Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1) · x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề · Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức cần điều kiện P(x) ¹ P( x ) – Nếu phương trình có chứa biểu thức P( x ) cần điều kiện P(x) ³ + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2 · (1) Û (2) S1 = S2 · (1) Þ (2) S1 Ì S2 Phép biến đổi tương đương · Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác · Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: 5 1 a) x + = 12 + b) x + = 15 + x-4 x-4 x +3 x +3 1 2 c) x = 9d) x + = 15 + x -1 x -1 x -5 x -5 Bài Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: Bài a) + - x = x - c) e) Bài a) c) b) x +1 = - x x +1 = x +1 d) x - = - x x f) x - - x = x - + = x -1 x -1 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x - 3( x - x + 2) = x x -2 = x -2 - x -2 b) d) x + 1( x - x - 2) = x2 - x +1 Trang 14 = x+3 x +1 + x +1 Trần Sĩ Tùng Bài a) c) Bài a) c) Phương trình bậc – bậc hai Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x - = x +1 b) x + = x - 2 x -1 = x + d) x - = x - Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x x x -2 x -2 b) = = x -1 x -1 x -1 x -1 x x x -1 1- x d) = = 2- x 2-x x -2 x -2 Bài a) II PHƯƠNG TRÌNH ax + b = ax + b = Hệ số (1) có nghiệm x = - a¹0 a=0 (1) Kết luận b¹0 b=0 b a (1) vơ nghiệm (1) nghiệm với x Chú ý: Khi a ¹ (1) đgl phương trình bậc ẩn Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) (m + 2) x - m = x - b) m( x - m ) = x + m - b) m( x - m + 3) = m( x - 2) + d) m2 ( x - 1) + m = x (3m - 2) e) (m - m ) x = x + m - f) (m + 1)2 x = (2 m + 5) x + + m Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b, c: x-a x-b a) -b = - a (a, b ¹ 0) b) (ab + 2) x + a = 2b + (b + 2a) x a b x + ab x + bc x + b2 c) + + = 3b (a, b, c ¹ -1) a +1 c +1 b +1 x -b-c x-c-a x -a-b d) + + = (a, b, c ¹ 0) a b c Bài Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x Ỵ R a) (m - 2) x = n - b) (m + m - 3) x = m - c) (mx + 2)( x + 1) = (mx + m ) x d) (m - m ) x = x + m - Bài a) Trang 15 Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ¹ 0) Cách giải ax2 + bx + c = D = b2 - ac (a ¹ 0) (1) Kết luận D>0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2 = D=0 (1) có nghiệm kép x = - D ìD ³ ìD ³ ï ï · (1) có hai nghiệm dương Û íP > · (1) có hai nghiệm âm Û íP > ïS > ïS < ỵ î Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt D > · (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < Bài Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu iii) có hai nghiệm dương phân biệt ii) có hai nghiệm âm phân biệt a) x + x + 3m - = b) x + 12 x - 15m = c) x - 2(m - 1) x + m = d) (m + 1) x - 2(m - 1) x + m - = e) (m - 1) x + (2 - m) x - = f) mx - 2(m + 3) x + m + = g) x - x + m + = h) (m + 1) x + 2(m + 4) x + m + = Bài a) VẤN ĐỀ 3: Một số tập áp dụng định lí Vi–et Biểu thức đối xứng nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x2 = - ; P = x1 x2 = để biểu diễn biểu thức đối a a xứng nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ: 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 )2 - x1x2 = S - P 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) é( x1 + x2 )2 - x1 x2 ù = S (S - 3P ) ë û Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b c S = x1 + x2 = - ; P = x1 x2 = (S, P có chứa tham số m) a a Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: x - Sx + P = , S = u + v, P = uv Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: 2 A = x1 + x2 ; 3 B = x1 + x2 ; 4 C = x1 + x2 ; D = x1 - x2 ; E = (2 x1 + x2 )(2 x2 + x1 ) a) x - x - = b) x - x - = c) x + 10 x + = d) x - x - 15 = e) x - x + = f) Trang 17 3x + 5x - = Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng Bài Cho phương trình: (m + 1) x - 2(m - 1) x + m - = (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Bài Cho phương trình: x - 2(2 m + 1) x + + m = (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 3 c) Tính theo m, biểu thức A = x1 + x2 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm 2 e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 , x2 2 1± d) m = HD: a) m ³ b) x1 + x2 - x1 x2 = -1 c) A = (2 + 4m )(16 m + 4m - 5) e) x - 2(8m + 8m - 1) x + (3 + 4m )2 = Bài Cho phương trình: x - 2(m - 1) x + m - 3m = (*) a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm cịn lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 2 c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x1 + x2 = HD: a) m = 3; m = b) ( x1 + x2 )2 - 2( x1 + x2 ) - x1 x2 - = c) m = –1; m = Bài Cho phương trình: x - (m - 3m) x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = b) x2 = 1; x2 = - 7; x2 = -5 - Bài (nâng cao) Cho phương trình: x + x sin a = x + cos2 a (a tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với a b) Tìm a để tổng bình phương nghiệm phương trình đạt GTLN, GTNN Bài Cho phương trình: a) Trang 18 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc – bậc hai IV PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa tính chất ìA A ³ · A =í A < ỵ- A · A ³ 0, "A · A.B = A B · A = A2 · A + B = A + B Û A.B ³ · A - B = A + B Û A.B £ · A + B = A - B Û A.B £ · A - B = A - B Û A.B ³ Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ éì f ( x) ³ C1 ê í C2 ì g( x ) ³ ỵ f ( x ) = g( x ) Û ïé f ( x ) = g( x ) · Dạng 1: f ( x ) = g( x ) Û ê í ì êí f ( x) < ïê f ( x ) = - g( x ) ỵë ê ỵ- f ( x ) = g( x ) ë · Dạng 2: C1 2 f ( x ) = g( x ) Û [ f ( x )] = [ g( x )] C2 é f ( x ) = g( x ) Ûê ë f ( x ) = - g( x ) · Dạng 3: a f ( x ) + b g( x ) = h( x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải Bài Giải phương trình sau: a) x - = x + x2 + x + = x - g) x - - x + x + = x + Bài Giải phương trình sau: a) x + = x + d) d) x - x - = x + x + Bài Giải phương trình sau: a) x - x + x - - = b) x + = x + c) x - x + = e) x - x - = x - 17 f) x - 17 = x - x - h) x - + x + + x - = 14 i) x - + - x = x b) x - = - x c) x - + x + = x e) x - + x - x + = f) x + + - x = 10 b) x - x - x - + = c) x - x - x - - = d) x + x + x + = e) x - x - x - - = f) x + x + x + + 10 = Bài Giải biện luận phương trình sau: a) mx - = b) mx - x + = x + c) mx + x - = x d) x + m = x - m e) x + m = x - m + f) x - m = x + Bài Tìm giá trị tham số m cho phương trình sau có nghiệm nhất: a) mx - = x + b) Bài a) Trang 19 Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng V PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định ì ï Dạng 1: f ( x ) = g( x ) Û í f ( x ) = [ g( x )] ïg( x ) ³ ỵ ì f ( x ) = g( x ) f ( x ) = g( x ) Û í ỵ f ( x ) ³ (hay g( x ) ³ 0) ìt = f ( x ), t ³ ï af ( x ) + b f ( x ) + c = Û í ïat + bt + c = ỵ Dạng 2: Dạng 3: f ( x ) + g( x ) = h( x ) Dạng 4: · Đặt u = f ( x ), v = g( x ) với u, v ³ · Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v f ( x ) + g( x ) + Dạng 5: Đặt t = f ( x ).g( x ) = h( x ) f ( x ) + g( x ), t ³ Bài Giải phương trình sau: a) 2x - = x - b) x + 10 = - x c) x - x - = d) x + x - 12 = - x e) x2 + x + = - x f) x - x + = x - h) x - x - 10 = x - i) ( x - 3) x + = x - 3x - x + = x - Bài Giải phương trình sau: g) ( x - 3)(8 - x ) + 26 = - x + 11x a) x - x + = x - x + b) c) ( x + 4)( x + 1) - x + x + = d) ( x + 5)(2 - x ) = x + x e) x + x + 11 = 31 Bài Giải phương trình sau: f) x - x + - (4 - x )( x + 2) = a) x +1 - x -1 = b) 3x + - x + = c) x2 + - x - = d) 3x + 5x + - x2 + 5x + = e) + x + - x = f) x2 + x - + x2 + 8x - = 5 x + - x - 13 = Bài Giải phương trình sau: g) h) - x +1 + + x +1 = a) x + + - x = + ( x + 3)(6 - x ) b) x + + x + = x + (2 x + 3)( x + 1) - 16 c) x - + - x - ( x - 1)(3 - x ) = - x + + x - (7 - x )(2 + x ) = e) x + + - x + ( x + 1)(4 - x ) = f) g) + x - x2 = x + - x d) h) 3x - + x - = x - + x2 - 5x + x + - x = - x2 + x + Trang 20 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc – bậc hai Bài Giải phương trình sau: a) x - + 2 x - + x + + x - = 14 b) x + - x +1 + x + - x +1 = 2x - 2x -1 - 2x + - 2x -1 + 2x + - 2x -1 = Bài Giải phương trình sau: a) c) VI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta phải ý đến điều kiện xác định phương trình (mẫu thức khác 0) Bài Giải phương trình sau: a) + c) e) Bài a) d) Bài 10 50 = x - x + (2 - x )( x + 3) 2x +1 x +1 = 3x + x - b) x +1 x -1 2x +1 + = x + x - x +1 x2 - 3x + = -1 x2 - x - x + 2 x + x + 15 x +3 4x - = f) = x -1 x-3 ( x + 1) (2 x - 1)2 Giải biện luận phương trình sau: mx - m + mx + m - x - m x -1 =3 b) =3 c) + =2 x+2 x-m x -1 x - m x +m x +3 (m + 1) x + m - x x f) = e) =m = x -1 x - x +3 x+m x +1 Giải biện luận phương trình sau: d) a) Trang 21 Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng VII PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = (a ¹ 0) ìt = x , t ³ ï Cách giải: ax + bx + c = (1) Û í ï at + bt + c = (2) ỵ Số nghiệm phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng é(2) vô nghiệm · (1) vơ nghiệm Û ê(2) có nghiệm kép âm ê ë(2) có nghiệm âm é(2) có nghiệm kép · (1) có nghiệm Û ê ë(2) có nghiệm 0, nghiệm lại âm é(2) có nghiệm kép dương · (1) có nghiệm Û ê ë(2) có nghiệm dương nghiệm âm · (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm 0, nghiệm lại dương · (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm dương phân biệt Một số dạng khác phương trình bậc bốn · Dạng 1: ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d ) = K , với a + b = c + d – Đặt t = ( x + a)( x + b) Þ ( x + c )( x + d ) = t - ab + cd t + (cd - ab)t - K = – PT trở thành: ( x + a )4 + ( x + b )4 = K · Dạng 2: a+b a-b b-a Þ x+a =t+ , x+b=t+ 2 ỉ a-bư – PT trở thành: 2t + 12a t + 2a - K = ỗ vụựi a = ữ ố ứ Đặt t = x + ax + bx + cx ± bx + a = (a ¹ 0) (phương trình đối xứng) · Dạng 3: – Vì x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x , ta được: ổ ổ 1ử PT a ỗ x + ữ + b ỗ x ữ + c = (2) è xø x ø è t t = x + 1ổ 1ử ỗ hoaởc t = x - ÷ với t ³ x è xø – PT (2) trở thành: at + bt + c - 2a = ( t ³ 2) Bài Giải phương trình sau: a) x - x - = d) x + x - = Bài Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm iv) Có nghiệm b) x - x + = c) x + x + = e) x + x - 30 = f) x + x - = ii) Có nghiệm v) Có nghiệm iii) Có nghiệm a) x + (1 - 2m ) x + m - = b) x - (3m + 4) x + m = c) x + 8mx - 16m = Trang 22 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc – bậc hai Bài Giải phương trình sau: a) ( x - 1)( x - 3)( x + 5)( x + 7) = 297 b) ( x + 2)( x - 3)( x + 1)( x + 6) = -36 c) x + ( x - 1)4 = 97 d) ( x + 4)4 + ( x + 6)4 = e) ( x + 3)4 + ( x + 5)4 = 16 f) x - 35 x + 62 x - 35 x + = g) x + x - x + x + = Bài Giải phương trình sau: a) Trang 23 Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn ìa1 x + b1y = c1 ía x + b y = c 2 ỵ 2 2 (a1 + b1 ¹ 0, a2 + b2 ¹ 0) Giải biện luận: – Tính định thức: D = a1 b1 a2 b2 Xét D D¹0 D=0 Dx ¹ Dy ¹ Dx = Dy = , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 Kết æ Dy D H cú nghim nht ỗ x = x ; y = ÷ è D D ø Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình sau: ì5 x - y = a) í b) ỵ7 x - y = Bài ì2 x + y = 11 í5 x - y = î ì3 ì( + 1) x + y = - ï x + y = 16 ï d) í e) í ï2 x - ( - 1) y = 2 ï x - y = 11 ỵ ỵ2 Bài Giải hệ phương trình sau: ì1 ì 10 ï x - y = 18 ï x -1 + y + = ï ï a) í b) í ï + = 51 ï 25 + = ïx y ï x -1 y + ỵ ỵ ì2 x - + y + = ì2 x + y - x - y = d) í e) í î5 x - - y + = ỵ3 x + y + x - y = 17 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ì ìmx + (m - 1) y = m + mx + (m - 2) y = a) í b) í x + my = ỵ ỵ(m + 2) x + (m + 1) y = ì3 x - y = c) í ỵ6 x - y = ì 3x - y = ï f) í ï5x + y = ỵ ì 27 32 ï x - y + x + 3y = ï c) í ï 45 - 48 = -1 ï x - y x + 3y ỵ ì4 x + y + x - y = f) í î3 x + y - x - y = ì(m - 1) x + y = 3m - c) í ỵ (m + 2) x - y = - m ì(m + 1) x - y = m - ìmx + y = m + ì (m + 4) x - (m + 2) y = d) í e) í f) í 2 m x - y = m + 2m ỵ(2 m - 1) x + (m - 4) y = m ỵ2 x + my = 2m + ỵ Bài Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ì(m + 1) x - y = m - ì ìmx + y - = mx - y = a) í b) í c) í 2 x + 4(m + 1) y = m m x - y = m + 2m î î x + my - 2m + = ỵ Trang 24 Trần Sĩ Tùng Bài a) Bài a) d) Phương trình bậc – bậc hai Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m ìmx + y = m + ì6mx + (2 - m ) y = ìmx + (m - 1) y = m + b) í c) í í2 x + my = 2m + x + my = ỵ ỵ (m - 1) x - my = ỵ Giải biện luận hệ phương trình sau: ìax + y = b ì y - ax = b ìax + y = a + b b) í c) í í3 x + y = -5 ỵ ỵ2 x - y = ỵx + 2y = a 2 ì ì ïax - by = a - b ì(a + b) x + (a - b) y = a e) íax + by = a + b f) í í(2 a - b) x + (2a + b)y = b ỵ ïbx - b y = 4b îbx + ay = ab î Giải hệ phương trình sau: ì3 x + y - z = ï a) í2 x - y + z = b) ï x - y - 3z = ỵ Bài ì x + 3y + 2z = ï í2 x + y + z = ï3 x + y + z = î Bài a) Trang 25 ì x - y + z = -7 ï c) í-2 x + y + 3z = ï3 x + y - z = ỵ Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn · Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn · Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại ì f ( x, y) = Hệ có dạng: (I) í (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) ỵg( x , y ) = (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) · Đặt S = x + y, P = xy · Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P · Giải hệ (II) ta tìm S P · Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X - SX + P = Hệ đối xứng loại ì f ( x, y) = (1) Hệ có dạng: (I) í (2) ỵ f ( y, x ) = (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) · Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: ì f ( x , y ) - f ( y , x ) = (3) (I) Û í (1) î f ( x, y) = · Biến đổi (3) phương trình tích: éx = y (3) Û ( x - y ).g( x , y ) = Û ê ë g( x, y) = é ì f ( x , y) = êíx = y · Như vậy, (I) Û ê ỵ ê ì f ( x , y) = ê í g( x , y ) = ëỵ · Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai ìa x + b xy + c y = d ï 1 Hệ có dạng: (I) í 2 ïa2 x + b2 xy + c2 y = d2 ỵ · Giải hệ x = (hoặc y = 0) · Khi x ¹ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 = y0 Trang 26 Trần Sĩ Tùng Bài Phương trình bậc – bậc hai Giải hệ phương trình sau: ì ì b) í x - xy = 24 a) í x + y = ỵ x + 2y = ỵ2 x - y = ì ì3 x - y + = d) í x - xy + y + x + 3y - = e) í î xy = 3( x + y ) - î2 x - y = ì ì2 x + y = g) í y + x = x h) í 2 ỵ2 x + y - = ỵ3 x - y + y = Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ìx + y = ìx + y = m b) í a) í 2 ỵx + y = m ỵx - y + 2x = Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + xy + y = 11 ìx + y = a) í b) í 2 ỵ x + y - xy - 2( x + y ) = -31 ỵ x + xy + y = 13 d) Bài a) Bài a) d) Bài a) Bài a) ì c) í( x - y ) = 49 î3 x + y = 84 ì2 x + y = f) í ỵ xy + x + y + = ì2 x - y = i) í 2 ỵ x + xy + y = ì3 x - y = c) í 2 ỵx + y = m ì xy + x + y = c) í 2 ỵx + y + x + y = ì x y 13 3 ì x + x y + y = 481 ì ï ï + = e) í x + x y + y = 17 f) í íy x ï x + xy + y = 37 ỵ x + y + xy = î ïx + y = î Giải biện luận hệ phương trình sau: ì x + y + xy = m ìx + y = m + ì( x + 1)( y + 1) = m + c) í b) í í 2 2 ỵ xy( x + y ) = m ỵ x y + xy = 2m - m - ỵ x + y = - 2m Giải hệ phương trình sau: ì x2 = 3x + y ì x2 - 2y2 = x + y ì x3 = x + y ï ï ï b) í c) í í 2 ïy = 3y + x ïy - x = y + x ïy = y + x ỵ ỵ ỵ ì y2 + ì ì y ï3 y = ï2 x = y + y ï x - 3y = x ï ï ï x e) í f) í í x x +2 ï2 y = x + ïy - 3x = ï3 x = y ï ï ï x ỵ ỵ y ỵ Giải biện luận hệ phương trình sau: ì ì ì ï x (3 - y ) = m(3 - 4m ) ï xy + x = m( y - 1) ï x = x + my b) í c) í í 2 2 ï y = 3y + mx ï y (3 - x ) = m(3 - 4m ) ï xy + y = m( x - 1) ỵ î î Giải hệ phương trình sau: ì x - xy + y = -1 ì2 x - xy + y = -1 ì y - xy = ï ï ï b) í c) í í 2 2 ï3 x - xy + y = 13 ï3 x + xy + y = ï x - xy + y = î î î ì3 x + xy - y = 38 ì x - xy + y = ï ï d) í e) í 2 ï5 x - xy - y = 15 ï x - xy + y = ỵ ỵ Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ì ì ï x + mxy + y = m ï xy - y = 12 a) í b) í 2 ï x + (m - 1) xy + my = m ï x - xy = m + 26 ỵ ỵ Bài Giải hệ phương trình sau: a) Trang 27 ì3 x - xy + y = ï f) í 2 ï5 x - xy - y = ỵ ì x - xy + y = m ï c) í ï y - xy = ỵ Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Giải biện luận phương trình sau: a) m2 x + 4m - = x + m b) (a + b)2 x + a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2 ) x c) a2 x + ab = b2 x + a + b2 d) a(ax + b) = ax + b2 - Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x + m x + m -1 m2 x b) =1 - m x = 2m + x -1 x x -1 2mx - m +1 c) d) x - + x - = m - x -1 = x -1 x -1 Bài Giải biện luận phương trình sau: a) a) x + 12 x - 15m = b) x - 2(m - 1) x + m = d) x - 2(m - 2) x + m(m - 3) = b) x - mx + m - = Bài Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm cịn lại: a) x - mx + m + = 0; x0 = b) x - 3m x + m = 0; x = Bài Trong phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt 3 2 iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả: x1 + x2 = ; x1 + x2 = a) x - 2(m - 2) x + m(m - 3) = b) x + 2(m - 1) x + m = c) x - 2(m + 1) x + m - = d) (m + 2) x - 2(m - 1) x + m - = e) (m + 1) x + 2(m + 4) x + m + = f) x - x + m + = Bài Trong phương trình sau, hãy: i) Giải biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m a) x + (m - 1) x - m = c) (m + 2) x - 2(m - 1) x + m - = Bài Giải phương trình sau: b) x - 2(m - 2) x + m(m - 3) = d) x - 2(m + 1) x + m - = a) x + x - = 12 b) x + x + 11 = 31 c) 16 x + 17 = x - 23 d) x - x - = 3( x - 4) f) 51 - x - x = - x h) x + + = 3x - e) 3x - x + + x - = g) ( x - 3) x - = x - Bài Giải phương trình sau: a) - 10 - x = x - b) x - + x + = 2x + c) 3x + - x - = x + d) x2 - 3x + + x - 3x + = e) x + - x - = 3x - f) 3x - - - x = x - h) x +1 -1 = x - x + g) x + + x + - x + = Bài Giải phương trình sau: Trang 28 Trần Sĩ Tùng x + x -1 - x - x -1 = a) c) Phương trình bậc – bậc hai b) x - x2 - + x + x2 - = x +3 d) x - x - x - x + 13 = e) x + x - x + = x + x + x -1 + x - x -1 = f) x + x + x + = - x g) x - x - x + = x - h) x + x + x + = 23 - x Bài 10 Trong hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m ìmx + y = m + ìmx + y = 3m a) í b) í ỵ2 x + my = a - ỵ x + my = 2m + ìx - 2y = - m ì2 x + y = c) í d) í x + y = 3m + ỵ ỵ2 y - x = 10m + Bài 11 Giải hệ phương trình sau: ì x2 + y2 = ì x y + y x = 30 ì x + xy + y = -1 ï ï c) í 3 a) í b) í 2 ï x - x y + y = 13 ï x + y = 35 ỵ x y + y x = -6 ỵ ỵ ì ì ì x + y + xy = 11 ï x + y3 = ï x + y + xy = d) í e) í f) í 2 2 2 ïx + y = x + y ï x + y + x y = 21 ỵ x + y + 3( x + y ) = 28 ỵ ỵ Bài 12 Giải hệ phương trình sau: ì ì y ( x + 1) = x ( y + 1) ï( x + y )(1 + xy ) = ï ï ỉ a) í b) x + y ỗ1 + = 24 2 ï( x + y )(1 + ù ) = 49 ỗ x2 y2 ữ ữ 2 è ø ỵ ï x y ỵ ( ì 1 ïx + y + x + y = ï c) í 1 ï x2 + y2 + + =4 ï x y2 ỵ ) ì x y + = ï 2 ï d) í x + y + ï( x + y )(1 + ) = ï xy ỵ ì ï xy + xy = ï f) í ï( x + y ) ỉ + = ỗ ữ ù ố xy ø ỵ ì2 x y + y x + y + x = xy ï e) í y x ï xy + xy + x + y = ỵ Bài 13 Giải hệ phương trình sau: ì x2 = 3x + y ï a) í ïy = 3y + x î ì x3 = x + y ï b) í ïy = y + x ỵ ì ï2 x + y = ï e) í ï2 y + x = ï ỵ Bài 14 Giải hệ phương trình sau: a) ì ï2 x = y + y ï d) í ï2 y = + x ï x ỵ x2 y2 Trang 29 ì x3 = 3x + 8y ï c) í ïy = 3y + x ỵ ì y2 + ï3 y = ï x2 f) í ï3 x = x + ï y2 ỵ ... - x - x = - x h) x + + = 3x - e) 3x - x + + x - = g) ( x - 3) x - = x - Bài Giải phương trình sau: a) - 10 - x = x - b) x - + x + = 2x + c) 3x + - x - = x + d) x2 - 3x + + x - 3x + = e) x + -. .. - x + = e) x - x - = x - 17 f) x - 17 = x - x - h) x - + x + + x - = 14 i) x - + - x = x b) x - = - x c) x - + x + = x e) x - + x - x + = f) x + + - x = 10 b) x - x - x - + = c) x - x - x - -. .. t ³ Bài Giải phương trình sau: a) 2x - = x - b) x + 10 = - x c) x - x - = d) x + x - 12 = - x e) x2 + x + = - x f) x - x + = x - h) x - x - 10 = x - i) ( x - 3) x + = x - 3x - x + = x - Bài Giải