Đang tải... (xem toàn văn)
Chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-mumford
Bộ giáo dục và đào tạo Đại học Huế Trờng Đại học s phạm Huế Cao Huy Linh Chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số M số: 62.46.05.01 Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học Huế-2006 Mở đầu Trong toàn bộ luận án, mọi vành khảo sát đều là giao hoán. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một bất biến quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Nó cung cấp nhiều thông tin về độ phức tạp của những cấu trúc đại số phân bậc. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford ra đời từ những công trình về đờng cong xạ ảnh của Castelnuovo và đợc Mumford phát biểu định nghĩa đầu tiên cho đa tạp xạ ảnh. Bằng ngôn ngữ đối đồng điều địa phơng, khái niệm này đã đợc tổng quát hóa cho môđun phân bậc hữu hạn sinh trên đại số phân bậc chuẩn bất kỳ. Mục đích của luận án là đa ra những chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết. Cho (A, m) là vành địa phơng, I là iđêan m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh. Ký hiệu G I (M) = n0 I n M/I n+1 M. Ngời ta gọi G I (M) là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I. Đặc biệt G I (A) là vành phân bậc chuẩn và đợc gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I. G I (M) là G I (A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Việc nghiên cứu chỉ số chính quy của (G I (M)) sẽ cho chúng ta biết nhiều thông tin về cấu trúc của M. Ví dụ nh ta có thể ớc lợng đợc kiểu quan hệ (relation type), số mũ rút gọn và chỉ số Hilbert (postulation number) của M theo I. Trớc tiên, chúng tôi sẽ chứng minh chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết G I (M) bị chặn bởi một hàm của chiều và bậc mở rộng của M theo I. Bậc mở rộng D(M) là một khái niệm đã đợc Doering, Gunston và 1 2 Vasconcelos đa ra nhằm đo độ phức tạp về cấu trúc của môđun. Đại lợng này phản ánh tốt tính chất của các thành phần phân bậc so với bậc cổ điển (số bội). Rossi, Trung và Valla đã thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của G m (A) theo chiều của A và bậc mở rộng D(A). Chúng tôi mở rộng kết quả này cho G I (M), trong đó M là A-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan m-nguyên sơ tùy ý. Kết quả chính chúng tôi nhận đợc trong trờng hợp này là định lý sau. Định lý 2.2.2 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1 và D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M. Khi đó (i) reg G I (M) D(I, M) 1 nếu d = 1, (ii) reg G I (M) 2 (d1)! D(I, M) 3(d1)!1 1 nếu d 2. Phơng pháp chủ đạo của chúng tôi là dựa theo ý tởng của Mumford, ớc lợng chỉ số chính quy theo hàm Hilbert. Phơng pháp này đã đợc Rossi, Trung và Valla đề xuất để nghiên cứu chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành và môđun phân bậc liên kết. Trở ngại chính mà chúng tôi gặp phải là có những vấn đề về chỉ số chính quy đã đợc thiết lập cho đại số trên một trờng nhng cha đợc phát triển cho đại số trên một vành Artin. Nh chúng tôi đã giới thiệu, chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết là một chặn trên cho chỉ số Hilbert. Một khi chặn đợc chỉ số Hilbert thì có thể chặn đợc hệ số Hilbert bằng một phơng pháp đã đợc đa ra bởi Vasconcelos. Dùng phơng pháp này, chúng tôi đa ra đợc các chặn trên cho các hệ số Hilbert theo D(I, M). Định lý 2.3.1 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với dim( M) 1 và D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M. Khi đó (i) |e 1 (I, M)| D(I, M) 2 1, (ii) |e i (I, M)| 2 2(i+1)!1 D(I, M) 3i!1 1 nếu i 2. Phối hợp Định lý 2.2.2 và Định lý 2.3.1, chúng tôi chứng minh đợc chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của M theo I nếu cho trớc chiều của M và bậc mở rộng D(I, M). Đây cũng là sự mở rộng một kết quả khác của Rossi, Trung và Valla. Các tác giả này đã chặn trên các hệ số Hilbert trong trờng hợp M = A và I = m. Trớc đó, 3 Srinivas và Trivedi đã thiết lập các chặn trên cho chỉ số Hilbert và các hệ số Hilbert theo chiều và số bội trên lớp vành và môđun Cohen-Macaulay. Sau đó, Trivedi đã mở rộng các kết quả này cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng các kết quả của Trivedi đã nói ở trên là hệ quả của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.3.1. Hơn nữa, khi quy về trờng hợp môđun Cohen-Macaulay thì chúng tôi nhận đợc kết quả tốt hơn của Trivedi. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và bậc lũy linh. Bậc lũy linh n(I) của I đợc định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất n sao cho m n I. Đây là một bất biến đơn giản và dễ tính. Chúng tôi thấy rằng bậc đồng điều hdeg( I, M), một trờng hợp đặc biệt của bậc mở rộng, có thể ớc lợng đợc thông qua hdeg(M) = hdeg(m, M) và n(I). Từ đó chúng tôi chặn đợc chỉ số chính quy của của G I (M) và các hệ số Hilbert của M ứng với I theo n(I). Định lý 2.4.3 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1. Khi đó (i) reg(G I (M)) n(I) hdeg(M) 1 nếu d = 1, (ii) reg(G I (M)) 2 (d1)! hdeg(M) 3(d1)!1 n(I) 3d!d 1 nếu d 2. Định lý 2.4.7 Cho M là A-môđun hữu sinh với d = dim M 1. Khi đó, (i) e(I, M) e(M)n(I) d , (ii) |e 1 (I, M)| hdeg(M) 2 n(I) 2d 1, (iii) |e i (I, M)| 2 2(i+1)!1 hdeg(M) 3i!1 n(I) 3di!d 1 nếu i 2. Từ kết quả của Định lý 2.4.3, chúng tôi thu đợc một chặn trên tờng minh cho chỉ số Hilbert của M ứng với I theo n(I). Trớc đó, Schwartz đã chứng minh tồn tại một chặn trên nh thế cho M = A trong trờng hợp đặc số của trờng thặng d bằng 0. Phơng pháp của Schwartz là dùng cơ sở Grăobner. Phơng pháp này khá phức tạp và không áp dụng đợc cho trờng hợp tổng quát. Từ kết quả của Định lý 2.4.3, chúng tôi cũng đa ra đợc các chặn trên cho kiểu quan hệ và số mũ rút gọn của I theo n(I). Trong vành địa phơng A có đặc số của trờng thặng d bằng 0, Schwartz đã chứng minh rằng chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của A theo I nếu cố định bậc lũy linh của I. Kết quả 4 này cũng đợc chúng tôi mở rộng cho môđun bất kỳ. Cuối cùng, chúng tôi sẽ dùng phơng pháp nghiên cứu tơng tự để đa ra một chặn phổ dụng (uniform bound) cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết. Chặn phổ dụng ở đây có nghĩa là chặn trên không phụ thuộc vào lớp iđêan đợc xét. Vấn đề chặn phổ dụng có xuất xứ từ giả thiết sau đây của Huneke. Giả thuyết Huneke về kiểu quan hệ. Giả sử A là vành địa phơng Noether đẳng chiều. Liệu có tồn tại một số nguyên s 1 sao cho với mọi iđêan tham số q của A, kiểu quan hệ của q đợc chặn bởi s? Lai đã chứng tỏ giả thuyết đúng cho lớp vành Cohen-Macaulay suy rộng với giả thiết trờng thặng d hữu hạn. Bằng một phơng khác, Wang đã chứng tỏ giả thiết đúng với mọi vành Cohen-Macaulay suy rộng. Ngoài ra, Wang đã chứng minh giả thuyết cũng đúng cho lớp vành địa phơng có chiều bằng 2. Gần đây, Aberbach đã đa ra một phản ví dụ cho giả thuyết trên. Bằng cách chặn đều cho đại lợng I(A/q n+1 ), trong đó q là iđêan sinh bởi một phần hệ tham số bất kỳ của A, chúng tôi đã đa ra đợc một chặn phổ dụng cho vành phân bậc liên kết. Định lý 3.2.1 Giả sử (A, m) là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) = d 1. Với mọi iđêan tham số Q của A ta có (i) reg G Q (A) max{I(A) 1, 0} nếu d = 1, (ii) reg G Q (A) max{(4I(A)) (d1)! I(A) 1, 0} nếu d 2. Từ kết quả này chúng tôi cũng suy ra đợc rằng kiểu quan hệ của iđêan tham số trong vành Cohen-Macaulay suy rộng đợc chặn phổ dụng. Điều này suy ra kết quả của Wang mà chúng tôi đã giới thiệu ở trên. Hơn nữa chặn trên mà chúng tôi thu đợc tốt hơn và tờng minh hơn của Wang. Không những thế chúng tôi còn chỉ ra rằng trong vành Cohen- Macaulay suy rộng A chỉ số Hilbert của A ứng với iđêan tham số cũng đợc chặn phổ dụng. Đến đây ta có thể đặt ra câu hỏi rằng với những lớp vành nào thì tồn tại chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết? Chúng tôi nhận đợc kết quả sau. 5 Định lý 3.2.4 Cho A là vành địa phơng với dim(A) 1. Khi đó, các điều kiện sau tơng đơng: (i) A là vành Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) Tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi iđêan q sinh bởi một phần hệ tham số của A, chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết của A/q ứng với iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r. (iii) Tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi iđêan q sinh bởi một phần hệ tham số của A, kiểu quan hệ của iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r. Định lý trên chứng tỏ rằng nếu tồn tại một chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ trên lớp các iđêan tham số thì chặn trên nh thế phải phụ thuộc vào các bất biến mà khi chuyển qua vành thơng của các iđêan sinh bởi hệ tham số con thì các bất biến này có thể tăng lên. Việc xác định những bất biến đó là một vấn đề rất khó. Điều này giải thích tại sao cho đến nay ngời ta vẫn cha đa ra đợc đặc trng của lớp vành có tính chất chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ. Chơng 1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Trong chơng này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và một số đặc trng liên quan đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc nói chung và môđun phân bậc liên kết. Định lý Mumford về chỉ số chính quy hình học sẽ đợc chứng minh dới ngôn ngữ của đại số giao hoán. Trong chơng này, chúng ta cũng sẽ thấy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết là chặn trên của một số bất biến khác, chẳng hạn nh kiểu quan hệ (relation type), chỉ số Hilbert (postulation number) và số mũ rút gọn. 1.1 Các đặc trng của chỉ số chính quy Trong luận án này, nếu không nói gì khác, R = i0 R i là đại số phân bậc chuẩn trên vành địa phơng R 0 . Ta ký hiệu R + = i>0 R i là iđêan thuần nhất cực đại của R. Cho E là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta ký hiệu H i R + (E) là đối đồng điều địa phơng của E với giá R + . Định nghĩa 1.1.1. Ta nói E là m-chính quy nếu H i R + (E) n = 0 với mọi n m i +1 và i 0. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của E là số nguyên nhỏ nhất m sao cho E là m-chính quy, nghĩa là reg(E) := min{m | E là m-chính quy}. Để đơn giản ta thờng nói chỉ số chính quy thay cho chỉ số chính quy 6 7 Castelnuovo-Mumford. Nếu đặt a i (E) = max{n| H i R + (E) n = 0} nếu H i R + (E) = 0, nếu H i R + (E) = 0 thì reg(E) := max{a i (E) + i| i 0}. Nếu E là m-chính quy thì H i R + (E) mi+1 = 0 với mọi i 0. Một môđun E thỏa mãn H i R + (E) mi+1 = 0 với mọi i 0 thì ta nói E là m-chính quy yếu. Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu E là m-chính quy thì E là m- chính quy yếu. Tuy nhiên, điều ngợc lại không đúng. Chúng tôi cho một ví dụ đơn giản để minh họa điều này. Ví dụ. Giả sử E = R = k là một trờng. Khi đó, H i R + (E) = 0 với i 1 và H 0 R + (E) = E. Giả sử m 2. Lúc đó, H i R + (E) mi+1 = 0 với i 0. Suy ra E là m-chính quy yếu nhng không là m-chính quy. Liên quan đến chỉ số chính quy của đa tạp, ngời ta thờng quan tâm đến khái niệm m-chính quy hình học. Định nghĩa 1.1.7. Môđun E đợc gọi là m-chính quy hình học nếu H i R + (E) n = 0 với mọi n m i + 1 và i 1. Chỉ số chính quy hình học g-reg E của E, là số nguyên nhỏ nhất m sao cho E là m-chính quy hình học. Từ định nghĩa ta có mối quan hệ sau đây: E là m-chính quy = E là m-chính quy yếu = E là m-chính quy hình học. 1.2 Hàm Hilbert và chỉ số chính quy Trong mục này , R = i0 R i là vành phân bậc Noether với R 0 là vành địa phơng Artin. Giả sử E = nZ E n là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(E) = d. Hàm Hilbert của E là một hàm h E : Z Z đợc xác định bởi h E (n) = (E n ). 8 Hilbert đã chứng minh đợc rằng nếu E là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d 1 thì tồn tại duy nhất một đa thức p E (X) Q[X] có bậc d 1 sao cho h E (n) = p E (n) với n đủ lớn. Đa thức p E (X) ở trên đợc gọi là đa thức Hilbert của E. Nếu ta viết p E (X) dới dạng: p E (X) = d1 i=0 (1) i e i (E) X + d i 1 d i 1 , thì số bội e(E) của E đợc định nghĩa nh sau: e(E) = e 0 (E) nếu d > 0, (E) nếu d = 0. Bây giờ cho z R 1 là phần tử E-chính quy. Ta có reg(E) = reg(E/zE). Tuy nhiên phần tử E-chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó ngời ta thờng quan tâm đến khái niệm sau đây. Định nghĩa 1.2.4. Phần tử thuần nhất z R đợc gọi là phần tử E-lọc chính quy nếu (0 E : z) n = 0 với n 0. Chú ý rằng nếu R 0 là vành địa phơng có trờng thặng d vô hạn thì luôn tồn tại phần tử E-lọc chính quy. Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên trờng k và m 0 thì Rossi, Trung và Valla đã chứng minh rằng R là m-chính quy khi và chỉ khi R là m-chính quy yếu. Điều này vẫn còn đúng trên môđun phân bậc E bất kỳ nhng ta phải chú đến điều kiện của bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu d(E) của E. Bổ đề 1.2.6. Giả sử m Z. Khi đó, E là m-chính quy khi và chỉ khi E là m-chính quy yếu và d(E) m. Ta thấy rằng nếu E là m-chính quy hình học thì E/zE là m-chính quy hình học. Điều ngợc lại không đúng. Tuy nhiên, nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên vành Artin R 0 và g-reg(R/zR) m thì ta có thể ớc lợng g-reg(R) thông qua hàm Hilbert của nó. Đó là một kỹ thuật đợc đa ra bởi Mumford. Kết quả sau đây đã đợc Rossi, Trung và Valla chứng minh cho trờng hợp E = R. Định lý 1.2.7. Cho dim(E) 1. Giả sử z R 1 là phần tử E-lọc chính quy sao cho d(E/zE) m. Nếu E/zE là m-chính quy hình học thì 9 E là (m + p E (m) h E/L (m))-chính quy hình học, ở đây L ký hiệu là môđun con lớn nhất của E có độ dài hữu hạn. 1.3 Môđun phân bậc liên kết Cho (A, m) là vành địa phơng, I là iđêan m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh. Ký hiệu G I (M) = n0 I n M/I n+1 M. Ngời ta gọi G I (M) là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I. Đặc biệt, G I (A) là vành phân bậc chuẩn trên vành địa phơng artin A/I và đợc gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I. Chú ý rằng G I (M) là G I (A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(G I (M)) = dim(M). Ký hiệu R I (A) = n0 I n là đại số Rees của A ứng với iđêan I. Ooishi đã chứng minh rằng reg(R I (A)) = reg(G I (A)). Ta có thể biểu diễn R I (A) = A[T ]/J, trong đó J là iđêan thuần nhất của vành đa thức A[T ]. Ta định nghĩa kiểu quan hệ (relation type) reltyp e( I) của I là bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu thuần nhất bất kỳ của J, nghĩa là reltype(I) = d(J). Bổ đề sau đây cho chúng ta biết mối quan hệ giữa reltype(I) và reg(G I (A)). Bổ đề 1.3.1. reltype(I) reg(G I (A)) + 1. Qua bổ đề trên ta thấy rằng để ớc lợng reltype(I) ta chỉ cần ớc lợng reg( G I (A)). Đó cũng là một phơng pháp để nghiên cứu kiểu quan hệ. Ta thờng ký hiệu H M (n) := (M/I n+1 M) là hàm Hilbert-Samuel của M ứng với iđêan I. Samuel đã chứng tỏ rằng khi n đủ lớn hàm này là một đa thức bậc d với hệ số thuộc Q. Đa thức này đợc gọi là đa thức Hilbert-Samuel và đợc ký hiệu là P M (n). Số nguyên nhỏ nhất n 0 sao cho H M (n) = P M (n) với mọi n n 0 đợc gọi là chỉ số Hilbert của M ứng với I, ta ký hiệu M (I) cho số nguyên này. Bổ đề sau đây cho một chặn trên của M (I). [...]... một chặn trên tờng minh cho chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết theo bậc lũy linh của iđêan nguyên sơ I và một số bất biến khác của M Từ đó đa ra đợc các chặn trên cho chỉ số Hilbert, kiểu quan hệ và số mũ rút gọn theo bậc lũy linh và một số bất biến khác của M - Đa ra một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết của vành Cohen-Macaulay suy rộng Từ đó thu đợc một chặn. .. Chơng 2 Chặn trên cho chỉ số chính quy Trong chơng này, (A, m) là vành Noether địa phơng, I là iđêan m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d Mục đích chính của chơng này là thiết lập các chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của GI (M ) theo một số bất biến của M ứng với iđêan I Từ đó suy ra rằng chỉ tồn tại hữu hạn số hàm Hilbert-Samuel của M ứng với I nếu cho trớc một số. .. chặn trên cho chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết theo chiều và bậc mở rộng của M Từ đó suy ra chỉ số Hilbert, kiểu quan hệ, số mũ rút gọn đợc chặn trên bởi một hàm của chiều và bậc mở rộng của M - Đa ra đợc các chặn trên cho hệ số Hilbert của M ứng với iđêan nguyên sơ theo chiều và bậc mở rộng của M Từ đó chứng minh đợc rằng chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của môđun nếu cho. .. chúng tôi Chơng 3 Chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy Trong Chơng 2, chúng tôi đã thiết lập các chặn trên cho reg(GI (M )) theo một số bất biến của M ứng với I Chúng ta thấy rằng các chặn trên đó phụ thuộc vào iđêan I Mục đích của chơng này là nghiên cứu chặn phổ dụng (uniform bound) cho reg(GI (A)), với I là iđêan tham số Chặn phổ dụng có nghĩa là chặn trên không phụ thuộc vào iđêan tham số đợc xét 3.1... tôi nghiên cứu một số tính chất của phần tử GI (M )-lọc chính quy liên quan đến chỉ số chính quy của GI (M ) Ta biết rằng chỉ số chính quy của GI (M )/x GI (M ) và GI (M/xM ) nói chung là khác nhau Tuy nhiên, chỉ số chính quy hình học của chúng là bằng nhau Bổ đề 1.4.3 Cho x I\mI sao cho dạng khởi đầu x của x trong G là phần tử GI (M )-lọc chính quy Khi đó g-reg(GI (M )/x GI (M )) = g-reg(GI (M/xM ))... Điều này cho thấy tính u việt khi sử dụng phơng pháp mà Rossi, Trung và Valla đề xuất để nghiên cứu chỉ số chính quy của vành và môđun phân bậc liên kết Gần đây, Aberbach đã đa ra một phản ví dụ cho giả thuyết Huneke và đa ra một chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ của iđêan tham số trên lớp vành mới Từ Định lý trên, ta cũng thu đợc một chặn phổ dụng cho chỉ số Hilbert của iđêan tham số Hệ quả 3.2.3 Cho A... tại một số nguyên r sao cho, với mọi iđêan q sinh bởi một phần hệ tham số của A, chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết của A/q ứng với iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r (iii) Tồn tại một số nguyên r sao cho, với mọi iđêan q sinh bởi một phần hệ tham số của A, kiểu quan hệ của iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r Định lý trên chứng tỏ rằng nếu tồn tại một chặn phổ dụng cho kiểu... (ii) |ei (I, M )| (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!i+1 1 nếu i 2 Từ định lý trên ta thu nhận đợc hệ quả sau: Hệ quả 2.3.2 Cho trớc hai số nguyên dơng d và q Chỉ tồn tại một số hữu hạn các hàm Hilbert-Samuel của A-môđun M ứng với iđêan m-nguyên sơ I của vành địa phơng (A, m) sao cho dim M = d và D(I, M ) q 2.4 Chặn trên cho chỉ số chính quy theo bậc lũy linh Trong mục này (A, m) là vành địa phơng Noether,... nói rằng chỉ số chính quy của GI (M ) cho ta một chặn trên của chỉ số Hilbert M (I) Kết quả này đem lại một phơng pháp ớc lợng M (I) thông qua việc ớc lợng reg(GI (M )) Iđêan J I đợc gọi là rút gọn của I nếu có một số nguyên không âm n sao cho I n+1 = JI n Một rút gọn của I đợc gọi là rút gọn tối tiểu nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của I Nếu J là một rút gọn tối tiểu của I thì số mũ... n(I)3d!d 1 nếu d 2 Nhận xét Nếu A là vành Cohen-Macaulay thì Schwartz đã chỉ ra sự tồn tại một chặn trên cho số mũ rút gọn của I theo bậc lũy linh n(I) Tuy nhiên, chặn trên của Schwartz không tờng minh Từ Định lý 2.4.3 và Định lý 2.3.1, ta thu đợc một chặn trên cho các hệ số Hilbert ei (I, A) theo bậc lũy linh Định lý 2.4.7 Cho (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan m-nguyên sơ của A và M là . 0. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của E là số nguyên nhỏ nhất m sao cho E là m -chính quy, nghĩa là reg(E) := min{m | E là m -chính quy} . Để đơn giản ta thờng nói chỉ số chính quy. có những vấn đề về chỉ số chính quy đã đợc thiết lập cho đại số trên một trờng nhng cha đợc phát triển cho đại số trên một vành Artin. Nh chúng tôi đã giới thiệu, chỉ số chính quy của môđun phân. G I (M)-lọc chính quy liên quan đến chỉ số chính quy của G I (M). Ta biết rằng chỉ số chính quy của G I (M)/x G I (M) và G I (M/xM) nói chung là khác nhau. Tuy nhiên, chỉ số chính quy hình học