Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình p(f) = q(g) và BI URS cho hàm phân hình trên trường không acsimet
1 Lời mở đầu Năm 1926, Nevanlinna đà chứng minh: hàm phân hình C xác định cách ảnh ngợc, không tính bội năm giá trị phân biệt Định lý năm điểm Nevanlinna suy hai hàm nguyên khác chung bốn giá trị hữu hạn phải trùng (ta nói hai hàm f g chung giá trị a f (a) = g1 (a)) Kết tốt hơn, hai hàm ez ez chung 0, 1, Lý thuyết tập xác định hàm phân hình đợc Gross nêu cách tự nhiên: Liệu xét nghịch ảnh tập S mà nghịch ảnh phần tử, có nhận đợc kết tơng tự định lý năm điểm Nevanlinna không? Tức có tồn hay không tập S để với hàm phân hình f, g tho¶ m·n f −1 (S) = g −1 (S) kÐo theo f = g? Ký hiƯu W lµ tr−êng số phức C trờng K đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) vành hàm chỉnh hình W, M(W) trờng hàm phân hình W, An (W), Pn (W) theo thứ tự không gian affin xạ ảnh n-chiều trờng W Giả sử S tập không rỗng W = W {}, F họ hàm xác định W lấy giá trị W, f F Đặt Ef (S) = a∈S Ef (S) = a∈S {(z, m) ∈ WxN | z không điểm bội m f a} {z W | z không điểm f a} Hai hàm phân hình f, g đợc gọi chung S, tính bội (tơng øng, kh«ng tÝnh béi) nÕu Ef (S) = Eg (S) (t−¬ng øng, Ef (S) = Eg (S)) TËp S gäi tập xác định (tơng ứng, tập xác định không tính bội) cho họ hàm F, kí hiệu U RS (tơng ứng, URSIM ), với hàm f, g F thoả mÃn Ef (S) = Eg (S) (t−¬ng øng, Ef (S) = Eg (S)) f = g Khái niệm sau ®−ỵc ®−a bëi Gross - Yang Hä S = (S1 , S2 , , Sn ) tập không rỗng S1 , S2 , , Sn ⊂ W, Si ∩ Sj = φ, n đợc gọi n-URS (tơng ứng, n-URSIM) cho họ hàm F với hàm f, g ∈ F tho¶ m·n Ef (S) = Eg (S) (tơng ứng, Ef (S) = Eg (S)) f = g, víi Ef (S) = (Ef (S1 ), Ef (S2 ), Ef (Sn )), Ef (S) = (Ef (S1 ), Ef (S2 ), Ef (Sn )) 1-URS (tơng ứng, 1-URSIM) URS (tơng ứng, URSIM), 2-URS (2-URSIM) gọi i=j bi-URS (bi-URSIM) Với hä S = (S1 , S2 , , Sn ), định nghĩa số phần tử S lµ #S = #S1 + #S2 + + #Sn , đó, #Si số phần tư cđa Si Ký hiƯu cn (F) := min{#S | S lµ n−U RS cho F}, in (F) := min{#S | S lµ n−URSIM cho F} Lý thut vỊ tập xác định nghiên cứu theo hớng sau: (1) Tìm n-URS n-URSIM cho A(W), M(W) víi sè phÇn tư bÐ nhÊt cã thĨ Từ xác định cn , in cho A(W), M(W) với n (2) Tìm đặc trng n-URS n-URSIM cho A(W), M(W) Theo hớng nghiên cứu thứ hai, năm 1997, Boutabaa, Escassut Haddad đa đặc trng URS cho đa thức trờng đóng đại số Năm 1999, Cherry Yang đà mở rộng kết cho A(K) Hai năm sau, Khoái - An đà đa đặc trng URS cho M(C) Năm 2002, Wang đa đặc trng bi-URS cho M(L) với L trờng đóng đại số có đặc số p Theo hớng thứ nhất, C, định lý năm điểm Nevanlinna tơng ứng với n = Trờng hợp n = 1, kết tốt URS cho M(C) có 11 phần tử Trên K, Hu - Yang đà tồn URS cho M(K) có 10 phần tử, tập có số phần tử đà tìm đợc Trờng hợp n = 2, năm 1996, Li -Yang đà chứng minh, C tồn bi-URS cho hàm phân hình có dạng (S, {}) với #S 15 Trên trờng K, năm 1971, Adams Straus đà ra: với a = b, cặp ({a}, {b}) bi-URS cho hàm nguyên Năm 1998, Boutabba Escassut đà ra: víi mäi n ≥ vµ ω ∈ K ∪ {∞}, tån t¹i bi-URS cho M(K) cã d¹ng ({z1 , z2 , , zn }, {ω}) Còng đây, tác giả đà chứng minh không tồn t¹i bi-URS cho M(K) cã d¹ng ({z1 , z2 , z3 }, {}) Năm 2001, Khoái - An sù tån t¹i cđa bi-URS cho M(K) d¹ng ({z1 , z2 , z3 , z4 }, {ω}) Nh− vËy, vÊn ®Ị tån t¹i bi-URS cho M(K) kiĨu (1, n) ®· giải trọn vẹn n = số tốt Khi nghiên cứu toán tập xác định đa thức nhất, tác giả trớc thờng tìm điều kiƯn cho ®a thøc P (z) ®Ĩ víi h»ng sè C = 0, phơng trình P (f ) = CP (g) vµ P (f ) = P (g) chØ có nghiệm f = g Năm 2003, H H Khoái C C Yang ([41]) đà tổng quát thành vấn đề C : Tồn hay không nghiệm phân hình phơng trình hàm P (f ) = Q(g) với P, Q C[z]? Ngay lập tức, toán nhận đợc quan tâm nhiều nhà toán học giới Ngoài kết H H Kho¸i - C C Yang ([41]), cđa C C Yang P Li ([53]) C, năm gần đây, ngời ta mở rộng việc nghiên cứu toán trờng có đặc số mà tiêu biểu lµ A Escassut vµ C C Yang ([20]), A Escassut - T T H An ([5]) Trong luận án này, nghiên cứu hai vấn đề sau: Vấn đề Nghiệm phân hình phơng trình hàm P (f ) = Q(g) trờng W Vấn đề Các tập song xác định (bi-URS) cho M(K) kiểu (2, m) Luận án đợc chia thành ba chơng với phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình đà công bố 57 tài liệu tham khảo Chơng dành cho việc trình bày kiến thức sở dùng luận án Chơng dành giới thiệu kết nghiên cứu phơng trình tổng quát P (f ) = Q(g) M(K) M(C) Nội dung chơng phát biểu chứng minh điều kiện đủ để phơng trình P (f ) = Q(g) nghiệm khác M(K) M(C), điều kiện cần đủ để phơng trình P (f ) = P (g) nghiệm khác phân biệt M(K) Ngoài ra, số trờng hợp đặc biệt, cố gắng họ nghiệm phân hình khác phơng trình Chơng nghiên cứu bi-URS cho hàm phân hình trờng không Acsimet Kết chơng đa lớp bi-URS tổng qu¸t cho M(K) kiĨu (2, m) víi mäi m ≥ khẳng định m = bé Kết nghiên cứu luận án đà ®ãng gãp thĨ ®Ị tµi “Lý thut Nevanlinna p-adic ứng dụng, chơng trình nghiên cứu cấp nhà nớc, chủ nhiệm đề tài GS TSKH Hà Huy Khoái, Viện Toán học, Hà nội 4 Chơng Các kiến thức sở Nội dung chơng trình bày khái niệm sở liên quan đến toàn luận án 1.1 Trờng không Acsimet Chuẩn không Acsimet Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn không Acsimet trờng K ánh xạ | |: K R+ = [0, ) thoả mÃn điều kiện sau: (1) | x |= ⇐⇒ x = 0, (2) | xy |=| x || y |, (3’) | x + y | max {| x |, | y |} Trờng với chuẩn không Acsimet đợc gọi trờng kh«ng Acsimet Kh«ng gian p-adic Mét vÝ dơ cđa chn không Acsimet chuẩn p-adic, đợc xác định nh sau: Cho p số nguyên tố Số nguyên a bất kú cã thĨ biĨu diƠn d−íi d¹ng a = pv a , p kh«ng chia hÕt a Sè tù nhiên v đợc xác định a p, ta thu đợc hàm vp : Z \ {0} −→ Z+ , vp (a) = v Cã thể mở rộng hàm vp lên trờng số hữu tỷ: Với x = a Q, đặt b vp (x) = vp (a) − vp (b) +∞ nÕu x = nÕu x = Khi ®ã, ta cã chn p-adic t−¬ng øng, ký hiƯu | |p , Q, xác định bởi: | x |p = p−vp (x) nÕu x = nÕu x = ChØ cã hai h−íng më réng tr−êng c¸c sè hữu tỷ Q : Mở rộng theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thờng ta đợc trờng số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta đợc trờng số p-adic, kÝ hiƯu lµ Qp Gäi Qp lµ bao ®ãng ®¹i sè cđa Qp Tuy ®ãng ®¹i sè nhng Qp không đầy đủ theo tôpô không Acsimet Kí hiệu Cp = Qp trờng mở rộng đầy đủ theo tôpô không Acsimet bao đóng đại số Qp , đợc gọi trờng số phức p-adic Hàm chỉnh hình hàm phân hình p-adic Định nghĩa 1.1.4 Một chuỗi luỹ thừa f (z) = an z n , an ∈ Cp , héi tơ trªn n=0 đĩa D(0, r) gọi hàm chỉnh hình p-adic đĩa Hàm chỉnh hình toàn Cp đợc gọi hàm nguyên p-adic Giả sử f g hàm chỉnh hình p-adic không điểm chung f đợc gọi hàm phân hình p-adic đĩa Nếu g f, g hàm nguyên p-adic hàm phân hình Cp , gọi hàm đĩa Khi hàm = phân hình p-adic Không gian hyperbolic Định nghĩa 1.2.2 Giả sử D đĩa đơn vị C, khoảng cách hyperbolic hai điểm a, b D xác định ba 1 ab dhyp (a, b) := log b−a 1− − ab 1+ Cho X không gian phức liên thông, x, y X Xét dÃy hàm chỉnh hình fi : D −→ X, i = 1, 2, , m, điểm , bi ∈ D cho f1 (a1 ) = x, fm (bm ) = y, fi (bi ) = fi+1 (ai+1 ), i = 1, 2, , m−1 Khi đó, ta nói x y đợc nối với chuỗi đĩa Kobayashi Đặt dkob,X (x, y) = dX (x, y) := inf m dhyp (ai , bi ), i=1 ®ã, cùc tiĨu lÊy víi mäi c¸ch chän fi , , bi Hàm dX (x, y) xác định nửa khoảng cách X, đợc gọi nửa khoảng cách Kobayashi hai điểm x, y X Trờng hợp X không gian không liên thông, ta định nghĩa dX (x, y) = ∞ nÕu x vµ y thuéc hai thµnh phần liên thông khác Định nghĩa 1.2.3 Không gian X đợc gọi hyperbolic Kobayashi nửa khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách, nghĩa với x, y ∈ X, dX (x, y) = vµ x = y Định nghĩa 1.2.4 Không gian X đợc gọi hyperbolic Brody ánh xạ chỉnh hình từ C vào X Pn (C) ánh xạ Định lý 1.2.5 Mọi không gian hyperbolic Kobayashi không gian hyperbolic Brody Chúng ta biết rằng, C, đờng cong xạ ảnh diện Riemann ngợc lại Bởi vậy, để chứng minh đờng cong xạ ảnh C hyperbolic, ngời ta thờng sử dụng mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.2.6 Mọi diện Riemann compact có giống g đa tạp hyperbolic Kobayashi đa tạp hyperbolic Brody Nếu W trờng không Acsimet, có định lý: Định lý 1.2.7 (Picard - Berkovich) Giả sử X P2 (K) đờng cong đại số trơn xác định trờng K, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thờng, có giống gX Khi đó, ánh xạ chỉnh hình từ đờng thẳng affine A1 (K) lên X ánh xạ Nếu đờng cong X K có giống gX X đợc gọi hyperbolic K Nhận xét 1.2.8 Nếu F (x, y) đa thức W cho đờng cong đại số C = {(x, y) ∈ A2 (W) | F (x, y) = 0} có giống gC (trờng hợp phức) gC (trờng hợp p-adic) không tồn hàm phân hình phân biệt f, g khác ®Ĩ F (f (z), g(z)) = víi mäi z W 7 1.2 Các 1-dạng quy đờng cong Đại số Gọi R(X, Y, Z), S(X, Y, Z) đa thức W Đặt W1 = W (X, Y ) = X Y Y , W2 = W (Y, Z) = dX dY dY W3 = W (X, Z) = Z , dZ X Z dX dZ R(X, Y, Z) Wi , i = 1, 2, 3, gọi 1-dạng hữu tỷ P2 (W) S(X, Y, Z) 1-dạng i gọi xác ®Þnh tèt nÕu deg R + = deg S Các 1-dạng i = Giả sử F (x, y) ®a thøc bËc n ≥ cña W[x, y] KÝ hiệu F đa thức F, C C theo thứ tự đờng cong đại số xác định F A2 (W) P2 (W) Định nghĩa 1.3.1 1-dạng C đợc gọi quy hạn chế 1-dạng hữu tỷ P2 (W) cho cực điểm thuộc C 1-dạng hữu tỷ quy xác định tốt C đợc gọi 1-dạng kiểu Wronskian Mệnh đề 1.3.2 Giả sử C đờng cong đại số P2 (K) có giải kỳ dị X với giống g Khi tồn g 1-dạng hữu tỷ quy độc lập tuyến tính X (và C ) Nếu W C, có kết sau: Định lý 1.3.6 Giả sử C đờng cong đại số bất khả quy bậc n A2 (C) xác F 0, X diện Riemann thu định phơng trình affine F (x, y) = cho y đợc từ phép giải kỳ dị C Khi 1-dạng vi phân quy X (và C ) dạng vi phân có dạng (x, y)dx F (x, y) y đó, (x, y) = phơng trình đờng cong bậc n liên hợp với C Nh vậy, không gian 1-dạng vi phân X có số chiều g, với g giống X 8 Chơng Phơng trình hàm P (f ) = Q(g) K C 2.1 Những vấn đề chung Giả sử P (z), Q(z) đa thức không tuyến tính W Sử dụng công cụ hình học đại số, nghiên cứu tồn hàm phân hình khác f, g W để P (f ) = Q(g) Gọi f, g hàm phân hình thoả mÃn P (f ) = Q(g) Khi đó, với z W, điểm (f (z), g(z)) thuéc ®−êng cong Γ = {P (x) − Q(y) = 0} Nếu hyperbolic f = g Một vấn đề Hình học Đại số giống đờng cong đại số số chiều không gian 1-dạng hữu tỷ, quy xác định Vì vậy, để nghiên cứu tính hyperbolic ®−êng cong {P (x) − Q(y) = 0}, chóng t«i ớc lợng giống việc xây dựng vừa đủ 1-dạng kiểu Wronskian độc lập tuyến tính đờng cong Trớc hết, có kết sau: Bỉ ®Ị 2.1.1 NÕu degP = degQ = phơng trình P (f ) = Q(g) có nghiệm phân hình khác W Ký hiệu P (x), Q(y) đa thức W theo thứ tù bËc n, m ≥ P (x) = an xn + + a1 x + a0 , an = 0, Q(y) = bm y m + + b1 y + b0 , bm = (1.1) Khi ®ã, P (x) = nan (x − α1 )n1 · · · (x − αk )nk , Q (y) = mbm (y − β1 )m1 · · · (y − βl )ml , Kh«ng mÊt tÝnh tỉng qu¸t, ta cã thĨ xem n ≥ m §Ỉt F (x, y) := P (x) − Q(y), F (X, Y, Z) := Z n P ( P (X, Z) := Z n−1 P (x) X Y ) − Q( ) , Z Z m−1 Q (y) X , Q (Y, Z) := Z x= Z (1.2) (1.3) Y y= Z Ký hiÖu C := (X : Y : Z) ∈ P2 (W) |F (X, Y, Z) = , η= = W (Y, Z) W (X, Z) = n−m P (X, Z) Z Q (Y, Z) W (X, Y ) n−1 i=0 (n − i)ai X i Z n−1−i − m j=0 (n − j)bj Y j Z n−1−j (1.4) (1.5) Chóng ta cã bỉ ®Ị sau: Bổ đề 2.1.3 Giả sử P (z), Q(z) W[z] đa thức bậc n, m tơng ứng, , , k không điểm ph©n biƯt cđa P , β1 , , l không điểm phân biệt Q C đờng cong xạ ảnh xác định (1.4) Ký hiệu tập điễm kỳ dị cđa C Khi ®ã: (i) NÕu | n − m |< 2, th× Γ∗ = {(αi : βj : 1) | P (αi ) − Q(βj ) = 0} (ii) NÕu n − m ≥ 2, th× Γ∗ = {(αi : βj : 1) | P (αi ) − Q(βj ) = 0} ∪ {(0 : : 0)} (iii) NÕu m − n ≥ 2, th× Γ∗ = {(αi : βj : 1) | P (αi ) − Q(βj ) = 0} ∪ {(1 : : 0)} C¸c kí hiệu sau đợc dùng suốt chơng := {(αi : βj : 1) | (αi : βj : 1) điểm kỳ dị C}, := {i | tồn không điểm j Q để (αi : βj : 1) ∈ Γ}, Λ := {βj | tồn không điểm i P để (i : βj : 1)} ∈ Γ}, I := #∆, J := # Các kết luận phần lại chơng phát biểu cho trờng hợp n m Nếu m > n, cách thay đổi vai trò P Q cách thích hợp, nhận đợc kết tơng tự 10 2.2 Phơng trình hàm P (f ) = Q(g) K Trờng hợp P = Q Định lý sau điều kiện đủ để phơng trình P (f ) = Q(g) nghiệm phân hình khác K Định lý 2.2.1 Giả sử P (x), Q(y) đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng , , I, J kí hiệu đà cho trên, k l theo thứ tự số đạo hàm P Q Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f, g K để P (f ) = Q(g) điều kiện sau đợc thoả mÃn: (i) k − I ≥ n − m + 2, (ii) l − J ≥ 2, (iii) k − I = gọi không điểm P cã béi nα cho α ∈ ∆, th× / nα ≥ n − m + 2, (iv) l − J = gọi không điểm nhÊt cđa Q cho β ∈ Λ, th× β / phải không điểm bội Để chứng minh định lý này, cần bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 (i) Nếu J < l, 1-dạng := W (X, Z) mt , t|βt ∈Λ (Y − βt Z) / chÝnh quy trªn C (ii) NÕu I < k, 1-dạng := Z nm W (Y, Z) ni , i|αi ∈∆ (X − αi Z) / chÝnh quy C Giả sử ij = (i : j : 1) điểm kỳ dị C ThÕ th× n P (x) − P (αi ) = m t t=ni +1 ait (x − αi ) , Q(y) − Q(βj ) = t=mj +1 bjt (y − βj )t , 11 víi P (αi ) = Q(βj ) Do vËy, F (X, Y, Z) = Z n {P ( n X Y X Y ) − Q( )} = Z n {P ( ) − P (αi )} − {Q( ) − Q(βj )} Z Z Z Z m t = t=ni +1 ait (X − αi Z) − Z n−m t=mj +1 bjt (Y − βj Z)t Khai triĨn Piuseux F (X, Y, Z) t¹i ij , ta nhận đợc (ni + 1)ordij ,F (X − αi Z) = (mj + 1)ordρij ,F (Y − βj Z) Chóng ta cã mƯnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 2.2.3 Giả sử P (x), Q(y) hai đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng, C đờng cong xác định (1.4), P thoả mÃn điều kiện tách nghiệm J Sắp xÕp c¸c βj Λ cho m1 ≥ m2 ≥ ≥ mJ vµ lÊy (αi1 : β1 : 1), (αi2 : β2 : 1) ∈ Γ Khi đó, đờng cong C hyperbolic K điều kiện sau thoả mÃn: (i) m1 ≥ m2 ≥ 2, m1 ≥ ni1 vµ m2 ≥ ni2 , m1 + ni − m1 , (ii) ni1 > m1 ≥ m2 ≥ ni2 , m2 > vµ ≥ m1 m2 − m2 + ni − m2 (iii) m1 ≥ ni1 , ni2 > m2 ≥ 2, m1 > vµ ≥ , m2 m1 − m1 + ni − m1 ni − m2 m +1 ≥ vµ ≥ (iv) ni1 > m1 , ni2 > m2 , m2 > 2, m1 m2 − m2 m1 − Tr−êng hỵp J = #Λ = 1, có kết sau Mệnh đề 2.2.5 Giả sử P (x), Q(y) hai đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng, C đờng cong xác định (1.4), , , , J đà cho J = Kí hiệu ni bội i tơng ứng, có bội m1 Khi đó, C hyperbolic nÕu i|αi ∈∆ ni − (n − m + 2) ≥ m1 ≥ max {ni } i|αi ∈∆ Chó ý 2.2.6 NÕu k = I = J = l = 1, th× P (x) = a(x − α)n + c, Q(y) = b(y − β)m + c, a = 0, b = Khi đó, tồn hm f =α+ √ , n a hn g=β+ √ , m b tho¶ m·n P (f ) = Q(g), víi h hàm phân hình 12 Tổng hợp Mệnh đề 2.2.3, 2.2.5 Chú ý 2.2.6, ta có: Định lý 2.2.7 Cho P (z), Q(z) hai đa thức không tuyến tính bậc n, m, tơng ứng, , , I, J kí hiệu đợc định nghĩa Sắp xếp j cho m1 ≥ m2 ≥ ≥ mJ Gi¶ sư J ≥ 2, P tháa m·n điều kiện tách nghiệm (it : t : 1) với t = 1, Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f, g ®Ĩ P (f ) = Q(g) nÕu mét c¸c ®iỊu kiƯn sau tho¶ m·n: (i) m1 ≥ m2 ≥ 2, m1 ≥ ni1 vµ m2 ≥ ni2 , m1 + ni − m1 (ii) ni1 > m1 ≥ m2 ≥ ni2 , m2 > vµ , ≥ m1 m2 − m2 + ni − m2 (iii) m1 ≥ ni1 , ni2 > m2 ≥ 2, m1 > vµ ≥ , m2 m1 − m1 + ni − m1 ni − m2 m +1 (iv) ni1 > m1 , ni2 > m2 , m2 > 2, ≥ vµ ≥ m1 m2 − m2 m1 − 2 Gi¶ sư J = 1, ký hiƯu α1 , , , I không ®iĨm ph©n biƯt cđa P víi béi n1 , n2 , , nI t−¬ng øng, cho (αi : β1 : 1) ∈ Γ, i = 1, 2, , I Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f g tho¶ m·n P (f ) = Q(g) nÕu I i=1 ni − (n − m + 2) ≥ m1 ≥ max {ni } i I Gi¶ sư l = J = I = k = Khi ®ã, phơng trình P (f ) = Q(g) có nghiệm phân hình khác K Trờng hợp P Q Định lý 2.2.9 Giả sử P (z) đa thức không tuyến tính bậc n thoả mÃn điều kiện tách nghiệm, k số đạo hàm P , , k không điểm phân biệt P với bội tơng ứng n1 , n2 , , nk Sắp xếp i cho n1 n2 nk Cần đủ để không tồn hàm phân hình khác phân biƯt f, g tho¶ m·n P (f ) = P (g) k k = min{n1 , n2 } ≥ Chøng minh KÝ hiÖu H ∗ (x, y) := P (x) − P (y) X Y , F ∗ (X, Y, Z) := Z n−1 H ∗ ( , ) x−y Z Z C ∗ := {(X : Y : Z) ∈ P2 (K) |F (X, Y, Z) = 0} Đặt n4 := nan (X − Y ) (X − Y )n−3 W (X, Z) η= (Y − α1 Z)n1 (Y − αk Z)nk 13 Tõ tÝnh chÝnh quy suy điều kiện cần định lý Ngợc lại, k = 1, ký hiệu K, n = h hàm phân hình khác f = h + , g = h + , nghiệm phơng trình P (f ) = P (g) Tr−êng hỵp k = min{n1 , n2 } < 2, √ b2 − 3ac i − i+ b f ={ }{ }h + { } − , 9a 2i 2i h 3a √ √ b2 − 3ac i + i− b g={ }{ }h + { } − , 9a 2i 2i h 3a nghiệm phân hình khác phân biệt phơng trình P (f ) = P (g) NÕu k = 2, n1 ≥ vµ n2 = 1, đờng cong C có giống 0, nghĩa tồn hàm phân hình khác f, g ®Ĩ (f (z) : g(z) : 1) ∈ C Định lý đà đợc chứng minh 2.3 Phơng trình hàm P (f ) = Q(g) C Định lý 2.3.1 Giả sử P (x), Q(y) hai đa thức không tuyến tính khác C bậc n, m tơng ứng , , I, J đà cho trên, k l theo thứ tự số đạo hàm P Q Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f, g C ®Ĩ P (f ) = Q(g) nÕu mét điều kiện sau đợc thoả mÃn: (i) k I ≥ n − m + 3, (ii) l − J ≥ 3, (iii) k − I = vµ n1 + n2 ≥ n − m + 3, n1 , n2 số bội không / điểm phân biệt , P cho α1 , α2 ∈ ∆, (iv) l − J = m1 + m2 3, m1 , m2 số bội không điểm / ph©n biƯt β1 , β2 cđa Q cho β1 , β2 ∈ Λ, (v) k − I = vµ n1 ≥ n − m + víi n1 số bội không điểm P cho α1 ∈ ∆, / 14 (vi) l − J = vµ m1 ≥ víi m1 lµ số bội không điểm Q cho / Định lý 2.3.1 đợc suy trùc tiÕp tõ hai bỉ ®Ị sau: Bỉ ®Ị 2.3.2 Nếu J < l, I < k, 1-dạng θ := W (X, Z) mt , σ := t|βt ∈Λ (Y − βt Z) / Z n−m W (Y, Z) ni , i|αi ∈∆ (X − αi Z) / quy C Bổ đề 2.3.3 Nếu i|i / ni ≥ n − m + hc t|βt / mt 3, C hyperbolic Mệnh đề 2.3.4 sau tơng tự Mệnh đề 2.2.3 C Mệnh đề 2.3.4 Giả sử P, Q hai đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng, P thoả mÃn điều kiện tách nghiệm C đờng cong xạ ảnh xác định (1.4), , , J đợc định nghĩa J Sắp xếp , β2 , , βJ ∈ Λ cho m1 ≥ m2 ≥ ≥ mJ lấy hai điểm (1 : : 1), (2 : β2 , : 1) ∈ Γ Khi ®ã, ®−êng cong C hyperbolic điều kiện sau đợc thoả mÃn: (i) m1 m2 3, m1 ≥ n1 , m2 ≥ n2 , m2 + n2 − m2 (ii) m1 ≥ n1 , m1 > 3, n2 > m2 ≥ 3, ≥ , m2 m1 − m1 + n1 − m1 , (iii) n1 > m1 ≥ m2 > 3, m2 ≥ n2 , ≥ m1 m2 − m1 + n1 − m1 n2 − m2 m +1 (iv) n1 > m1 ≥ m2 > 3, n2 > m2 , ≥ vµ ≥ m1 m2 − m2 m1 − Tr−êng hỵp J = #Λ = 1, lý luận tơng tự Mệnh đề 2.2.5, ta có mệnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 2.3.6 Gi¶ sư P (x), Q(y) hai đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng, C đờng cong xác định (1.4), , , , J đà cho vµ J = KÝ hiƯu ni lµ béi cđa αi ∈ ∆ t−¬ng øng, β1 ∈ Λ cã béi m1 Khi đó, C hyperbolic i|i ni − (n − m + 3) ≥ m1 ≥ max {ni } i|αi ∈∆ NÕu k = I = J = l = 1, phơng trình P (f ) = Q(g) sÏ trë thµnh a(f − α)n = b(g )m Gọi h hàm phân hình khác h»ng bÊt kú, th× hm hn √ , g=β+ √ , f =α+ n m a b 15 lµ nghiƯm phơng trình đà cho Tổng hợp Mệnh đề 2.3.4, 2.3.6 ý trên, ta có kết sau: Định lý 2.3.8 Gọi P (z), Q(z) hai đa thức không tuyến tính khác bậc n, m tơng ứng, , , I, J kí hiệu đợc định nghĩa Sắp xếp j Λ cho m1 ≥ m2 ≥ ≥ mJ Gi¶ sư J ≥ 2, P thỏa mÃn điều kiện tách nghiệm (t : t : 1) ∈ Γ víi t = 1, Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f, g ®Ĩ P (f ) = Q(g) nÕu mét điều kiện sau thoả mÃn: (i) m1 m2 ≥ 3, m1 ≥ n1 , m2 ≥ n2 , m2 + n2 − m2 , (ii) m1 ≥ n1 , m1 > 3, n2 > m2 ≥ 3, ≥ m2 m1 − m1 + n1 − m1 (iii) n1 > m1 ≥ m2 > 3, m2 ≥ n2 , , ≥ m1 m2 − m1 + n1 − m1 m +1 n2 − m2 (iv) n1 > m1 ≥ m2 > 3, n2 > m2 , ≥ vµ ≥ m1 m2 − m2 m1 − Gi¶ sư J = 1, ký hiÖu α1 , α2 , , I không điểm phân biệt P víi béi n1 , n2 , , nI t−¬ng øng cho (αt : β1 : 1) ∈ Γ, t = 1, 2, , I Khi đó, không tồn hàm phân hình khác f g thoả mÃn P (f ) = Q(g) nÕu I t=1 nt − (n − m + 3) ≥ m1 ≥ max {nt } t I Gi¶ sư l = J = I = k = Khi đó, phơng trình P (f ) = Q(g) có nghiệm phân hình khác C Kết luận Kết chơng đa điều kiện đủ để phơng trình P (x) Q(y) = nghiệm phân hình khác K (các Định lý 2.2.1 2.2.7) C (các Định lý 2.3.1 2.3.8) Đặc biệt, K, tìm đợc điều kiện cần đủ để phơng trình P (x) = P (y) nghiệm phân hình khác phân biệt (Định lý 2.2.9) Cùng với Bổ đề 2.1.1, kết cho phép khẳng định phơng trình P (x) Q(y) = hầu nh nghiệm phân hình khác K C degP, degQ ≥ 3, cho dï ®−êng cong {P (x) Q(y) = 0} có kỳ dị hữu hạn 16 Chơng Bi-URS cho hàm phân hình trờng không Acsimet 3.1 Đặt vấn đề Việc nghiên cứu toán URS cho hàm phân hình gặp nhiều khó khăn muốn giảm số phần tử URS Cho đến cha tìm phơng pháp để xác định URS cho hàm phân hình phức (p-adic, tơng ứng) có số phần tử 11 (tơng ứng, 10) Bởi vậy, vấn đề đợc đặt tự nhiên xét xác định hàm phân hình thông qua ảnh ngợc nhiều tập hợp Theo hớng có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.2 Một họ tập không rỗng, hữu hạn đôi không giao (S1 , S2 , , Sn ), (n N ) W đợc gọi n-tập xác định (kí hiệu, n-URS) cho họ không rỗng hàm F với hàm f, g ∈ F cho Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2, , n th× f = g NÕu n = th× cặp 2-URS gọi bi-URS Một vấn đề đợc đặt ra: giả sử (S1 , S2 , , Sn ) họ tập hữu hạn đôi rời W, hÃy tìm điều kiện n Si để (S1 , S2 , , Sn ) n-URS cho hàm phân hình W Trờng hợp W C n = 5, #Si = 1, toán trở thành định lý năm điểm Nevanlinna Nếu n = toán trở thành toán tập xác định cho hàm nguyên hàm phân hình C Trên K, n = #Si = 1, có kết Adams Strauss Đối với hàm phân hình C, Yang - Li đà tồn t¹i bi-URS cã d¹ng ({∞}, S) víi #S ≥ 15 Boutabaa - Escassut ®· chøng minh r»ng, víi mäi 17 s K, tồn bi-URS cho M(K) cã d¹ng ({ω}, {u1 , u2 , , us }) Escassut - Haddad - Vidad không tồn bi-URS cho M(K) có dạng ({}, {u1 , u2 , u3 }) Năm 2001, Khoái - An, thông qua việc xây dựng điều kiện đại số cho đa thức nhất, đà chứng tỏ rằng, với đủ tổng quát ({ω}, {a1 , a2 , a3 , a4 }) lµ bi-URS cho M(K) Nh vậy, toán bi-URS cho M(K) dạng ({}, S) với S K đà giải trọn vẹn Trong phạm vi chơng này, nghiên cøu bi-URS cho M(K) d¹ng (S, T ) víi #S = 2, #T = m 3.2 Bi-URS kiÓu (2, m) cho M(K) u1 z + v1 phép biến đổi phân tuyến tính khác u2 z + v2 W Thế thì, S URS cho M(W) chØ S = ϕ(S) cịng vËy Bỉ ®Ị 3.2.2 Giả sử := Chúng ta có khái niệm sau: Định nghĩa 3.2.3 Ta nói mệnh đề S(a1 , a2 , , am ) ®óng víi a1 , a2 , , am ®đ tổng quát thuộc W tồn tập đại sè thùc sù Σ ⊂ Wm cho S(a1 , a2 , , am ) ®óng víi mäi (a1 , a2 , , am ) Wm \ Định lý 3.2.4 Nếu a1 , a2 , b1 , b2 , , bm phần tử phân biệt đủ tổng quát K, cặp ({a1 , a2 }, {b1 , b2 , , bm }) lµ bi-URS cho hàm phân hình K với m Không tồn bi-URS cho hàm phân hình K kiểu (2, m) với m < Do 3.2.2, để thuận lợi cho việc tính toán, lÊy S = {±1}, T = {0, a1 , a2 , , an }, víi c¸c ph©n biƯt, ∈ {−1, 1, 0}, i = 1, 2, n vµ n ≥ Giả sử f, g hàm / phân hình khác K thoả mÃn Ef (S) Ef (T ) = Eg (S), = Eg (T ) Khi ®ã, ta đợc (f 1)n+1 g (g a1 )2 (g − an )2 = C(g − 1)n+1 f (f − a1 )2 (f − an )2 18 §iỊu có nghĩa phơng trình (x2 1)n+1 y (y − a1 )2 (y − an )2 − C(y − 1)n+1 x2 (x − a1 )2 (x − an )2 = nhận hàm f, g nghiệm Đặt P (x, y) : = (x2 − 1)n+1 y (y − a1 )2 (y − a2 )2 (y − an )2 , F (x, y) : = {P (x, y) − P (y, x)}, x−y Fc (x, y) : = P (x, y) − CP (y, x), C = 0, X Y Fc∗ (X, Y, Z) : = Z 4(n+1) Fc ( , ), Z Z X Y F ∗ (X, Y, Z) : = Z 4n+3 F ( , ), Z Z Γc : = {(x, y) ∈ A2 (K) | Fc (x, y) = 0}, Γ : = {(x, y) ∈ A2 (K) | F (x, y) = 0}, Γ∗ : = {(X : Y : Z) ∈ P2 (K) | Fc∗ (X, Y, Z) = 0}, c Γ∗ : = {(X : Y : Z) ∈ P2 (K) | F ∗ (X, Y, Z) = 0} Khi đó, cặp (S, T ) bi-URS cho M(K) phơng trình F (x, y) = phơng trình Fc (x, y) = có nghiệm f = g M(K) Điều có nghĩa phải chứng minh đờng cong hyperbolic M(K) c Xét trờng hợp: (#S = 2, #T = 3), (#S = 2, #T > 3), (#S = 2, #T < 3) A Bi-URS kiÓu (2, 3) Bëi nhËn xÐt sau định lý 3.2.4, không tính tổng quát, ta lấy S = {−1, 1}, T = {0, a, b} víi a = b vµ a, b ∈ {−1, 1, 0} Khi ®ã, / P (x, y) = (x2 − 1)3 y (y − a)2 (y − b)2 , F (x, y) = P (x, y) − P (y, x) , x−y Fc (x, y) = P (x, y) − CP (y, x), C = 0, X Y Fc∗ (X, Y, Z) = Z 12 Fc ( , ), Z Z X Y F ∗ (X, Y, Z) = Z 11 F ( , ), Z Z 19 Γc = {(x, y) ∈ A2 (K) | Fc (x, y) = 0}, Γ = {(x, y) ∈ A2 (K) | F (x, y) = 0}, Γ∗ = {(X : Y : Z) ∈ P2 (K) | Fc∗ (X, Y, Z) = 0}, c Γ∗ = {(X : Y : Z) ∈ P2 (K) | F ∗ (X, Y, Z) = 0} Bỉ ®Ị 3.2.5 Víi a, b cho a = b, a, b = 0, ±1 vµ hƯ ⎧ ⎪x − y ⎪ ⎪ ⎨(a + b)x3 − (2ab + 3)x2 + 2(a + b)x − ab ⎪(a + b)y − (2ab + 3)y + 2(a + b)y − ab ⎪ ⎪ ⎩ F (x, y) = 0, = 0, = 0, = 0, kh«ng cã nghiệm, đờng cong kỳ dị ®iÓm sau: (±1 : ±1 : 1), (a : c : 1), (b : : 1), (0 : a : 1), (0 : b : 1), (a : a : 1), (b : b : 1), (a : b : 1), (b : a : 1), (0 : : 1), (1 : : 0), (0 : : 0), (xc : yc : 1), víi xc , yc hai ba không điểm phân biệt đa thức (a + b)z (2ab + 3)z + 2(a + b)z − ab Bëi xÐt tÝnh chÝnh quy cña ω := (y − 1)(y − yc )dx , (x2 − 1) (a + b)y − (2ab + 3)y + 2(a + b)y − ab trªn Γ∗ , ta cã mƯnh ®Ị: c MƯnh ®Ị 3.2.7 NÕu a + b = giả thiết Bổ đề 3.2.5 đợc thoả mÃn, c hyperbolic P (K) Chứng minh tơng tự Bổ đề 3.2.5, ta nhận đợc kết sau: Bổ đề 3.2.8 Nếu a, b thoả mÃn a = b, a, b = 0, hệ phơng tr×nh ⎧ ⎪(a + b)x3 − (2ab + 3)x2 + 2(a + b)x − ab = 0, ⎨ (a + b)y − (2ab + 3)y + 2(a + b)y − ab = 0, ⎪ ⎩ F (x, y) = 0, nghiệm, đờng cong P2 (K) kỳ dị điểm sau: (1 : −1 : 1), (−1 : : 1), (1 : −1 : 1), (1 : : 1), (a : : 1), (b : : 1), (0 : a : 1), (0 : b : 1), (a : b : 1), (b : a : 1), (1 : : 0), (0 : : 0) MÖnh đề sau khẳng định tính hyperbolic Mệnh đề 3.2.10 Nếu a + b = giả thiết Bổ đề 3.2.8 đợc thoả mÃn, hyperbolic trªn P2 (K) 20 NÕu a + b = 0, th× S = {−1, +1}, T = {0, a, −a} Khi ®ã, ta cã: MƯnh ®Ị 3.2.11 Víi mäi a ∈ K, a ∈ 0, ±1 , cỈp ({±1}, {0, a, a}) / bi-URS cho hàm phân hình K Tổng hợp Mệnh đề 3.2.7, 3.2.10, 3.2.11, ta có định lý sau: Định lý 3.2.12 Víi mäi a, b tho¶ m·n a = b, a, b = 0, ±1, a + b = hệ phơng trình (a + b)x3 (2ab + 3)x2 + 2(a + b)x − ab ⎪ ⎪ ⎨ (a + b)y − (2ab + 3)y + 2(a + b)y − ab ⎪ (x2 − 1)3 y (y − a)2 (y − b)2 − (y − 1)3 x2 (x − a)2 (x − b)2 ⎪ ⎪ ⎩ x−y = 0, = 0, = 0, nghiệm, cặp ({1}, {0, a, b}) bi-URS cho hàm phân hình K B Bi-URS kiểu (2, m) víi m ≥ Ta lÊy S = {±1}, T = {0, a1 , a2 , , an } (n ≥ 3) víi a1 , a2 , , an phần tư ph©n biƯt cđa K\{0, −1, 1} Ký hiƯu n σ1 := − , σ2 := (−1)2 i=1 aj , , σn := (−1)n a1 a2 an , i k t ≥ NÕu k = th× t = NÕu k = 3, bëi gi¶ thiÕt, F (di , dj ) = víi mäi i = j t = Còn k = t = 1, nhng đó, min{n1 , n2 } ≥ NÕu k = th× t = Nh− vËy, nÕu chän c¸c cho hƯ phơng trình r(x) = 0, (*) r(y) = 0, ⎪ ⎩ F (x, y) = 0, 22 kh«ng có nghiệm, Mệnh đề 3.2.15 3.2.18 Bởi vậy, đặt = (a1 ,a2 , , an ) ∈ (K)n | Ýt nhÊt mét điều kiện sau thoả mÃn (i) a1 + a2 + + an = (ii) hệ (*) có nghiệm , tập đại số (K)n (vì điều kiện xác định điều kiện đại số) = (K)n Ta nhận đợc bổ đề sau: Bổ ®Ị 3.2.20 Tån t¹i tËp ®¹i sè Σ ⊂ Kn cho víi mäi (a1 , a2 , , an ) K\, đờng cong hyperbolic P2 (K) c Định lý sau đợc suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.2.15, 3.2.18 Định lý Picard-Berkovich Định lý 3.2.21 Với a1 , a2 , , an phần tử phân biệt đủ tổng quát K, cỈp ({±1}, {0, a1 , a2 , , an }) bi-URS cho hàm phân hình K víi mäi n ≥ C Bi-URS kiĨu (2, m), m < Nhận xét 3.2.22 Không tồn bi-URS cho hàm phân hình K kiểu (2, m) với m < Chứng minh định lý 3.2.4 Định lý 3.2.4 đợc suy trực tiếp từ Định lý 3.2.12, 3.2.21, Nhận xét 3.2.22 Bổ đề 3.2.2 Kết luận Kết chơng là: - Định lý 3.2.12 cho điều kiện đủ để cặp (S, T ) kiểu (2, 3) bi-URS cho hàm phân hình K - Định lý 3.2.21 bổ đề 3.2.2 đà xây dựng đợc lớp tổng quát tập S, T kiểu (2, n) bi-URS cho hàm phân hình K với n - Định lý 3.2.4 giải hoàn chỉnh toán bi-URS kiểu (2, m) cho hàm phân hình K : Nếu S, T tập đủ tổng quát K, #S = 2, #T = m ≥ 3, th× (S, T ) bi-URS cho hàm phân hình K Kết tốt cặp (S, T ) víi #S = 2, #T < ®Ịu bi-URS cho hàm phân hình K (nhËn xÐt 3.2.22) 23 KÕt ln cđa Ln ¸n Luận án nghiên cứu hai vấn đề sau: - Nghiệm phân hình khác phơng trình hàm P (f ) = Q(g) trờng số phức trờng không Acsimet - Các tập song xác định (bi-URS) cho hàm phân hình K Các kết luận án là: Đa điều kiện đủ để phơng trình P (x) Q(y) = nghiệm phân hình khác K (bổ đề 2.1.1, định lý 2.2.1 2.2.7) C (các định lý 2.3.1 2.3.8) Đặc biệt đợc điều kiện cần đủ để phơng trình P (x) = P (y) nghiệm phân hình khác phân biệt K (định lý 2.2.9) Những kết cho phép khẳng định phơng trình P (x) Q(y) = hầu nh nghiệm phân hình khác W (là C K) toán đặt đà đợc giải trọn vẹn K Các kết H H Khoái - C C Yang ([41]), C C Yang - P Li ([53]) , A Escassut - C C Yang ([20]) suy đợc từ định lý nh hệ Xây dựng lớp tổng quát bi-URS kiểu (2, n), n cho hàm phân hình K chØ n = lµ tèt nhÊt cã thĨ Cụ thể + đa điều kiện đủ để cặp (S, T ) bi-URS kiểu (2, 3) cho hàm phân hình K (định lý 3.2.12) + xây dựng đợc lớp tổng quát tập S, T để cặp (S, T ) bi-URS kiểu (2, n) cho hàm phân hình K, với n (định lý 3.2.21 bổ đề 3.2.1, 3.2.2) + giải trọn vẹn toán tồn bi-URS kiểu (2, n) cho hàm phân hình K (định lý 3.2.4) Cùng với kết đà biết bi-URS cho hàm phân hình kiểu (1, n) víi n ≥ 4, ®ãng gãp lín nhÊt cđa phần đà giải hoàn chỉnh toán tồn bi-URS cho hàm phân hình trờng không Acsimet phơng pháp để tiếp cận vấn đề C 24 Danh mục công trình đà công bố Các kết luận án đợc công bố công trình sau: [1] Nguyen Trong Hoa, The p-adic case on the functional equation P(f)=Q(g), East-West J of Math., Vol 6, No (2004), pp 15-27 [2] Nguyen Trong Hoa, On the functional equation P(f)=Q(g) in the p-adic field, in L H Son, W Tutschke and S Jain, Methods of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publication, (2004), pp 327-334 [3] Nguyen Trong Hoa, On the functional equation P(f)=Q(g) in non- Archimedean field, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 31, No (2006), pp 167-180 [4] Nguyen Trong Hoa, On the functional equation P(f)=Q(g) in Complex numbers field, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 34, No (2006), pp 317-329 [5] Ha Huy Khoai and Nguyen Trong Hoa, Bi-URS for p-adic meromorphic functions,The Ramanujan Journal (to appear) 25 Các kết luận án đợc báo cáo hội nghị, hội thảo sau: [1] Recent trends of applied mathematics based on partial differential equations and complex analysis, ICAM Hanoi 2004, August 25- 29 [2] Không gian Hyperbolic p-adic ứng dụng, Xeminar liên phòng Đại số Lý thuyết số, Viện Toán học, Hà nội, 2005 [3] Xeminar Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh, năm 2005 2006 [4] Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô 2005, §HSP TP Hå ChÝ Minh, 25- 28 /11/2005 [5] International Conference on Number Theory and Related Topics, Institute of Mathematics, Hanoi 12-15 /12/2006 ... toán bi- URS kiểu (2, m) cho hàm phân hình K : Nếu S, T tập đủ tổng quát K, #S = 2, #T = m 3, (S, T ) bi- URS cho hàm phân hình K Kết tốt cặp (S, T ) với #S = 2, #T < bi- URS cho hàm phân hình. .. an phần tử phân bi? ??t đủ tổng quát K, cặp ({±1}, {0, a1 , a2 , , an }) bi- URS cho hàm phân hình K víi mäi n ≥ C Bi- URS kiĨu (2, m), m < Nhận xét 3.2.22 Không tồn bi- URS cho hàm phân hình K kiểu... khác phân bi? ??t M(K) Ngoài ra, số trờng hợp đặc bi? ??t, cố gắng họ nghiệm phân hình khác phơng trình Chơng nghiên cứu bi- URS cho hàm phân hình trờng không Acsimet Kết chơng đa lớp bi- URS tổng quát cho