CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH VUÔNG GÓC 1. Lý thuyết a. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P). Cách giải: - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). - Tìm giao điểm của d với mặt phẳng (P) là H thì H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). b. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d. Cách giải: có 2 cách. - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d. - Tìm giao điểm của H của (P) với d thì H tự động là hình chiếu của M lên d. Cơ sở của cách làm này là áp dụng định lý: đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì vuông góc với mọi đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α). Cách 2. Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số nếu phương trình ban đầu của nó có dạng chính tắc hoặc tổng quát. Gọi H là hình chiếu của M lên d. Khi đó tọa độ điểm M có dạng tham số của d do M d ∈ . Khi đó ta tính MH uuuur thì . 0 d d MH u MH u⊥ ⇒ = uuuur uur uuuur uur . Ta tìm ra được t thế vào tọa độ điểm M ta tìm ra được tọa độ điểm M. c. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình hình chiếu ∆ của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). Cách giải: + Nếu ( )d P⊥ tức là , d p u n uur uur cùng phương. Có thể kiểm ra bẳng cách tính , 0 d P u n   =   uur uur r Thì lúc đó hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là 1 điểm. Điểm đó chính là giao điểm của d với (P). + Nếu d không vuông góc với (P) bao gồm cả d song song với (P). Thì có 2 cách tìm hình chiếu của d lên (P). Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P). Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Phương trình hình chiếu ∆ có dạng tổng quát. Cách 2: Nếu d cắt (P) thì tìm giao điểm của d và (P) là N. Sau đó lấy 1 điểm M bất kỳ trên đường thẳng d. Viết phương trình đường thẳng d ’ đi qua M và vuông góc với (P). Rồi tiếp tục tìm giao điểm của d ’ với (P). Lúc này hình chiếu ∆ của d lên (P) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm N, M. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm N, M. d. Cho d 1 , d 2 là 2 đường thẳng chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d 1 , d 2 . Cách suy nghĩ tìm ra lời giải: Giả sử MN là đường vuông góc chung của d 1 và d 2 thì 1 2 ,MN d MN d⊥ ⊥ uuuur uuuur . Do đó 1 2 ,u u u   =   r ur uur là vector chỉ phương của đường thẳng MN. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi MN và đường thẳng d 1 , (Q) là mặt phẳng xác định bởi MN và đường thẳng d 2 thì MN = (P) ∩(Q). Để ý nếu gọi M 0 , N 0 là điểm tùy ý của 1 2 ,d d thì (P) là mặt phẳng qua M 0 và nhận cặp vector 1 ,u u r ur làm cặp vector chỉ phương, (Q) là mặt phẳng qua N 0 và nhận 2 ,u u r uur làm cặp vector chỉ phương. Khi đó đường vuông góc chung của 1 2 ,d d có phương trình là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Do đó cách giải như sau: 1 Giáo Viên: Võ Hữu Hoàng Tiến Cách 1: - Gọi ∆ là đường vuông góc chung của 1 2 ,d d suy ra vetor chỉ phương của ∆ là 1 2 , d d u u u   =   V uur uur uur - Gọi (P) là mặt phẳng chứa d 1 và ∆ . Viết phương trình mặt phẳng (P). - Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 2 và ∆. Viết phương trình mặt phẳng (Q). - Khi đó giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng ∆ cần tìm. Cách 2: - Đưa phương trình của d 1 và d 2 về dưới dạng tham số. - Gọi đường vuông chung ∆ cắt d 1 và d 2 tại M, N. - Viết tọa độ điểm M, N dưới dạng tham số của d 1 và d 2 . - Tính MN uuuur . Khi đó: 1 2 , d d MN u MN u ⊥ ⊥ uuuur uur uuuur uur 1 2 . 0, . 0 d d MN u MN u ⇒ = = uuuur uur uuuur uur - Giải hệ phương trình trên tìm được 2 tham số t với s của d 1 , d 2 thế vào tọa độ điểm M, N - Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M, N. e. Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2 ( , , ), ( , , )A x y z B x y z và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0. Tìm điểm M nằm trên (P) sao cho AM+BM nhỏ nhất với điều kiện 2 điểm A, B không thuộc (P). Cách giải: có 2 trường hợp xảy ra - Nếu 2 điểm A, B nằm về 2 phía của mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng AB cắt (P) tại M. Thì M là điểm cần tìm. Ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B và sau đó tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) ra điểm M thì M là điểm cần tìm. - Nếu 2 điểm A, B nằm về cùng 1 phía đối với mặt phẳng (P) thì gọi A ’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) tìm tọa độ điểm A ’ . Sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm B và A ’ . Gọi M là giao điểm của đường thẳng BA ’ với mặt phẳng (P). Thì M là điểm cần tìm. f. Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm các điểm M nằm trên mặt phẳng (P) cách đều A, B tức là MA=MB. Cách giải: Gọi M là điểm nằm trên (P) và cách đều A, B. Do MA=MB nên suy ra M nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là (Q). Kế tiếp xem (Q) có song song với (P) không bằng cách giải trường hợp 2 mặt phẳng song song. Nếu (P)║(Q) (tức là , P AB n uuur uur cùng phương). Thì bài toán vô nghiệm. Nếu (Q) không song song với (P) ( tức là 2 vector , P AB n uuur uur không cùng phương). Lúc này gọi ∆= (P)∩(Q), thì tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng ∆. g. Cho 2 điểm A, B và đường thẳng d. tìm các điểm M thuộc d mà cách đều A, B tức là MA=MB. Cách giải: - Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Sau đó xét đến 2 khả năng: - Nếu d║(P) (tức là xem thử P d n u ⊥ uur uur ), lúc này bài toán vô nghiệm. - Nếu d không song song (P) ( tức là 2 vector , P d n u uur uur không vuông góc). - Tìm tọa độ giao điểm M của d và mặt phẳng (P) thì M là điểm cần tìm. Bài tập 1. Tìm khoảng cách từ điểm M(2,3,-1) tới đường thẳng 2 1 0 : 3 2 2 0 x y z d x y z + − − =   + + + =  2 Giáo Viên: Võ Hữu Hoàng Tiến 2. Tìm khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: a. 1 2 1 2 3 : 1 , : 2 3 1 3 x t x s d y t d y s z z s = + = −     = − − = − +     = =   b. 1 2 2 1 0 3 2 0 : , : 4 0 2 0 x z x y d d x y y z  − − = + − =    − − + = − − =   c. 1 2 1 3 4 2 1 1 : , : 2 1 2 4 2 4 x y z x y z d d − + − + − + = = = = − − − 3. Cho 2 đường thẳng: 1 2 1 1 2 2 2 : , : 2 3 1 1 5 2 x y z x y z d d + − − − + = = = = − a. Chứng minh rằng: d 1 và d 2 chéo nhau. b. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. 4. Giả sử (P) là mặt phẳng có phương trình: x+2y+-3z+7=0 và điểm A(2,4,-6), B(4,0,-2) là 2 điểm cho trước. Tìm các điểm trên (P) mà cách đều A và B. 5. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 2 5 0 : 2 3 0 x y z d x z − + + =   − + =  trên mặt phẳng (P): x+y+z-7=0. 3 Giáo Viên: Võ Hữu Hoàng Tiến . CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH VUÔNG GÓC 1. Lý thuyết a. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P). Cách giải: - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng. áp dụng định lý: đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì vuông góc với mọi đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α). Cách 2. Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số nếu phương trình. (P). + Nếu d không vuông góc với (P) bao gồm cả d song song với (P). Thì có 2 cách tìm hình chiếu của d lên (P). Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P). Khi đó