Đang tải... (xem toàn văn)
Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai
Bộ giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Viện Toán học Trần Văn Bằng Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai Chuyên ngành: Phơng trình Vi phân và Tích phân Mã số: 62.46.01.05 Tóm tắt luận án tiến sĩ Toán học Hà Nội - 2007 Công trình đợc hoàn thành tại: Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Trần Đức Vân TS. Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 1: PGS.TS Đinh Nho Hào, Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn, Trờng ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Hoàng, Đại học Huế Luận án đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp tại: Viện Toán học - Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam vào hồi 14 giờ 00 ngày 04 tháng 10 năm 2007. Có thể tìm hiểu luận án tại: Th viện Quốc gia, Th viện Viện Toán học, Th viện Trờng ĐHSP Hà Nội 2. 1 Lời nói đầu Luận án này dành cho việc khảo sát một số tính chất định tính của nghiệm nhớt (viscosity solution)- một loại nghiệm suy rộng toàn cục, cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp hai. Việc nghiên cứu phơng trình vi phân phi tuyến nói chung, phơng trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đ và đang là một vấn đề hết sức cần thiết của Giải tích hiện đại. Phơng pháp đặc trng đ chỉ rõ, nghiệm cổ điển của các phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung chỉ tồn tại địa phơng, vì vậy muốn có nghiệm toàn cục thì nhất thiết phải mở rộng khái niệm nghiệm. Đến đầu thập kỷ 80, thế kỷ 20, M. G. Crandall và P L. Lions đ giới thiệu một khái niệm nghiệm suy rộng mới là nghiệm nhớt cho phơng trình Hamilton-Jacobi trong không gian hữu hạn chiều và đ đa lý thuyết nghiệm toàn cục của phơng trình vi phân phi tuyến lên một bớc phát triển mới. Cho đến nay, đ có rất nhiều kết quả đẹp đẽ liên quan đến nghiệm nhớt cho phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một; khái niệm nghiệm này cũng đ đợc đa ra cho các phơng trình đạo hàm riêng cấp hai trong không gian hữu hạn chiều và cho các phơng trình cấp một, cấp hai trong không gian vô hạn chiều. Với khái niệm nghiệm suy rộng này, các tác giả đ đạt đợc các định lý tổng quát về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, , và có nhiều ứng dụng, đặc biệt là đối với lý thuyết điều khiển tối u, lý thuyết trò chơi vi phân. Trong luận án này, H đợc dùng để ký hiệu một không gian Hilbert thực, tách đợc, với tích vô hớng ., . và chuẩn đợc sinh bởi tích vô hớng là |.|. Với một hàm v : H R, chúng ta sẽ gọi đạo hàm Frechet cấp một và cấp hai của v tại điểm x tơng ứng là Dv(x) và D 2 v(x). Bằng cách đồng nhất không gian đối ngẫu H với H, chúng ta có thể coi Dv(x) nh một phần tử thuộc H và D 2 v(x) nh một dạng song tuyến tính đối xứng, bị chặn trong H hoặc một phần tử thuộc S(H) tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trong H với quan hệ thứ tự thông thờng cho bởi: X 0 X, 0, H và X Y Y X 0. Lý thuyết nghiệm nhớt áp dụng đối với các phơng trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hoàn toàn có dạng: G(x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) = 0, (PDE) cho phép một hàm u : H R chỉ cần liên tục là nghiệm của phơng trình đạo hàm riêng cấp hai (PDE). Sau đây, để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi thờng viết (PDE) dới dạng G(x, u, Du, D 2 u) = 0. Để đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho (PDE) thì hàm G phải thoả mn điều 2 kiện cấu trúc: G(x, r, p, X) G(x, s, p, Y ) khi r s và Y X; (0.1) trong đó r, s R; x, p H; X, Y S(H). Điều kiện (0.1) đợc thành lập từ hai điều kiện G(x, r, p, X) G(x, s, p, X) khi r s, và G(x, r, p, X) G(x, r, p, Y ) khi Y X. (0.3) Khi hàm G thoả mn điều kiện (0.3) thì G và phơng trình G = 0 đợc gọi là elliptic suy biến (có một số ít bài báo sử dụng các điều kiện ngợc với điều kiện (0.1), khi đó bất đẳng thức trong định nghĩa nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt cũng đổi chiều theo). Khi số chiều của không gian H bằng N, chúng ta đồng nhất H với R N , không gian Euclide N chiều. Lúc này, tập S(R N ) đồng nhất với tập tất cả các ma trận đối xứng thực cấp N ì N và (PDE) đợc gọi là phơng trình trong không gian hữu hạn chiều. Sự phát triển của lý thuyết trong trờng hợp này đợc chia thành hai hớng chính: lý thuyết nghiệm nhớt của phơng trình với hệ số liên tục (khi hàm G liên tục) và của phơng trình với hệ số không liên tục (khi hàm G không liên tục). Các kết quả gắn liền với tên của các nhà toán học nh M. G. Crandall, H. Ishii, Lions P L., R. Jensen, A. ' Swiech, L. A. Caffarelli, X. Cabr ' e, M. Kocan, L. Escauriaza, K. Fox, P. Soravia, G. C. Dong, L. Wang. Khi (PDE) là phơng trình với hệ số không liên tục, các tác giả đ đa ra khái niệm L p nghiệm nhớt. Ngoài các định lý về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, các tác giả còn chỉ ra mối quan hệ của L p nghiệm nhớt với một loạt các khái niệm nghiệm suy rộng nh: L p nghiệm mạnh (strong solution) (hàm u W 2,p loc và thoả mn (PDE) hầu khắp nơi), nghiệm từng điểm hầu khắp nơi (pointwise almost everywhere solution) (hàm u thoả mn (PDE) tại hầu hết các điểm, với Du, D 2 u đợc hiểu tại từng điểm và không phải theo nghĩa phân bố, u cũng không nhất thiết thuộc không gian W 2,p loc ). Việc nghiên cứu mối quan hệ của L p nghiệm nhớt với các loại nghiệm suy rộng khác, giúp cho chúng ta có cái nhìn thấu đáo hơn về loại nghiệm suy rộng thú vị này. Năm 2002 R. Jensen, M. Kocan, và A. ' Swiech đ chỉ ra sự tơng đơng của L p nghiệm nhớt với khái niệm L p nghiệm tốt (good solution) (hàm u là giới hạn trong không gian các hàm liên tục của một dy các L p nghiệm mạnh của các phơng trình xấp xỉ) cho các phơng trình elliptic đều. Ngay từ khi nhận đợc bản preprint từ Giáo s A. ' Swiech về kết quả đó, Giáo s Trần Đức Vân đ đặt bài toán cho tôi xây dựng khái niệm L p nghiệm tốt cho phơng trình parabolic đều. Theo hớng này, tôi đ thu đợc kết quả song song với các kết quả R. Jensen, M. Kocan, A. ' Swiech. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 1. 3 Các phơng trình đạo hàm riêng trong không gian vô hạn chiều đợc phân chia thành hai loại: phơng trình bị chặn và phơng trình không bị chặn. Nếu tập xác định của hàm G là một tập mở và G bị chặn địa phơng thì (PDE) đợc gọi là phơng trình bị chặn; nếu tập xác định của hàm G chỉ trù mật trong H và G không là bị chặn địa phơng thì (PDE) đợc gọi là phơng trình không bị chặn. Các phơng trình không bị chặn đ giành đợc sự quan tâm đặc biệt của các nhà toán học trên thế giới vì nó bao gồm cả các phơng trình quy hoạch động gắn với các bài toán điều khiển tối u và trò chơi vi phân. Cụ thể, các nhà toán học đ và đang tập trung nghiên cứu các phơng trình đạo hàm riêng dừng phi tuyến đầy đủ có dạng: u + Ax, Du + F(x, Du, D 2 u) = 0 trong H (S) cùng với bài toán Cauchy u t + Ax, Du + F (x, t, Du, D 2 u) = 0 trong H ì (0, T ) u(x, 0) = g(x), x H. (CP) Trong đó, A : D(A) H H là một toán tử đóng, xác định trù mật trong H, các ký hiệu Du và D 2 u trong (CP) lần lợt là đạo hàm Fr ' echet cấp một và cấp hai của hàm u theo biến không gian x, F là một hàm liên tục. Tính không bị chặn gây nên do số hạng Ax, Du. Cách tiếp cận, cũng nh những kỹ thuật mang tính nền móng khi nghiên cứu nghiệm nhớt của các phơng trình trên đ đợc giới thiệu bởi Crandall M.G. và Lions P L Sau đó có hai hớng phát triển chính là: mở rộng nghiên cứu cho cả các phơng trình của các hàm đa trị của H. Ishii và phát triển các kỹ thuật để thích ứng với lớp các phơng trình có độ không bị chặn cao hơn của nhóm tác giả Gozzi F., Roy E., Sritharan S.S., và A. ' Swiech. Năm 2000, Gozzi F., Rouy E. và A. ' Swiech đ đề xuất cách tiếp cận phơng trình (S) theo nghĩa nghiệm nhớt khi hàm F cũng gây nên tính không bị chặn. Tiếp theo sự phát triển đó, chúng tôi đ đa ra đợc khái niệm nghiệm nhớt cho (CP) và đ chứng minh đợc cả sự tồn tại lẫn tính duy nhất của khái niệm nghiệm nhớt đó khi hàm F cũng gây nên tính không bị chặn. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 3. Thành công của lý thuyết về nghiệm nhớt một lần nữa đợc khẳng định khi Gozzi F., Sritharan S. S. và A. ' Swiech nghiên cứu các phơng trình quy hoạch động gắn với điều khiển tối u của hệ phơng trình Navier-Stokes. Các tác giả đ đa ra khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán u t Ax + B(x, x), Du + F (x, t, Du) = 0, (x, t) H ì (0, T) u(x, T) = g(x), x H. 4 và cho bài toán u t Ax + B(x, x), Du + tr(QD 2 u(t, x)) + F (x, t, Du) = 0, (x, t) H ì (0, T) u(x, T) = g(x), x H. ở đó, H là không gian Hilbert, A, B tơng ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler (chi tiết xem Mục 2.1.4), Q là toán tử hiệp phơng sai (covariance), dơng, có tr(Q) < . Từ các kết quả trên, chúng tôi đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho lớp phơng trình tổng quát u + Ax + B(x, x), Du + F (x, Du, D 2 u) = 0 trong H, (S2) với hàm F cũng sinh ra tính không bị chặn và đ chứng minh đợc tính duy nhất của nghiệm nhớt đó. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 2. Nh vậy, nội dung của luận án gồm ba chơng. Chơng 1 trình bày khái niệm L p -nghiệm tốt cho phơng trình parabolic cấp 2 đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều, chứng minh sự tồn tại của L p nghiệm tốt cho lớp phơng trình đó (với một số điều kiện bổ sung), đồng thời chỉ ra sự tơng đơng của L p -nghiệm tốt với L p -nghiệm nhớt. Kết quả này cho chúng ta thêm một sự hiểu biết về L p -nghiệm nhớt. Trong Chơng 2, chúng tôi đa ra khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính duy nhất nghiệm nhớt cho một lớp các phơng trình tổng quát (S2). Chơng 3 dành cho việc giới thiệu khái niệm nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy (CP) trong trờng hợp hàm F có dáng điệu xấu (bad behavior) theo cả x, t, Du và D 2 u. Với khái niệm nghiệm đó, chúng tôi đ nhận đợc các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm nhớt của (CP) dới những điều kiện nhất định. Sau đây chúng tôi viết tắt tơng ứng bởi t và hầu khắp nơi bởi h.k.n 5 Chơng 1 Nghiệm tốt của phơng trình parabolic cấp 2 đều Trong chơng này chúng tôi đề xuất khái niệm L p nghiệm tốt cho phơng trình parabolic cấp 2 đều, đồng thời chúng tôi cũng sẽ chứng tỏ rằng L p nghiệm tốt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phơng trình parabolic đều tơng đơng với L p nghiệm nhớt của bài toán đó. 1.1. Một số ký hiệu và kiến thức cơ sở Ký hiệu R N , N 1 là không gian Euclide N chiều. Gọi S(R N ) là tập hợp tất cả các ma trận đối xứng thực cấp N ì N. Với một ma trận thực cấp N ì N bất kỳ Y = (a i,j ) thì vết của Y xác định bởi tr(Y ) = N i=1 a i,i . Giả sử X S(R N ), X = X + X với X + 0, X 0. Khi đó ta sử dụng chuẩn X = trX + + trX . Cho 0 < là các hằng số. Các toán tử cực trị Pucci ứng với và là các phiếm hàm xác định trên S(R N ) và đợc định nghĩa bởi P + , (X) = tr(X + ) + tr(X ), P , (X) = tr(X + ) + tr(X ). Trong toàn bộ Chơng 1, R N (N 2) luôn đợc giả thiết là một miền bị chặn và thoả mn điều kiện nón ngoài đều, tức là tồn tại (0, ) và một số r 0 > 0 sao cho, với mỗi z có một phép quay = (z) thoả mn B r 0 (z) {z} + (T ), trong đó T = {x = (x 1 , ã ã ã , x N ) R N : x N (cos )|x| }; với biên và bao đóng ; B r (x 0 ) là hình cầu mở trong R N với bán kính r và tâm tại x 0 . Ký hiệu B r = B r (0). Đặt Q = ì (0; T] (T > 0); p Q := ( ì (0, T ]) ( ì {0}) đợc gọi là biên parabolic của Q. Ký hiệu Q r := B r ì (r 2 , 0]. Khi đó, lân cận parabolic của điểm (x, t) Q là các tập hợp có dạng: Q r (x, t) = Q r + {(x, t)}. Khoảng cách parabolic giữa (x, t) và (y, s) trong R N ì R là d((x, t), (y, s)) = (|x y| 2 + |t s|) 1/2 . 6 Với khoảng cách này, thì đờng kính diam(Q) và các khoảng cách dist((x, t), p Q), dist(Q , p Q), Q Q là các hàm đo đợc. Khi Q Q và dist(Q , p Q) > 0 thì ta viết Q Q. Xét phơng trình có dạng u t + G(x, t, u, Du, D 2 u) = 0, (PE) trong đó G(x, t, r, p, X) : Q ì R ì R N ì S(R N ) R là hàm chỉ cần đo đợc theo (x, t). Nh vậy, các điều kiện đặt ra chỉ cần thoả mn với hầu hết (x, t) Q, nhng để đơn giản trong cách trình bày, chúng tôi vẫn viết là với mọi (x, t) Q. Ta nói (PE) là phơng trình parabolic đều nếu có các hằng số 0 < sao cho tr(P ) G(x, t, r, p, X P ) G(x, t, r, p, X) tr(P) với P 0 và với mọi x, t, r, p, X. Giả sử O R N+1 là một tập đo đợc tùy ý. Chúng ta sử dụng một số không gian nh: L p (O) : không gian các hàm p khả tích trên O với chuẩn f L p (O) = ( O |f(x, t)| p dxdt) 1 p ; L (O) : không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên O với chuẩn f L (O) = esssup O |f(x, t)|; W 2,1,p (O) : không gian các hàm f có tính chất f, Df, D 2 f và f t thuộc L p (O) với chuẩn f W 2,1,p (O) = f p L p (O) + f t p L p (O) + Df p L p (O) + D 2 f p L p (O) 1 p ; cùng với các không gian địa phơng tơng ứng; C(O) là tập hợp tất cả các hạn chế trên O của các hàm thuộc C(R N+1 ), có chuẩn u L (O) < . 1.2. Các giả thiết cơ bản Từ đây đến hết chơng này, ta giả sử , là các hằng số dơng cố định. Bằng cách đặt f(x, t) := G(x, t, 0, 0, 0), F (x, t, r, p, X) := G(x, t, r, p, X) + f(x, t), ta có F (x, t, 0, 0, 0) 0. (1.1) và chúng ta có thể viết phơng trình (PE) dới dạng u t + F (x, t, u, Du, D 2 u) = f(x, t). (PE) 7 Ta giả thiết rằng f(x, t) L p (Q), p > p 0 > N + 2 2 , (1.2) trong đó p 0 < N +1 là một hằng số sao cho nguyên lý cực đại tổng quát cho phơng trình parabolic thoả mn với mọi p > p 0 . Giả thiết về hàm G xác định bởi các điều kiện: |G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, q, X)| |p q|, (1.3) P , (X Y ) G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, Y ) P + , (X Y ), (1.4) với mọi (x, t) Q, r R, p, q R n , X, Y S(R N ). Điều kiện (1.3) và (1.4) có nghĩa là: G(x, t, r, p, X) liên tục Lipschitz theo biến p R N với hằng số đều đối với các biến còn lại; G(x, t, r, p, X + P ) G(x, t, r, p, X) P nếu P S(R N ) là một ma trận dơng; G(x, t, r, p, X) liên tục Lipschitz theo X S(R N ) với hằng số đều đối với các biến khác. Nói riêng, (PE) là một phơng trình parabolic đều và (1.4) suy ra tính elliptic suy biến, G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, Y ) khi X Y. (1.5) Về sự phụ thuộc theo biến r, chúng ta giả thiết r G(x, t, r, p, X) liên tục đều, đều theo (x, t) Q, |r| + |p| + X R (R > 0). (1.6) r G(x, t, r, p, X) không giảm. (1.7) Nhận xét 1.1. (i) Hàm F trong (PE) sẽ thoả mn các điều kiện (1.3)(1.7) khi và chỉ khi G trong (PE) thoả mn các điều kiện đó. (ii) Do giả thiết p > (N +2)/2 nên W 2,1,p (Q) đợc nhúng compact trong C(Q). Hơn nữa, nếu u W 2,1,p loc (Q) thì u khả vi parabolic hai lần h.k.n Ví dụ điển hình về hàm G thỏa mn các điều kiện chỉ ra là các toán tử cực trị Pucci và G(x, t, r, p, X) =sup à inf {tr(A à, (x, t)X) + B à, (x, t), p + c à, (x, t)r f à, (x, t)}, trong đó à, chạy trên các tập chỉ số không quá đếm đợc nào đó; các ma trận A à, = (a à, i,j ) S(R N ), các véc tơ B à, = (b à, 1 , ã ã ã , b à, N ) R N , các hàm số c à, , f à, đều đo đợc theo (x, t) và thỏa mn 0 < I A à, (x, t) I, |B à, (x, t)| , 0 c à, (x, t) , g(x, t) := sup à inf f à, (x, t) L p (Q), p > p 0 đều đối với à, . 8 1.3. Một số khái niệm nghiệm Với hàm f : R n R, x 0 R n , ký hiệu ess limsup xx 0 f(x) = lim r0 {ess sup xB r (x 0 ) f(x)}; ess liminf xx 0 f(x) = lim r0 { ess inf xB r (x 0 ) f(x)}. Định nghĩa 1.2. Hàm u C(Q) đợc gọi là một L p nghiệm dới nhớt của (PE) trong Q, nếu với mỗi hàm W 2,1,p loc (Q) khi u có cực đại địa phơng tại (x, t) ì (0, T) thì ess liminf (x,t)(x, t) t (x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D 2 (x, t) 0. Hàm u C(Q) đợc gọi là một L p nghiệm trên nhớt của (PE) trong Q, nếu với mỗi hàm W 2,1,p loc (Q) khi u có cực tiểu địa phơng tại (x, t) ì (0, T) thì ess limsup (x,t)(x, t) t (x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D 2 (x, t) 0. Một hàm vừa là L p nghiệm dới nhớt, vừa là L p nghiệm trên nhớt của (PE) thì đợc gọi là một L p nghiệm nhớt của phơng trình đó. Một cách tơng đơng: Hàm u C(Q) là L p nghiệm dới nhớt của (PE) trong Q nếu với mỗi hàm W 2,1,p loc (Q) và (x, t) ì (0, T ) là một điểm sao cho t (x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D 2 (x, t)) , với một > 0 và với hầu hết (x, t) thuộc một lân cận Euclide của (x, t) trong R N+1 , thì u không thể có cực đại địa phơng tại (x, t). Khái niệm L p nghiệm trên nhớt cũng cũng có khẳng định tơng đơng nh vậy nhng đổi chiều các bất đẳng thức và thay cực đại địa phơng bởi cực tiểu địa phơng. Nhận xét 1.3. i) Với các giả thiết ở Mục 1.2, Crandall và Lions đ chỉ ra rằng: chúng ta có thể thay lân cận Euclide của điểm (x, t) trong Định nghĩa 1.2 bởi lân cận parabolic. Nói cách khác, trong các giới hạn có thể yêu cầu t t. ii) Các khái niệm trong Định nghĩa 1.2 là các khái niệm có tính địa phơng. Do vậy chúng không thay đổi khi ta thay giả thiết W 2,1,p loc (Q) bởi W 2,1,p trong một lân cận của (x, t). Tiếp theo là khái niệm L p nghiệm mạnh. Định nghĩa 1.4. Hàm u đợc gọi là một L p nghiệm dới mạnh (L p nghiệm trên mạnh) của (PE) trong Q, nếu u W 2,1,p loc (Q) và u t (x, t) + G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D 2 u(x, t)) 0 [...]... nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm suy rộng, đặc biệt l nghiệm nhớt cho một số lớp phơng trình vi phân đạo h m riêng phi tuyến đầy đủ cấp hai Các kết quả chính của Luận án bao gồm: 1 Đề xuất khái niệm Lp nghiệm tốt cho phơng trình đạo h m riêng parabolic cấp 2 đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều Chỉ ra sự tồn tại Lp nghiệm mạnh (Định lý 1.18) v Lp nghiệm tốt (Định lý... (x, t)) 0) t H m u đợc gọi l nghiệm nhớt của phơng trình trong (CP) nếu nó vừa l nghiệm trên nhớt, vừa l nghiệm dới nhớt của phơng trình đó (t. 19 Kết quả của chơng n y đợc nêu trong hai định lý sau Định lý 3.4 (Sự so sánh nghiệm) Cho Giả thiết F2 Giả sử u, v : H ì (0, T ) R tơng ứng l nghiệm dới nhớt v nghiệm trên nhớt của phơng trình trong (CP) Nếu có một hằng số M sao cho u(x, t), v(x, t), |g(x)|... của b i toán Cauchy-Dirichlet cho một lớp các phơng trình parabolic cấp 2 đều Chứng minh đợc mỗi Lp nghiệm nhớt cũng l một Lp nghiệm tốt (Định lý 1.20) đối với một lớp phơng trình parabolic cấp 2 đều 2 Xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho một lớp phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp hai dừng, gắn với toán tử Stokes v toán tử Euler trong không gian H = L2 ( ) với R2 Chứng minh tính duy nhất của nghiệm. .. con bị chặn của H Ta có kết quả sau đây Định lý 2.14 Với giả thiết F1 Giả sử u, v M với một hằng số M n o đó, u, v lần lợt l nghiệm dới nhớt v nghiệm trên nhớt của (S) Nếu u v v liên tục Lipschitz địa phơng theo |.| trên các tập con bị chặn của H thì u v trên H Hơn nữa, nếu (S) có nghiệm nhớt u K thì nghiệm đó l duy nhất 17 Chơng 3 Nghiệm nhớt của bài toán Cauchy cho phơng trình đạo hàm riêng parabolic... trên p Q t có một Lp nghiệm tốt Tiếp theo, chúng ta xét b i toán Cauchy-Dirichlet u + F (x, t, Du, D2u) = f (x, t) trong Q, u = trên p Q t (1.15) Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi Lp -nghiệm nhớt của (1.15) cũng l một Lp nghiệm tốt của b i toán đó Theo kết quả đ biết về tính ổn định của Lp nghiệm nhớt của ' M G Crandall, M Kocan v A Swiech, mỗi Lp nghiệm tốt cũng l một Lp -nghiệm nhớt Định lý 1.20 Giả... B(x, x), D(x) + F (x, D(x), D2(x)) 0) H m u đợc gọi l nghiệm nhớt của (S) nếu nó vừa l nghiệm dới nhớt, vừa l nghiệm trên nhớt của phơng trình đó Nhận xét 2.13 Khi chúng ta hạn chế trong không gian hữu hạn chiều, chẳng hạn HN thì phơng trình (S) trở th nh một phơng trình với hệ số liên tục v khái niệm nghiệm nhớt ở đây trùng với khái niệm Cnghiệm nhớt đ nêu trong Mục 2.1.3 Gọi K l họ tất cả các h m... t, Dum , D2um ) = fm (x, t) trong Q t 2,1,p có Lp nghiệm mạnh um C(Q) Wloc (Q) Hơn nữa um u trong C(Q) 11 Chơng 2 Tính duy nhất nghiệm nhớt của phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 2 trong không gian con của L2( )2 với R2 Chơng n y d nh cho vi c nghiên cứu nghiệm nhớt của phơng trình u(x) + Ax + B(x, x), Du(x) + F (x, Du(x), D2 u(x)) = 0, (S) trong đó A, B tơng ứng l toán tử Stokes v toán tử... G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D2u(x, t)) t 0) h.k.n trong Q H m u đợc gọi l một Lp nghiệm mạnh của (PE) nếu nó vừa l Lp nghiệm dới mạnh, vừa l Lpnghiệm trên mạnh của phơng trình đó Trong Luận án chúng tôi còn đa ra khái niệm nghiệm từng điểm hầu khắp nơi, một số tính chất của các loại nghiệm n y v mối liên hệ giữa chúng 1.4 Nghiệm tốt Định nghĩa 1.15 Ta nói d y h m G1 , G2, , Gm , thoả m n các điều kiện... x x x Tơng tự, u LSC( ) đợc gọi l Cnghiệm trên nhớt của phơng trình (2.4) trong nếu với mỗi C 2( ), khi x l điểm cực tiểu địa phơng của u thì G(, u(), D(), D2 ()) 0 x x x x H m u đợc gọi l Cnghiệm nhớt của (2.4) trong nếu nó vừa l Cnghiệm dới nhớt vừa l Cnghiệm trên nhớt (do vậy u C( )) của phơng trình đó 2.1.4 Toán tử Stokes v toán tử Euler Giả sử R2 l một miền mở, bị chặn với biên trơn Ký... nghiên cứu của Luận án vẫn còn một số vấn đề mở, ví dụ nh: a) Khảo sát sự tồn tại của nghiệm nhớt trong Chơng 2; b) Nghiên cứu tính chất chính quy của nghiệm nhớt Danh mục công trình của tác giả đã công bố 1 Tran Van Bang (2006), The uniqueness of viscosity solutions of the second order nonlinear partial differential equations in a Hilbert space of two-dimensional functions, Acta Mathematica Vietnamica, . tạo Vi n Khoa học và Công nghệ Vi t Nam Vi n Toán học Trần Văn Bằng Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai Chuyên ngành: Phơng trình Vi phân. này dành cho vi c khảo sát một số tính chất định tính của nghiệm nhớt (viscosity solution)- một loại nghiệm suy rộng toàn cục, cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp hai. Vi c nghiên. Cho đến nay, đ có rất nhiều kết quả đẹp đẽ liên quan đến nghiệm nhớt cho phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một; khái niệm nghiệm này cũng đ đợc đa ra cho các phơng trình đạo hàm riêng cấp