PGD KRÔNG PẮC ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1: (3điểm): Cho A = 4 x x x x x + − − + a) Rút gọn A. b) Tìm x để A nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2 : (2điểm): Giải hệ phương trình: 2007 2007 2007 2007 x y x y  + + =   + + =   Bài 3 : (3điểm): Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + Bài 4 : (3điểm): Cho 0, 0x y> > và 4x y+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2 1 1 1994,5x y x y     + + + +  ÷  ÷     . Bài 5: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BM vuông góc với AC, gọi N là trung điểm của AM, P là trung điểm của CD. Chứng minh: · 90BNP = ° . Bài 6: (3 điểm) Cho ABC∆ ( AB = AC). Đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AC, gọi O là trung điểm của EH. Chứng minh: AO ⊥ BE Bài 7: (3 điểm) Cho ABC∆ Có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng: 1 2 2 2 8 A B C Sin Sin Sin× × ≤ *********************** Hết ************************ PGD KRÔNG PẮC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2007 – 2008 TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1: a) Đ/K: 0x > 0.5 điểm A = 4 1x x x− − − + 0.5 điểm = 2 3x x− + 0.5 điểm b) A = ( ) 2 1 2 2x − + ≥ 0x ∀ > 0.5 điểm MinA = 2 ⇔ 1x = (TMĐK) 1.0 điểm Bài 2: 2007 2007 2007 2007 x y x y  + + =   + + =   ĐK: 0; 0x y≥ ≥ 0.5 điểm ⇒ 2007 2007x y+ + ≥ 0.5 điểm 2007 2007x y+ + ≥ 0.5 điểm Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất 0 0 x y =   =  0.5 điểm Bài 3: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + ĐK: 3 5 2 2 x≤ ≤ 0.5 điểm Áp dụng Bunnhiacopski VT: 2 2 1. 2 3 1. 5 2 (1 1 )(2 3 5 2 ) 2x x x x− + − ≤ + − + − = (1) 0.5 điểm VP: 2 2 3 12 14 3( 2) 2 2x x x− + = − + ≥ x ∀ (2) 0.5 điểm ⇒ Phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + có nghiệm ⇔ Dấu “=” xảy ở (1) và (2) đồng thời xảy ra. ⇔ 2 3 5 2 2 2 0 x x x x  − = −  ⇔ =  − =   1.5 điểm Bài 4: a ∀ ,b ∈ R + thì ( ) 2 2 2 1 2 a b a b+ ≥ + dấu “=” ⇔ a = b 1 1 4 a b a b + ≥ + Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. 0.5 điểm A = 2 2 2 1 1 1 1 1 1994,5 1994,5 2 x y x y x y x y       + + + + ≥ + + + +  ÷  ÷  ÷       2 2 1 4 1 4 1994,5 4 1994,5 2 2 4 x y x y     ≥ + + + = + +  ÷  ÷ +     = 2007 1.0 điểm ⇒ A 2007 ≥ Do đó MinA = 2007 4 2 x y x y x y + =  ⇔ ⇔ = =  =  0.5 điểm Bài 5: Gọi I là trung điểm của BM. NI cắt BC tại E. Ta có NI là đường trung bình của BMA∆ . ⇒ NI // AB và NI = 1 2 AB. 0.5 điểm AB ⊥ BC ⇒ NI ⊥ BC tại E 0.5 điểm ⇒ I là trực tâm của BCN∆ ⇒ CI ⊥ BN (1) 0.5 điểm Ta có: 1 2 1 2 IN AB CP CD  =     =   mà AB = CD ⇒ IN = CP ⇒ CINM là hình bình hành ⇒ CI // NP (2) 0.5 điểm // // // IN AB IN CP AB CP  ⇒   0.5 điểm Từ (1) và (2) ⇒ NP ⊥ BN tại N ⇒ · 90BNP = ° 0.5 điểm Bài 6: Kẻ BD ⊥ AC ⇒ · · CBD HAC= ( cùng phụ với µ C ) ⇒ BDC ∆ S EAH∆ (gg) ⇒ BC CD AH EH = 0.5 điểm I N M P D C B A BDC ∆ có BH = HC ( ABC ∆ cân tại A) ⇒ DE = EC = 2 CD 0.5 điểm HE // BD (cùng ⊥ AC) ⇒ 2 2 BC CD CE CE AH EH HO HO = = = 0.5 điểm CBE ∆ và HAO ∆ có · · BCE AHO= ( DBC ∆ S EAH∆ ) BC CE AH HO = ⇒ CBE ∆ S HAO ∆ (c.g.c) ⇒ · · CBE HAO= 0.5 điểm Gọi K là giao điểm của AH và BE. Ta có: · ¶ 1 90CBE K+ = ° ⇒ · ¶ 1 90HAO K+ = ° (Vì ¶ ¶ · · 1 2 ,K K CBE HAO= = ) 0.5 điểm ⇒ AO ⊥ BE. 0.5 điểm Bài 7: Kẻ phân giác AD của · BAC kẻ BE ⊥ AD; CF ⊥ AD ∆ BED vuông tại E ⇒ BE ≤ BD ∆ CFD vuông tại F ⇒ CF ≤ CD ⇒ BE + CF ≤ BD + CD = a 0.5 điểm ∆ ABE ( µ E = 1v) ⇒ BE = AB. SinA 1 = c. sin 2 A 0.5 điểm ∆ ACF ( µ F = 1V) ⇒ CF = AC. SinA 2 = b. sin 2 A 0.5 điểm ⇒ BE + CF = (b + c) sin 2 A ≤ a ⇒ sin 2 A ≤ a b c+ 0.5 điểm b>0; c>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi: b + c 2 bc≥ ⇒ 2 a a b c bc ≤ + ⇒ Sin 2 A ≤ 2 a bc 0.5 điểm H 2 1 O K E D C B A c b a F E C B A 2 1 Tương tự ta cũng có: Sin 2 2 B b ac ≤ ; Sin 2 2 C c ab ≤ ⇒ Sin 2 A . Sin 2 B . Sin 2 C ≤ 2 a bc . 2 b ac . 2 c ab = 1 8 0.5 điểm ************************************ . PGD KRÔNG PẮC ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1: (3điểm ): Cho A = 4 x x x x x + − − + a). rằng: 1 2 2 2 8 A B C Sin Sin Sin× × ≤ *********************** Hết ************************ PGD KRÔNG PẮC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2007 – 2008 TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9 . nhất. Bài 2 : (2điểm ): Giải hệ phương trình: 2007 2007 2007 2007 x y x y  + + =   + + =   Bài 3 : (3điểm ): Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + Bài 4 : (3điểm ): Cho 0, 0x