BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1 (5,0 điểm). Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 20 sin cos sin cos 1 1 20 sin cos sin cos y x y x y x y x y x x y y x + + + = + + + + = +          (x.y ∈ R ). Bài 2 (5,0 điểm). Cho dãy số thực ( ) n a xác định bởi : 1 1 a = và 1 2 3 2 n n n a a a + + = − v ớ i m ọ i 1 n ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng dãy ( ) n a có gi ớ i h ạ n h ữ u h ạ n. Hãy tìm gi ớ i h ạ n đ ó. Bài 3 (5,0 đ i ể m). Cho tam giác không cân ABC. Ký hi ệ u (I) là đườ ng tròn tâm I n ộ i ti ế p tam giác ABC và D, E, F l ầ n l ượ t là các ti ế p đ i ể m c ủ a đườ ng tròn (I) v ớ i các c ạ nh BC, CA, AB. Đườ ng th ẳ ng đ i qua E và vuông góc v ớ i BI c ắ t (I) t ạ i K (K ≠ E), đườ ng th ẳ ng đ i qua F và vuông góc v ớ i CI c ắ t (I) t ạ i L (L ≠ F). G ọ i J là trung đ i ể m c ủ a KL. a) Ch ứ ng minh r ằ ng D, I, J th ẳ ng hàng. b) Gi ả s ử các đỉ nh B và C c ố đị nh, đỉ nh A thay đổ i sao cho t ỷ s ố AB k AC = (k không đổ i). G ọ i M, N t ươ ng ứ ng là các giao đ i ể m c ủ a IE, IF v ớ i (I) (M ≠ E, N ≠ F). MN c ắ t IB, IC l ầ n l ượ t t ạ i P, Q. Ch ứ ng minh r ằ ng trung tr ự c c ủ a PQ luôn đ i qua m ộ t đ i ể m c ố đị nh. Bài 4 (5,0 đ i ể m). Cho tr ướ c m ộ t s ố s ố t ự nhiên đượ c vi ế t trên m ộ t đườ ng th ẳ ng. Ta th ự c hi ệ n các b ướ c đ i ề n s ố lên đườ ng th ẳ ng nh ư sau: t ạ i m ỗ i b ướ c, tr ướ c tiên xác đị nh t ấ t c ả các c ặ p s ố k ề nhau hi ệ n có trên đườ ng th ẳ ng theo th ứ t ự t ừ trái qua ph ả i, sau đ ó đ i ề n vào gi ữ a m ỗ i c ặ p m ộ t s ố b ằ ng t ổ ng c ủ a hai s ố thu ộ c c ặ p đ ó. H ỏ i sau 2013 b ướ c, s ố 2013 xu ấ t hi ệ n bao nhiêu l ầ n trên đườ ng th ẳ ng trong các tr ườ ng h ợ p sau: a) Các s ố cho tr ướ c là : 1 và 1000 ? b) Các s ố cho tr ướ c là : 1, 2, , 1000 và đượ c x ế p theo th ứ t ự t ă ng d ầ n t ừ trái qua ph ả i ? H Ế T • Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u và máy tính c ầ m tay. • Giám th ị không gi ả i thích gì thêm. . DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01 /2013 Bài 1 (5,0. gi ữ a m ỗ i c ặ p m ộ t s ố b ằ ng t ổ ng c ủ a hai s ố thu ộ c c ặ p đ ó. H ỏ i sau 2013 b ướ c, s ố 2013 xu ấ t hi ệ n bao nhiêu l ầ n trên đườ ng th ẳ ng trong các tr ườ ng h ợ p sau:. đỉ nh A thay đổ i sao cho t ỷ s ố AB k AC = (k không đổ i). G ọ i M, N t ươ ng ứ ng là các giao đ i ể m c ủ a IE, IF v ớ i (I) (M ≠ E, N ≠ F). MN c ắ t IB, IC l ầ n l ượ t t ạ i P, Q.