = số m nh thế đợc gọi là toạ độ của điểm M trên trục (O, i ). M u x O x 2.Hệ trục toạ độ y - Trong mặt phẳng gồm 2 trục ox và oy vuông góc với nhau. i r Vectơ đơn vị trên trục ox, oy lần lợt là O j x i r , j . Điểm O gọi là gốc trục toạ độ; ox, oy lần lợt là trục hoành, trục tung Hệ trục toạ độ vuông góc nh trên còn đợc gọi là hệ trục toạ độ kí hiệu là Oxy hay (O; i , j ). 3.Toạ độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục toạ độ - Đối với hệ trục toạ độ (O; i , j ) nếu jy. i x. a += thì cặp số (x ;y) đợc gọi là toạ độ của vectơ a , ký hiệu là y) (x, a = hay y) (x, a ; x là hoành độ, y là tung độ của vectơ a . - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy toạ độ của vectơ OM uuuur đợc gọi là toạ độ của điểm M. 3 4.Các phép toán Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ : , , ( ; ) , ( ; );u x y v x y r r , , , , ( ; ); ( ; ); ( ; ); u v x x y y u v x x y y ku kx ky k R + = + + = = ur r ur r ur 5.Phơng trình của đờng thẳng - Mọi đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ đều có dạng ax + by = 0 , 2 2 a b o+ . - Đờng thẳng d đi qua 2 điểm A( x 1 ;y 1 ) và B ( x 2 ; y 2 ) thì phơng trình của đờng thẳng d là : - ( y 2 y 1 ) ( x x 1 ) + ( x 2 x 1 ) ( y y 1 ) = 0. - Cho đờng thẳng d cắt ox tại điểm A( a ; 0 ) và cắt oy tại điểm B ( 0 ; b) thì ph- ơng trình theo đoạn chắn là : 1 x y a b + = , .a b o . 6.Các bài toán cơ bản Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ : , , ( ; ) , ( ; );u x y v x y r r và 2 đờng thẳng d và , d lần lợt có phơng trình tổng quát sau : , , , , : 0 : 0 d ax by c d a x b y c + + = + + = a) Bài toán vuông góc , , . 0 . . 0.u v u v x x y y = + = r r r r b) Bài toán cùng phơng Vectơ u r và v r vectơ cùng phơng , , . . 0.x y x y = Chứng minh : Vectơ u r và v r vectơ cùng phơng , , , , : . ( ; ) ( ; ) (1) k R u k v x y k x y x kx y ky = = = = r r 4 Nếu k = 0 từ (1) 0 0 x y = = do đó (1) , , 0.xy x y = Nếu: , , , , , , 0 (1) 0. k kxy x ky xy x y xy x y = = = c) Toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng Toạ độ giao điểm của d và , d là nghiệm của hệ phơng trình : , , , 0 0 ax by c a x b y c + + = + + = e) Góc giữa d và , d đợc tính bằng công thức sau : , , , 2 2 ,2 ,2 . . ( , ) . a a b b cos d d a b a b + = + + f) Khoảng cách từ điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ) đến đờng thẳng d d ( M 0 , d ) = 0 0 2 2 ax by c a b + + + 7.Phơng trình đờng tròn Đờng tròn tâm I ( a ;b ) bán kính R có phơng trình là : ( x-a ) 2 + ( y- b ) 2 = R 2 Đặc biệt tâm I là gốc toạ độ và bán kính R thì phơng trình là x 2 + y 2 = R 2 5 Chơng 2 : Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phơng pháp toạ độ 1.Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ a) Điểm M trùng với điểm N OM ON = uuuur uuur ( với O là điểm bất kỳ ). b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA IB 0 + = uur uur r hay I là trung điểm của đoạn thẳng AB 1 ( ) 2 OI OA OB = + uur uuur uuur ( với O là điểm bất kỳ ). c) G là trọng tâm 0ABC GA GB GC + + = uuur uuur uuur r V hay G là trọng tâm 1 ( ) 3 ABC OG OA OB OC = + + uuur uuur uuur uuur V ( với O là điểm bất kỳ ). d) Đờng thẳng a song song với đờng thẳng b ( )AB kC D k R = uuur uuur ( với vectơ AB uuur có giá là a, CD uuur vectơ có giá là b ) e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ( )AB k BC k R = uuur uuur f) Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b . 0AB CD = uuur uuur ( với vectơ AB uuur có giá là a, CD uuur vectơ có giá là b ) g) Tính độ dài đoạn thẳng AB Sử dụng công thức 2 AB AB AB= = uuur uuur 2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ Trong hệ trục toạ độ Oxy a) 1 2 1 2 x x OM ON y y = = = uuuur uuur với M ( x 1 ; y 1 ) và N ( x 2 ; y 2 ) b) 1 2 1 2 IA IB 0 ( ; ) 2 2 x x y y I + + + = uur uur r với A ( x 1 ; y 1 ) và B ( x 2 ; y 2 ) c) 1 2 3 1 2 3 0 ( ; ) 3 3 x x x y y y GA GB GC G + + + + + + = uuur uuur uuur r với A ( x 1 ; y 1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) và C ( x 3 ; y 3 ). d) Vectơ a r và vectơ b r cùng phơng 1 2 2 1 0x y x y = với 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ).a x y b x y r r 6 e) 1 1 2 2 0a b x y x y + = r r g) 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )AB AB AB x x y y= = = + uuur uuur Chơng 3 : Thực hành phơng pháp hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học bằng phơng pháp toạ độ I. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ 1. Cần hớng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ . 2. Cần cho học sinh thấy rõ sự tơng ứng 1 1 giữa các tập hợp điểm và tập hợp số. -Trên đờng thẳng : mỗi điểm ứng với một số thực xác định. -Trên mặt phẳng : mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự. Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy đợc rằng mỗi hình trong mặt phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi hình đó đợc xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tơng ứng nào đó về mối liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có các kỹ năng cơ bản sau : + Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H. + Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H thì M thuộc hinh H. II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn. Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan. Học sinh cần nắm đợc quy trình : - Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn thích hợp thì bài toan sẽ đợc giải quyết nhanh gọn ). 7 - Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ - Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ. - Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán. - Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. III. Một số dạng toán cơ bản Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc Bài 1 : Cho ABCV cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ACMV . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCV . Chứng minh rằng GI CM . Giải : Hớng dẫn : Do ABCV cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A và vuông góc BC, ox qua BC. Từ gt ta đi tìm toạ độ của các điểm I, G, M theo toạ độ của 3 điểm A, B, C Tính toạ độ của vectơ ,GI CM uur uuuur . Sau đó xét .GI CM uur uuuur . Lời giải : - Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC - Dng hệ toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Các điểm A, B, C có toạ độ A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ). Do M là trung điểm của AB nên M ( ; ) 2 2 a h M là trọng tâm AMCV 1 1 ( ) (0 ) 3 3 2 6 1 1 ( ) ( 0 ) 3 3 2 2 G A C M G A C M a a x x x x a h h y y y y h = + + = + = = + + = + + = Vậy toạ độ của điểm G là G ( ; ). 6 2 a h 8 Gọi I ( 0 ; y 0 ) 0 ( ; ). 2 2 a h IM y uuur mà AB uuur ( 0 ; - h ) Theo giả thiết . 0IM AB IM AB = uuur uuur uuur uuur Hay 0 ( ).( ) ( ).( ) 0 2 2 a h a y h + = 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 a h y h h a y h + = = Vậy điểm I có toạ độ là I 2 2 (0; ) 2 h a h 2 2 ( ; ). 6 2 2 a h h a IG h = uur Ta có 3 ( ; ) ( ; ). 2 2 2 2 a h a h CM a = = uuuur 2 2 2 2 0. 4 4 4 4 a h h a IGCM = + + = uuruuuur Vậy IG CM uur uuuur ( đpcm ). Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu giải bằng phơng pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trờng hợp trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ. Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lợt là trung điểm của DC và CB. Chứng minh rằng AM DN . Giải : Hớng dẫn : - Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy. - Tìm toạ độ của M, N - Xét .AM DN uuuur uuur Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ). - Trong hệ toạ độ nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) và B ( a ; a). Khi đó M ( ;0), 2 a N ( ( ; ) 2 a a 9 ( ; ); ( ; ). 2 2 a a AM a DN a = = uuuur uuur Do đó . ( ) . 0 2 2 a a AM DN a a= + = uuuuruuur hay AM DN ( đpcm ). Bài 3 : Trên cung AB của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên các đoạn thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ RS và giao điểm của chúng nằm trên 1 trong 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD . Giải : Hớng dẫn : - Nếu gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O cũng là tâm đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật đó. - Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là O, các trục thì song song với các cạnh của hình chữ nhật. - Tìm toạ độ của P, Q, R, S theo toạ độ của A, B, C, D. - Viết phơng trình của PQ, RS , AC, BD. Lời giải : - Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD ( tức cũng là tâm của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ). - Dựng hệ toạ độ Oxy( nh hình vẽ ),( trục ox, oy lần lợt song song với AD, AB ). - Giả sử bán kính đờng tròn là R. Phơng trình đờng tròn : x 2 + y 2 = R 2 - Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh ABCD của hình chữ nhật là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC 2 = 4R 2 = 4a 2 + 4b 2 Suy ra a 2 + b 2 = R 2 . Giả sử M (x 0 ; y 0 ) bất kỳ thuộc cung AB nên x 0 2 + y 0 2 = R 2 10 [...]... toán hình học phẳng giải bằng PPTĐ cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phơng pháp khác Vậy khi giải bằng PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Cần hớng dẫn cho học sinh chọn trục toạ độ Đecac thích hợp Do trình độ còn hạn chế và... đổi, một điểm M di động trên ( C ) Gọi H là hình chiếu của M trên AB Tìm quỹ tích trung điểm I của MH Giải : Hớng dẫn : - Để phơng trình của đờng tròn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng với tâm O của đờng tròn - Trục Ox đi qua AB - Tìm toạ độ trung điểm I của MH theo toạ độ điểm M - Tìn mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm I Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) AB... (1) và (2) ta đợc bx + ay = 0 Suy ra bxI + ayI = 0 (3) Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phơng trình đơng chéo BD có dạng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0 Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( xI ; yI ) BD (đpcm ) Dạng 2 : Bài toán quỹ tích Bài 4 : Cho VABC , M là điểm di động trên cạnh BC Hạ MN, PQ tơng ứng vuông góc và song song với AB ( N AB, Q BC ) Gọi P là hình chiếu của Q... trình đờng thẳng d qua B (a; c) và vuông góc với AC có dạng : a a a2 y c = ( xa) y = x +c c c c a a y = x + b(1 ) do a + c = b c c Giả sử d đi qua điểm cố định M ( x0; y0 ) Khi đó y0 = a a a x0 + b(1 ) c c c a a ( x0 b) ( y0 b ) = 0 c c x0 b = 0 x0 = b y0 b = 0 y0 = b Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua diểm cố định M ( b; b ) (đpcm ) Dạng 4 : Một số bài toán áp dụng khác 14 Bài... y = AM sin Do đó M ( AM cos ; AM sin ) uuuu r uuu r Vì M BC nên vectơ CM và CB vectơ cùng phơng mà uuu r và CB ( b; - c ) nên AM cos (- c) - ( AM sin - c) b = 0 c AM cos + b AM sin - bc = 0 bc Hay AM = (đpcm) c cos + b sin Bài 9 : Cho VABC có trực tâm H Trên đoạn HB, HC lấy điểm B 1, C1 sao cho góc AB1C và góc AC1B bằng 1 vuông Chứng minh rằng AB1 = AC1 Giải : Hớng dẫn : - Do bài toán cho... đợc AB1 = bc + h2 Tơng tự ta có : AC1 = bc + h2 Từ đó suy ra AB1 = AC1 (đpcm) Kết luận Trong chơng trình toán PTTH hiện nay, PPTĐ đợc xem là phơng pháp toán học cơ bản và cân thiết, kết hợp với phơng pháp tổng hợp ta giải quyết đợc các 16 đối tợng trên mặt phẳng và không gian PPTĐ là công cụ chủ yếu ở chơng trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hớng dẫn học sinh lơp 10 giải bài toán hình học... trung diẻm của MP 1 ( a + b )( h m ) (1) x I = 2 ( xM + x P ) = xI Y 2h + I = 1 (*) Khi đó a+b h y = 1( y + y ) = m (2) p 2 2 I 2 M 2 2x Từ (1) suy ra m = h(1 I ) a+b (2) suy ra m = 2yI Vì 0 m h nên ab 2 xI 0 xI ) h 0 h(1 2 a+b (**) c 0 2 y h 0 y I I 2 Tơng tự ta có : M ( 12 Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KH, ở đây K, H lần lợt là trung... Oxy ( nh hình vẽ ) AB - Đặt R = , R là không đổi 2 Đờng tròn ( C ) có phơng trình : x2 + y2 = R2 Xét điểm M ( x0; y0 ) ( C ) x0 2 + y0 2 = R 2 (1) H là hình chiếu của M trên AB H ( x0; 0 ) I là trung điểm của MH xI = x0 x0 = xI y I ( x0 ; 0 ) y0 2 y0 = 2 yI yI = 2 xI 2 yI 2 2 2 2 + 2 =1 Thay vào (1) xI + 4 yI = R hay (2 R ) 2 R xI 2 yI 2 + = 1 độ dài trục lớn là 2R, trục bé Chứng tỏ... 0, b < 0 ) (ở r Ta có AC = (c; - h) Theo gt BH AC Đờng cao BH qua B (b; 0) và có vectơ pháp tuyến uuu r AC = (c; - h) nên có phơng trình : c ( x- b) - h( y 0 ) = 0 cx hy bc = 0 Gọi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 hy1 bc = 0 cx1 hy1 = bc (1) uuur uuu r Ta có AB1 = ( x1; y1 h ), CB1 = ( x1 c; y1) uuur uuu r uuuruuu r Vì AB1 CB1 AB1 CB1 = 0 hay x1( x1 c ) + y1( y1 h ) = 0 x12 + y12 cx1 ... vuông góc kẻ từ B vuông góc với đờng chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định Giải Hớng dẫn : - Bài toán này có dáng dấp của 1 bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện khi ta đại số hoá bằng PPTĐ - Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục toạ độ là Oxy trùng với góc Oxy Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Trong hệ trục toạ độ này giả sử A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) Đặt a + c = b . sử dụng PPTĐ để giải so với các phơng pháp sơ cấp khác. II.Mục đích nghiên cứu Với những lý do nh ở trên tôi đã chọn dề tài này nhằm mục đích sau: - Làm sáng tỏ cơ sở khoa học của PPTĐ. - Đề. kết quả về PPTĐ. - Xây dựng quy trình giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ. - Thực hành. V.Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận. - Tổng kết kinh nghiệm. - Thực nghiệm. 2 Nội dung Chơng. thuộc hinh H. II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách,