www.VNMATH.com HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM MỘT SỐ ĐỀ DỰ TUYỂN OLYMPIC TỐN HỌC SINH VIÊN TỒN QUỐC NĂM 2009 www.VNMATH.com Chương Các tốn đề nghị 1.1 Mơn: Đại số, Trường: Học viện Phịng khơng Khơng qn Câu I (2,5 điểm) Ma trận A ∈ Mn (K) gọi luỹ linh bậc p p số nguyên dương cho Ap−1 = [O] Ap = [O] (ma trận không) a) Chứng minh A ma trận luỹ linh bậc p E − A ma trận khả nghịch Hãy tìm ma trận nghịch đảo (E − A)−1 b) Áp dụng kết trên, tìm ma trận nghịch đảo ma trận:   0 B = a  c b Câu II (3 điểm) a) Cho số thực λ1 , λ2 , , λn khác khác giá trị 0, −1, −2, , −n+ Hãy chứng minh λ1 λ1 + ··· λ1 + n − 1 λ2 λ2 + ··· λ2 + n − ··· ··· ··· ··· λn =0 λn + ··· λn + n − b) Cho đa thức P (x) = x4 − 5x3 + 11x2 − 12x + Biết phương trình P (x) = có nghiệm − i Hãy chứng minh A ma trận vuông www.VNMATH.com 1.2 MƠN: GIẢI TÍCH, TRƯỜNG: HỌC VIỆN PHỊNG KHƠNG - KHÔNG QUÂN3 cấp n thoả mãn P (A) = [O] (ma trận khơng), A khơng có giá trị riêng số thực Câu III (2,5 điểm) Cho bất phương trình 1 1 + + + > 2009 x−1 x−2 x−3 x−4 Giả sử bất phương trình có nghiệm số khoảng Tính tổng độ dài nghiệm trục số Câu IV (2 điểm) Cho đa thức với hệ số phức: P (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an ; Q(x) = xm + b1 xm−1 + b2 xm−2 + · · · + bm−1 x + bm Biết P (x) chia hết cho Q(x) tồn k(k = 1, 2, , m) cho |bk | > k Cm 2010k Chứng minh tồn (i = 1, 2, , n) cho |ai | > 2009 1.2 Môn: Giải tích, Trường: Học viện Phịng khơng Khơng qn Câu I (2 điểm) Tính giới hạn lim x→0+ sin x t2 (e − 1)dt x 2t dt Câu II (1,5 điểm) Dãy số {xn } xác định x1 = 3; 3(xn+1 − xn ) = 16 + x2 + n 16 + x2 n+1 ∀n ≥ Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Câu III (1,5 điểm) Cho hàm số f (x) liên tục, đơn điệu tăng thoả mãn điều kiện f (x) > ∀x ∈ [a, b] Gọi g(x) hàm ngược f (x) Chứng minh b f (b) g(x)dx = bf (b) − af (a) f (x)dx + a f (a) Câu IV (2,5 điểm) Cho a1 , a2 , , an số thực không âm không đồng thời www.VNMATH.com CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ a) Chứng minh phương trình xn − a1 xn−1 − a2 xn−1 − · · · − an−1 x − an = (1) có nghiệm dương b) Giả sử R nghiệm dương phương trình (1) n n A= aj ; B = j=1 jaj j=1 Chứng minh rằng: AA ≤ R B Câu V (2,5 điểm) a) Tìm tất hàm số f : J → J thoả mãn điều kiện: f (x) ≤ + 2009x f (x + y) ≤ f (x) + f (y) − ∀x, y ∈ J b) Các hàm số f (x), g(x) hàm liên tục thoả mãn điều kiện: f (g(x)) ≡ g(f (x)) ∀x ∈ J Chứng minh phương trình f (x) = g(x) khơng có nghiệm thực, phương trình f (f (x)) = g(g(x)) khơng có nghiệm thực 1.3 Môn: Đại số, Trường: Đại học Thuỷ lợi Câu I Cho ma trận thực A = (aij )n×n thoả mãn điều kiện sau: i) n số lẻ, ii) aii = λ, iii) aij = −aji ∀i = j Tìm điều kiện λ để hệ phương trình ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi , i = 1, , n, có nghiệm Câu II Gọi , , n tất bậc n(n > 1) đơn vị Ký hiệu A = (aij )m×n ma trận có aij = 1+ i i i = j i = j www.VNMATH.com 1.4 MÔN: ĐẠI SỐ, TRƯỜNG: HỌC VIỆN QUÂN Y Tìm ma trận nghịch đảo A Câu III Tìm tất số thực a, b cho a −b b a = √ √ −1 Câu IV Cho A ma trận thực có hạng r Chứng minh ma trận AT A AAT có hạng r 1.4 Mơn: Đại số, Trường: Học viện Quân y Câu I Cho hai đa thức P (x) = (x−a)2n +(x−3a)2n Q(x) = (x−a)2 (x−3a)2 với n ∈ N ∗ , a ∈ R∗ Xác định đa thức dư phép chia P (x) cho Q(x) Câu II Cho đa thức P (x) = x5 − x + ∈ C[x] có nghiệm xi (i = 1, 5) Tính giá trị biểu thức sau: A= i=1 8xi − 10 (x2 − 1)(xi − 2)2 i Câu III Tìm tất ma trận A vuông cấp n cho với ma trận B vng cấp n ta có det(A + 2009.B) = det(A) + 2009.det(B) Câu IV Cho a ∈ R∗ , chứng tỏ ma trận A khả nghịch tìm A−1   a a2 a3  1  a a2   a  A=1  a   a2 a  1 1 a3 a2 a Câu V Cho ma trận nguyên A vuông cấp n Chứng minh với b ∈ Zn hệ phương trình Ax = b có nghiệm ngun det(A) = ±1 Câu VI Cho A = (a1 , a2 , , an ) Tìm giá trị riêng ma trận AT A www.VNMATH.com 1.5 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ Mơn: Đại số , Trường: ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Câu I Giải hệ phương trình  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = x1 ;    22009   a x + a x + · · · + a x = x ; 21 22 2n n 22009  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·     a x + a x + · · · + a x = x ; n1 n2 nn n n 22009 biết aij ∈ Q 22008 aij ∈ Z ≤ i = j ≤ n, ≤ n ∈ N Bài II Cho ma trận A vuông cấp n khả nghịch (0 < n ∈ N) Giả sử {P1 (x), P2 (x), , Pn (x)} hệ n đa thức biến x thoả mãn đẳng thức ma trận     P1 (x) x  x2   P2 (x)      A  =       xn Pn (x) Chứng minh ln tìm n số thực a1 , a2 , , an ∈ [2008, 2009] cho det(Pi (aj ))n = 1.6 Mơn: Giải tích , Trường: Học viện Kỹ thuật quân Câu I (4 điểm) Giả sử a0 số dương cho trước {an } dãy số thực xác định công thức truy hồi sau: 1 an = ; n = 1, 2, an−1 + an−1 Chứng minh {an } dãy số hội tụ tìm lim an n→∞ Câu II (4 điểm) Cho hàm f (x) liên tục [0, 2] f (0) = f (2) Chứng minh tồn x1 , x2 đoạn [0, 2] cho x2 − x1 = f (x2 ) = f (x1 ) Câu III (4 điểm) Cho hàm f : [a, b] → R, b−a ≥ 4, hàm khả vi khoảng mở (a, b) Chứng minh tồn x0 ∈ (a, b) cho f (x0 ) < + f (x0 ) www.VNMATH.com 1.7 MÔN: ĐẠI SỐ , TRƯỜNG: CĐSP BÀ RỊA - VŨNG TÀU Câu IV (4 điểm) Tính tích phân I= ln(1 + x) dx + x2 Bài V (4 điểm) Cho f (x) hàm khả vi liên tục [a, b], f (a) = f (b) = b a f (x)dx = Chứng minh rằng: b a) a xf (x)f (x)dx = − b b b) ≤ a [f (x)]2 dx a x2 f (x)dx 1.7 Môn: Đại số , Trường: CĐSP Bà Rịa - Vũng tàu Câu I (5 điểm) Tính định thức D= 1 C2 C3 1 C3 C4 1 Cn Cn+1 1 Cn+1 Cn+2 n−1 n−1 C n−1 C n−1 Cn n+1 2n−2 C2n−1 k Cn tổ hợp chập k n phần tử Câu II (5 điểm) Cho   −5 A = 5 −7 3 −9 Tính f (A) biết f (x) = 2009x2009 − 2008x2008 + · · · + x Câu III (5 điểm) Cho n ∈ ∗ A, B hai ma trận cấp n thoả mãn AB − BA = B Chứng minh AB 2009 = B 2009 (A + 2009E) E ma trận đơn vị cấp n Câu IV (5 điểm) Giải hệ phương trình XY X = I2 Y XY = I2 www.VNMATH.com CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ X, Y ma trận vuông cấp I2 ma trận đơn vị cấp Câu V (5 điểm) Cho A B ma trận vuông cấp n thoả mãn E − AB khả nghịch Chứng minh E − BA khả nghịch Câu VI (5 điểm) Cho P (x) đa thức bậc n ≥ với hệ số thực có n nghiệm thực Chứng minh rằng: (n − 1)[P (x)]2 ≥ nP (x)P (x) ∀x ∈ 1.8 Mơn: Giải tích , Trường: CĐSP Hà Nội Câu I Tìm giới hạn lim n n→∞ 1 1 · 2 · · · + ( n )2 + (n) + (n) n Câu II Tìm hàm f xác định với x = cho thoả mãn phương trình f x x = 2009f (x) + arctg x−1 x−1 Câu III Chứng minh 2009 20092008 2008 > 20082009 Câu IV Cho hàm f khả vi [0, 1], f (0) = 1, f (1) = Chứng minh tồn điểm c ∈ (0, 1), cho f (c) = c Câu V Tìm tất hàm f liên tục R thoả mãn điều kiện f (x) = f (sin x) 1.9 Môn: Đại số, Trường: ĐH Bà rịa - Vũng tàu Câu I (6 điểm) Cho a, b, c, d ∈    a −b −c −d 0  b a −d c  , E =  , A= 0 c d a −b  d −c b a 0 0  0  0 www.VNMATH.com 1.10 MƠN: GIẢI TÍCH , TRƯỜNG: ĐH BÀ RỊA - VŨNG TÀU Tính |A − λE| Câu II (6 điểm) Tìm tất ma trận A = a b cho An = c d an bn cn dn ∀n ∈ ∗ Câu III (6 điểm) Cho n ∈ ∗ A ma trận phản đối xứng cấp n Chứng minh I + A khả nghịch I ma trận đơn vị cấp n Câu IV (6 điểm) Cho n ∈ ∗ , A ma trận thực cấp n Chứng minh ta phân tích A thành tổng ma trận thoả mãn ma trận có n giá trị riêng khác Câu V (6 điểm) Cho = bj với i, j = 1, n bi = bj ∀i = j Giải hệ phương trình  x1 x2 x3 xn  a − b + a − b + a − b + · · · + a − b =  1 n       x  x2 x3 xn     a2 − b1 + a2 − b2 + a2 − b3 + · · · + a2 − bn =    · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·        x  x2 x3 xn   + + + ··· + =0 an − b1 an − b2 an − b3 an − bn 1.10 Mơn: Giải tích , Trường: ĐH Bà rịa - Vũng tàu Câu I (5 điểm) Tìm n i lim n→∞ i=1 j=1 j n3 Câu II (5 điểm) Tìm lim In biết n→∞ xn ex dx; n ∈ In = ∗ Câu III (5 điểm) Cho f (x) hàm liên tục [0, 1] thoả mãn điều kiện www.VNMATH.com 10 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ f (0) = f (1) Chứng minh phương trình f (x) = f x + đoạn [0, 1] n có nghiệm thuộc Câu IV (5 điểm) Cho f (x) khả vi liên tục lần [a, b] đoạn phương trình f (x) = có nhiều nghiệm khác Chứng minh tồn h ∈ [a, b] cho f (h) + f (h) = 2f (h) Câu V (5 điểm) Liệu có tồn hàm f (x) xác định [0, 2] thoả mãn điều kiện sau đây: f (x) khả vi liên tục [0, 2], f (0) = f (2) = 1, |f (x)| ≤ 1, f (x)dx ≤ Câu VI (5 điểm) Tìm tất hàm số f : + xf [xf (y)] = f [f (y)] ∀x, y ∈ 1.11 + → thoả mãn điều kiện + (1) Mơn: Giải tích , Trường: Đại học Hàng hải Câu I (2,5 điểm) Cho dãy số {xn } xác định quy nạp x1 = 2009, x2 = 2008, xn+2 = − xn xn+1 + (∀n ∈ N ∗ ) n n Tìm lim xn n→∞ Câu II (2,5 điểm) Cho f (x) hàm liên tục [0, 1], khả vi khoảng mở (0, 1) thoả mãn: i) f (0) = f (1) = √ 1 1−k ≥ ii) Tồn số k ∈ (0, 1) cho f ( ) − 2 Chứng minh tìm số x1 , x2 phân biệt thuộc khoảng (0, 1) cho: f (x1 )f (x2 ) = k Câu III (2,5 điểm) Tính √ dx + x4 Câu IV (2,5 điểm) Tồn hay không hàm f (x) liên tục R thoả mãn f (f (x)) = x2 − (∀x ∈ R) www.VNMATH.com 14 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ A = αE với E ma trận đơn vị cấp n Câu VI (3 điểm) Cho ma trận   2009 2008 2007  A = −2007 2009 2008 2009 Hãy tính A2010 Câu VII (3 điểm) Tìm tất đa thức f (x) có bậc 5, biết đa thức f (x) + chia hết cho (x − 1)3 đa thức f (x) − chia hết cho (x + 1)3 1.16 Môn: Đại số , Trường: Đại học Quy Nhơn Câu I Cho M ma trận cấp × N  2 MN = −2 ma trận cấp × thoả mãn  −2  Tìm ma trận N M ? Câu II Tồn hay không ma trận thực A vuông cấp thoả mãn A2010 = −1 0 −1 − , số dương Câu III Xác định tất ma trận vuông cấp giao hoán với ma trận   −1 −1 A = −1 −1 1 Câu IV Cho p(x) q(x) hai đa thức với hệ số thực, nguyên tố nhau, có bậc dương m n Giả sử r(x) đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ thua m + n Chứng minh tồn hai đa thức với hệ số thực f g cho deg(f ) < n deg(g) < m pf + qg = r www.VNMATH.com 1.17 MÔN: GIẢI TÍCH, TRƯỜNG: ĐẠI HỌC QUY NHƠN 1.17 15 Mơn: Giải tích, Trường: Đại học Quy Nhơn Câu I Cho hàm số khả vi [0, 1] thoả mãn f (0) = 16|f (x)| ≤ 4|f (x)|2009 , ∀x ∈ [0, 1] Chứng minh f (x) ≡ [0, 1] Câu II Cho hàm số f (x) khả vi liên tục hai lần R thoả mãn f (0) = 0, f (0) = −2, f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) cho f (c)f (c) + f (c) = Câu III Chứng minh với đa thức P (x) bậc 1999 ta ln có |f (x)|dx ≥ −1 |f (0)| 30002000 Câu IV Tồn hay không hàm số f (x) khả vi liên tục [0, 2] thoả mãn f (0) = f (2) = 1, |f (x)| ≤ với x ∈ [0, 2] f (x)dx ≤ Câu V Xác định tất đa thức P (x) với hệ số thực thoả mãn phương trình P (x2 + x) = P (x)P (x + 1) 1.18 Môn: Đại số , Trường: Đại học An Giang Câu I (5 điểm) Cho ma trận   4 A = −4 −4 −8 Tính A2008 Câu II (5 điểm) Cho A ma trận vng cấp 2009 có aij = max{i, j} Tính detA Câu III (5 điểm) Cho A, B ∈ Mn (R) thoả mãn AB − 2A − 2B = www.VNMATH.com 16 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ a) Chứng minh AB = BA b) Với A + B = −E Chứng minh rank(A − E) + rank(B − E) = n Câu IV (5 điểm) Cho m số nguyên khác ±1, aij số nguyên cho trước Hãy giải hệ phương trình sau: 1  x1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn  m  1   x = a x + a x + ··· + a x 21 22 2n n m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·    1   x = a x + a x + ··· + a x n n1 n2 nn n m Câu V (5 điểm) Biết đa thức P (x) có nghiệm thực, đa thực P (P (x)) nghiệm thực Chứng minh tất nghiệm thực P (x) khác dấu α β ∈ Mn (R) với β dương a) Chứng minh tồn ma trận khả nghịch P ∈ Mn (R) cho P −1 AP ma trận chéo λ1 hệ phương trình cho b) Giả sử P −1 AP = λ2 Câu VI (5 điểm) Cho ma trận A = un+1 = αun + βvn vn+1 = un Hãy xác định u2009 1.19 Mơn: Giải tích , Trường: Đại học An Giang Câu I (5 điểm) Cho hàm số f liên tục R thoả mãn f (x) + f (−x) = Tính tích phân 2009π −2009π + cos 2x f (x)dx Câu II (5 điểm) Cho hàm số f liên tục [0, +∞) thoả mãn < 3xf (x) < 1, ∀x ∈ (0, +∞) www.VNMATH.com 1.20 MƠN: TỐN , TRƯỜNG: HỌC VIỆN AN NINH Chứng minh hàm số g(x) = x t f (t)dt −3 17 x tf (t)dt hàm số đồng biến (0, +∞) Câu III (5 điểm) Tìm tất hàm f : [0, +∞) → [0, +∞) thoả mãn ∀x ≥ 0, f (f (x)) + f (x) = 2009.2010x Câu IV (5 điểm) Cho hàm số f f (x) hàm đồng biến [a, b], 1 f (a) = (a − b); f (b) = (b − a) 2 Chứng minh tồn α, β, γ phân biệt (a, b) cho f (α).f (β).f (γ) = 2009 Câu V (5 điểm) Chứng minh = phương trình 2008 + 2i + i=0 2009 xi = ln có nghiệm (0, 1) i=0 Câu VI (5 điểm) Cho f hàm liên tục, dương, giảm Đặt Sn = f (n) + f (n + 1) + · · · + f (n + kn) (k, n ∈ N∗ ) Chứng minh n+kn n+kn f (x)dx ≤ Sn ≤ f (n) + f (n + kn) + n 1.20 f (x)dx n Mơn: Tốn , Trường: Học viện An ninh Câu I Cho f (x) hàm khả vi liên tục đoạn [0, 2] f (1) = Chứng minh 2 [f (x)]2 dx ≥ f (x)dx 0 Câu II Cho A, B ma trận thực, vuông cấp n thoả mãn A + B = I (ma trận đơn vị) Biết rank(A) + rank(B) = n Chứng minh A2 = A, B = B, AB = BA = O (ma trận không) www.VNMATH.com 18 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ 1.21 Mơn: Tốn , Trường: Học viện ngân hàng Câu I Cho P (x) = x2 − Hỏi phương trình P (P (P P (x))) = 2009 có nghiệm thực phân biệt? Câu II Cho hai dãy số {xn }∞ {yn }∞ thoả mãn n=1 n=1 √ yn x1 = y1 = 3, xn+1 = xn + + x2 , yn+1 = , ∀n ≥ n + + yn Chứng minh < xn yn < 3, ∀n ≥ Ngoài chứng tỏ lim xn = ∞ lim yn = n→∞ 1.22 n→∞ Môn: Đại số , Trường: Đại học Huế   −2 −4 −1 Chứng minh Câu I (2,5 điểm) Cho ma trận A =  2 1 A3 = 3A2 − 2A’ An = (2n−1 − 1)A2 + (2 − 2n−1 )A với n nguyên dương Câu II (2,5 điểm) Cho A, B ma trận vuông cấp n hệ số thực cho rank(A) = rank(B) Chứng minh tồn ma trận vuông khả nghịch C, D cho AD = CB Câu III (2,5 điểm) Cho A1 , , Am ma trận vuông cấp n A1 A2 Am = Chứng minh rank(A1 ) + · · · + rank(Am ) ≤ n(m − 1) Câu IV (2,5 điểm) Chứng minh tồn đa thức p(x) hệ số thực cho a x2009 + 2008, a > p(x) − p (x) = 2009! Hãy tìm đa thức p(x) nói (chú ý ký hiệu p (x) để đạo hàm đa thức p(x)) www.VNMATH.com 1.23 MÔN: GIẢI TÍCH , TRƯỜNG: ĐẠI HỌC HUẾ 1.23 19 Mơn: Giải tích , Trường: Đại học Huế Câu I (2 điểm) Chứng minh tồn dãy số thực dương (xn )n cho xn arctan xn = 1, n = 1, 2, n Chứng minh (xn )n hội tụ tìm giới hạn dãy (xn )n Câu II (2 điểm) Cho f : R → R hàm khả vi cho lim f (x) = 2009 x→+∞ tồn lim xf (x) Tính lim xf (x) x→+∞ x→+∞ Câu III (2 điểm) Tồn hay không hàm khả vi liên tục f : R → R cho với x ∈ R ta có f (x) > f (x) = f (f (x))? Câu IV (2 điểm) Cho hàm f khả vi liên tục [a, b] cho f (a) = f (x), f (x) ∈ [0, 1] với x ∈ [0, 1] Chứng minh b (f (x))2009 dx < (b − a)2 a Câu V (2 điểm) Cho f hàm khả vi đến cấp [0, 1] cho f (x) ≥ Chứng minh 1 1.24 f (t2 )dt (1 − t)f (t)dt ≤ Môn: Đại số , Trường: CĐSP KonTum Câu I (2 điểm) Cho ma trận vuông cấp hai: Q= 1 d h 17 , C = , , B= 1 2009 q b d, h, q, b bốn số thực thoả mãn (h − q)2 = (b − d)2 2009 a a Đặt A = (QB − BQ)2009 C (QB − BQ)−4 = 11 12 Tính tổng a21 a22 S= aij i,j=1 www.VNMATH.com 20 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ    2 0 Câu II (2 điểm) Cho hai ma trận A = 1 0 B = 0 0 0 0  Đặt P = An + B n , n ∈ N \{0} Tính det(P ) Câu III (2 điểm) Giải hệ phương trình  ax1 − bx2 − cx3 + dx4 = 2009x1    bx + ax + dx + cx = 2009x cx1 + dx2 + ax3 − bx4 = 2009x3    −dx − cx + bx + ax = 2009x 4 , a, b, c, d ∈ R a > 2009 Câu IV (2 điểm) Cho hai ma trận  c      3 c d s p  d 2 d u m k   T =  K=  s m t o  5  s  p k o n 2   p 2 d s u m 5 m t k o  p     k   ,  o     n với c, d, s, p, k, o, n, t, u, m 10 số thực tuỳ ý Chứng minh K T hai ma trận đồng dạng Câu V (2 điểm) Cho đa thức f (x) = x5 − 3x4 − 19x3 + ax2 + bx + c thuộc Z[x] a) Trong trường hợp chia f (x) cho đa thức g(x) = x3 − 2x2 − 5x + dư 1, xác định a, b, c b) Giả sử phương trình f (x) − = có nghiệm nguyên phân biệt, chứng tỏ phương trình f (x) + = khơng có nghiệm ngun www.VNMATH.com 1.25 MƠN: GIẢI TÍCH , TRƯỜNG: CĐSP KONTUM 1.25 21 Mơn: Giải tích , Trường: CĐSP KonTum Câu I (2 điểm) Cho dãy số thực bị chặn (xn )n∈N thoả mãn: x2009n lim (xn + ) = n→∞ 2009 Tìm lim xn n→∞ Câu II (2 điểm) Cho f hàm liên tục [0, 2009], biết tồn n0 ∈ N, < n0 ≤ 2009 cho n0 f (x)dx = 0 Chứng minh tồn α ∈ [0, 2009] cho: α α+1 f (x)dx = f (x)dx Câu III (2 điểm) Cho f g hàm xác định R thoả mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y), ∀x, y ∈ R Chứng minh f (x) ≡ f (x) bị chặn |g(y)| ≤ 1, ∀y ∈ R Câu IV (2 điểm) Cho hàm f (x) liên tục [a, b] (a > 0), khả vi (a, b) Chứng minh tồn x1 , x2 , x3 ∈ (a, b) cho f (x1 ) = (a + b) f (x3 ) f (x2 ) + (a2 + ab + b2 ) 4x2 6x2 Câu V (2 điểm) Cho f hàm khả vi liên tục đến cấp hai [0, +∞) cho f > 0, f ≤ f bị chặn [0, +∞) Chứng minh lim f (x) = x→+∞ 1.26 Môn: Đại số , Trường: Câu I Cho hai ma trận thực vuông cấp hai A = B = a2009 − b2010 b 2009 − c2010 c a a2009 − c2010 c 2010 2009 − b2010 Tính (A − B) b a Câu II Cho 2009 đa thức fj (x) = a0,j + a1,j x + · · · + a2007,j x2007 với j ∈ www.VNMATH.com 22 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ {1, 2, , 2009} ma trận vuông  f1 (1)  f2 (1) A=  ··· f2009 (1) cấp 2009 f1 (2) f2 (2) ··· f2009 (2)  · · · f1 (2009) · · · f2 (2009)    ··· ··· · · · f2009 (2009) Hãy tính det(A) Câu III Giải hệ phương trình sau  x0 + x1 + x2 + · · · + x2009 =    2009x0 + 2010x1 + (2008 + 22 )x2 + · · · + (2008 + 22009 )x2009 =   2009x0 + 2011x1 + (2008 + 32 )x2 + · · · + (2008 + 32009 )x2009 =   · · · · · · · · · · · · · · ·     2009x0 + 4018x1 + (2008 + 20102 )x2 + · · · + (2008 + 20102009 )x2009 =   Câu IV Cho ma trận A =  10 15  Gọi n số tự nhiên lớn −2 −6 −9 n có giá trị riêng phân biệt k , k , k Hãy tìm tổng S = (k + k + k )2009 cho A 3 Câu V Tìm tất đa thức P (x) thoả mãn P [x + P (y)] + x2 = [P (y) + x]2 + P (−x) với x, y ∈ R 1.27 Mơn: Tốn , Trường: Câu I Cho A ∈ Mn (R thoả mãn: A + AT = Chứng minh det(I + αA2 ) ≥ ∀α ∈ R Câu II Cho A ∈ M4 (R) thoả mãn A3 = I4 Tính det(A + I) Câu III Cho A, B ∈ Mn (R) thoả mãn AB + A + B = Chứng minh RankA = RankB www.VNMATH.com 1.28 MƠN: GIẢI TÍCH , TRƯỜNG: 23 Câu IV Cho A, B ∈ Mn (R) thoả mãn trace(AAT +BB T ) = trace(AB+AT B T ) Chứng minh A = B T Câu V Giải phương trình X − 3X = −2 −2 , X ∈ M2 (R) −2 −2 Câu VI Cho P (x) đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt khác Chứng minh nghiệm đa thức: Q(x) = x2 P (x) + 3xP (x) + P (x) thực phân biệt 1.28 Mơn: Giải tích , Trường: Câu I Cho dãy số (xn )n∈N xác định công thức xn = (1 + n )(1 + ) · · · (1 + ) n n n Tính giới hạn lim xn n→∞ Câu II Cho dãy số (xn )n∈N bị chặn thoả mãn xn+2 ≤ xn+1 + xn , với n ≥ 3 Chứng minh dãy (xn )n∈N hội tụ Câu III Cho hàm số f : (0, +∞) → R có đạo hàm cấp hai liên tục thoả mãn điều kiện |f (x) + 2xf (x) + (1 + x2 )f (x)| ≤ 2008, với x ∈ (0, +∞) Chứng minh lim f (x) = x→+∞ Câu IV Tìm tất hàm số f : [0, 1] → R liên tục thoả mãn điều kiện sau: 1 x+1 x + 2007 f (x) = [f ( ) + f( ) + · · · + f( )], 2008 2008 2008 2008 www.VNMATH.com 24 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ với x ∈ [0, 1] Câu V Chứng minh √ 2π sin x2 dx > 0 Câu VI Tính tích phân sau I= 1.29 ln(1 + x) dx + x2 Môn: Đại số , Trường: CĐSP Bắc Ninh Câu I Cho dãy số (ai ) (i = 1, 2, 3, ) xác định công thức a1 = 1, a2 = −1 an = −an−1 − 2an−2 n = 3, 4, Tìm giá trị biểu thức A = 2a2 + a2008 a2009 + a2 2009 2008 Câu II Cho hàm số f : R → R xác định y = f (x) = 1999x + 19992−x Với giá trị a hàm y = f (x + a) hàm số chẵn Câu III Cho dãy số (xn ) xác định sau: xn = (1 + n )(1 + ) · · · (1 + ), n = 1, 2, n n n Tìm lim (lnxn ) n→∞ Câu IV Tìm tất hàm số f : R → R liên tục thoả mãn điều kiện f (x2 ) + f (x) = x2 + x, ∀x ∈ R 6(3a + 2b) Chứng minh 5(n + 2) π phương trình sau: 3a sinn x + 2b cosn x + c cos x + c = có nghiệm thuộc (0, ) Câu V Cho a, b, c ∈ R, n ∈ N ∗ cho c = − www.VNMATH.com 1.30 MƠN: GIẢI TÍCH , TRƯỜNG: CĐSP BẮC NINH 1.30 25 Mơn: Giải tích , Trường: CĐSP Bắc Ninh Câu I a) Cho ma trận A= ; B= Tính AB − BA b) Có hay khơng ma trận A, B vuông cấp n thoả mãn AB − BA ma trận đơn vị Câu II Giải hệ phương trình tuyến tính sau  x1 + x2 + · · · + xn =    a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b   a2 x + a2 x2 + · · · + x2 xn = b2 n  1  · · · · · · · · ·    n−1  a1 x1 + an−2 x2 + · · · + an−1 xn = bn−1 n với (i = 1, 2, , n), b tham số, hệ số đôi khác Câu III Cho A ma trận vuông, ký hiệu I ma trận đơn vị cấp Chứng minh a) Nếu A2 = I + A I − A hai ma trận khả nghịch b) Nếu có số nguyên dương n để An = I + A I − A ma trận khả nghịch c) Nếu P, Q hai ma trận vuông cấp thoả mãn P Q = QP tồn hai số nguyên dương r, s thoả mãn P r = Qs = ma trận I + P + Q khả nghịch → → Câu IV Cho ma trận A k1 , k2 giá trị riêng phân biệt Giả sử −1 , −2 α α − + − có véc tơ riêng A → α → véc tơ riêng tương ứng với k1 , k2 Hỏi α1 không?   x1 + x2 1 x2 + x3 , x1 , x2 , x3 Câu V Cho ma trận A =  1 x3 + x1 nghiệm đa thức f (x) = x3 + ax + 2009 a) Tính detA b) Tìm a để ma trận A có giá trị riêng 2009 www.VNMATH.com 26 1.31 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ Mơn: Đại số , Trường: Đại học Ngân hàng ThpHCM Câu Cho ma trận   0 A = 1 0 Tính A2009 Câu Cho hệ phương trình phụ thuộc tham số a =  ax2 + a2 x3 + · · · + a2008 x2009 =  x   + a2 x3 + · · · + a2007 x2009 = a   x  x2  2007 + 2006 + · · · + ax2009 = a  a  x  x2 + a2007 + · · · + x2009 = a a2008 Câu Tính định thức cấp n sau  x x y x Dn (x, y) = det   y y y  x x x x   y Câu Cho A ma trận vng cấp có giá trị riêng λ1 , λ2 ∈ (−1, 1) Chứng minh (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An + · · · Câu 5.Cho ma trận A = (a) Chứng minh A khơng khả nghịch thay aii để ma trận khả nghịch Câu Cho đa thức f (x) ≥ ∀x ∈ R deg f = n Chứng minh n f (k) (x) ≥ 0, ∀x ∈ R k=1 www.VNMATH.com 1.32 MƠN: GIẢI TÍCH, TRƯỜNG: CĐSP HÀ TÂY 1.32 27 Mơn: Giải tích, Trường: CĐSP Hà Tây Câu Cho hàm số f (x) = x4 sin x x = 0 x = Câu Tính tích phân π I= (cos x)2009 dx (cos x)2009 + (sin x)2009 Câu Cho n số dương x1 , x2 , , xn Chứng minh √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn ≥ n x1 + x2 n + ··· + xn Câu Chứng minh √ xn − xdx < √ 2ne Câu Cho hai hàm số f : [0, 1] → [0, 1], g : [0, 1] → [0, 1] 1, Chứng minh g có điểm bất động Biết f hàm đơn điệu f (g(x)) = g(f (x)) ∀x ∈ [0, 1] Chứng minh tồn x0 ∈ [0, 1] cho f (x0 ) = g(x0 ) Câu Tính π 2π (n − 1)π sin + sin + · · · + sin n→∞ n n n n lim 1.33 Môn: Đại số, Trường: ĐHSP Hà Nội Câu Chứng minh ma trận   2009 1 2009 A = 2009 2009 www.VNMATH.com 28 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ có giá trị riêng dương giá trị riêng âm Câu Chứng minh tồn ma trận thực cấp n × n thỏa mãn A2 + 2A + 5I = Câu Cho A, B ma trận thực cấp × thỏa mãn A2 = B = I, AB + BA = Chứng minh tồn ma trận không suy biến T cho T AT −1 = , T BT −1 = −1 1 Câu Cho M ma trận thực cấp × 2, N ma trận thực cấp × 3, thỏa mãnewcommand   −2 MN =   −2 Tính N M Câu Cho đa thức P1 (x) = x2 − Định nghĩa Pn+1 (x) = P1 (Pn (x)), ∀n ≥ Xác định số nghiệm thực đa thức P2009 (x) ...www.VNMATH.com Chương Các tốn đề nghị 1.1 Mơn: Đại số, Trường: Học viện Phịng khơng Khơng qn Câu I (2,5 điểm) Ma trận A ∈ Mn (K) gọi luỹ linh bậc p p số nguyên dương cho Ap−1 = [O] Ap =... minh ln tìm n số thực a1 , a2 , , an ∈ [2008, 2009] cho det(Pi (aj ))n = 1.6 Mơn: Giải tích , Trường: Học viện Kỹ thuật qn Câu I (4 điểm) Giả sử a0 số dương cho trước {an } dãy số thực xác định... TRƯỜNG: ĐẠI HỌC NHA TRANG 1.12 11 Mơn: Giải tích , Trường: Đại học Nha trang Câu I Cho dãy số {xn } thoả mãn a 2009xn−1 + 2009 ; n ≥ 2, a > 0, x1 > 2010 xn−1 xn = Chứng minh dãy số {xn } hội