Trần Sĩ Tùng Lượng giác BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x x x x 2 2 4 4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin − + = − + b) x x x x x 2 (tan2 tan )(sin2 tan ) tan− − = c) x x x x 2 2 6 2cos4 tan cot 1 cos4 + + = − d) x x x x x x 1 cos 1 cos 4cot 1 cos 1 cos sin + − − = − + e) x x x x x x 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan − − = + + f) x x x 0 0 cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + = g) x x x x x 2 cos 2cos 4 tan 2sin 2 sin 4 π π   − +  ÷   =   + −  ÷   h) x x x x x 2 2 2 2 3 cot cot 2 2 8 3 cos .cos . 1 cot 2 2 − =   +  ÷   i) x x x x 6 6 2 1 cos sin cos2 1 sin 2 4   − = −  ÷   k) x x x x 4 4 cos sin sin2 2 cos 2 4 π   − + = −  ÷   Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos )+ − + b) x x x x x x 6 4 2 2 4 4 cos 2sin cos 3sin cos sin+ + + c) x x x x 3 cos .cos cos .cos 3 4 6 4 π π π π         − + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         d) x x x 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 π π     + + + −  ÷  ÷     Bài 3. a) Chứng minh: 1 cot cot2 sin2 α α α − = . b) Chứng minh: x x x x x x 1 1 1 1 cot cot16 sin2 sin4 sin8 sin16 + + + = − . Bài 4. a) Chứng minh: tan cot 2cot 2 α α α = − . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 1 1 1 1 tan tan tan cot cot 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = − . Bài 5. a) Chứng minh: x x x 2 2 2 1 4 1 4cos sin 2 4sin = − . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin 4cos 4 cos 4 cos 4 sin 2 2 2 2 + + + = − . Bài 6. a) Chứng minh: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) 4 = − . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 3 3 1 3 2 1 sin 3sin 3 sin 3 sin sin 3 4 3 3 3 −   + + + = −  ÷   . Bài 7. a) Chứng minh: 1 tan2 1 cos2 tan α α α + = . b) Chứng minh: n n x x x x x 2 1 1 1 tan2 1 1 1 cos2 tan cos2 cos2      + + + =  ÷  ÷  ÷       . Trang 73 Lượng giác Trần Sĩ Tùng Bài 8. a) Chứng minh: sin2 cos 2sin α α α = . b) Chứng minh: n n n x x x x x 2 sin cos .cos cos 2 2 2 2 sin 2 = . Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau: a) o o o o o o o o o A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83= b) B 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5 π π π π = + + + c) C 11 5 sin .cos 12 12 π π = d) D 5 7 11 sin .sin .sin .sin 24 24 24 24 π π π π = HD: a) o A tan27= . Sử dụng x x x x 0 0 tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + = . b) B = –1 c) C 1 3 2 4 = − d) D 1 16 = Bài 10. Chứng minh: a) 2 3 1 cos cos cos 7 7 7 2 π π π − + = b) o o3 2 8sin 18 8sin 18 1+ = c) 8 4tan 2tan tan cot 8 16 32 32 π π π π + + + = d) o o 1 1 4 3 cos290 3.sin250 + = e) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 cos20 3 + + + = f) o o o o o 3 1 cos12 cos 18 4cos15 .cos21 .cos24 2 + + − = − g) o o o o tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3+ + = h) 3 9 1 cos cos cos 11 11 11 2 π π π + + + = i) 2 4 10 1 cos cos cos 11 11 11 2 π π π + + + = − Bài 11. a) Chứng minh: x x x x x 1 sin .cos .cos2 .cos4 sin8 8 = . b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0 sin6 .sin 42 .sin66 .sin78= , B 3 5 cos .cos .cos 7 7 7 π π π = . Bài 12. a) Chứng minh: x x x 4 3 1 1 sin cos2 cos4 8 2 8 = − + . b) Áp dụng tính: S 4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16 π π π π = + + + . ĐS: S 3 2 = Bài 13. a) Chứng minh: x x x 1 cos2 tan sin2 − = . Trang 74 Trần Sĩ Tùng Lượng giác b) Áp dụng tính: S 2 2 2 3 5 tan tan tan 12 12 12 π π π = + + . Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) 0 0 sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0 cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= − c) B 2 0 2 0 sin 24 sin 6= − d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82= HD: a) 0 5 1 sin18 4 − = . Chú ý: 0 0 sin54 cos36= ⇒ 0 0 sin(3.18 ) cos(2.18 )= b) A 1 16 = c) B 5 1 4 − = d) C 5 1 1024 − = . Sử dụng: x x x x 0 0 1 sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3 4 − + = Bài 15. Chứng minh rằng: a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = . b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2tan+ = . Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b B c C a B Ccos cos cos( )+ = − b) S R A B C 2 2 sin .sin .sin= c) S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + + d) A B C r R4 sin sin sin 2 2 2 = Bài 17. Chứng minh rằng: a) Nếu B C A B C sin sin sin cos cos + = + thì tam giác ABC vuông tại A. b) Nếu B B C C 2 2 tan sin tan sin = thì tam giác ABC vuông hoặc cân. c) Nếu B A C sin 2cos sin = thì tam giác ABC cân. Bài 18. a) Trang 75