Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán Cauchy cho phương trình Monge-ampère hyperbolic nhiều biến độc lập
Bộ giáo dục đào tạo Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Viện Toán học Nguyễn Thị Nga Bài toán Cauchy cho ` Phơng trình Monge-Ampere hyperbolic nhiều biến độc lập Chuyên ng nh: Phơng trình vi phân v tích phân Mà số: 62.46.01.05 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học H Nội - 2007 Công trình đợc ho n th nh tại: Viện Toán học, Viện Khoa häc v C«ng nghƯ ViƯt nam Ng−êi h−íng dÉn khoa học: PGS.TS H Tiến Ngoạn Phản biện 1: GS TSKH H Huy B¶ng Ph¶n biƯn 2: PGS TS Ho ng Qc To n Ph¶n biƯn 3: PGS TSKH Ngun Mạnh Hùng Luận án đợc bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp nh nớc họp tại: Viện Toán häc-ViƯn Khoa häc v C«ng nghƯ ViƯt Nam v o hồi 14 ng y 06 tháng 04 năm 2007 Có thể tìm hiểu luận án Th viện Quốc gia, Th viện Viện Toán học Mở đầu Phơng trình Monge-Ampere đợc xuất v o khoảng cuối kỷ XVIII, ` đ v đợc nhiều nh toán học có uy tín giới quan tâm Sở dĩ phơng trình Monge-Ampere đợc ý nh mô hình đợc hình ` th nh nhiều b i toán thủy động học, động lực học, khí tợng thủy văn v quang học Bên cạnh ý nghĩa thực tế phơng trình Monge-Ampere đời ` góp phần thúc đẩy phát triển lí thuyết phơng trình đạo h m riªng phi tun víi sù liªn quan cđa nã tới b i toán hình học vi phân nh b i toán nhúng Phơng trình Monge-Ampere cổ điển l phơng trình đạo h m riêng cấp hai ` với hai biến độc lập có dạng: Ar + Bs + Ct + D(rt − s2) − E = 0, (1) ®ã z = z(x, y) l Èn h m cđa (x, y) ∈ R2 , c¸c hƯ sè A, B, C, D v E l c¸c ∂z ∂z 2z h m thực khả vi liên tục theo c¸c biÕn (x, y, z, p, q), p = ∂x , q = ∂y , r = ∂xz , s = ∂x∂y ∂2 v t = ∂yz NÕu D = phơng trình (1) l tuyến tính Khi nghiên cứu phơng trình đạo h m riêng biết phơng trình phi tuyến khó so với phơng trình tuyến tính v khó khăn nhiều phần phi tuyến chứa đạo h m cấp cao phơng trình Phơng trình Monge-Ampere ` D = phÇn phi tun cịng chứa đạo h m cấp cao Đặt = B 4(AC + DE) phơng trình Monge-Ampere đợc phân loại ` nh sau: i) Nếu < phơng trình Monge-Ampere l loại eliptic ` ii) Nếu > phơng trình Monge-Ampere l loại hyperbolic ` iii) Nếu D = v phơng trình Monge-Ampere l loại hyperbolic yếu ` Đối với phơng trình Monge-Ampere loại eliptic đ có nhiều nh toán học ` giới tham gia nghiên cứu v kết đ đợc đúc kết số sách chuyên khảo Song kết loại phơng trình hyperbolic hạn chế loại n y nghiên cứu đòi hỏi phải có phơng pháp đặc biệt, có quan hệ chặt chẽ đến lí thuyết mặt cong không gian R3 với độ cong Gauss âm Từ cuối kỉ XIX nghiên cứu phơng trình Monge-Ampere hyperbolic hai ` biến độc lập, hai nh Toán học Pháp G Darboux v E Goursat đ đa phơng pháp tiếng đợc gọi l phơng pháp đặc trng để giải b i toán Cauchy Sự kì diệu phơng pháp n y l chỗ đa việc giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cấp hai việc giải b i toán Cauchy cho phơng trình đạo ` h m riêng phi tuyến cấp Song phơng pháp đặc trng Darboux- Goursat đòi hỏi điều kiện chặt tồn hai tích phân đầu độc lập Để khắc phục hạn chế tồn hai tích phân đầu độc lập, M Tsuji đ tiếp cận cách đa việc giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere ` hyperbolic với hai biến độc lập việc giải b i toán Cauchy cho hệ phơng trình đạo h m riêng cấp tuyến tính Tính tồn nghiệm địa phơng b i toán Cauchy cho hệ n y đợc chứng minh H Lewy năm 1928 sau l Hadamard năm 1932 Nh tính tồn nghiệm địa phơng b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere trờng hợp > không đòi hỏi giả ` thiết tồn hai tích phân đầu độc lập đ đợc giải Khi D = v phơng trình (1) viết đợc dới dạng tơng đơng sau đây: zxx + C zxy + λ1 = 0, (1.3) zxy + λ2 zyy + A 1, l nghiệm thực phơng tr×nh λ2 + Bλ + (AC + DE) = (1.4) Xuất phát từ phơng trình (1.3) M Tsuji đ đề xuất lớp phơng trình MongeAmpere nhiều biến độc lập dạng sau đây: ` zx1 x1 + a11 zx1 x2 + a12 zx1 xn + a1n zx2 x1 + a21 zx2 x2 + a22 zx2 xn + a2n = 0, (1.7) zxn x1 + an1 zxn x2 + an2 zxn xn + ann ®ã z = z(x) l Èn h m cña x = (x1 , x2, , xn ), c¸c hƯ sè aij l c¸c h m tr¬n cđa x, z v p = (p1 , p2 , , pn ), víi pj = zxj B i toán Cauchy cho phơng trình (1.7) đợc phát biểu nh sau: Giả sử Rn có siêu mặt (n 1) chiều đợc cho phơng trình x tham số x1 = X1 (α ), x = X (α ), 2 (1.8) x = X (α ), n n ®ã α ≡ (α1 , α2, , αn−1 ) ∈ Rn−1 α (1.9) Chóng ta cịng gi¶ sư r»ng cã (n + 1) h m Z (α ), Pj0 (α ), j = 1, 2, , n đợc cho trớc B i toán Cauchy đặt l tìm z(x) C thỏa m n phơng trình(1.7) cho z(x) x=X (α ) zxj (x) x=X (α ) = Z (α ), = Pj0 (α ), j = 1, 2, , n, (1.10) 0 0 ®ã X 0(α ) ≡ (X1 (α ), X2 (α ), , Xn (α )) Tõ(1.10) ta suy c¸c h m Xj (α ), Z (α ), Pj0 (α ), j = 1, 2, , n ph¶i tháa m n điều kiện tơng thích Z ( ) = ∂αk n Pj0(α j=1 ∂Xj (α ) ) , k = 1, , n − k (1.11) Do nghiên cứu luận án b i toán Cauchy mang tính địa phơng nên ta giả thiết tham số = (1 , 2, , (n1) ) biến thiên lân cËn ®đ nhá cđa gèc täa ®é Rn−1 α Đối với phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập dạng (1.7) M Tsuji đ ` phát triển phơng pháp đặc trng cách tơng tự nh trờng hợp hai biến độc lập Với giả thiết tồn n tích phân đầu độc lập v ma trận [aij ] l ma trận không đối xứng M Tsuji đ chứng minh tính giải đợc địa phơng b i toán Cauchy (1.7), (1.10) cách đa việc giải b i toán Cauchy cho phơng trình phi tuyến cấp Mục tiêu luận án l nghiên cứu cách giải phơng trình Monge-Ampere nhiều ` biến độc lập (1.7) v tính giải đợc địa phơng b i toán Cauchy (1.7), (1.10) m không cần đòi hỏi giả thiết tồn n tích phân đầu độc lập, đồng thời không cần đòi hỏi ma trận [aij ] l ma trận không đối xứng Luận án gồm phần mở đầu v chơng Phần mở đầu sơ lợc lịch sử vấn đề, phát biểu nội dung nghiên cứu luận án Chơng trình b y phơng pháp tìm nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập (1.7) Nội dung phơng pháp n y l : để ` giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập, ta cần ` giải b i toán Cauchy tơng ứng cho hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp dạng chuẩn tắc Nghiệm b i toán Cauchy cho hệ n y cho phép ta xác định nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc ` lập ban đầu Chơng nghiên cứu tính hyperbolic hệ phơng trình chuẩn tắc đ đợc nhắc đến Chơng Chơng nghiên cứu tính giải đợc b i toán Cauchy cho hệ phơng trình chuẩn tắc đợc đề cập đến Chơng n = v ¸p dơng v o b i to¸n Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu ` Chơng Một phơng pháp tìm nghiệm toán Cauchy cho phơng trình Monge-Amp`re nhiều biến độc lập e Chơng nghiên cứu b i toán Cauchy cho lớp phơng trình Monge-Ampere ` nhiều biến độc lập M Tsuji đề xuất Từ việc nghiên cứu mối quan hệ phơng trình Monge-Ampere với tích ngo i số dạng vi phân đặc biệt v dùng ` phơng pháp đổi biến chơng n y đ đa phơng pháp tìm nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập, cách giải b i ` toán Cauchy cho hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp dạng chuẩn tắc, m từ nghiệm b i toán Cauchy cho hệ n y cho phép ta tìm đợc nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ban đầu ` 1.1 Một lớp phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ` Mục n y giới thiệu lớp phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập v ` b i toán Cauchy cho nh phần mở đầu 1.2 Một số định lý dạng vi phân, đổi biến phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ` 1.2.1 Một số định lý dạng vi phân Sau xét số dạng vi phân đặc biệt có liên quan tới phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập MƯnh ®Ị 1.2 v MƯnh ®Ị 1.3 sau sÏ cho ` thấy mối quan hệ phơng trình Monge-Ampere v tích ngo i ` dạng vi phân Giả sử R2n+1 = {(x1 , , xn , z, p1 , , pn )} ta xét dạng vi phân x,z,p n pj dxj , (1.12) ajk (x, z, p)dxk , j = 1, 2, , n, (1.13) ω0 = dz − j=1 n ωj = dpj + k=1 ajk (x, z, p) l h m đợc cho phơng trình (1.7) Các dạng vi phân l phiếm h m tuyến tính ®iĨm cè ®Þnh (x0 , z , p0 ) R2n+1 x,z,p Mệnh đề 1.2 Giả sử ®iỊu kiƯn sau ®−ỵc tháa m n : 1) Tån mặt cong trơn n-chiều M R2n+1 đợc cho bëi x,z,p ˜ z = Z(x) ˜ pj = Pj (x), j = 1, 2, , n (1.14) 2) ω0 ≡ trªn M , cã nghÜa l ω0 triệt tiêu véc tơ thuộc mặt phẳng tiếp xúc điểm (x0, z 0, p0 ) M Khi ®ã chóng ta cã ˜ ∂ Z(x) ˜ Pj (x) = , j = 1, 2, , n, xj (1.15) v M n ˜ Zxj xk (x)dxk , j = 1, 2, , n dpj = (1.16) k=1 Mệnh đề 1.3 Giả sử tất điều kiện Mệnh đề 1.2 đợc thỏa m n Khi ®ã trªn M ta cã n ˜ ∂ Z(x) ˜ ˜ ωj = + ajk (x, Z(x), Zx (x) dxk (1.18) ∂xj ∂xk k=1 v ˜ ˜ ˜ ω1 ∧ ω2 · · · ∧ ωn = det[Zxj xk (x) + ajk (x, Z(x), Zx (x))]dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , (1.19) ®ã phÐp tính l tích ngo i dạng vi phân Nhận xét 1.1 Nhìn v o công thức (1.19) thấy để giải phơng trình (1.7) phải tìm mặt cong n-chiều M R2n+1 đợc cho (1.14), cho x,z,p = ω1 ∧ ω2 · · · ∧ ωn = (1.21) ˜ ˜ Khi ®ã h m z(x) = Z(x) l nghiệm phơng trình (1.7) Hơn zx (x) = P (x) Để l m đợc điều dùng phơng pháp đổi biến sau 1.2.2 Đổi biến phơng trình Monge-Amp` re nhiều biến độc lập e Trong phơng trình (1.7) biến x = (x1 , x2, , xn ) đợc ®ỉi th nh biÕn míi α = (α1 , α2, , αn ) v gi¶ sư xj = Xj (α), j = 1, 2, , n (1.22) cho ∂X1 ∂α1 D(X1 ,X2 , ,Xn ) D(α1 ,α2 , ,αn ) = ∂X1 ∂αn ∂Xn ∂α1 = 0, , Xn n (1.23) l lân cận gốc tọa độ Rn Giả sử điều kiện (1.23) đợc thỏa m n Khi hệ phơng trình X1(1 , 2, , αn ) = x1 Xn (α1, α2 , , n ) = xn (1.24) có nghiệm địa phơng nhÊt (1.25) αj = ϕj (x), j = 1, 2, , n Mệnh đề 1.4 Giả sử mặt cong M R2n+1 thuộc lớp C đợc cho phơng trình x,z,p tham số xj = Xj (α), j = 1, 2, , n (1.26) z = Z(α), pj = Pj (α), j = 1, 2, , n, v điều kiện (1.23) đợc thỏa m n Khi = M v nÕu ∂Z(α) − ∂αk n P (α) =1 ∂X (α) = 0; ∂αk k = 1, 2, , n (1.27) Mệnh đề 1.5 Giả sử mặt cong M R2n+1 thuộc lớp C v đợc cho bëi x,z,p (1.26) ®ã Xj (α), Z(α), Pj () thỏa m n hệ phơng trình n =1 Pj + ∂α n n ajk X(α), Z(α), P (α) =1 k=1 ∂Xk = 0, ∂α j = 1, 2, , n (1.30) Khi ®ã ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωn = trªn M Từ mệnh đề 1.4, 1.5 v Nhận xét 1.1 suy muốn tìm nghiệm b i toán Cauchy (1.7), (1.10) ta xÐt b i to¸n Cauchy sau đây: B i toán Cauchy : Tìm (X(), Z(), P (α)) thc líp C tháa m n hƯ ∂Xk n ∂Pj =1 + n=1 n ajk (X(α), Z(α), P (α)) = 0, j = 1, 2, , n k=1 ∂α ∂α ∂Z − ∂αk cho n =1 P (α) ∂X ∂αk = 0, k = 1, 2, , n (1.33) Xj (α) αn =0 Z(α) αn =0 Pj (α) αn =0 = Xj (α ), j = 1, , n, = Z 0(α ), = Pj0(α ), (1.34) j = 1, , n, h m Xj (α ), Z (α ), Pj0 (α ) l c¸c h m cho tr−íc nh− (1.10) Từ ký hiệu = (α1, α2 , , αn−1 ) giống nh ký hiệu (1.9) Định lý sau cho ta mối quan hệ b i toán Cauchy (1.33), (1.34) v b i toán Cauchy (1.7), (1.10) Định lý 1.1 Gi¶ sư (X(α), Z(α), P (α)) thc líp C l mét nghiƯm cđa b i to¸n Cauchy (1.33), (1.34) v tháa m n ®iỊu kiƯn (1.23) Khi ®ã h m sè z(x) = Z(ϕ(x)) = Z(ϕ1 (x), ϕ2 (x), , ϕn (x)) thuéc líp C l mét nghiƯm cđa b i to¸n Cauchy (1.7), (1.10) Hơn có zx (x) = P ((x)) (x) = (1 (x), 2(x), , n (x)) đợc cho (1.25) Hệ(1.33) l hệ gồm có 2n phơng trình v 2n + ẩn h m v cha dạng chuẩn tắc Do Mục 1.3 sau sÏ tiÕp tơc biÕn ®ỉi ®Ĩ ®−a hƯ (1.33) dạng chuẩn tắc m việc nghiên cứu b i toán Cauchy cho hệ l đơn giản 1.3 Một phơng pháp tìm nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ` Vì hệ (1.33) cha dạng chuẩn tắc nên khã gi¶i Néi dung chÝnh cđa mơc n y l giải b i toán (1.33)-(1.34) thay hệ (1.33) hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp dạng chuẩn tắc Các bổ đề sau l bổ đề quan träng viƯc chøng minh nghiƯm cđa b i to¸n Cauchy cho hƯ chn t¾c cịng l nghiƯm cđa b i toán Cauchy (1.33), (1.34) Bổ đề 1.1 Giả sử (X(α), Z(α), P (α)) l mét nghiƯm thc líp C hệ (1.33) Nếu đặt n =1 ∂Xi = gi (α), ∂α i = 1, 2, , n (1.35) n fj (α) = − ajk (X(α), Z(α), P (α))gk (α), j = 1, 2, , n, (1.36) k=1 th× chóng ta cã n =1 ∂Pi = fi(α); ∂α i = 1, 2, , n (1.37) Bỉ ®Ị 1.2 Gi¶ sư (X(α), Z(α), P (α)) thc líp C l mét nghiƯm cđa hƯ(1.33) v tháa m n điều kiện (1.35), (1.36) Khi ta có n =1 ∂X f (α) = ∂αk n g (α) =1 ∂P , ∂αk k = 1, 2, , n (1.40) Chóng ta ký hiƯu g(α) ≡ (g1(α), g2 (α), , gn (α)), f (α) ≡ (f1 (α), f2 (α), · · · , fn (α)), ∂P1 ∂Pn ∂P ≡ , , ∈ Rn , j = 1, 2, , n, ∂αj ∂αj ∂αj ∂X ∂X1 ∂Xn ≡ , , ∈ Rn , j = 1, 2, , n j j j (1.46) Đặt A(X, Z, P ) = ajk (X, Z, P ) n×n (1.47) v AT l ma trËn chun vÞ cđa ma trËn A Tõ (1.36) ta suy f (α) = −g(α)AT (X(α), Z(α), P (α)) (1.48) ∂P ∂X + A(X(α), Z(α), P (α)) ∂αj ∂αj = (vj1 (α), vj2 (α), , vjn (α)) ∈ Rn , j = 1, 2, , n − (1.49) Gäi vj () l véc tơ h ng, ta có bổ đề Bổ đề 1.3 Giả sử (X(), Z(α), P (α)) thc líp C l nghiƯm cđa hƯ (1.33) v tháa m n (1.35), (1.36) Khi ®ã ®iỊu kiƯn (1.40) t−¬ng ®−¬ng víi ®iỊu kiƯn sau: (1.50) g(α), vk (α) = 0, k = 1, 2, , n − 1, ®ã , l tích vô hớng Rn Điều kiện (1.50) gợi ý cho ta chän vÐc t¬ g = (g1 , g2 , , gn ) b»ng c«ng thøc sau: g(α) = v1 (α) × v2 (α) × · · · ì vn1() Rn , (1.53) véc tơ vj () đợc định nghĩa (1.49) v e1 en−1 en v11 v1 × v2 × · · · × vn−1 = e2 v12 v1,n−1 v1,n v21 v22 v2,n−1 v2,n vn−1,1 vn−1,2 vn−1,n−1 vn−1,n ∈ Rn , (1.54) 11 0 h m X ( ) = (X1 (α ), X2 (α ), , Xn ( )) đợc cho điều kiện 0 ban đầu (1.10) v véc tơ g 0(α ) = (g1 (α ), g2 (α ), , gn ( )) xác định bởi(1.83) Từ Định lý 1.1 v Định lý 1.3 ta phát biểu kết chơng n y định lý sau: Định lý 1.4 Giả sử điều kiện (1.11), (1.87) đợc thỏa m n v (X(), Z(), P ()) ∈ C l nghiƯm cđa b i to¸n Cauchy (1.55), (1.34) Khi điều kiện (1.82) đợc thỏa m nv z(x) = Z(ϕ(x)) = Z(ϕ1 (x), ϕ2 (x), , ϕn (x)) thuéc C l nghiÖm b i toán Cauchy không đặc trng (1.7), (1.10) Hơn zxj (x) = Pj ((x)), (x) l h m xác định (1.25) 1.5 Tính giải đợc b i toán Cauchy cho phơng trình MongeAmpere số trờng hợp đặc biệt ` 1.5.1 Tính giải đợc địa phơng b i toán Cauchy cho phơng trình MongeAmpere nhiều biến độc lập lớp h m giải tích ` áp dụng định lý Cauchy-Kovalevski cho b i to¸n Cauchy (1.55), (1.34) chóng ta suy tính giải đợc địa phơng b i toán Cauchy (1.7), (1.10) cho phơng trình Monge-Ampere lớp h m giải tích ` Định lý 1.5 Giả sử h m aij (x, z, p), Xj (α ), Z 0(α ), Pj0(α ), j = 1, n l gi¶i tÝch v tháa m n ®iỊu kiƯn (1.11) v (1.87) Khi tồn nghiệm địa phơng giải tích z(x) b i toán Cauchy (1.7), (1.10) 1.5.2 Trờng hợp n = Tính hyperbolic v tính giải đợc b i toán Cauchy cho lớp phơng trình Monge-Ampere với hai biến độc lập đợc trình b y chi tiÕt t−¬ng øng Ch−¬ng ` v Ch−¬ng Trong mơc n y ln ¸n chØ viÕt thể hệ chuẩn tắc đợc đa đến từ phơng trình Monge-Ampere dạng (1.7) n = v hệ nhận đợc ` l hệ (3.1) Chơng Dựa v o điều kiện không đặc trng tổng quát (1.87) mục n y đa điều kiện không đặc trng b i toán Cauchy (1.7), (1.10) trờng hợp hai biến độc lập (x, y) Điều kiện không đặc trng n y trùng với điều kiện không đặc trng m trớc M.Tsuji v H Tiến Ngoạn ® ®−a cho b i to¸n Cauchy (1.7), (1.10) trờng hợp hai biến độc lập (x, y) phơng pháp khác 12 1.5.3 Tính giải đợc b i toán Cauchy (1.7), (1.10) trờng hợp aij l số Trong trờng hợp hệ số aij l h»ng sè v ma trËn [aij ] l kh«ng đối xứng M.Tsuji đ phơng trình (1.7) có n biến độc lập, v b i toán Cauchy (1.7), (1.10) trờng hợp n y l giải đợc Để mở rộng kết quả, luận ¸n xÐt vÝ dơ vỊ hƯ (1.55) cho tr−êng hỵp ma trËn B = [bij ]n×n = (AT − A) l ma trận m phía bên đờng chéo có nhiều phần tử khác không, tức l bao gồm trờng hợp ma trận [aij ] l ma trận đối xứng Khi n = ma trận B thỏa m n điều kiện n y Các kết Chơng đợc viết dựa b i b¸o: Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga (2004), ” On the Cauchy problem for multidimesional MongeAmpere equations”, Acta Mathematca Vietnamica, Vol 29, pp 281-298 Ch−¬ng TÝnh hyperbolic lớp hệ phơng trình phi tuyến cấp Trong Chơng luận án đ đa phơng pháp tìm nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập (1.7) cách giải b i ` toán Cauchy cho hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp dạng chuẩn tắc (1.55) Tuy nhiên tính giải đợc b i toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc (1.55) trờng hợp tổng quát, nói chung, phụ thuộc mạnh v o tính hyperbolic hệ n y Do Chơng luận án nghiên cứu tính hyperbolic hệ (1.55) v kết đạt đợc chơng n y l Định lý 2.2 2.1 Tính hyperbolic hệ phơng trình 2.1.1 Định nghĩa hệ hyperbolic Ta viết hệ (1.55) dới dạng chuẩn tắc rõ r ng nh sau: ∂Xi = − n−1 ∂Xi + g (α), i = 1, 2, , n i k=1 ∂αn ∂αk ∂Z ∂Z (2.1) = − n−1 + n=1 g (α)P (α) k=1 ∂αn ∂αk ∂Pi ∂Pi = − n−1 − n=1 (X(α), Z(α), P (α))g (α), i = 1, n k=1 ∂αn ∂αk ®ã α ≡ (α1, α2 , , αn ) l biến độc lập, X X1 (), X2(α), Xn (α) , P (α) ≡ P1(α), P2 (α), , Pn (α) , g(α) ≡ (g1(α), g2 (α), , gn ()) đợc cho 13 (1.53), aij (X, Z, P ) l h m tơng ứng với h m aij (x, y, z) đợc cho phơng trình (1.7) qua phép đổi biến Đặt Vk = (V1k , V2k , , Vnk ) ≡ ∂X ∂X1 ∂X2 ∂Xn = , , , , ∂αk ∂αk ∂αk ∂αk (2.2) ∂P ∂P1 ∂P2 ∂Pn = , , , ∂αk ∂αk ∂αk ∂αk (2.3) Wk = (W1k , W2k , , Wnk ) ≡ v T X (α) T U (α) = (X(α), Z(α), P (α)) = Z(α) , T P () U l vÐc t¬ h ng v U T l vÐc t¬ cét n−1 F (α) = − =1 T g (α) ∂U + g(α), P (α) ∂α −Ag T (α) , , l tích vô hớng Rn , B©y giê chóng ta cã thĨ viÕt hƯ (2.1) d−íi d¹ng ma trËn ∂U = F ∂αn (2.4) Víi j = 1, 2, , n − đặt Qj = U , j Aj DF DQj (2.5) ∂X ∂P , , k = 1, 2, , n − v l ∂αk ∂αk ma trËn vu«ng cÊp (2n + 1) Ta cã định nghĩa sau tính hyperbolic Mỗi ma trận Aj phụ thuộc X(), Z(), P (), Định nghĩa 2.1 1) Hệ (2.4) đợc gọi l hệ hyperbolic yếu với (X(), Z(), P ()) cố định thuộc lớp C v víi mäi ξ = (ξ1 , , ξn−1 ) Rn1 , tất giá trị riêng cña ma trËn n−1 A= ξi Ai i=1 (2.6) 14 l thực 2) Hệ (2.4) đợc gọi l hệ hyperbolic l hệ hyperbolic yếu v với (X(), Z(), P ()) cố định C , với mäi ξ = (ξ1 , , ξn−1) ∈ Rn−1 tån sở không gian R2n+1 gồm véc tơ riêng trái tơng ứng với các giá trị riêng ma trận A Định nghĩa 2.1 đợc trình b y dựa t i liệu tham khảo: Jeffrey A (1980) ”Quasilinear hyperbolic system and waves, Pitman Publishing, London San FranciscoMelbourne.” v B L Rodgestvenski, N N Yanenko (1978), Quasilinear hyperbolic systems, Nauka, Moscow Từ định nghĩa ta suy r»ng muèn xÐt tÝnh hyperbolic yÕu v tÝnh hyperbolic hệ (2.4) trớc tiên ta phải tính đợc giá trị riêng ma trận A Vì ma trËn A l ma trËn cÊp (2n + 1) nªn việc tìm giá trị riêng l không dễ d ng không tìm đợc qui luật phần tử ma trận A Các Mệnh đề sau giúp đa đợc ma trận A dạng đơn giản v từ thuận lợi cho việc tìm giá trị riêng Dg Mệnh đề 2.1 Với k = 1, 2, à à à , n − ma trËn l ma trËn ph¶n ®èi xøng, DWk cã nghÜa l T Dg Dg =− (2.7) DWk DWk MƯnh ®Ị 2.2 Víi mäi k = 1, 2, , n − chóng ta cã Dg Dg T = A , DVk DWk A = [aij ]nìn (2.14) Đặt n−1 M≡ ξk k=1 v11 vk−1,1 Mi = vk1 v k+1,1 vn−1,1 v1,i−1 Dg = [mij ]n×n , DWk v1,i+1 vk−1,i−1 vk−1,i+1 vk,i−1 vk,i+1 vk+1,i−1 vk+1,i+1 vn−1,i−1 vn−1,i+1 (2.16) v1n vk−1,n vk,n vk+1,n vn1,n , (n1)ì(n1) (2.17) 15 phần tử vij đợc xác định (1.49) Với i < j ta ký hiÖu Mij l ma trËn nhËn đợc từ ma trận Mi cách thay cột (j − 1) bëi cét [ξ1 ξ2 ξn−1 ]T MƯnh ®Ị 2.3 Víi mäi i < j chóng ta cã mij = (−1)1+i det Mij (2.18) 2.1.2 BiÕn đổi ma trận A Đặt B = [bij ]nìn = AT − A, (2.21) C = BM, n−1 ν= ξi i=1 ®ã M l cho bëi (2.16) Tõ (2.5) v MƯnh ®Ị 2.2 ta cã n−1 A= ξi Ai = i=1 n−1 i=1 Dg ξi DWi AT − n−1 n−1 i=1 n−1 P i=1 Dg ξi DWi AT n−1 −A i=1 ξi E Dg ξi DWi AT i=1 n−1 − P i=1 i=1 n−1 Dg ξi DWi n−1 ξi −A i=1 Dg ξi DWi Dg ξi DWi n−1 −E ξi i=1 ViƯc chøng minh c¸c MƯnh ®Ị 2.1-2.2 ® gióp Ých rÊt nhiỊu viƯc ®¬n giản hoá ma trận A Tuy nhiên điều cha đủ, định lý sau đa ma trận A ma trận đồng dạng A m việc tìm giá trị riêng ma trận n y l đơn giản nhiều 16 Định lý 2.1 Ma trận A đồng dạng với ma trận sau n−1 n−1 Dg ξi DWi −E ξi n=1 i=1 n−1 n−1 Dg ˜ = A − ξi P ξi DWi i=1 i=1 n−1 n−1 Dg 0 (AT − A) ξi DWi − E ξi n=1 i=1 = −Eν M −ν PM 0 C − Eν (2.23) (2n+1)ì(2n+1) Hệ 2.1 Nếu tất giá trị riêng ma trận C = BM l thực, hệ (2.1) l hyperbolic yếu Hệ 2.2 NÕu AT = A (cã nghÜa l B = 0) hệ (2.1) l hyperbolic yếu Từ ta ký hiệu ma trận B = [bij ]nìn Để thuận lợi cho việc chứng minh Mệnh đề 2.4 chóng ta sÏ ph¸t biĨu v chøng minh c¸c bỉ ®Ị sau: ˜ Bỉ ®Ị 2.1 Gi¶ sư ma trËn A xác định (2.23) có giá trị riêng l n−1 λ1 = λ2 = = λ2n+1 = − ξi i=1 Khi ®ã nÕu ma trËn l hyperbolic n−1 i=1 Dg ξi DWi cã Ýt nhÊt mét phần tử khác không hệ (2.1) không Bổ đề 2.3 Giả sử tồn điểm (X o , Z o , P o ) m t¹i ®ã ma trËn B(X o , Z o , P o ) = AT (X o , Z o , P o ) − A(X o , Z o , P o ) cã Ýt nhÊt mét phÇn tư bko o = 0, víi ko < o Khi ®ã hƯ (2.1) không l hyperbolic Bổ đề 2.4 Giả sử n v víi mäi X, Z, P ma trËn B X, Z, P = AT X, Z, P − A X, Z, P có hai phần tử b12 = v b13 = Khi hệ (2.1) không l hyperbolic MƯnh ®Ị 2.4 NÕu n > hƯ (2.1) không l hyperbolic 17 Kết Chơng đợc phát biểu định lý sau Định lý 2.2 i) Nếu n hệ (2.1) l hyperbolic yÕu v nã l hyperbolic v chØ n = v a12 = a21 ii) Nếu n hệ (2.1) không l hyperbolic Vì khối lợng tính toán l lớn nên trình chứng minh định lý n y phải dùng phần mềm Maple để hỗ trợ tính toán Các kết Chơng đợc viết dựa b i b¸o: Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga, ”On the hyperbolicity of some systems of nonlinear first-order partial differential equations”, Vietnam Journal of Mathematics, vol 34, pp 109-128 Ch−¬ng Bài toán Cauchy cho hệ phơng trình hyperbolic yếu tuyến tính áp dụng cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu Chơng n y nghiên cứu tính giải đợc b i toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc (1.55) trờng hợp hai biến độc lập qua áp dụng để có tính giải đợc địa phơng b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic ` yÕu, tøc l D = v 0, m không đòi hỏi giả thiết tồn hai tích phân đầu độc lập 3.1 Tính giải đợc hệ phơng trình hyperbolic yếu tuyến tính với hai biến độc lập 3.1.1 Hệ phơng trình chn t¾c n = Víi n = hệ (1.55) viết dới dạng sau: X 1 ∂α2 = (a12 − 1) ∂X1 + a22 ∂X1 + ∂P2 ∂α ∂α ∂α1 ∂X ∂X1 ∂X2 ∂α2 = −a11 ∂α1 − (a21 + 1) ∂α1 − ∂P1 ∂α1 ∂X1 ∂P ∂P ∂Z ∂Z = (a12 P1 − a11 P2 ) ∂α1 + (a22P1 − a21P2) ∂X1 − ∂α1 − P2 ∂α1 + P1 ∂α2 (3.1) ∂α2 ∂α 1 ∂P ∂X2 ∂P1 ∂P2 ∂α2 = (−a11 a22 + a12a21 ) ∂α1 + (a12 − 1) ∂α1 − a11 ∂α1 ∂P = (a11 a22 − a12a21 ) ∂X1 + a22 ∂P1 − (a21 + 1) ∂P2 , ∂α2 ∂α ∂α1 ∂α1 ®ã (X1 , X2, Z, P1 , P2 ) l Èn h m cña α1 , α2 v aij l c¸c h m cđa (X1, X2, Z, P1 , P2 ) 18 B i to¸n Cauchy cho hƯ n y chÝnh l b i to¸n Cauchy (1.55),(1.34) trờng hợp n = Trong chơng n y luận án nghiên cứu giải b i toán Cauchy (3.1), (1.34) phơng pháp chéo hoá 3.1.2 Hệ ®−êng chÐo Ta cã thĨ viÕt hƯ (3.1) d−íi d¹ng ma trận nh sau: Đặt U = (X1, X2 , Z, P1 , P2)T , a12 − a22 0 −a11 −a21 − −1 A(U ) = a12P1 − a11P2 a22 P1 − a21P2 −1 −P2 P1 −a11a22 + a12 a21 a12 − −a11 a11 a22 − a12a21 0 a22 −a21 − Khi ®ã hƯ (3.1) viết đợc dới dạng ma trận U U = A(U ) (3.5) Chơng n y nghiên cứu hệ (3.1) m không đòi hỏi giả thiết a12 = a21 Chúng ta Định lý 3.4 với v i hạn chế hÖ sè aij (X, Z, P ), hÖ (3.1) cã thể đa hệ đờng chéo, tuyến tính gồm có phơng trình v ẩn h m Khi ®ã theo t i liƯu tham kh¶o: Jeffrey A (1980) ”Quasilinear hyperbolic system and waves, Pitman Publishing, London San Francisco- Melbourne.” v B L Rodgestvenski, N N Yanenko (1978), Quasilinear hyperbolic systems, Nauka, Moscow, chóng ta cã sù tån t¹i nghiệm địa phơng cho b i toán Cauchy (3.1), (1.34) 3.1.3 Biến đổi hệ đờng chéo Để ®−a hƯ (3.1) vỊ hƯ ®−êng chÐo chóng ta sÏ đa thêm điều kiện sau: 0 (C1 ): Các hƯ sè aij (X, Z, P ) v c¸c h m ban đầu b i toán Cauchy X1 (1), X2 (α1), 0 Z (α1), P1 (α1), P2 (1) cho (1.34) thoả m n điều kiện: D(a11 , a12 ) D(a21 , a22 ) 0 (X1 (α1 ))2 + (X2 (α1 ))2 + D(P1 , P2) D(P1 , P2 ) D(a11 , a22 ) D(a21 , a12 ) 0 (3.8) + X1 (α1 )X2 (α1) + D(P1 , P2) D(P1 , P2) ∂a11 ∂a12 ∂a21 ∂a22 + + X1 (α1 ) + + X (α1 ) + = 0, ∂P1 ∂P2 ∂P1 P2 19 0 đạo h m h m aij l đợc tính toán t¹i (X1 (α1 ), X2 (α1 ), 0 Z (1), P1 (1), P2 (1)) Đặt v đặt C(X1, X2 , Z, P1 , P2) = 0 −a −a 11 21 −a12 −a22 0 0 0 0 0 0 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ U ≡ (X1 , X2 , Z, P1 , P2 )T = C −1 U (3.9) Khi ®ã ta cã mƯnh đề v định lý sau: Mệnh đề 3.1 Giả sử ta có điều kiện (C1 ) đợc thỏa m n Khi ®ã víi mäi (X, Z, P ) ˜ ∈ R5, l©n cËn cđa (X (α1 ), Z (1), P (1)), hệ phơng trình theo hai Èn P1, P2 P1 + a11 (X, Z, P )X1 + a21 (X, Z, P )X2 P2 + a12 (X, Z, P )X1 + a22 (X, Z, P )X2 ˜ = P1 , ˜ = P2 (3.11) cã nhÊt nghiÖm ˜ ˜ ˜ ˜ P1 = f (X1, X2, Z, P1 , P2), P2 = g(X1, X2 , Z, P1 , P2), (3.12) ˜ ®ã P (α1) = P (α1) + X 0(α1 )A(X (α1), Z (α1), P (α1)) v A(X, Z, P ) = a11 (X, Z, P ) a12 (X, Z, P ) (3.13) a21 (X, Z, P ) a22 (X, Z, P ) Định lý 3.3 Giả sư U l h m vÐc t¬ cho bëi (3.9) Khi h m véc tơ U thoả m n (3.5) nÕu v chØ nÕu U l nghiƯm cđa hÖ sau: ˜ ˜ ∂U ˜ U ) ∂ U + B(U )U , ˜ ˜ ˜ = A( ∂α2 ∂α1 (3.15) 20 ®ã −1 0 −1 −1 ˜ A = 0 −1 −P2 P1 0 a −a −1 12 21 0 0 a12 − a21 − v B = C −1 A − ∂a12 ∂α1 ∂a11 ∂α1 ∂a11 ∂a12 = ∂α1 P2 − ∂α1 P1 −(a − a − 1) ∂a11 + 12 21 ∂α1 −(a12 − a21 − 1) ∂a12 + ∂α1 (3.16) ∂C ∂C − ∂α1 ∂α2 (3.17) − ∂a22 ∂α1 0 ∂a21 ∂α1 0 ∂a21 ∂α1 P2 − ∂a22 ∂α1 P1 0 ∂a11 ∂α2 −(a12 − a21 − 1) ∂a21 + ∂α1 ∂a21 ∂α2 0 ∂a12 ∂α2 −(a12 − a21 − 1) ∂a22 + ∂α1 ∂a22 ∂α2 0 0 0 0 , 0 (3.18) biến P1, P2 v thân chúng c¸c h m aij (X1, X2 , Z, P1 , P2) đợc thay tơng ứng P1 = f (X1 , X2 , Z, P1, P2 ), P2 = g(X1 , X2, Z, P1, P2 ) Tõ (3.16) ta thÊy r»ng hƯ (3.15) ch−a ph¶i l hệ đờng chéo Do cần đa thêm điều kiện C2 ®Ĩ hƯ (3.15) cã thĨ biÕn ®ỉi vỊ mét hệ đờng chéo (C2 ) : Mỗi aij (X, Z, P ) thoả m n điều kiện sau ∂aij ∂Z = 0, ∂aij ∂aij ∂aij (3.28) − a11 ∂P1 − a12 ∂P2 = 0, ∂Xij ∂a − a21 ∂aij − a22 ∂aij = X2 P1 P2 Đặt P1 ˜ ∂ P2 ˜ ˜ , P2 = P1 = 1 (3.29) Mệnh đề 3.2 Giả sử ®iỊu kiƯn (C1 ) v (C2 ) ®−ỵc tháa m n Khi ®ã ta cã 1) (a12 − a21 − 1) ∂aij ∂aij − = 0, ∂α1 ∂α2 (3.30) 21 ˜ ˜ 2) Tån t¹i bij (X, P ) v cij (X, P ) tr¬n cho ∂aij ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ = bij (X, P )P1 + cij (X, P )P2 , ∀i, j = 1, ∂α1 (3.31) B©y giê chóng ta sÏ xÐt hƯ (3.15) với biến độc lập ˜ ˜ W = (X , X , Z, P , P , P , P )T , 2 ta có định lý sau: Định lý 3.4 Giả sử điều kiện (C1 ) v (C2) đợc thỏa m n Khi hệ (3.15) đa hệ đờng chéo dạng sau: W W ˜ ˜ = A(W ) + F (W ), (3.43) ∂α2 ∂α1 ®ã ˜ ˜ A(W ) = 0 0 −1 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 a −a −1 , 0 12 21 0 0 a12 − a21 − 0 0 a12 − a21 − 0 0 0 0 0 a12 − a21 − (3.44) v F (W ) = F1 (W ) + F2 (W ), ˜ ˜ ˜ P2 + (b12 P1 + c12P2 )X1 + (b22 P1 + c22P2 )X2 ˜ + (b P + c P )X − (b P + c P )X ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜1 ˜2 ˜1 ˜2 −P1 11 11 21 21 ˜ + P P + (−(b P + c P )P + (b P + c P )P )X ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ −P2 P1 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ 1 11 11 12 12 , F1 (W ) = ˜ ˜ ˜ ˜1 + (c12 − c21 )P2 )P1 ˜ ˜ ((b12 − b21)P ˜ ˜ ˜ ˜1 + (c12 − c21 )P2 )P2 ˜ ˜ ((b12 − b21)P 22 ˜ ˜ ˜ ˜ (−(b21 P1 + c21 P2 )P2 + (b22 P1 + c22 P2 )P1 )X2 ˜ ˜ ˜ ˜ , F2 (W ) = ˜ ˜ ˜ ˜ F1 (W ), F2 (W ) biến P1 , P2 đợc thay f (X1 , X2 , Z, P1, P2 ) v g(X1 , X2 , Z, P1, P2 ) tơng ứng Nhìn v o (3.44) ta thÊy r»ng hƯ (3.43) l hƯ ®−êng chéo Tính giải đợc b i toán Cauchy cho hệ (3.1) đợc phát biểu định lý sau Định lý 3.5 Giả sử điều kiện (C1) v (C2 ) đợc thỏa m n Khi b i toán Cauchy (3.1), (1.34) tồn nghiệm địa phơng, trơn Sau ta áp dụng định lý Định lý 3.5 để phát biểu định lý tính tồn nghiệm b i toán Cauchy cho lớp phơng trình Monge-Ampere cổ điển ` hyperbolic yếu 3.2 áp dụng cho lớp phơng trình Monge-Ampere cổ điển ` hyperbolic yÕu B i to¸n Cauchy (1.1), (1.5) chÝnh l b i toán Cauchy cho phơng trình (1) B i toán Cauchy n y đ đợc nghiên cứu G Darboux v E Goursat d−íi gi¶ thiÕt r»ng v tồn hai tích phân đầu độc lập v đợc tác giả trớc nghiên cứu với mở rộng l > v không cần đến giả thiết tồn hai tích phân đầu độc lập áp dụng Định lý 3.5 ta có tính giải đợc b i toán Cauchy cho phơng trình (1), trờng hợp m không cần tới giả thiết tồn hai tích phân đầu độc lập Định lý tồn nghiệm b i toán Cauchy cho tròng hợp n y đợc phát biểu nh sau: Định lý 3.6 Giả sử b i toán Cauchy không đặc trng (1.1), (1.5) thoả m n điều kiện sau: 1) Các hệ số A, B, C, E không phụ thuéc v o z, 2) D = 1, 0, 23 3) D(C, λ1 ) D(λ2, A) (X 0(α1 ))2 + (Y (α1 ))2 + D(p, q) D(p, q) D(C, A) D(λ2 , λ1) + X (α1)Y 0(α1 ) + D(p, q) D(p, q) ∂C ∂λ1 ∂λ2 ∂A + + X (α1 ) + + Y (α1 ) + = 0, ∂p ∂q ∂p ∂q (3.50) đạo h m h m A, C, , đợc tính toán (X (α1 ), Y 0(α1 ), Z (α1), P (1), Q0 (1)), 4) h m A(x, y, z, p, q), C(x, y, z, p, q), λ1(x, y, z, p, q), λ2 (x, y, z, p, q) tho¶ m n hệ phơng trình sau: x1 x2 − C ∂ϕ − λ1 ∂ϕ ∂p ∂q = 0, − λ2 ∂ϕ − A ∂ϕ ∂p ∂q = (3.51) Khi b i toán Cauchy (1.1), (1.5) tồn nghiệm địa phơng trơn Sau l số ví dụ minh họa cho Định lý 3.6 Ví dụ Xét phơng trình (1.1) với D = 1, 0, v c¸c hƯ sè A, B, C, E l h»ng sè VÝ dơ Gi¶ sư v(y, t) l mét nghiệm phơng trình Burger vt + vvy = 0 0 v lân cận điểm (c1P1 (0) − c2 P2 (0), c2 X1 (0) + c1X2 (0)) thoả m n điều kiện 0 0 0 −vy (c1 P1 (α1 ) − c2 P2 (α1 ), c2 X1 (α1 ) + c1X2 (α1 ))(c2 X1 (α1 ) + c1X2 (α1)) + = 0, c1, c2 l số cho tr−íc cho c2 + c2 > Khi b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere ` rt − s2 + v (c1zx1 − c2 zx2 , c2x1 + c1 x2 ) = (3.52) Víi A = B = C = 0, E = −v (c1 p1 −c2 p2, c2 x1 +c1 x2), = 4v 2(c1 p1 −c2p2 , c2x1 + c1x2 ), λ1 = −λ2 = v(c1 p1 − c2 p2 , c2 x1 + c1x2 ) tho¶ m n tÊt c¶ điều kiện Định lý 3.6 D Kong, M.Tsuji v H Tiến Ngoạn đ phơng trình (3.52) có hai tích phân đầu độc lập v chØ v(y, t) = const = VÝ dô Giả sử v(y, t) l nghiệm phơng tr×nh vt + f (v)vy = 0, 24 0 0 v lân cận điểm (c1P1 (0) − c2P2 (0), c1 X1 (0) + c2 X2 (0)) thoả m n điều kiện 0 0 f (v(−c1 P1 (α1 ) − c2 P2 (α1 ), c1 X1 (α1) + c2X2 (α1 )) 0 0 0 × vy (−c1P1 (α1) − c2 P2 (α1), c1X1 (α1 ) + c2 X2 (α1 ))(c1X1 (α1 ) + c2 X2 (α1 )) + = 0, f (v) l h m thuộc lớp C v c1 , c2 l c¸c h»ng sè cho tr−íc cho c2 + c2 > Khi b i toán Cauchy cho phơng trình f (v(−c1 zx1 − c2 zx2 , c1 x1 + c2 x2))(r + t) + (rt − s2 ) + f 2(v(−c1zx1 − c2 zx2 , c1x1 + c2 x2 )) = Víi A = C = f (v(−c1zx1 − c2 zx2 , c1x1 + c2 x2 )), B = 0, E = −f 2(v(−c1zx1 − c2zx2 , c1 x1 + c2 x2)), ≡ 0, λ1 = λ2 = thoả m n tất điều kiện Định lý 3.6 Các kết chơng đợc viết dựa b i báo: Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga, ” On the Cauchy problem for a quasilinear weakly hyperbolic system of two variables and applications to that for weakly hyperbolic classical MongeAmpere equations” Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, edited by N ` M Chuong, P G Ciarlet, P Lax, David Mumford, D H Phong, World Scientific Publisher, pp 177-196 KÕt luËn chung I) C¸c kÕt luận án l : Đ đa phơng pháp tìm nghiệm b i toán Cauchy cho lớp phơng trình Monge-Ampere với n biến độc lập cách giải b i toán Cauchy tơng øng ` cho mét hƯ chn t¾c gåm (2n + 1) phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp (2n+1) ẩn h m Đa đợc điều kiện không đặc trng b i toán Cauchy cho lớp phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập n y ` Nghiªn cøu tÝnh hyperbolic cđa hƯ phơng trình chuẩn tắc tơng ứng với phơng trình Monge-Ampere với n biến độc lập Đ chứng minh với n hệ ` l hyprbolic yếu v nã l hyperbolic v chØ n = v ma trận [aij ] l không đối xứng Víi n hƯ lu«n kh«ng l hyperbolic Trong trờng hợp n = phơng pháp chéo hóa ® chØ c¸c ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ b i toán Cauchy cho hệ hyperbolic yếu l giải đợc Từ ®ã ®−a ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ b i to¸n Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu l giải ` đợc II) Những vấn đề cần tiếp tục nghiªn cøu Nghiªn cøu tÝnh hyperbolic u cđa hƯ chuẩn tắc trờng hợp n Tính giải đợc b i toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc trờng hợp n Danh mục công trình có liên quan tới luận án H.T.Ngoan and N.T.Nga, (1999), ” On the Cauchy problem for hyperbolic MongeAmpere equations”, Proceedings of the conference on Partial Differential Equations and their Applications, Hanoi, December 27-29, pp 77-91 Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga, (2004), ” On the Cauchy problem for multidimensional Monge-Ampere equations”, Acta Mathematca Vietnamica, Vol 29, pp 281-298 Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga, (2006), ” On hyperbolicity of some systems of nonlinear first-order partial differential equations” Vietnam Journal of Mathematics, vol 34, pp 109-128 Ha Tien Ngoan and Nguyen Thi Nga, ( 2007), ” On the Cauchy problem for a quasilinear weakly hyperbolic system of two variables and applications to that for weakly hyperbolic classical Monge-Ampere equations”, Advances in ` Deterministic and Stochastic Analysis, edited by N M Chuong, P G Ciarlet, P Lax, David Mumford, D H Phong, World Scientific Publisher, pp 177-196 Các kết luận án đà đợc báo cáo tại: *Seminar Phòng Phơng trình Vật lý Toán, Viện Toán học, Viện Khoa học v Công nghệ Việt Nam *Seminar Giải tích v Đại số, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia H nội *Hội nghị Toán học to n quốc lần thứ Huế, tháng 9/2002 *Seminar Bộ môn Giải tích, Đại học Thủy lợi *Hội thảo Phơng trình Vi-Tích phân v ứng dụng, Ba vì, tháng 5/2004 *Hội nghị Quốc tế Phơng trình vi phân v ứng dụng Th nh phố Hồ Chí Minh, tháng 8/2004 *Các Hội nghị đánh giá kết l m việc nghiên cứu sinh thuộc ViƯn To¸n häc 11/2003, 11/2004 ... i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập (1.7) Nội dung phơng pháp n y l : để ` giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập, ta cần ` giải b i toán. .. i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu ` Chơng Một phơng pháp tìm nghiệm toán Cauchy cho phơng trình Monge-Amp`re nhiều biến độc lập e Chơng nghiên cứu b i toán Cauchy. .. y cho phÐp ta tìm đợc nghiệm b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ban đầu ` 1.1 Một lớp phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ` Mục n y giới thiệu lớp phơng trình