Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Công thức mũ: * Các đẳng thức cơ bản: 1) a a a α β α β + = 2) α α β β − = a a a 3) ( )a a α β αβ = 4) ( )ab a b α α α = 5) α α α   =  ÷   a a b b Với >, 0a b , , α β là những số thực tuỳ ý. * Cho , α β là các số thực tuỳ ý , ta có: 1) Với 1a > thì a a α β α β > ⇔ > 2) Với 0 1a< < thì a a α β α β > ⇔ < Nhận xét: Với 0a > thì a a α β α β = ⇔ = * Cho 0 a b< < và số thực m , ta có: 1) 0 m m a b m< ⇔ > 2) 0 m m a b m> ⇔ < Nhận xét : Với > ≠, 0;a b a b thì 0a b α α α = ⇔ = . * Nếu n là số tự nhiên lẻ thì < ⇔ < n n a b a b , n n a b a b< ⇔ < với mọi ,a b Chú ý : * Cho số thực 0a > ; ,m n là hai số nguyên, 0n > : = m n m n a a . * Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không. * Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương. 2. Công thức Logarit a. Định nghĩa: cho 0, 1a a> ≠ ; b > 0. Ta có: α α = ⇔ =log a b a b Ví dụ : 2 2 log 8 8 2 3 log 8 3 x x x= ⇔ = ⇔ = ⇒ = Ta có kí hiệu: 10 log lga a= (lô ga thập phân của a) và log ln e a a= (loga tự nhiên của a ). b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: log 1 0 a • = log 1 a a• = • log x a a x= c. Tính chất: Cho , 0; 0 1x y a> < ≠ . Ta có: log ( ) log log a a a xy x y• = + • log log log a a a x x y y = − Chú ý : Nếu 0xy > thì log ( ) log | | log | | a a a xy x y= + và log log | | log | | a a a x x y y = − d. Công thức đổi cơ số: Cho 0 , 1; 0a b c< ≠ > , ta có: log log log a b a c c b = . Từ đó ta có các hệ quả sau: Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY 1 log . log 1 log log a b a b b a b a • = ⇔ = α α α • = ≠ 1 log log , 0 a a b b log log . log b b a c a c• = log log b b c a a c• = Nhận xét: Ta có: log log a a b b α β β α = và 1 log log n a a b b n = 3. Hàm số mũ: a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng x y a= với 0; 1a a> ≠ b. Tính chất: Hàm số mũ (0 1) x y a a= < ≠ có các tính chất sau • Tập xác định là ¡ và tập giá trị là (0; )+∞ • Liên tục trên ¡ . • 1a > ⇒ hàm đồng biến, tức là 1 2 1 2 x x a a x x> ⇔ > . • 0 1a < < ⇒ hàm nghịch biến, tức là 1 2 1 2 x x a a x x> ⇔ < . • Giới hạn : 1 0 1 lim (1 ) lim (1 ) x x x x x e x →±∞ → + = + = và 0 1 lim 1 x x e x → − = • Đạo hàm: ( ) ( ) ' ln ' x x x x a a a e e= ⇒ = và ( ) ' . ' ln u u a a u a= 4. Hàm số Lôgarit a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng log a y x= , trong đó 0 1a< ≠ . b. Tính chất: Các tính chất của hàm số lôgarit • Liên tục trên tập xác định (0; )D = +∞ và tập giá trị ¡ • 1a > ⇒ hàm đồng biến 1 2 1 2 log log 0 a a x x x x⇒ > ⇔ > > • 0 1a < < ⇒ hàm số nghịch biến 1 2 1 2 log log 0 a a x x x x⇒ > ⇔ < < • Giới hạn: 0 ln(1 ) lim 1 x x x → + = • Đạo hàm: với 0x ≠ ta có ( ) ( ) = ⇒ = 1 1 ln | | ' log | | ' ln a x x x x a và ( ) ' ln | | ' u u u = , u 0 ≠ . B. DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Các phương trình mũ cơ bản: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x= ⇔ = ; a,b > 0. 2. = ⇔ = ( ) ( ) log f x a a b f x b ; a,b > 0. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) log f x g x a a b f x g x b= ⇔ = ; a,b > 0. Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 2 3 4 1 1) 2 4 x x x+ − − = + + = − 3 5 8 2) (2 3) (2 3) x x 2 2 3) 8 36.3 x x x − + = 3 1 2 1 3 4) 2 . 4 .8 2 2.0, 125 x x x+ − − = 3 3x 3 5) 2 . 4 . 0.125 4 2 x x = 2 2 2 6) 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = − − = 1 2 7) 2 .3 .5 12 x x x . 8) 125.3.2 21 = −− xxx 9) x x x − + = 2 2 3.368 10) 2 2 5 6 1 1 3 3 x x x + + − = Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 x x x x x x+ + + + + + = + + 2) 2 2 5 2 1 3 27 x x x+ + + = 3) 2 5 6 3 5 2 x x x− + − = 4) 1 2 .5 10 x x x − = 5) 2 5 4 2 2 4 ( 3) ( 3) x x x x x − + + + = + 6) 5 17 7 3 32 0, 25.128 x x x x + + − − = ( x=10). 7) 2x 2 x 3 9 9 . 4 16 16 −   =  ÷   8) 1 2 . 27 . 5 180 x x x x + = . 9) 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x− + + + + + + = + . 10) 2 x x 8 1 3x 2 4 − + − = 11) 2 5 x 6x 2 2 16 2 − − = 12) x x 1 x 2 x x 1 x 2 2 2 2 3 3 3 − − − − + + = − + 13) x x 1 x 2 2 .3 .5 12 − − = 14) x x 1 x 2 x x 1 x 2 5 5 5 3 3 3 + + + + + + = + + 2. Các phương pháp giải PT mũ thường gặp: 2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Tức là ta thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta đặt và chuyển về những phương trình – bất phương trình ma ta đã biết cách giải. Phương pháp đặt ẩn phụ rất phong phú và đa dạng, để có được cách đặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét được quan hệ của các cơ số có trong phương trình. *Dạng 1: (x) ( ) 0 f F a = .Với dạng này ta đặt ( ) , 0 f x t a t= > (trong đkxđ của f(x)) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = , giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x. Ta thường gặp dạng: 2 (x) ( ) . . 0 f f x m a n a p+ + = . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1) 2.16 15.4 8 0 x x − − = 2 cos 2 cos 2) 4 4 3 0 x x + − = − − − − − − = 2 2 2 2 1 3) 9 7.3 2 x x x x x x − − = x 1 4) 2 2 1 x + + + = 4 4 1 2 5) 2.3 9 9 x x x x 2 2 2 6) 2 2 3 x x x x− + − − = Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY + + + − − = 2 4 4 7) 3 8.3 9.9 0 x x x x 3 3( 1) 1 12 8) 2 6.2 1 2 2 x x x x− − − + = . *Dạng 2: ( ) ( ) . . 0 f x f x m a n b p+ + = , trong đó: 1ab = . Với phương trình dạng này ta đặt ( ) ( ) 1 , 0 f x f x t a t b t = > ⇒ = . Ví dụ 3: Giải các phương trình – bất phương trình sau 1) (5 24) (5 24) 10 x x + + − = 2) (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x + − − + = . + + − =3) ( 7 48) ( 7 48 ) 14 x x *Dạng 3: 2 ( ) ( ) 2 ( ) . .( . ) . 0 f x f x f x m a n a b pb+ + = . Với dạng này ta giải như sau Chia 2 vế phương trình cho 2 ( )f x b và đặt ( ) ( ) , 0 f x a t t b = > . Ta có PT: 2 0mt nt p+ + = . Ví dụ 4: Giải các phương trình sau 1) 6.9 13.6 6.4 0 x x x − + = 2 2 2 2 1 2 2 1 2) 9 34.15 25 0 x x x x x x− + + − − + − + = 3 1 3) 125 50 2 x x x + + = 4) 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = Bài tập 2: Giải các PT sau 1) 0455 1 =+− − xx 2) 3 9.3 10 0 x x− + − = 3) 01228 332 =+− + x x x 4) 2 1 5 5 5 5 x x x+ + = + 5) 16 5 202222 22 =+++ −− xxxx 6) ( ) ( ) 10245245 =−++ xx 7) ( ) ( ) 3 2531653 + =−++ x xx 8) ( ) ( ) 02323347 =+−−+ xx 9) ( ) ( ) 7 4 3 7 4 3 14 x x − + + = 10) ( ) ( ) 43232 =++− xx 11) ( ) ( ) 10625625 tantan =−++ xx 12) xxx /1/1/1 964 =+ 13) 104.66.139.6 =+− xxx 14) 5.4 2.25 7.10 0 x x x + − = 15) 3 3 3 4 15 4 15 8 x x x − + + = 16) 2 2 2 2 1 2 2 1 9 34.15 25 0 x x x x x x− + − − + − + = 17) ( ) ( ) 1 1 1 5 2 5 2 x x x − − + + = − 18) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 5 3 5 2 0 x x x x x x − − + − + + − − = 19) ( ) ( ) 312223 +−=+ xx 20) 2 2 2 2 2 2 6.9 13.6 6.4 0 x x x x x x− − − − + = 21) 4x 8 2x 5 3 4.3 27 0 + + − + = 22) 2x 6 x 7 2 2 17 0 + + + − = 23) x x (2 3) (2 3) 4 0+ + − − = 24) x x 2.16 15.4 8 0− − = 25) x x x 3 (3 5) 16(3 5) 2 + + + − = 26) x x (7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + = 27) x x x 3.16 2.8 5.36+ = 28) 1 1 1 x x x 2.4 6 9+ = Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY 29) 2 3x 3 x x 8 2 12 0 + − + = 30) − + − = x x 3 9.3 10 0 31) + − = x x x 5.4 2.25 7.10 0 32) + + = + 2 x x 1 x 5 5 5 5 33) + − = − − x x 1 x 4.3 3 3 1 1 3 34) − + = x x x 25.2 10 5 25 35) + − = − x x 2 x 9 3 3 9 36) 05 10 1 2 1cos2sin2 7lgsincos 1cos2sin2 =+       − +− −− +− xx xx xx 2.2. Phương pháp hàm số • Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D thì phương trình ( )f x k= chỉ có nhiều nhất một nghiệm. • Nếu hai hàm số ( )y f x= và ( )y g x= có tính đơn điệu trái ngược nhau và cùng liên tục trên D thì phương trình ( ) ( )f x g x= chỉ có nhiều nhất một nghiệm. Hµm sè x ay = ®ång biÕn khi a>1 vµ nghÞch biÕn khi 0<a<1. Hµm sè f(x) ®¬n ®iÖu trªn D vµ u, v thuéc D th× f(u)=f(v) t¬ng ®¬ng u=v. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn (a, b) th× ptr×nh f(x)=0 cã tèi ®a 1 nghiÖm trªn ®ã. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: 1) 4 3 5 x x x + = 2) 3 4 x x= − 3) 1) 3.4 (3 10)2 3 0 x x x x+ − + − = 4) 2003 2005 4006 2 x x x+ = + cos cos 5) 3 2 cos x x x= + Bài tập 3: Giải các phương trình sau: 4 8 2 5 1)3 4.3 27 0 x x+ + − + = 2 6 7 2)2 2 17 0 x x+ + + − = 3)(2 3) (2 3) 4 0 x x + + − − = 4)2.16 15.4 8 0 x x − − = 3 5)(3 5) 16(3 5) 2 x x x + + + − = 6)3.16 2.8 5.36 x x x + = 2 3 3 7)8 2 12 0 x x x + − + = 8) (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x + − − + = 1 1 1 9)2.4 6 9 x x x + = + − =10)3 4 0 x x − − + − = 2 11) (3 2 ) 2(1 2 ) 0 x x x x 12) 3 2 1 x x= + − −   − =  ÷   2 2 2 2 1 13) 9 2 3 3 x x x x − + =14) 25 6.5 5 0 x x + + − =15) ( 7 48 ) ( 7 48 ) 14 x x − − − = − 4 1 2 1 16) 8 ( 8) x x x e x x e . − − − = − 2 21 17) 2 2 ( 1) x x x x 18) x x 4115 =+ 19) 132 2 += x x 20) x xxx 202459 ++= Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY 21) 2112212 532532 +++− ++=++ xxxxxx 22) 9,2 5 2 2 5 /1 =       +       xx (*) 23) 1 1 1 2 3 6 x x x+ + + + = 24) x x x x x x 2 2 22 22 2 211 − =− −− 25) ( ) ( ) 021223 2 =−+−− xx xx 26) 25.2 10 5 25 x x x − + = 27) 20515.33.12 1 =−+ +xxx 28) x x x 3 4 5+ = 29) 2 x x x (3 2 )x 2(1 2 ) 0− − + − = 30) 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2 2 3 5 2 3 5 − + + + + + = + + Bài tập 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 2 3 | 2 3| log 5 ( 4) 3 5 x x y − − − − + = (1) và 2 4 | | | 1 | ( 3) 8y y y− − + + ≤ (2). Bài tập 5: T×m x > 0 t/m bÊt ph¬ng tr×nh 12 1036 1 − > − + xx x ./. C. ĐỀ TUYỂN SINH ĐH & CĐ Đ ề 1:(Đại học KhA) 3 x +5 x =6x+2 Đ ề 4: GPT: 21 )1(22 2 −=− −− x xxx Đ ề 5: Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất: mxxx x ++−=+ 22 12 Đ ề 6: Giải và biện luận: mmxx mmxxmxx ++=− +++++ 255 224222 22 Đ ề 10: GPT: 036 5 7 )3( 6 =− xx xLog Đ ề 11: GPT: 2 222 4log6log2log 3.24 xx x =− Đ ề 37:(Đại học Thuỷ sản;Trang-39) Giải biện luận: aaa xx =−++ 22 Đ ề 38:(Đại học Lâm nghiệp;Trang-40) Tìm nghiệm PT: 2422 1)16()16(2 2 3 2 3 =+ +−− xLogxLog Đ ề 59:(Đại học Dân lập Đông đô KB-D ;Trang- 57) GPT: 3 2x-1 =2+3 x-1 Đ ề 69:(CĐ CN HN ;Trang-66) GPT: 25 x -2(3-x)5 x +2x-7=0 Đ ề 77:(Học viện KHQS-KD ;Trang-72) GPT: 2 543 x x =− Đ ề 85:(Trung học nghiệp vụ Du lịch;Trang-80) GPT: 022.64 27 399 =+− LogxLogxLog Đ ề 94:(Đại học Hồng đức;Trang-88) Giải PT: 1112 93.613.73.5 +−− +−+− xxxx =0 Đ ề 101:(Đại học Dân lập Duy tân-KD;Trang-92) Cho PT: 0132)23(4)1( 1 =+−−++ + kkk xx 1) GPT khi k=3 ? 2) Tìm tất cả các giá trị k để PT trên có 2 nghiệm trái dấu ? Đ ề 102:(Đại học Dân lập Bình dương-KD;Trang- 92) Giải PT: xxx 6.59.24.3 =+ Đ ề 105(Đại học Dân lập KT Công nghệ- KA+B;Trang-97) Giải BPT: 68383 =       −+       + xx Đ ề 106(Đại học Dân lập KT Công nghệ- KD;Trang-98) Giải PT: 12356356 =       −+       − xx a) Giải BPT khi m=1? b) Tìm m để BPT thoả mãn ∀∈R Đ ề 108(Đại học Dân lập Văn hiến-KD;Trang-100) Giải PT: 0322.64 1 =+− +xx Đ ề 109(Đại học Hùng vương-KD1;Trang-100) Giải PT: 0173 3 26 9 =+− xx Đ ề 114 :(CĐ SP-Đồng Nai ;Trang-105) Giải PT: 11 34 2 =− +− xx x Đ ề 4:(Trang-422) Giải: 1 2 1 2 1 22 =         − −         + xx a a a a Với 0<a<1 Đ ề 9:(Trang-429) Tìm a để 2 PT sau tương đương: 16224 241 +=+ +++ xxx ; 19.39 12 =+− −− xx aa Đ ề 12:(Trang-)Giải PT: 03)4(2.24 221 =++−+ + yCosySin xx Đ ề 17:(Trang-441) Giải: 22.24 22 +=+ xCosxSin Đ ề 21:(Trang-447) Cho PT: ( ) ( ) x xx a 21515 =−++ a) GPT khi a=1/4? b) Tìm a để PT có đúng 1 nghiệm ? Đ ề 25:(Trang-452). Tìm k để PT: 0)22(.2)32(4 2 1 222 2 =+−+−− +− −− kxLogxxLog xx kx Có 3 nghiệm phân biệt ? Đ ề 1:(Đại học QG-HN;Trang-3)Giải PT: ( ) ( ) 2 12222 22 xx xLogxLog +=−++ Đ ề 3:(Đại học QG HN-KD;Trang-18) Giải PT: xxx 6642.33.8 +=+ Đ ề 7:(Đại học SP-HN-KB;Trang-50) Giải PT: 2 4 4 3 8.3 9.9 0 x x x x+ + + − − = Đ ề 16:(Đại học Thuỷ lợi CS II;Trang-115) Giải PT: 022.92 2212 22 =+− +++ xxxx Đ ề 17:(Đại học Y HN;Trang-123) Giải PT: 1 2 12 2 1 2.62 )1(3 3 =+−− − xx xx Đ ề 19:(Đại học Cần thơ-KD;Trang-137) GPT: 2625625 =       −+       + SinxSinx Đ ề 25:(Đại học Thái nguyên-KD;Trang-168) Giải BPT: x x 231 2 =+ . Đ ề 30:(Đại học Đà lạt-KD-AV ;Trang-201) Giải PT: 0239 =−+ CotgxCotgx Đ ề 34:(Đại học An ninh;Trang-218) Giải PT: 7)7,0(,6 100 7 2 += x x x . Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương. 3 + + + + + + = + + 2. Các phương pháp giải PT mũ thường gặp: 2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Tức là ta thay. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Công thức mũ: * Các đẳng thức cơ bản: 1) a a a α β α β + =