TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích b S a ( )y f x= Chia S thành nhiều diện tích con Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con Chia S càng nhỏ Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S ĐỊNH NGHĨA 1 1 0 ( , ) ( )( ) n i i i i S P f f x x ξ − + = = − ∑ Xét hàm số f(x) xác định trên [a, b], P là 1 phân hoạch của [a, b]. Trên [x i , x i+1 ] chọn ξ i tùy ý, đặt Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của [a, b] thỏa mãn a≡ x 0 < x 1 < …<x n ≡ b d = max{(x i+1 – x i )/ i = 0, , n-1}: đường kính phân hoạch Tổng tích phân ứng với phân hoạch P x 0 = a x n = bx i x i+1ξ i f(ξ i ) 1 1 0 ( , ) ( )( ) n i i i i S P f f x x ξ − + = = − ∑ 0 lim ( , ) ( ) b d a S P f f x dx → = ∫ f khả tích ⇔ tồn tại giới hạn hữu hạn của S(P, f) khi d→ 0 (không phụ thuộc P) Ví dụ về tổng tích phân Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x 0 <x 1 < …<x n = 1. Tìm tổng tích phân nếu: ξ i = x i+1 ξ 1 ξ 0 ξ 3 ξ 2 1 1 1 , i i x x d n n + − = ⇒ = 1 1 ( 1) 0 ( 1) , i i i i n x n ξ + + = + + == 1 ( ) i i i f n ξ ξ + = = 1 0 x 4 x 2 x 3 x 1 x ¬ → d [...]... 0 Điều kiện để f khả tích trên [a, b] Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b] b ( Khi đó Ví dụ: 2 ∫ f ( x)dx là tích phân xác định. ) a sin x ∫ x dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1 −1 2 ∫ x ln xdx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1 0 2 ∫ ln xdx 0 không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2 Tính chất hàm khả tích 1 f khả tích trên [a, b] thì... Tính chất hàm khả tích 1 f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b] 2 f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b] 3 f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a,b], khi đó b ∗ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a b b a a * f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx Tính chất hàm khả tích 4 b ∫a dx = b − a, b b a a ∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx, b b b a a a ∫ [ f ( x)... ∫ f ( x)dx a x Áp dụng: tính giới hạn t2 lim ∫ e dt x →+∞ 2 0 et liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại Hàm c∈ [0,x] sao cho x ∫e 0 t2 c2 dx = ( x − 0)e > x → + ∞ x →+∞ Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân * Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số x F ( x) = ∫ f (t )dt liên tục trên [a,b] a * Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và F ′( x) = f ( x), ∀x ∈ (a, b) Đạo hàm theo cận trên... x)dx = ∫ f (u (t ))u′(t )dt α PP tích phân từng phần Nếu u(x), v(x) cùng các đạo hàm liên tục trên [a, b] b ∫ u ( x)dv( x) a b = u ( x).v( x) a b − ∫ v( x)du ( x) a Ví dụ 4 ∫ 3 dx 2 x +9 ( = ln x + x 2 + 9 ) 4 3 3 = ln 9 − ln(3 + 3 2) = ln 1+ 2 Ví dụ 4 dx I =∫ 01 + x 2 2tdt I =∫ 1+ t 0 x =t 2 1 − 1  dt = 2∫  ÷ 1+ t  0 = 2 [ t − ln(1 + t ) ] = 2(2 − ln 3) 2 0 Một tích phân cần nhớ π /2 In = ∫ sin n... chất hàm khả tích b 8 ∫ dx = b − a a 9 f(x) tuần hoàn với chu kỳ T: b b +T ∫ f ( x)dx = ∫ a a +T 10 f lẻ trên [-a, a]: f ( x)dx a ∫ f ( x)dx = 0 −a a f chẵn trên [-a, a]: ∫ −a a f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx 0 Định lý giá trị trung bình f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c ∈[a,b] sao cho b f (c)(b − a ) = ∫ f ( x)dx a x Áp dụng: tính giới hạn t2 lim ∫ e dt x →+∞ 2 0 et liên tục trên [0, x], theo định lý,... f 2/ Tìm cực trị của f(x) trong (0, 1) x 2t − 1 f ( x) = ∫ 2 dt 0 t + t +1 2x −1 đổi dấu khi đi qua x = 1/2 ∈(0, 1) f ′( x) = 2 x + x +1 x 3/ Tính giới hạn lim x →+∞ t2 2 x ∫ e dt 0 e x2 Theo vd phần định lý giá trị trung bình x t2 lim ∫ e dx = +∞ x→+∞ 0 Vậy gh trên có dạng VĐ ∞/∞, áp dụng qtắc L’H  x t 2 ′ t2 2 x ∫ e dt  2 x ∫ e dt ÷  ÷  0  0 lim = lim x2 x→+∞ x→+∞ e x2 ′ e x ( ) ′   2 t2 . TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích b S a ( )y f x= Chia S thành nhiều diện tích con Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con Chia S càng nhỏ Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S ĐỊNH. 2. Điều kiện để f khả tích trên [a, b] Tính chất hàm khả tích 1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b] 2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b] 3. f khả tích trên [a,b], m. thuộc P) Ví dụ về tổng tích phân Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x 0 <x 1 < …<x n = 1. Tìm tổng tích phân nếu: ξ i = x i+1 ξ 1 ξ 0 ξ 3 ξ 2 1 1