SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012- 2013 Môn: Toán lớp 10 Nâng cao Dành cho tất cả các lớp Buổi thi: … ngày …/…/2012 Thời gian làm bài: 120 phút , không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số 2 3 4 ( ) 9 x f x x x    . a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình: a. 2 2 4 2 x x x     . b. 1 2 2 5 3 1 2 x x y x y x              . Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số 2 (2 5) 2( 1) 3 y m x m x      có đồ thị   m C . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 2 m  . b. Chứng minh rằng khi 5 2 m  thì   m C luôn cắt đường thẳng ( ): 3 3 d y x    tại hai điểm có tọa độ không đổi. Câu 4. (4 điểm) 1. Cho tam giác ABC , lấy các điểm , M N sao cho 2 0,3 2 0 MA MB NA NC           . a. Biểu thị , AM AN   theo , AB AC   . b. Chứng minh , , M N G thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . c. Giả sử , 5 , 2 3 AB a AC a MN a    với 0 a  , tính số đo góc  BAC của tam giác ABC . 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho (1;1), ( 1;3), (0;1) A B H  . a. Chứng minh , , A B H không thẳng hàng. b. Tìm tọa độ điểm C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Câu 5. (0,5 điểm) Giải hệ phương trình 2 3 4 x xy y x y x xz z x z y yz z y z                      HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) a. (0,5 điểm) Hàm số xác định khi 2 3 2 2 4 0 2 2 0 0 9 0 3 x x x x x x x x                              0,25 Vậy hàm số có tập xác định     2;0 0;2 D    . 0,25 b. (0,5 điểm) Ta có x D   thì ( ) ( ) x D f x f x         . 0,25 Vậy ( ) f x là hàm số lẻ. 0,25 2. (2,0 điểm) a. (1,0 điểm) Đặt 2 , 0 y x y    . Ta có 2 1 2 0 2 2 y y y y y             (vì 0 y  ). 0,5 Từ đó 2 2 4 2 2 2 2 0 x x x x x                  . Vậy tập nghiệm {0;4} S  . (Học sinh có thể dùng cách phá dấu giá trị tuyệt đối) 0,5 b. (1,0 điểm) Điều kiện 0, 0 x x y    . 0,25 1 2 1 2 1 1 1 1 1 5 3 4 3 1 2 2 x x y x x x x y y x y x y x                                      . 0,5 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (1;3) x y  . 0,25 3. (2,5 điểm) a. (1,5 điểm) Khi 2 m  thì 2 2 3 y x x     . Tập xác định D  R . 0,25 Bảng biến thiên x  1   y 4   0.5 Đồ thị: giao với trục tung tại (0;3) A , giao với trục hoành tại ( 3;0), (1;0) B C  , trục đối xứng có phương trình 1 x   . 0,25 0,5 b. (1,0 điểm) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 0,25 2 2 (2 5) 2( 1) 3 3 3 (2 5)( ) 0 m x m x x m x x            Khi 5 2 m  phương trình trên luôn có hai nghiệm 0, 1 x x   . 0,25 Từ đó   m C luôn cắt ( ) d tại hai điểm có tọa độ không đổi là (0;3), (1;0) M N với 5 2 m  . 0,5 4. (4,0 điểm 1a. (0,5 điểm) Từ giả thiết rút ra được 2 2 , 5 AM AB AN AC       . 0,5 1b. (1,0 điểm) Ta có   2 2 2 5 5 5 MN AN AM AC AB AC AB              ,       1 1 1 2 5 3 3 3 MG MA MB MC MA MB AC AB AC                   . 0.5 Từ đó 5 3 2 MG MN    . Vậy , , M N G thẳng hàng. 0.5 1c. (1,0 điểm) Ta có 2 2 2 , 2 5 AM AB a AN AC a     . Từ đó áp dụng Định lí cos cho tam giác AMN : 0.25  2 2 2 1 cos 2 . 2 AM AN MN MAN AM AN      . 0.5 Vậy   0 120 BAC MAN  . 0.25 2a. (0,5 điểm) Ta có ( 1;0), (1; 2) AH BH       , mà 1 0 1 2    nên , AH BH   không cùng phương. Từ đó , , A B H không thẳng hàng. 0,5 2b. (1,0 điểm) Giả sử ( ; ) C x y , ta có ( 1; 1), ( 1; 3) AC x y BC x y         . 0,25 Để H là trực tâm tam giác ABC thì . 0 . 0 AH BC BH AC            0,25 1 0 1 2 1 0 0 x x x y y                 . Vậy ( 1;0) C  . 0,5 5. (0,5 điểm Điều kiện ( )( )( ) 0 x y y z z x     . Hệ tương đương với 1 1 1 7 12 1 12 7 1 1 1 1 5 12 2( ) 2 12 5 3( ) 1 1 1 12 1 1 3 12 x x y x xy x y xz x z y x z y yz y z z y z z                                                        (Dễ thấy 0, 0, 0 xy xz yz    ). Vậy hệ có một nghiệm 12 12 ( ; ; ) ; ; 12 7 5 x y z         . 0,5 . TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 012 - 2 013 Môn: Toán lớp 10 Nâng cao Dành cho tất cả các lớp Buổi thi: … ngày …/…/2 012 Thời gian làm bài: 12 0 phút , không.    . Vậy ( 1; 0) C  . 0,5 5. (0,5 điểm Điều kiện ( )( )( ) 0 x y y z z x     . Hệ tương đương với 1 1 1 7 12 1 12 7 1 1 1 1 5 12 2( ) 2 12 5 3( ) 1 1 1 12 1 1 3 12 x x y x xy x.                     HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2 012 – 2 013 Câu Đáp án Điểm 1. (1, 0 điểm) a. (0,5 điểm) Hàm số xác định khi 2 3 2 2 4