Giáo viên Nguyễn Văn Bằng Trường THCS Bắc Sơn Sầm Sơn -0948303666 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí sinh thi chuyên tiếng Nga và Pháp) Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 25/6/2013 Câu 1: (2Điểm) : Cho biểu thức: P=         + −         −+ + 1 1 3 1 1 3 2 a a a a) Rút gọn A; b) Tìm a sao cho P= 2 1 12 a− Câu 2: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x 2 và đường thẳng y= mx- (m-2) 2 Với m là tham số . 1) xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung. 2) Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x 1 ; x 2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q= x 1 x 2 +2x 1 +2x 2 Câu 3 :( 2điểm) Giải phương trình : (x 2 +3x +3) 2 +( x 2 +3x +5) 4 =82 Câu 4 :(3 điểm ) Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm M,N,P Sao cho BM=CN=AP 1) Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau. 2) Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng 3) Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 +y 2013 =2x 1006 y 1006 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S=1-xy - - - Hết- - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1 Chữ ký giám thị số 2: O F E K J I P N M C B A Giáo viên Nguyễn Văn Bằng Trường THCS Bắc Sơn Sầm Sơn -0948303666 Hướng dẫn giải câu khó đề chuyên nga-pháp năm 2013-2014: Câu 3: (2điểm) Đặt x 2 +3x +3 = y ( y 75,0≥ ) ta có phương trình t 4 +8t 3 +25t 2 +32t -66 =0 ⇔ (t-1)(t 3 + 9t 2 +34t +66) =0 vì t 75,0≥ nên t 3 + 9t 2 +34t +66 >0 buộc t-1=0 suy ra t =1 từ đó tìm được x=-1 và x=-2 Câu 4: Lưu ý rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cũng là trọng tâm của nó hãy thực hiện các bước sau: chứng minh: tam giác MNP đều -kẻ MF// AC ( như hình vẽ) NE là trung tuyến - chứng minh: PF= AN suy ra JE//= 2 1 AN Nhờ Ta lét Suy ra 2 1 == OA JO ON EO từ đó suy ra O là trọng tâm trung của hai tam giác đều suy ra điều cần chứng minh. b) Kẻ PQ ?? AB ( Q ∈ AC) chứng minh cho CQ= AN suy ra KN= KQ mà KJ // MQ nên KJ đi qua trung điểm I của MN C)Đặt )10( ≤≤= kk CB CM thì k CA CN −=1 từ đó tính được S MNP = S ABC -3k(1-k).S ABC ))1( 4 3 1( 2 kk −+−≥ S ABC = 4 1 S ABC dấu bằng xảy ra khi k=1-k hay k= 1/2 vậy 4 1 ≥ ABC MNP S S suy ra 2 1 ≥ AB MN đẳng thức xảy ra khi k=1/2 khi đó M; N là trung điểm của BC và CA Câu 5: xy=0 suy ra S=1 x.y ≠ 0 Ta có ⇔=+ 2 1006 1007 1006 1007 y y y x 444)( 2 1006 1007 1006 1007 ≤⇔=+ xy y y y x ( vì (a+b) 2 ab4 ≥ ) nên xy 1≤ dấu bằng xảy ra khi x=y=1 nên S 0≥ Đẳng thức xảy ra khi x=y=1 (2) Từ (1) và (2) suy ra Min S =0 khi x=y=1 Q Giáo viên Nguyễn Văn Bằng Trường THCS Bắc Sơn Sầm Sơn -0948303666 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí sinh thi chuyên tiếng Nga và Pháp) Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 25/6/2013 Câu 1: (2Điểm) : Cho biểu thức: P=         + −         −+ + 1 1 3 1 1 3 2 a a a a) Rút gọn A; b) Tìm a sao cho P= 2 1 12 a− Câu 2: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x 2 và đường thẳng y= mx- (m-2) 2 Với m là tham số . 3) xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung. 4) Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x 1 ; x 2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q= x 1 x 2 +2x 1 +2x 2 Câu 3 :( 2điểm) Giải phương trình : (x 2 +3x +3) 2 +( x 2 +3x +5) 4 =82 Câu 4 :(3 điểm ) Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm M,N,P Sao cho BM=CN=AP 4) Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau. 5) Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng 6) Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 +y 2013 =2x 1006 y 1006 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S=1-xy - - - Hết- - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1 Chữ ký giám thị số 2: . Giáo viên Nguyễn Văn Bằng Trường THCS Bắc Sơn Sầm Sơn -0 948303666 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM HỌC 201 3-2 014 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí. x=y=1 Q Giáo viên Nguyễn Văn Bằng Trường THCS Bắc Sơn Sầm Sơn -0 948303666 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM HỌC 201 3-2 014 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí. ⇔=+ 2 100 6 100 7 100 6 100 7 y y y x 444 )( 2 100 6 100 7 100 6 100 7 ≤⇔=+ xy y y y x ( vì (a+b) 2 ab4 ≥ ) nên xy 1≤ dấu bằng xảy ra khi x=y=1 nên S 0≥ Đẳng thức xảy ra khi x=y=1 (2 ) Từ (1 ) và (2 )