Đang tải... (xem toàn văn)
Các hàm dung lượng trong không gian Euclid hữu hạn chiều và tích phân Choquet của chúng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - - - - - - LÊ XUÂN SƠN CÁC HÀM DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU VÀ TÍCH PHÂN CHOQUET CỦA CHÚNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62. 46. 01. 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2008 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Nguyễn Nhụy 2. GS.TSKH. Nguyễn Tố Như Phản biện 1: PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân Phản biện 2: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư Phản biện 3: GS. TSKH. Lê Mậu Hải Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Trường Đại học Vinh vào hồi giờ ngày tháng năm 2008. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Trường Đại học Vinh. 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết độ đo ra đời với ý nghĩa thực t iễn sâu sắc của nó đã đóng một vai trò hết sức to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, đặc biệt là trong lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của các lĩnh vực kinh t ế, kỹ thuật đã khiến độ đo cổ điển trong nhiều tình huống không còn phù hợp khi đo các vấn đề mới nảy sinh, nhất là những vấn đề liên quan đến việc xử lí các "đối tượng mờ". Do đó người ta tìm đến một thước đo mới. Xuất phát điểm để xây dựng thước đo mới này chính là yếu tố không cộng tính. Các hàm tập không cộng tính đã được các nhà toán học nghiên cứu qua nhiều khái niệm khác nhau: nửa độ đo (submeasures), độ đo mờ (fuzzy measures), độ đo khả năng (possibility measures), hàm lòng tin (belief func- tion), hàm hợp lí (plausibility function), dung lượng (capacity), Các khái niệm này gắn liền với những công trình của các nhà Toán học như G. Cho- quet (1954), L. Zadeh (1965), S. Graf (1981), D. Schmeidler (1987), T. Norberg (1989), Walley (1991) và gần đây là Nguyễn Trung Hưng, Nguyễn Tố Như, Tonghui Wang, Ding Feng (1997-2002) và A. Castaldo, F. M ac- cheroni, M. Marinacci (2004, 2005). Một đặc điểm chung của tất cả các khái niệm liên quan đến hàm tập không cộng tính nói trên là sự mở rộng khái niệm độ đo. Chính vì thế mà cùng với sự mở rộng này, các kết quả có tính truyền thống như Định lý Choquet, đạo hàm Radon-Nikodym, sự hội tụ yếu, luật số lớn, đều được mở rộng và nghiên cứu theo quan điểm "độ đo" mới này. Mặc dù một số kết quả thú vị trong lý thuyết các hàm không cộng tính đã được thiết lập trên các không gian Ba Lan (không gian metric khả li, đầy đủ) nhưng các nghiên cứu cơ bản về chúng chỉ thực sự có ý nghĩa khi được xét trên không gian Euclid hữu hạn chiều R d . 2 Trong quá trình đi tìm sự tổng quát hoá khái niệm độ đo trong không gian Euclid hữu hạn chiều R d , chúng tôi đã xây dựng một loại hàm dung lượng trên không gian này. Các kết quả thu được chỉ ra rằng, khái niệm hàm dung lượng được thừa nhận ở đây thực sự là một mở rộng của khái niệm độ đo: độ đo trên R d có các tính chất của hàm dung lượng, và tồn tại những hàm dung lượng không phải là độ đo trên R d . Nhiều ví dụ được đưa ra không chỉ nhằm chứng tỏ sự tồn tại thực sự của các khái niệm mới, mà còn mang ý nghĩa so sánh và chỉ rõ sự khác biệt của các khái niệm khác nhau khi xây dựng một lớp các hàm dung lượng trên R d . Cùng với sự xuất hiện của lớp hàm dung lượng, thì khái niệm tích phân kiểu Choquet cho các hàm dung lượng mới được xây dựng này cũng được đưa vào. Khi ta đề cập đến tập hợp tất cả các hàm dung lượng, thì bài toán trang bị tôpô cho lớp hàm này để được không gian tôpô tất yếu phải được đặt ra. Cấu trúc tôpô cho lớp hàm này được chúng tôi trang bị là tôpô yếu. Khi đó, không gian các hàm dung lượng đã trở thành một không gian tôpô khả metric và khả li. Cấu trúc metric của không gian tôpô cho phép ta xây dựng khái niệm hội tụ yếu trong không gian các hàm dung lượng thông qua sự hội tụ của dãy. Trong khi tìm một đặc trưng cho khái niệm hội tụ yếu, ta tìm được một điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu liên quan đến dãy các độ đo xác suất liên kết với dãy các hàm dung lượng đã cho. Từ năm 1954, G. Choquet đã xây dựng cấu trúc về hàm dung lượng trên họ tất cả các tập compact K của một không gian Ba Lan E, mà sau này ta thường gọi là hàm dung lượng Choquet. Điều lý thú là tồn tại một sự tương ứng 1-1 giữa lớp các hàm dung lượng trên K với tập tất cả các độ đo xác suất xác định trên σ-đại số Borel sinh bởi lớp các tập con đóng F của không gian E khi F được trang bị tôpô miss-and-hit (Định lý Choquet). Kết quả này giữ vai trò then chốt trong lý thuyết các tập đóng ngẫu nhiên vì nó đã mô tả được phân phối của các tập đóng ngẫu nhiên, đó chính là dung lượng trên K. Như vậy các hàm dung lượng Choquet đối với tập đóng ngẫu nhiên giữ vai trò như là phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên 3 trong lý thuyết xác suất cổ điển. Ta biết rằng, việc chứng minh Định lý Choquet là dựa vào Định lý Matheron. (Định lý Matheron nói rằng đối với một không gian Hausdorff, khả li, compact địa phương E, không gian F các tập con đóng của E với tôpô miss-and-hit là Hausdorff, khả li và compact). Trong chứng minh định lý của mình Matheron đã sử dụng triệt để tính compact địa phương của không gian E. Nhưng do miền tự nhiên của lý thuyết xác suất lại là các không gian Ba Lan, hoặc tổng quát hơn là các không gian metric, nên vấn đề đặt ra là, liệu Định lý Choquet có còn đúng với các không gian metric không compact địa phương nữa hay không. Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nói trên, năm 1997 Nguyễn Trung Hưng và Nguyễn Tố Như đã chỉ ra rằng Định l ý Choquet không còn đúng trên không gian E là hình cầu đơn vị đóng của không gian Hilbert l 2 khi trang bị cho F tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff. Tuy nhiên, theo P. Billingsley một trong những miền quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1]. Do đó chúng ta cần biết rằng trên không gian này Định lý Choquet có còn đúng nữa hay không. Luận án của chúng tôi cũng đã đặt vấn đề nghiên cứu bài toán này. Trong khi nghiên cứu vấn đề này chúng tôi đã thu được kết quả tương tự với kết quả của Nguyễn Trung Hưng và Nguyễn Tố Như trên không gian l 2 . Nội dung chính của luận án được trình bày dựa trên các công trình [1], [4], [5], [6] và [7]. Luận án được trình bày thành 3 chương. Chương 1 dành cho việc trình bày về hàm dung lượng trong R d . Phần đầu của chương này trình bày một số kết quả cơ bản về các hàm tập không cộng tính trong R d . Trọng tâm của Chương 1 là Mục 1.3 và 1.4, ở đó chúng tôi đưa ra khái niệm về hàm dung lượng trong R d . Một số kết quả và ví dụ chứng tỏ khái niệm này là một mở rộng thực sự của khái niêm độ đo thông thường. Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong R d được đưa vào và tính toán tích phân của một số hàm dung lượng cụ thể với mục đích là chúng s ẽ được sử dụng để nghiên cứu tôpô yếu trong không gian 4 các hàm dung lượng xác suất ở chương sau. Chương 2 được dành để trình bày về tôpô yếu trong không gian C, không gian các hàm dung lượng xác suất với giá compact trong R d . Trong Mục 2.1, sau khi trang bị tôpô yếu cho C chúng tôi đã chỉ ra không gian tôpô này là khả metric và khả li. Mục 2.2 trình bày các điều kiện cần, điều kiện đủ cùng với điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu t rong C. Trong Mục 2.3 chúng tôi chỉ ra rằng không gian C chứa R d như là một tập con đóng. Điều này có nghĩa là không gian Euclid hữu hạn chiều R d đồng phôi với một tập con đóng của C. Chương 3 của luận án gồm hai phần. Phần đầu trình bày về Định lý Choquet trong trường hợp không gian Hausdorff khả li, compact địa phương. Phần sau chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về Định lý Choquet trong không gian C[0, 1]. Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trong không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1] khi trang bị cho lớp tất cả các tập con đóng F của E tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff. 5 CHƯƠNG 1 HÀM DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN R d Phần đầu của chương này được dành để trình bày về hàm tập luân phiên, một số tính chất cơ bản của các hàm tập không cộng tí nh và mối liên hệ giữa chúng. Trên cơ sở đó, chúng ta đi xây dựng một khái niệm cụ thể về hàm tập không cộng tính, đó là các dung lượng trong R d . Phần cuối của Chương 1 trình bày khái niệm tích phân Choquet cho các dung lượng trong R d . 1.1 Hàm tập luân phiên 1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp, A là một đại số các tập con của X. Hàm tập T : A → R được gọi là luân phiên bậc n (n ∈ N, n ≥ 1) nếu T đơn điệu tăng (nghĩa là A ⊂ B kéo theo T (A) ≤ T (B)) và với bất kì A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ A bất đẳng thức sau được thoả mãn T n i=1 A i ≤ I∈I(n) (−1) |I|+1 T i∈I A i , (1.1) ở đây I(n) = ∅ = I ⊂ {1, 2, . . . , n} và |I| được kí hiệu là lực lượng của tập I. Ta cũng gọi biểu thức ở vế phải của (1.1) là tổng luân phiên bậc n. 1.1.2 Mệnh đề. Nếu T : A → R là một hàm tập luân phiên bậc n, n ≥ 2, thì cũng luân phiên bậc m với mọi m ∈ N, m < n. Nếu hàm tập đơn điệu tăng T thoả mãn bất đẳng thức (1.1) với mọi số tự nhiên n thì nó được gọi là luân phiên bậc vô hạn. Giả sử A là một đại số các tập con của X và T là một hàm tập xác định trên A. Trên A, ta xác định các đại lượng ∆ n , n ∈ N, n ≥ 1 ứng với các tham số A, A 1 , . . . , A n ∈ A theo công thức truy hồi sau: ∆ 1 A; A 1 = T A ∪ A 1 − T (A) 6 ∆ 2 A; A 1 , A 2 = ∆ 1 A; A 1 − ∆ 1 A ∪ A 2 ; A 1 . . . ∆ n A; A 1 , . . . , A n = ∆ n−1 A; A 1 , . . . , A n−1 − ∆ n−1 A ∪ A n ; A 1 , . . . , A n−1 . 1.1.3 Mệnh đề. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1 và A, A 1 , . . . , A n ∈ A, (i) ∆ n A; A 1 , . . . , A n = I∈I(n) (−1) |I|+1 T A ( i∈I A i ) − T (A). (ii) T luân phiên bậc n khi và chỉ khi ∆ n ≥ 0. Như vậy hàm tập T là luân phiên bậc vô hạn khi và chỉ khi ∆ n ≥ 0, với mọi n ≥ 1. 1.1.4 Định nghĩa. Hàm tập T : A → R được gọi là cực đại nếu T (∅) = 0 và T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)}, với mọi A, B ∈ A. 1.1.5 Mệnh đề. Giả sử T là một hàm tập cực đại xác định trên đại số A. Khi đó, với bất kì các tập A i ∈ A, i = 1, . . . , n, n ≥ 2, ta có I∈I(n) (−1) |I|+1 T i∈I A i = min 1≤i≤n {T (A i )}. 1.1.6 Định lý. Mỗi hàm tập cực đại đều luân phiên bậc vô hạn. 1.2 Hàm tập không cộng tính trong R d Giả sử K(R d ), F(R d ), G(R d ) và B(R d ) lần lượt được kí hiệu là lớp tất cả các tập con compact, đóng, mở và Borel của không gia n Euclid R d . Ta đưa ra các khái niệm sau đây. Hàm tập đơn điệu tăng T : B(R d ) → R thoả mãn T (∅) = 0 được gọi là (i) bán cộng nếu T (A ∪ B) ≤ T (A) + T(B), với bất kì A, B ∈ B(R d ); 7 (ii) σ-bán cộng nếu T ∞ n=1 A n ≤ ∞ n=1 T (A n ), với bất kì A n ∈ B(R d ), n = 1, 2, . . .; (iii) liên tục dưới nếu T ∞ n=1 A n = lim n→∞ T (A n ), với A 1 ⊂ A 2 ⊂ . . . ⊂ A n ⊂ . . . , A n ∈ B(R d ); (iv) liên tục trên nếu T ∞ n=1 A n = lim n→∞ T (A n ), với A 1 ⊃ A 2 ⊃ . . . ⊃ A n ⊃ . . . , A n ∈ B(R d ); (v) luân phiên bậc vô hạn nếu T n i=1 A i ≤ I∈I(n) (−1) |I|+1 T i∈I A i với mọi n ≥ 2 và A 1 , . . . , A n ∈ B(R d ); (vi) chính quy nếu T (A) = sup{T (K) : K ∈ K(R d ), K ⊂ A} với bất kì A ∈ B(R d ) và T (K) = inf{T (G) : G ∈ G(R d ), G ⊃ K} với bất kì K ∈ K(R d ). Rõ ràng, vì T(∅) = 0 nên (ii) kéo theo (i) và cũng như vậy (v) kéo theo (i). Ngoài ra ta có 1.2.1 Mệnh đề. Giả sử T thoả mãn (i). Khi đó (iii) kéo theo (ii). Điều ngược lại nói chung không đúng. 1.2.2 Mệnh đề. (vi) kéo theo (iii) G(R d ) , ở đây ký hiệu (iii) G(R d ) có nghĩa là tính chất (iii) được hạn chế trên G(R d ). 8 Chú ý rằng, nếu xét trên lớp các tập Borel thì Mệnh đề 1.2.2 có thể không còn đúng nữa. 1.2.3 Mệnh đề. (vi) kéo theo (iv) K(R d ) . Điều này nói chung không đúng trên B(R d ). 1.2.4 Nhận xét. Nói chung (iii) không suy ra được (v) và ngược lại. 1.2.5 Nhận xét. Nói chung (v) không suy ra được (vi) và ngược lại. 1.3 Hàm dung lượng trong R d 1.3.1 Định nghĩa. Hàm tập T : B(R d ) → [0, +∞) được gọi là một dung lượng trong R d nếu các điều kiện sau được thoả mãn: 1. T (∅) = 0; 2. với bất kì các tập A 1 , . . . , A n ∈ B(R d ), n ≥ 2 chúng ta có T n i=1 A i ≤ I∈I(n) (−1) |I|+1 T i∈I A i ; 3. T (A) = sup T (K) : K ∈ K(R d ), K ⊂ A với bất kì A ∈ B(R d ); 4. T (K) = inf T (G) : G ∈ G(R d ), G ⊃ K với bất kì K ∈ K(R d ). Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau đây. 1.3.2 Nhận xét. (i) Bất kì một dung lượng trong R d đều là hàm tập đơn điệu tăng. Vì vậy điều kiện 2. trong Định nghĩa 1.3.1 có thể được thay bởi 2 : T luân phiên bậc vô hạn trên B(R d ). (ii) Giả sử T là một dung lượng trong B(R d ). Nếu T (A) = 0, A ∈ B(R d ) thì T (B) = T (A ∪ B) với mọi B ∈ B(R d ). Từ các Mệnh đề 1.2.2, 1.2.3 và Định nghĩa 1.3.1 ta có hệ quả trực tiếp sau đây. 1.3.3 Hệ quả. Bất kì dung lượng trong R d đều liên tục dưới trên G(R d ) và liên tục trên trên K(R d ). [...]... lớp hàm dung lượng trong Rd thông qua tích phân Choquet, đó là cấu trúc tôpô yếu 5 Chỉ ra rằng không gian C , các hàm dung lượng xác suất trong Rd với tôpô yếu là một không gian khả metric và khả li Đồng thời cũng chỉ ra rằng không gian Euclid hữu hạn chiều Rd đồng phôi với một tập con đóng của C 6 Dựa vào tính khả metric của tôpô yếu, chúng tôi đã xây dựng khái niệm hội tụ yếu trong không gian các hàm. .. bản của các hàm tập không cộng tính trong không gian Euclid hữu hạn chiều Rd 2 Trong quá trình đi tìm sự tổng quát hoá khái niệm độ đo trong Rd , chúng tôi đã xây dựng một loại hàm dung lượng trên không gian này Đưa ra nhiều ví dụ chỉ ra rằng, khái niệm dung lượng được thừa nhận ở đây thực sự là một mở rộng của khái niệm độ đo 3 Đưa vào nghiên cứu khái niệm tích phân kiểu Choquet cho các hàm dung lượng. .. NHIÊN Phần đầu của chương này trình bày về Định lý Choquet cho các tập đóng ngẫu nhiên trong các không gian Hausdorff, khả li và compact địa phương Phần sau là một ví dụ chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trong không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1] 3.1 Định lý Choquet cho không gian compact địa phương Giả sử E là một không gian Hausdorff, khả li và compact địa... hàm dung lượng trong Rd qua sự hội tụ của dãy Đồng thời cũng tìm được một điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu liên quan đến độ đo xác suất liên kết với dãy các hàm dung lượng đã cho 7 Nghiên cứu về Định lý Choquet trong không gian không compact địa phương Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trong không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1] khi trang bị cho lớp F tất cả các tập... suất trong R Chú ý rằng supp T = [0, 1] 1.4 Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong Rd Giả sử T là một dung lượng trong Rd Khi đó với bất kì hàm đo được Borel f : Rd → R+ và A ∈ B(Rd ), ta xác định tích phân Choquet A f dT của hàm f ứng với T bởi +∞ T {x ∈ A : f (x) ≥ t} dt f dT = 0 A Với A = Rd chúng ta viết f dT = f dT Rd Chú ý rằng, nếu f là một hàm bị chặn trên A thì α T {x ∈ A : f (x) ≥... đóng của E tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff 24 II Những vấn đề tiếp tục được nghiên cứu Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau: 1 Nghiên cứu đạo hàm Radon-Nikodym trên lớp các hàm dung lượng trong Rd 2 Nghiên cứu kỹ hơn về cấu trúc tôpô yếu trên không gian các hàm dung lượng trong Rd Chẳng hạn, tính compact, compact địa phương, 3 Nghiên cứu về các định lý giới hạn. .. bậc vô hạn trên G , và (vi) S liên tục dưới trên G (nghĩa là nếu Gn G thì T (Gn ) T (G)) Hàm tập S thoả mãn các điều kiện (iv), (v) và (vi) ở trên được gọi là một dung lượng Choquet trên G Như vậy, Định lý Choquet cho ta thấy rằng mỗi một dung lượng Choquet biểu thị đặc trưng cho quy luật xác suất trên B(F) của một tập đóng ngẫu nhiên nào đó, trong trường hợp của các không gian Hausdorff, khả li và compact... là dung lượng được xác định như i=1 trong Ví dụ 1.3.9(c), ở đây A = (x1 , t1 ), , (xk , tk ) ⊂ Rd × R+ Khi đó với mỗi hàm đo được f : Rd → R+ ta có f dT A = k ti f (xi ) i=1 13 CHƯƠNG 2 TÔPÔ YẾU TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM DUNG LƯỢNG XÁC SUẤT TRONG Rd Từ nay trở đi chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu C để chỉ họ tất cả các dung + lượng xác suất với giá compact trong Rd và C0 (Rd ) là ký hiệu cho lớp tất cả các. .. nhiên, vì miền tự nhiên của lý thuyết xác suất là các không gian Ba Lan (không gian metric khả li đầy đủ), nên việc xem xét liệu Định lý có còn đúng không trong các không gian Ba Lan là một vấn đề hết sức tự nhiên và có ý nghĩa Chúng ta cần chú ý rằng, có lẽ việc chứng minh Định lý Choquet phụ thuộc khá nhiều vào tính chất của tôpô trang bị trên F nên dường như vấn đề này phụ thuộc vào cách chọn một tôpô... nghĩa 1.3.1 được thoả mãn Như vậy, theo các Định lý 1.1.6 và 1.3.4, lớp tất cả các dung lượng trong Rd chứa cả hai lớp: lớp các độ đo và lớp các độ đo cực đại trong Rd 1.3.6 Định nghĩa Giả sử T là một dung lượng trong Rd Tập đóng bé nhất F ⊂ Rd thoả mãn T (Rd \ F ) = 0 được gọi là giá của T , và được kí hiệu là supp T 1.3.7 Mệnh đề Giả sử T là một dung lượng trong Rd Khi đó ta có (i) T (supp T ) . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - - - - - - LÊ XUÂN SƠN CÁC HÀM DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU VÀ TÍCH PHÂN CHOQUET CỦA CHÚNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã. trong R d được đưa vào và tính toán tích phân của một số hàm dung lượng cụ thể với mục đích là chúng s ẽ được sử dụng để nghiên cứu tôpô yếu trong không gian 4 các hàm dung lượng xác suất ở chương. sánh và chỉ rõ sự khác biệt của các khái niệm khác nhau khi xây dựng một lớp các hàm dung lượng trên R d . Cùng với sự xuất hiện của lớp hàm dung lượng, thì khái niệm tích phân kiểu Choquet cho các