BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bộ mơn Đại số Xác suất Thống kê 10-2020 Các tập tập hợp tài liệu sử dụng chung tập học phần ĐSTT cho lớp hệ tín hệ tín Bài 1.6 Giải phương trình: 3 x x x 3 x x x = 3 Bài 1.7 Giải phương trình: x x x x 2 x x x = x Yêu cầu việc chuẩn bị tập cho tuần giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên Để thực tốt tập đề nghị sinh viên cần phải ghi nhớ chắn nội dung lý thuyết giảng dạy lớp, tham khảo vận dụng tốt phương án xử lý ví dụ mẫu sách giáo khoa D= Ma trận định thức ! −1 −2 x x x x x x 1 1 x x Bài 1.9 Cho ma trận vuông cấp ba a) Tính A567 b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675 )   −2   A = 2  ! Bài 1.2 Cho ma trận A = −1 −1 a) Tính A2018 b) Tính det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019 )  a) Tính det(A4 + 3A3 ) b) Tính hạng ma trận A + 5I  −4   Bài 1.3 Cho ma trận A = 1 −4 2 −4 200 Tính A + A Bài 1.10 Cho hai ma trận  A= , −1 −10 11 −22 −2  A=   −6 13 a) Tính det(AB) det(BA) b) Tính hạng ma trận BA + 4I a) Tính A2 , A2018 A2019 b) Cho n số nguyên dương Hãy tính theo n định thức ma trận B với B = A2018 + 3An A= ,      B = −1 3 ! Bài 1.4 Cho ma trận vuông cấp ba Bài 1.11 Cho hai ma trận ! ! B= a) Tính det(A3 B + 4A2 B ) b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B) Bài 1.5 Cho ma trận vuông cấp ba  Bài 1.8 Tính giá trị định thức PHẦN I: ĐỀ BÀI Bài 1.1 Cho ma trận A = x x x Chú ý sinh viên  a   A = 0 b  0 −1 Bài 1.12 Cho ma trận vuông cấp ba     4    −2 A= , B =   2  −2 −1 a) Tính A2 , A2018 A2019 b) Cho m, n hai số nguyên dương Hãy tính theo m, n định thức ma trận B với B = 5Am + 7An Hãy xác định giá trị det(AB) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 1.13 Cho ma trận vng cấp ba  Bài 1.21 Tìm x để ma trận sau khả nghịch    −5    3 A = 2 −2 , B = −2  −2 −1 x x x  x  1 x    A=  x x −2 −2 −2 −2 x x  Hãy xác định giá trị det(A2 B − 3AB ) Bài 1.22 Giải phương trình ma trận Bài 1.14 Cho ma trận vuông cấp ba      −2     A = 3 −1 , B = 3  −3 a) Hãy xác định giá trị det(A3 B − 3A2 B ) b) Tính hạng ma trận A + 3B       −2 −2   3 −3 A = 1 , B =   −2 −1 a) Chứng minh ma trận A3 B + 3A2 B khả nghịch b) Tính hạng ma trận A2 B − 2AB  Bài 1.23 Giải phương trình ma trận  Bài 1.15 Cho ma trận vuông cấp ba  −1     2 −1 X = 2 −2 −2 −2    −2     = −2 3 X 0  −1 −2 Bài 1.24 Giải phương trình ma trận ! ! ! X = 3 −1 Bài 1.25 Tính hạng ma trận Bài 1.16 Tính nghịch đảo ma trận   A=  1  A = 2 3   −3 −2  −1 −2   Bài 1.26 Tính hạng ma trận     Bài 1.17 Cho ma trận A = 1 2 a) Tính A − 8A + 17A b) Tính A−1 Bài 1.18 Tìm x để ma trận sau khả nghịch: a b  A= c d  x b c d x x c d x x   x d  −1 −1 2 −1    A=  1 −2 −2 −4 −1 −2   Bài 1.27 Tính hạng ma trận sau theo x 1  A= x x  với a, b, c, d số cho trước x x 1 x x x 1   1  Bài 1.28 Tính hạng ma trận sau theo x   x 4 Bài 1.19 Cho ma trận A =  Hãy tìm x để A4 − 3A3 ma trận khả nghịch  0 1 A=  x x  x x 1 x 1 x x   x  Bài 1.20 Tìm x để ma trận sau khả nghịch Bài 1.29 Tính hạng ma trận sau theo x x  A= x x  Đại học Giao thông Vận tải 1 2 2   x −2 −2 x x −1    x x x x x x A=   x x x Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 1.30 Cho ma trận 1  A= 1  x x x x 2 x x   x  Hãy tính x biết r(A) = Bài 2.7 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ   x1 − x2 + 3x3 + 2x4 =    2x − x + 2x + 5x = − 3x2 + 7x3 + 9x4 = 13 8x1 − 6x2 + λx3 + 18x4 = 26   4x1     Bài 2.8 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số α Hệ phương trình Bài 2.1 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer    2x1 + 2x2 + 5x3 = 21 2x1 + 3x2 + 6x3 = 26    x1 − 6x2 − 9x3 = −37    2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = x1 + x2 + 3x3 + x4 =    3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = Bài 2.9 Cho hệ phương trình Bài 2.2 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss   x1 + x2 + 2x3 =     3x + x + 4x =    x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 4x1 + x2 − x3 + 12x4 − 8x5 = 15    2x1 + 3x2 + x3 + 6x4 − 4x5 = − 4x2 + x3 = 4x1 − x2 + 5x3 = λ   5x1     Bài 2.3 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm khử Gauss     x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 5x + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17    3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1 Bài 2.10 Cho hệ phương trình   x1 + x2 + x3 − x4 − x5 =     2x + 3x − 2x + 4x + x =7 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = 6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ Bài 2.4 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss   x1 + 2x2 − 2x3 + x4 =    2x + 3x + x − 2x = 4 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = 6x1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13   3x1     Bài 2.5 Giải hệ phương trình sau:   x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 =     2x + 3x + x − x = 3 Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm Bài 2.11 Cho hệ phương trình   3x1  − 2x2 + x3 − 2x4 = 2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 =    4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ   3x1     + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 23 4x1 + 6x2 + 6x3 + 2x4 = 22 Bài 2.6 Cho hệ phương trình    2x1 + 3x2 − x3 = 3x1 + x2 + 4x3 =    λx1 + 4x2 + 3x3 = a) Tìm giá trị λ để hệ có nghiệm b) Giải hệ λ = Đại học Giao thông Vận tải   3x1     a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm b) Giải hệ tương ứng với hệ cho Bài 2.12 Cho hệ phương trình    2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 =    4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm b) Giải hệ tương ứng với hệ cho Tháng 10 năm 2020 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 2.13 Cho hệ phương trình     x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3x1 + x2 − x3 + 4x4 =    6x1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = Giải hệ với λ 6= −2 Bài 2.14 Cho hệ phương trình   2x1  − x2 + 3x3 + 2x4 = 3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 =    4x1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1) a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 = (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } Bài 3.6 Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn theo véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R3 : a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4) Giải hệ với λ 6= Bài 2.15 Xác định nghiệm hệ phương trình sau Bài 3.7 Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn theo theo tham số λ véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R4 :   x1     x + x2 + x3 − x4 = + x2 − x + x4 =   x1 − x2 + x + x4 =     −x1 + x2 + x3 + x4 = λ a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3)   x1 + x2 − 3x3 − 3x4 =    2x + 3x + 4x − x = Bài Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } với Bài 3.8 Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn theo véc tơ đây, không gian tuyến tính R4 : Bài 2.16 Xác định nghiệm hệ phương trình sau a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1); a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1) theo tham số λ   3x1     + 4x2 + 2x3 + 2x4 = 7x1 + 9x2 + x3 + x4 = λ a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2) a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } hệ độc lập tuyến tính Khơng gian tuyến tính b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử Bài Trong khơng gian tuyến tính R cho hệ x = (1, 3, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 } {a1 , a2 , a3 } với Bài 10 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } với a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3) Chứng minh phần tử x = (7, 7, 3) tổ hợp a1 = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1) tuyến tính hệ {a1 , a2 , a3 } a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } hệ độc lập tuyến Bài Trong không gian tuyến tính R cho hệ tính {a1 , a2 , a3 } với b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 } a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1) Bài 11 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Chứng minh phần tử x = (5, −6, 1) tổ {a , a , a } với hợp tuyến tính hệ {a1 , a2 , a3 } a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ), Bài 3 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 } với λ tham số a) Tìm giá trị λ để hệ {a1 , a2 , a3 } hệ độc lập tuyến tính Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính phần tử b) Thay λ = 1, tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) x = (2, 3, 4) qua hệ {a1 , a2 , a3 } phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 } a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 12 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 3.20 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M {a1 , a2 , a3 } với không gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4) u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1) a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } hệ độc lập tuyến Cho phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1) Hãy tính b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 } có sở R3 xác định số thực λ cho u − λv ∈ M hay không? Tại sao? Bài 3.21 Trong không gian tuyến tính R4 cho M Bài 13 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ không gian ba chiều có sở {u1 , u2 , u3 } với {a1 , a2 , a3 , a4 } với u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2) a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1), a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2) Hãy xác định số thực λ biết phần tử x = a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } hệ độc lập (2, 5, 3, λ) nằm M tuyến tính b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } có sở Bài 3.22 Trong không gian R3 cho tập M R4 hay không? Tại sao? N sau Bài 14 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ M = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = 0}, {a1 , a2 , a3 , a4 } với N = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 ≥ 0} a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1), a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6) a) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } hệ độc lập tuyến Hãy cho biết tập3 trên, tập không gian R Ứng với tập tính hệ phụ thuộc tuyến tính? b) Cho b ∈ R4 phần tử Hãy cho biết không gian R , xác định sở số hệ {a1 , a2 , a3 , a4 , b} hệ độc lập tuyến tính hệ chiều phụ thuộc tuyến tính? Bài 23 Trong khơng gian tuyến tính R4 , khơng Bài 3.15 Xác định giá trị λ để hệ {a1 , a2 , a3 } gian M xác định cho hệ phụ thuộc tuyến tính: M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0} a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ) Hãy xác định sở số chiều M Bài 16 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } với Bài 3.24 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho khơng a = (2, 1, 2, 3), a = (1, 4, 1, 5), a = (3, −2, 3, λ) gian M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0} a) Tìm λ để hệ {a1 , a2 , a3 } hệ phụ thuộc tuyến tính b) Với λ tìm xác định biểu diễn tuyến tính phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1) Hãy xác định a2 theo hệ {a1 , a3 } sở số chiều M cho biết tọa độ Bài 3.17 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (10, 9, 9) w sở đưa sở khơng gian tuyến tính R3 : Bài 3.25 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1) sở (a) = {a1 , a2 , a3 } véc tơ x có tọa độ sở Bài 3.18 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (8, 8, 19, 19) (a) [x]a = (1, 2, −3) Hãy tìm tọa độ véc tơ x sở không gian tuyến tính R4 : sở (b) = {b1 , b2 , b3 }, biết ma trận chuyển từ sở (a) sang sở (b) a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1)   −1  Bài 3.19 Trong khơng gian tuyến tính R cho M 1 T = 2  không gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với −1 u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1) Bài 3.26 Trong không gian tuyến tính ba chiều U Cho phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5) Hãy xác cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở định số thực λ cho u − λv ∈ M từ hệ (a) sang hệ (b) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín   −2 −1  3 T = 2  Bài 3.32 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U cho ba hệ sở (e), (a) (b) Cho biết ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (a)  Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ (a) [x]a = (2, 4, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần tử x sở thứ hai (b) Tea  −1   = 2 2 Bài 3.27 Trong không gian tuyến tính ba chiều U ma trận chuyển sở từ  cho hai hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } (b) = {b1 , b2 , b3 }  với Teb = −2 b1 = a1 +a2 −3a3 , b2 = 2a1 −3a2 +2a3 , b3 = 4a1 +5a2 +a3 sở (e) sang sở (b)  1 1  −2 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ (a) [x]a = (1, −3, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần Bài 3.33 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai tử x sở thứ hai (b) hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } (b) = {b1 , b2 , b3 } với Bài 3.28 Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b)   −4   T = 2  a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1), b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2) Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) Ánh xạ tuyến tính Bài 4.1 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ thức (a) xa = (1, 4, −2) Hãy tính tọa độ xb phần tử x sở thứ hai (b) f (x) = (x1 + 2x2 − x3 , x1 − x2 + 2x3 , 2x1 − x2 − x3 ), Bài 3.29 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính từ hệ (a) sang hệ (b) b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc   R3   T = 1 −2 3 Bài 4.2 Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định cơng 3 thức Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) f (x) = (2x1 −x2 −x3 +x4 , x1 +x2 −2x3 +x4 , x1 −x3 +x4 ), Bài 3.30 Trong không gian tuyến tính ba chiều U với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 cho hai hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } (b) = {b1 , b2 , b3 } a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính với b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 R4 b1 = 2a1 +3a2 −a3 , b2 = a1 +4a2 +2a3 , b3 = 3a1 −a2 +a3 Bài 4.3 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định cơng Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) thức Bài 3.31 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } (b) = {b1 , b2 , b3 } với f (x) = (3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 + α), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 (α tham số) a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), a) Hãy xác định α để ánh xạ f ánh xạ tuyến tính b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2) b) Với α tìm lập ma trận ánh xạ f Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) sở tắc R3 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 4.4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.9 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức định công thức f (x) = (2x1 − x2 + 2x3 , x1 + 2x2 − x3 , 3x1 + 4x2 − x3 ), f (x) = (3x1 +x2 +2x3 , x1 +3x2 +2x3 , 3x1 +3x2 +5x3 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 b) Hãy tìm ma trận f sở {a1 , a2 , a3 } R3 với với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 b) Hãy ma trận f sở {a1 , a2 , a3 } R3 với a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1) a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0) Bài 4.5 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công ma trận đường chéo thức Bài 4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức f (x) = (2x1 +3x2 +4x3 , x1 +2x2 −5x3 , 2x1 +x2 +3x3 ), f (x) = (x1 −2x2 +x3 , −2x1 −2x2 +2x3 , −5x1 −10x2 +7x3 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở {a1 , a2 , a3 } a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 , biết a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = R3 (0, 0, −1) b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f Bài 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định công thức định công thức f (x) = (2x1 + x2 − 3x3 , 3x1 − 2x2 − x3 , x1 + 3x2 − 2x3 ), f (x) = (3x1 −x2 +2x3 +x4 , 3x2 −x3 +6x4 , 3x3 +5x4 , 3x4 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở R3 tắc R4 b) Xác định x ∈ R để f (x) = (6, 2, 6) b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh Bài 4.7 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác xạ f định công thức Bài 4.12 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác f (x) = (x1 + x2 − x4 , 3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x3 − 2x4 ), định công thức f (x) = (2x1 , −3x1 +2x2 , 5x1 −x2 +2x3 , 2x1 −x2 +4x3 +2x4 ), với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f cặp sở với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 tắc R3 R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở b) Tìm tất x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2) tắc R4 Bài 4.8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f định công thức 3 f (x) = (x1 + x2 − 2x3 , 2x1 − 2x2 + 5x3 , x1 + 3x2 + x3 ), Bài 4.13 Cho ánh xạ tuyến tính f : R −→ R xác định công thức với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R f (x) = (3x1 + x2 + x3 , x1 + 3x2 + x3 , −x1 + x2 + x3 ), a) Cho u = (1, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R3 để với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 b) Cho u = (2, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R để b) Hãy xác định giá trị riêng véc tơ riêng f (x+u)+f (x+2u)+ .+f (x+5u) = f (36x+108u) ánh xạ f f (x + 2u) + f (2x − u) = (11, −7, 18) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 4.14 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.22 Cho ma trận   định công thức −1  A= −2 −2 f (x) = (3x1 − x2 + 2x3 , −x1 + 3x2 − 2x3 , x1 + x2 + x3 ), −1 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc Chứng minh ma trận A chéo hóa R3 Bài 4.23 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng b) Hãy xác định giá trị riêng véc tơ riêng ma trận cho Chứng minh ma trận ánh xạ f đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận c) Hãy xây dựng sở R3 bao gồm ba véc tơ ma trận chéo riêng f   Bài 4.15 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng   A = 4 4 ma trận sau   2   A = 1 2 Bài 4.24 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng 3 ma trận cho Chứng minh ma trận Bài 4.16 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận ma trận chéo ma trận sau     −1 −2    A = 1  A=  −3 −1 −1 −1 Bài 4.17 Tìm giá trị ma trận sau   A = 1 riêng véc tơ riêng      Bài 4.25 Cho ma trận A = 2 4 2 −1 2  a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A 1 b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu Bài 4.18 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng tìm ma trận T ma trận đường chéo B để ma trận sau cho B = T −1 AT     2 2   A = 2 2  Bài 4.26 Cho ma trận A =  2 2 2 2 Bài 4.19 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A ma trận sau b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu   tìm ma trận T ma trận đường chéo B để   A = 1 2 cho B = T −1 AT   3   Bài 4.20 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng Bài 4.27 Cho ma trận A = 1 2 3 ma trận sau a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A   2 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay 0 −2    không Nếu có ma trận chuyển T ma A=  0  trận đường chéo B B = T −1 AT 0 −3   2   Bài 4.21 Cho ma trận Bài 4.28 Cho ma trận A = 1 2   2   a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A A =  3 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay −1 1 khơng Nếu có ma trận chuyển T ma Chứng minh ma trận A không chéo hóa trận đường chéo B B = T −1 AT Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê   3  Bài 4.29 Cho ma trận A = 1 3  −1 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay khơng Nếu có ma trận chuyển T ma trận đường chéo B B = T −1 AT Bài Cho M không gian hai chiều khơng gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ u = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1) Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (1, −2, −2, 1) Bài 5.2 Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, −2, −2, 1), 1 u2 = (−1, −2, 2, 4), u3 = (2, 4, 1, 2) Hãy xác định 5 tất giá trị có u4 Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3) Bài Cho M không gian hai chiều khơng gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ Không gian Euclid (Dành riêng cho hệ tín u = (2, 1, 1, 2), v = (3, 3, 1, 3) Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với chỉ) véc tơ w = (1, 2, 3, −2) Bài 5.1 Trong không gian R4 tìm véc tơ có độ Bài 5.10 Cho M không gian không gian dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: Euclid R5 có sở gồm hai véc tơ v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2, −4, −5), u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1) v3 = (3, 11, −4, −1) Bài 5.11 Trong không gian R5 , cho M khơng gian ba chiều có sở gồm véc tơ u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1), Bài 5.3 Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở u3 = (−1, 3, −1, −1, −3) trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (5, 1, 3, 1), u2 = Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao 1 (−1, 3, −1, 5), u3 = (−3, −1, 5, 1) Hãy xác định với hai véc tơ v = (2, 1, 1, 2, 1), v = (1, 1, 2, 3, 5) 6 tất giá trị có u4 Bài 5.12 Trong không gian R6 cho M không gian Bài Trong không gian Euclid R cho hệ ba chiều có sở gồm véc tơ {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2, −3, 4, 1, 5, 2), u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2), u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3) u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4) Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa giao với hai véc tơ mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1) Bài 5 Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } với Bài 13 Trong không gian Euclid R4 cho M không gian hai chiều có sở gồm hai véc u1 = (2, −1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, −2), tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5) Hãy phân tích u3 = (2, 2, 3, −3), u4 = (2, 1, 2, −2) phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa u ∈ M v ∈ M ⊥ mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 Bài 5.14 Trong không gian Euclid R4 , cho véc tơ Bài 5.6 Trong không gian Euclid R cho véc tơ x = (1, 0, −7, 2) cho M không gian hai chiều u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ) có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ Hãy xác định giá trị λ µ để v⊥u1 , v⊥u2 M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v Bài 5.7 Trong không gian Euclid R4 cho véc tơ Bài 5.15 Trong không gian Euclid R4 , cho véc tơ x = (6, 6, −6, 0) cho M không gian hai chiều u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1) có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = Hãy xác định λ, µ cho w = u + λv1 + µv2 thỏa (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ mãn điều kiện w⊥v1 , w⊥v2 M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 10 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 5.16 Trong không gian Euclid R4 , cho véc tơ x = Bài 5.24 Trong không gian Euclid R4 cho phần (4, −1, −5, 4) cho M không gian hai chiều tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) không gian có sở gồm véc tơ u1 = (2, −2, −3, 2), u2 = (1, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v a) Tìm sở L Bài 17 Trong không gian Euclid R5 cho M b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1 , a2 véc không gian hai chiều có sở gồm véc tơ tơ sở L tìm câu (a) u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14) Bài 5.25 Trong sở trực chuẩn R4 , cho Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành véc tơ tổng x = u + v với u ∈ M v ∈ M ⊥ a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) b = (1, µ, 0, 2λ) Bài 5.18 Trong không gian Euclid R4 cho M a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 không gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với a2 b) Với λ, µ tìm được, trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b} u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1, −3, 1, −1) Bài 5.26 Trong sở trực chuẩn R4 cho Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1 || = 6, ||x − u2 || = véc tơ Bài 5.19 Trong không gian Euclid R4 cho M a1 = (1, 1, −3, −1), a2 = (2, 1, −1, 2) b = (2, γ, 1, α) khơng gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 u1 = (1, 2, −4, 6), u2 = (1, −6, 2, −4) a2 b) Với α, γ tìm được, trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b} Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1 || = 15, ||x−u2 || = 15 Bài 5.27 Trong không gian Euclid R4 , cho véc tơ Bài 5.20 Trong không gian Euclid R cho M u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3) khơng gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 trực giao với véc tơ v1 , v2 u1 = (7, −4, 2, −2), u2 = (−7, 2, −4, 2) b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1 || = 13, ||x−u2 || = 13 thủ tục Gram–Schmidt Bài 5.21 Trong không gian Euclid R5 cho M Bài 28 Trong không gian Euclid R , cho không gian hai chiều có sở {u1 , u2 } với véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = (2, 14, 11, 13) u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2, −1, −1, −7, 3) a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1 || = 14, ||x−u2 || = 14 trực giao với véc tơ v1 , v2 b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo Bài 5.22 Trong không gian Euclid R cho phần thủ tục Gram–Schmidt tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) không gian Bài 29 Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn không gian R3 từ sở cho sau đây: L = {x ∈ R |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3) a) Tìm sở L b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1 , a2 véc Tính tọa độ phần tử x = (3, 1, 5) sở nhận tơ sở L tìm câu (a) Bài 5.23 Trong không gian Euclid R4 cho phần Bài 30 Bằng phương pháp trực chuẩn hóa tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) không gian Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn không gian R4 từ sở cho sau đây: L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2); a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1) a) Tìm sở L b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1 , a2 véc Tính tọa độ phần tử x = (1, 2, 5, 6) sở tơ sở L tìm câu (a) nhận Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 5.31 Trong không gian Euclid R3 cho hệ véc tơ {u1 , u2 , u3 } với 6 3 u1 = ( , , ), u2 = ( , , − ), u3 = ( , − , ) 7 7 7 7 a) Hãy hệ {u1 , u2 , u3 } sở trực chuẩn khơng gian Euclid R3 b) Hãy tìm tọa độ phần tử x = (3, 4, 5) sở {u1 , u2 , u3 } 11 Bài 5.38 Hãy xây dựng sở trực chuẩn không gian Euclid R4 cho sở có chứa hai phần tử sau 1 u1 = (1, 1, −1, −1); u2 = (1, −1, 1, −1) 2 Bài 5.39 Hãy xây dựng sở trực chuẩn không gian Euclid R4 cho sở có chứa hai phần tử sau Bài 5.32 Giả sử {u1 , u2 , u3 , u4 } sở trực chuẩn không gian Euclid R4 ta biết 1 u1 = (5, 3, −1, −1); u2 = (1, −1, 5, −3) 1 u1 = (3, 5, 1, 1), u2 = (−5, 3, 1, −1), u3 = 6 (−1, −1, 3, 5) Giả sử phần tử x = (4, 2, 1, −5) có Bài 5.40 Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau ma trận trực giao tọa độ {u1 , u2 , u3 , u4 } (x1 , x2 , x3 , x4 ) Hãy tính   x24   Bài 5.33 Giả sử {u1 , u2 , u3 , u4 } sở A = 2 4 trực chuẩn không gian Euclid R4 ta biết 4 1 u1 = (2, 4, 2, 5), u2 = (−5, 2, −4, 2), u3 = 7 Một số tập nâng cao (2, 5, −2, −4) Giả sử phần tử x = (2, −3, 1, 5) có k tọa độ {u1 , u2 , u3 , u4 } (x1 , x2 , x3 , x4 ) Hãy tính Bài 6.k Cho A = A Hãy (A + I) = I + (2 − 1)A x24 Bài 34 Trong không gian Euclid R5 cho M Bài 6.2 Chứng minh đẳng thức không gian ba chiều có sở {u1 , u2 , u3 } (a + b)2 c2 c2 với u1 = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1), (b + c)2 a2 = 2abc(a + b + c)3 a2 u3 = (−1, 2, 1, −1, 2) 2 b b (a + c) Hãy xác định sở trực chuẩn số chiều không gian M ⊥ Bài 6.3 Chứng minh đẳng thức Bài 5.35 Trong không gian R cho hai véc tơ u1 = a b c d (2, 1, −2, 2); u2 = (1, −1, −1, −1) Gọi M tập hợp −b a d −c tất véc tơ R4 trực giao với u1 , u2 = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 −c −d a b a) Chứng minh M không gian −d c −b a R4 Bài 6.4 Tính giá trị định thức b) Xác định sở trực chuẩn M Bài 5.36 Cho ma trận    Q=     −    x 2 − −  3  − y z         Hãy tìm x, y, z để Q ma trận trực giao a1 x D = x x x x a2 x x a3 x x x x x an Bài 6.5 Chứng minh ma trận vuông cấp hai A= a b c d ! Bài 5.37 Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q cho thỏa mãn phương trình sau ma trận trực giao: −1 1   −1 1  Q=     1 −1 x y z t  Đại học Giao thông Vận tải  X − (a + d)X + (ad − bc)I = Bài 6 Chứng minh A ma trận thực AAT = θ A = θ Tháng 10 năm 2020 12 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 6.7 Cho hai ma trận vng cấp hai A = −1 ! Bài 6.19 Chứng minh không tồn ma trận A B cho AB − BA = I ! B = Bài 6.20 Cho A, B hai ma trận vuông cấp n cho r(AB − BA) = Chứng minh (AB − BA)2 = θ a) Hãy tìm ma trận khả nghịch T cho T A = BT b) Tính A2011 Bài 6.21 Cho A, B ma trận kích thước × × Giả sử tích A.B Bài 6.8 Cho A ma trận vuông cấp n khả nghịch có   ma trận phụ hợp A∗ Hãy chứng minh det(A∗ ) = −2   (det A)n−1 AB =   Bài 6.9 Cho A ma trận vuông cho A4 = Hãy chứng minh I + A ma trận khả nghịch −2 Hãy ! A10 Bài 6.10 Cho A ma trận vuông cho = Hãy chứng minh I + A + A ma trận khả nghịch BA = Bài 6.22 Cho A, B ma trận vuông cấp với Bài 6.11 Cho A, B hai ma trận vuông cấp phần tử thực cho cho (AB)10 = I Chứng minh (BA)10 = I det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = Bài 6.12 Cho A ma trận vng thực cấp ba có ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh ma Chứng minh det(xA + yB) = với cặp số thực x, y trận A3 có ba giá trị riêng thực phân biệt Bài 6.13 Cho A ma trận vng thực cấp ba có Bài 6.23 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh ma minh A ma trận luỹ linh B ma trận trận A5 − A4 + A có ba giá trị riêng thực phân biệt giao hốn với A I − AB I + AB ma trận khả nghịch Bài 6.14 Cho A ma trận vuông thực cấp n khả ! nghịch có n giá trị riêng thực dương phân biệt Chứng 2015 −2014 minh ma trận A3 +2A−3A−1 có n giá trị riêng Bài 24 Cho ma trận vuông A = 2014 −2013 thực phân biệt Hãy xác định số nguyên dương n cho tồn ma trận Bài 15 Cho A ma trận vuông cấp hai đồng vuông cấp hai X với phần tử nguyên để ! dạng với ma trận B = Hãy tính giá trị định X 2015 + X n = 2A thức det(A3 + 3A)  PHẦN II: ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN  −1    Tính det B Ma trận định Bài 6.16 Cho ma trận A = 0  thức  −2 567 −1 1.1 a) A = −A = −5 với B = A2004 − A1002 b) A576 + 2A567 + 3A675 = I − 5A, det(A576 + 2A567 + 3A675 ) = 26 Bài 6.17 Tính định thức −1 D = −1 −2 −1 −2 −3 1.2 a) A2018 = A2 = n n n Đại học Giao thông Vận tải C31 C42 −1  −2 b) 2A2017 − 3A2018 + 4A2019 = Bài 6.18 Tính định thức 1 1 C 2 D = C3 C n−1 n  Cn1 Cn+1 n−1 n−1 Cn+1 C2n−2  −3  −3 , det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019 ) = 1.3 A200 + A = θ 1.4 a) A2 = A2018 = I, A2019 = A b) n = 2k det B = 64, n = 2k + det B = −32 1.5 a) A2 = A2018 = I, A2019 = A b) Nếu m, n chẵn det B = 1728 Nếu m chẵn, n lẻ det B = −288 Nếu m lẻ, n chẵn det B = 288 Nếu m, n lẻ det B = −1728 1.6 x = ±3 1.7 x ∈ {−1, 1, 2} Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê 1.8 D = 1.9 a) det(A4 + 3A3 ) = −61952 b) r(A + 5I) = 1.10 a) det(AB) = −36, det(BA) = b) r(BA + 4I) = 1.11 a) det(A3 B + 4A2 B ) = 911.400 b) (A + 2B)2 − 19(A + 2B) = −70I 1.12 det(AB) = −47, (det A = −47, det B = 1) 1.13 det(A2 B − 3AB ) = 15.080.310 HD: det(A2 B − 3AB ) = det A det(A − 3B) det B 1.14 a) det(A3 B − 3A2 B ) = 122.132.500 b) r(A + 3B) = 1.15 a) det(A3 B +3A2 B ) = (det A)2 det(A+3B)(det B)2 6= det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = −1878 Do ma trận A3 B + 3A2 B khả nghịch b) det(A2 B−2AB ) = det A det(A+3B) det B 6= det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = 207 Do r(A2 B − 2AB ) =   −1 1.16 A−1 = −  −1 1 1.17 a) A −8A2 + 17A =10I −6  −2 −1 b) A−1 = 10 −2 1.18 Nếu d = không tồn x để A khả nghịch Nếu d 6= A khả nghịch với x 6∈ {a, b, c} HD: Hãy det A = d(a − x)(b − x)(c − x) 1.19 x 6∈ {0, 3} HD: Sử dụng đẳng thức det(A4 − 3A3 ) = (det A)3 det(A − 3I) 1.20 x 6∈ {−2, −1, 2} 1.21 x 6∈ {−2, 1,2}  −31 −9  15 −27  1.22 X = − 18 −11 −9 −14   17 10  −29 29  1.23 X = 29 −29  29  −2 1.24 X = −7 1.25 r(A) = 1.26 r(A) = 3 1.27 Nếu x = r(A) = Nếu x = − r(A) = ( x 6= Nếu r(A) = x 6= − 23 1.28.(Nếu x = r(A) = Nếu x = −1 r(A) = x 6= Nếu r(A) = x 6= −1 1.29 Nếu x = r(A) = Nếu x 6= r(A) = 1.30 x = 2 Hệ phương trình  20 25  , , 2.1 x = 9 2.2 x = (3 − 3x4 + 2x5 , 1, −2, x4 , x5 ) với x4 , x5 tùy ý 2.3 x = (1, + x4 , + 2x5 , x4 , x5 ) với x4 , x5 tùy ý Đại học Giao thông Vận tải 13 2.4 x = (−9 − 17x4 , + 11x4 , + 3x4 , x4 ) với x4 tùy ý 2.5 x = (−64, 43, 4, −2) 2.6 a) λ =  52 28 46  b) x = , ,− 39 39 39 2.7 x = (4 − 3x4 , − x4 , 0, x4 ) với λ 2.8 Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm x = (21 − 10x3 − x4 , −12 + 7x3 , x3 , x4 ) với x3 , x4 tùy ý Nếu α 6= −2 hệ phương trình có nghiệm x = (21 − 10x3 , −12 + 7x3 , x3 , 0) với x3 tùy ý  10 − λ 10 − λ λ −  với , , 2.9 Hệ có nghiệm với λ, x = 2 λ 2.10 Với λ = 14 hệ có nghiệm nghiệm x = (−28 + 17x4 + 14x5 , 25 − 14x4 − 11x5 , − 2x4 − 2x5 , x4 , x5 ) với x4 , x5 tùy ý 2.11 a) λ = b) x = (−5x3 − 8x4 , −7x3 − 13x4 , x3 , x4 ) với x3 , x4 tùy ý 2.12 a) λ =   12 b) x = − x3 + x4 , −x3 + x4 , x3 , x4 với x3 , x4 tùy ý  λ + 726 2λ − 36 −8  2.13 x = + x3 , − x3 , x3 , với x3 λ+2 λ+2 λ+2 tùy ý  26λ − 221 10 −3λ + 20 13  − x3 , + x3 , x3 , 2.14 x = 11(λ − 8) 11 11(λ − 8) 11 λ−8 với x3 tùy ý  λ λ λ λ 2.15 x − , , , 4 4 2.16 Nếu λ 6= 19 hệ vơ nghiệm Nếu λ = 19 hệ có nghiệm x = (4 − 70x4 , −1 + 55x4 , −6x4 , x4 ) với x4 tùy ý Khơng gian tuyến tính 3.1 Hãy x = 2a1 + 2a2 + a3 5α3 + 11 6α3 + a1 + a2 + α3 a3 3.2 Hãy x = 7 với α3 ∈ R tùy ý Nói riêng, chọn α3 = x = 2a1 + 3a2 + 2a3 −4α3 + −7α3 + a1 + a2 + α3 a3 với α3 ∈ R tùy ý 3.3 x = 5 3.4 a4 = (1 − α4 )a1 + (2 − 2α4 )a2 + (α4 − 1)a3 + α4 a4 với α4 ∈ R tùy ý 3.5 a4 = (1 − α4 )a1 + (α4 − 1)a2 + (2 − 2α4 )a3 + α4 a4 với α4 ∈ R tùy ý 3.6 λ = −5 3.7 λ = 3.8 λ ∈ R tùy ý 3.9 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ {a1 , a2 , a3 } có hạng (có định thức khác 0) 11 b) x = − a1 − a2 + a3 6 3.10 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ {a1 , a2 , a3 } có hạng b) Phần tử x khơng có biểu diễn tuyến tính hệ {a1 , a2 , a3 } 3.11 a) λ 6= b) x = a1 + a2 + a3 3.12 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ {a1 , a2 , a3 } có hạng b) Hệ {a1 , a2 , a3 } sở R3 3.13 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ Tháng 10 năm 2020 14 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín {a1 , a2 , a3 , a4 } có hạng b) Hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } sở R4 3.14 a) Hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } độc lập tuyến tính b) Hệ {a1 , a2 , a3 , a4 , b} phụ thuộc tuyến tính 3.15 Khơng tồn λ để hệ {a1 , a2 , a3 } phụ thuộc tuyến tính 3.16 a) λ = b) a2 = 2a1 − a3 3.17 [x]a = (1, 3, 2)  92 89 23  3.18 [x]a = , ,− , 35 35 35 3.19 λ = 3.20 λ = −4 3.21 λ = 3.22 M không gian R3 dim M = N không gian R3 3.23 Phân tích để đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp M chúng tạo thành hệ vừa hệ sinh M vừa hệ độc lập tuyến tính dim M = 3.24 Tương tự 3.24. 15 3.25 [x]b = − 2, ,  37 711  , ,− 3.26 [x]b =  16 79 60  3.27 [x]b = − , , 73 73 73   31 27 3.28 [x]b = − , , 19 19 19   −17 −5  13 −11 3.29 Tba = − 49 −6 −10   −13  −2 11  3.30 Tba = 40 10 −5   −1 −4 3.31 Tab = −1 31 −13 −22 10   −14 14 13  3.32 Tab = 15 −16 11 17 −12 −14   68 132 19  −27 56 11 3.33 Tba = 97 65 −45 31 Ánh xạ tuyến tính 4.1 a) Sinh  viên b) A = 1 −1 −1 4.2 a) Sinh  viên −1 b) A = 1 1 4.3 a) α =  −2 b) A = 1 1 0 4.4 a) A = 1 tự giải  −1  −1 tự giải. −1 −2 1 −1  1  −1  −1 2 −1 −1 Đại học Giao thông Vận tải   120 −192 120  11 −52 −4  b) B = − 16 −89 92 −116 4.5 a) Sinh  viên1 tự giải  2 −2 b) B =  −4 −4   −3 4.6 a) A = 3 −2 −1 −2 b) x = (1, 1,  −1)  1 −1 4.7 a) A = 3 −2  1 −2 b) x = (1, x4 , 2x4 − 3, x4 ) với x4 tùy ý 4.8 a) x = (1, 2, −1) b) x = −3u =  (−6, 3, −6)  4.9 a) A = 1 2 3 b) Hãy f (a1 ) = 8a1 , f (a2 ) = a2 , f (a3 ) = 2a3 sử dụng chúng   −2 4.10 a) A = −2 −2 2 −5 −10 b) λ = 2, x = x1 (1, 0, 1) + x2 (0,1, 2) với x21 + x22 6= −1 0 −1 6  4.11 a) A =  0 5 0 b) λ = 3, x = x1 (1, 0, 0, 0) với  x1 6= 0 −3 0  4.12 a) A =   −1 0 −1 b) λ = 2, x = x4 (0, 0, 0, 1)với x4 6= 1 4.13 a) A =  1 −1 1 b) λ = 1, x = x2 (1, 1, −3) với x2 6= 0; λ = 2, x = x1 (1, 0, −1) với x1 6= 0; λ = 4, x = x2 (1, 1, 0) với x2 6=   −1 4.14 a) A = −1 −2 1 b) λ = 1, x = x1 (1, 1, − 23 ) với x1 6= 0; λ = 2, x = x3 (− 12 , 32 , 1) với x3 6= 0; λ = 4, x = x2 (−1, 1, 0) với x2 6= c) Ứng với λ = chọn véc tơ riêng a1 = (2, 2, −3) (gán x1 = 2); ứng với λ = chọn véc tơ riêng a2 = (−1, 2, 3) (gán x3 = 2); ứng với λ = chọn véc tơ riêng a3 = (−1, 1, 0) (gán x2 = 1) 4.15 λ = 1, x = x2 (−1, 1, 0)+x3 (−2, 0, 1) với x22 +x23 6= 0; λ = 9, x = x1 (1, 1, 3) với x1 6= 4.16 λ = 0, x = x3 (−1, −1, 1) với x3 6= 0; λ = 1, x = x3 (0, 1, 1) với x3 6= 0; λ = 3, x = x2 (1, 1, 2) với x2 6= 4.17 λ = 0, x = x1 (1, 1, −2) với x1 6= 0; λ = 2, x = x1 (1, −1, 0) với x1 6= 0; λ = 5, x = x3 (2, 2, 1) với x3 6= 4.18 λ = −1, x = x2 (−1, 1, 0) + x3 (−1, 0, 1) với x22 + x23 6= 0; λ = 5, x = x1 (1, 1, 1) với x1 6= 4.19 λ = 1, x = x1 (1, 1, − 23 ) với x1 6= 0; λ = 2, x = x3 (−3, 1, 1) với x3 6= 0; λ = 5, x = x3 (1, 1, 1) với Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê x3 6= 4.20 λ = 2, x = x1 (1, 0, 0, 0) với x1 6= 0; λ = −2, x = x1 (1, −4, 0, 0) với x1 6= 0; λ = 3, x = x2 (6, 1, 52 , 0) với x2 6= 0; λ = −3, x = x3 ( 65 , 16, 1, −6) với x3 6= 4.21 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Ứng với λ1 = ta có r(A − λ1 I) = 6= n − n1 = − = 4.22 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Hãy r(A − λ1 I) = n − n1 r(A − λ2 I) = n − n2 (ở n = 3) 4.23 Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 11 nên A chéo hóa Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo lựa chọn     0 −1 T −1 AT = 0  với T = −4 −2 4 0 11 1 4.24 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội n1 = 2), λ2 = −3 (bội n2 = 1) Chỉ ma trận A chéo hóa cách xây dựng sở gồm véc tơ riêng A Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo lựa chọn     −3 0 T −1 AT =  −1  với T = −1 0 0 −1 1 4.25 a) λ = 1, x = x1 (1, 2, −2) với x1 6= 0; λ = 2, x = x1 (1, 5, −3) với x1 6= 0; λ = 5, x = x1 (1, 2, 0) với x1 6= b) Lựa chọn sở R3 gồm véc tơ riêng ứng với A, chẳng hạn a1 = (1, 2, −2), a2 = (1, 5, −3), a3 = (1, 2, 0) Từ khẳng định A ma trận chéo hóa Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn {a1 , a2 , a3 }     1 1 0 2 T −1 AT = 0 0 với T =  −2 −3 0 4.26 a) λ = 1, x = x2 (−1, 1, 0)+x3 (−1, 0, 1) với x22 +x23 6= 0; λ = 7, x = x3 (1, 1, 1) với x3 6= b) Tương tự 4.24 4.27 a) λ = 1, x = x1 (1, 1, − 32 ) với x1 6= 0; λ = 2, x = x1 (1, −1, 0) với x1 6= 0; λ = 8, x = x1 (1, 1, 2) với x1 6= b) Tương tự 4.25 4.28 a) λ = 1, x = x1 (1, 1, −1) với x1 6= 0; λ = 8, x = x1 (1, 1, 25 ) với x1 6= b) Ma trận A khơng chéo hóa (tương tự 4.21) 4.29 a) λ = 2, x = x1 (1, 1, −1) với x1 6= 0; λ = 8, x = x1 (1, 1, 1) với x1 6= b) Ma trận A khơng chéo hóa (tương tự 4.21) Không gian Euclid 5.1 x = ± (2, −2, −5, 4) 5.2 u4 = ± (−2, 1, −4, 2) 5.3 u4 = ± (1, −5, −1, 3) 5.4 Cách 1: Chứng minh x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 x = x4 (1, 1, 1, 1) ta tính trực tiếp hx, u4 i = Cách 2: Chỉ u4 có dạng u4 = λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 nên Đại học Giao thông Vận tải 15 x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 ta có hx, u4 i = λ1 hx, u1 i + λ2 hx, u2 i + λ3 hx, u3 i = 5.5 Tương tự 5.4 5.6 λ = 3, µ = 37 5.7 λ = − , µ = 41 41 5.8 x = ± √ (3, −1, 3, 1) 20 5.9 x = ± (1, −1, 1, 1) 5.10 x = ± (5, 2, 3, 5, 1) 5.11 x = ± (3, −7, 2, 1, 1) 5.12 x = ± (1, 3, −4, 1, 6, 1) 5.13 u = (4, −1, 3, 9), v = (2, 2, 1, −1) 5.14 u = (3, 1, −5, 3), v = (−2, −1, −2, −1) 5.15 u = (4, 3, −4, 5), v = (2, 3, −2, −5) 5.16 u = (3, −3, −5, 3), v = (1, 2, 0, 1) 5.17 u = (3, 4, 0, 0, −10), v = (2, 1, 1, −2, 1) 5.18 x = 2u1 + 2u2 = (4, −4, 4, 0) x = −(u1 + u2 ) = (−2, 2, −2, 0) HD: Từ giả thiết có hu1 , u1 i = 18, hu1 , u2 i = −9, hu2 , u2 i = 18 Nếu x phần tử cần tìm x = λ1 u1 + λ2 u2 Chỉ kx − u1 k2 = 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 đối chiếu với giả thiết kx − u1 k = ta có phương trình 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 = 36 Tiếp theo từ giả thiết kx − u2 k = ta có phương trình 18λ21 − 18λ1 (λ2 − 1) + 18(λ2 − 1)2 = 36 Giải hệ hai phương trình đưa ta thu hai nghiệm λ1 = λ2 = λ1 = λ2 = −1 5.19 x = 3u1 + 3u2 = (6, −12, −6, 6) x = −2u1 − 2u2 = (−4, 8, 4, −4) 5.20 x = 4u1 + 4u2 = (0, −6, −6, 0) x = −2u1 − 2u2 = (0, 4, 4, 0) 5.21 x = 3u1 + 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) x = −2u1 − 2u2 = (−2, −2, −4, 0, −8) 5.22 a) Có thể chọn sở L {a3 , a4 } với a3 = (1, −1, 1, 0) a4 = (−1, 0, 0, 1) b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1 , u2 = a2 − u1 , u3 = a3 , u4 = a4 + u3 Sau chuẩn hóa phần 3 tử u1 , u2 , u3 , u4 5.23 a) Có thể chọn sở L {a3 , a4 } với a3 = (11, −7, 1, 0) a4 = (−11, 6, 0, 1) b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1 , u2 = 163 a2 − u1 , u3 = a3 , u4 = a4 + u3 Sau chuẩn hóa 15 171 phần tử u1 , u2 , u3 , u4 5.24 a) Có thể chọn sở L {a3 , a4 } với a3 = (3, −5, 1, 0) a4 = (−4, 5, 0, 1) b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1 , u2 = 37 a2 + u1 , u3 = a3 , u4 = a4 + u3 Sau chuẩn hóa phần 35 tử u1 , u2 , u3 , u4 5.25 a) λ = − , µ = − b) Hệ trực giao: u1 = a1 , u2 = a2 − u1 , u3 = b 15 5.26 a) α = − , γ = − 3 b) Hệ trực giao: u1 = a1 , u2 = a2 − u1 , u3 = b 5.27 a) λ1 = −2, λ2 = −1 1 b) Hệ trực chuẩn: u1 = (1, 3, 1, 5), u2 = (3, −1, 5, −1), 6 u3 = 16 (5, 1, −3, −1) Tháng 10 năm 2020 16 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín 5.28 a) λ1 = −7, λ2 = b) Hệ trực chuẩn: u1 = u3 = 17 (−2, −5, 2, 4) 1 (2, 4, 2, 5), u2 = (4, −2, 5, −2), 7 1 (2, 1, −2), u2 = (2, 2, −1), 3 u3 = 13 (−1, 2, 2) Tọa độ x sở {u1 , u2 , u3 } [x]u = (5, 1, 3) 5.30 Cơ sở trực chuẩn: u1 = √13 (1, 0, 1, −1), u2 = √1 (0, 1, 1, 1), u3 = √1 (1, −1, 0, 1), u4 = √1 (1, 1, −1, 0), Tọa độ 3  13  x sở {u1 , u2 , u3 , u4 } [x]u = 0, √ , √ , − √ 3 5.31 a) Sinh viên tự giải  48 11  b) Tọa độ x sở {u1 , u2 , u3 } [x]u = , ,− 7 121 5.32 x24 = 361 5.33 x24 = 49 5.34 Có thể lựa chọn sở thơng thường {e1 , e2 } M với e1 = (2, 1, −2, 0, 1), e2 = (−9, −8, 12, 5, 0) Trực chuẩn hóa hệ {e1 , e2 } ta thu sở trực chuẩn {w1 , w2 } M 1 với w1 = √ (2, 1, −2, 0, 1), w2 = (1, −3, 2, 5, 5) 10 5.35 a) Sinh viên tự giải b) Thực tương tự 5.34 5.36 (x, y, z) = ± (2, −1, 2) 5.37 (x, y, z, t) = ±(1, 1, 1, 1) 5.38 Bước 1: Chỉ hệ {u1 , u2 } hệ trực chuẩn nên tồn sở trực chuẩn R4 chứa hệ {u1 , u2 } Bước 2: Xét tất véc tơ x ∈ R4 cho x ⊥ u1 , x ⊥ u2 x = (x4 , x3 , x3 , x4 ) Chọn a1 = (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3 = x4 = a1 ⊥ u1 , a1 ⊥ u2 Tiếp theo chọn x = (x4 , x3 , x3 , x4 ) cho x ⊥ a1 ta thu x = a2 = (1, −1, −1, 1) Chuẩn a1 a2 hóa hệ {a1 , a2 }: u3 = , u4 = hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } ka1 k ka2 k sở trực chuẩn cần xây dựng 5.39 Tương tự 5.38 5.40 Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A ma trận đường chéo ma trận trực giao lựa chọn để sử dụng tương ứng √   √  1 0 √ √  T −1 AT = 0  T = √ − √2 0 13 − 2 5.29 Cơ sở trực chuẩn: u1 = Một số tập nâng cao 6.1 Chứng minh phương pháp quy nạp 6.2 Sử dụng biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c) định thức ba lần để thu (a + b + c)3 bên ngồi định thức Sau khai triển định thức thu nhân tử lại vế phải 2abc 6.3 det A = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 HD: Thực phép nhân ma trận AT A Sử dụng kết phép nhân để thu (det A)2 = (a2 + b2 + c2 + d2 )4 suy det A = k(a2 + b2 + c2 + d2 )2 với k = Thay b = c = d = vào hai vếđẳng thức để khẳng định k = 1. Y x x x 6.4 D = + + + + (ai − x) a1 − x a2 − x an − x 1≤i≤n x 6= với i = 1, 2, , n Nếu x = , i = 1, 2, , n D = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) 6.5 Tính tốn trực tiếp 6.6 Đặt A = (aij )m×n Khi kết phép nhân hàng i Đại học Giao thông Vận tải A cột i AT a2i1 + a2i2 + + a2in Nếu tổng tất phần tử hàng thứ i A 6.7 a) Sinhviên tự giải  2.32011 − 22011 22011 − 32011 2011 b) A = 2.32011 − 22012 22012 − 32011 6.8 Sử dụng AA∗ = (det A)I để đưa đẳng thức det A det A∗ = (det A)n 6.9 Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2 ) để chứng minh det(I + A) 6= 6.10 Đặt B = I + A3 A2 + A5 = A2 B A2 B = BA2 Do (A2 B)5 = A10 B = θ ta phân tích tương tự 6.9 6.11 Chỉ det A 6= sử dụng đẳng thức (BA)10 = A−1 (AB)10 A 6.12 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1 , λ2 , λ3 giá trị riêng A3 λ31 , λ32 , λ33 ba số thực phân biệt 6.13 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1 , λ2 , λ3 giá trị riêng A5 − A4 + 4A f (λ1 ), f (λ2 ), f (λ3 ) với f (x) = x5 − x4 + x Do f (x) đồng biến nên f (λ1 ), f (λ2 ), f (λ3 ) ba số thực phân biệt 6.14 Nếu A có giá trị riêng thực λ1 , λ2 , , λn > ma trận A3 + 3A − 5A−1 có giá trị riêng f (λ1 ), f (λ2 ), , f (λn ) với f (x) = x3 + 2x − 3x−1 Do f (x) đồng biến (0, +∞) nên f (λ1 ), f (λ2 ), , f (λn ) n giá trị riêng phân biệt 6.15 det(A3 + 3A) = 2280 6.16 det B = 181002 (21002 − 1)(31002 − 1)2 6.17 D = n! HD: Cộng hàng vào hàng 2, 3, , n, ta thu định thức tam giác 6.18 D = HD: Ký hiệu định thức Dn Bước 1, biến đổi định thức theo thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n − 1), hàng (n − 1) trừ hàng (n − 2), , lấy hàng trừ hàng Lấy kết thu khai triển theo cột Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau: lấy cột (n − 1) trừ cột (n − 2), lấy lấy cột (n − 2) trừ cột (n − 3), , lấy cột trừ cột Đến ta thu Dn−1 , nghĩa Dn = Dn−1 6.19 Hãy trace(AB) = trace(BA) với A, B vng cỡ Từ trace(AB −BA) = 6= trace(I) = n nên AB − BA 6= I 6.20 Hãy M ma trận vuông r(M ) = M = (trace(M ))M , sau sử dụng trace(AB − BA) = 6.21 Hãy r(AB) = (AB)2 = 9AB Sử dụng r(AB) = để r(BA) ≥ r((AB)2 ) = khẳng định BA ma trận khả nghịch Sử dụng (AB)2 = 9AB để (BA)3 = 9(BA)2 Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức (BA)3 = 9(BA)2 thu kết 6.22 Nếu x = det(xA + yB) = det(yB) = y det B = Nếu x 6= det(xA + yB) = x3 P (t) t = xy P (t) = det(A + tB) đa thức bậc Theo giả thiết P (0) = P (1) = P (−1) = nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2 − 1) với 1 α số Tiếp theo α = lim P (t) = lim det( A+B) = t→∞ t t→∞ t det B = Từ ta có P (t) = với t 6.23 Tương tự 6.10 6.24 n = 2013.  −1 HD: Đặt M = phương cho X 2015 + X n = −1 2I + 4028M Chỉ X thỏa mãn phương trình M X = XM giải phương trình để thu X = αI + βM với α, β ∈ Z Sử dụng M = θ để X 2015 + X n = (α2015 + αn )I + Tháng 10 năm 2020 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê (2015α2014 + nαn−1 )βM Từ quy hệ phương trình ( α2015 + αn = (2015α2014 + nαn−1 )β = 2048 Chỉ α ước để giải phương trình thứ tính nghiệm α = Thay α = vào phương trình thứ hai thu (2015 + n)β = 4048 Dựa vào n + 2015 ước số 4048 ta khẳng định n + 2015 = 4048 suy  β = Từ  −1 ta tính n = 2013 tính X = 17 Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1), u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4) Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 ĐỀ SỐ Bài Tính hạng ma trận sau theo x MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN   x 3 x  A =  x x x  x x x x Bộ môn Đại số Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu số mẫu đề thi kết thúc học phần mơn Đại số tuyến tính Để có chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý điểm sau: Bài Giảihệ phương trình   3x1 − x2 + 5x3 − x4 = Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm câu Thời gian 2x + x2 + x3 + 4x4 =    làm đề thi 90 phút 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm bốn câu Thời gian làm đề thi 70 phút Khơng mang tài liệu phịng thi Khơng mang điện thoại vào phịng thi Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ Mang thẻ sinh viên thi, mang máy tính (nếu cần) {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 = (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2) Hãy tìm tất biểu diễn để sử dụng thi Sinh viên không nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi tuyến tính có a4trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } làm hết làm −1  Bài Cho ma trận A = 1 −1  ĐỀ SỐ ! −5 −3 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Bài Cho ma trận A = −2 b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu a) Tính A215 tìm ma trận T ma trận đường chéo B để b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251 ) cho B = T −1 AT Bài Giảivà biện luận hệ phương trình Bài Trong không gian Euclid R4 , cho véc tơ x =   (2, 4, −5, 6) cho M không gian hai chiều x1 − x2 + 2x3 − x4 = 2x + x + 3x + 4x = có sở gồm véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 =    (1, −1, 1, 2) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ 4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = ⊥ M cho ta có đẳng thức x = u + v Bài Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } ĐỀ SỐ với Bài Cho hai ma trận a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2)     2 a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } hệ độc lập tuyến     A = 2 −2 , B = −1 1 tính 1 −1 b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 } a) Tính nghịch đảo ma trận A Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Giải phương trình AX = B công thức Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo f (x) = (3x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 2x2 − 3x3 , 3x1 + x2 − x3 ) tham số λ  x1 + 2x2 + x3 + 2x4 =     với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R Hãy tìm ma trận f 2x + 3x + x − x = sở {a1 , a2 , a3 } R3 với   3x + 5x + 3x + 4x =     a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1) 6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020 18 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài Trong khơng gian tuyến tính R4 cho khơng a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay gian khơng Nếu có ma trận chuyển T ma M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} trận đường chéo B B = T −1 AT phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1) Hãy xác định Bài Trong không gian Euclid R , cho véc sở số chiều M cho biết tọa độ tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 = (1, 1, −1, 2) w sở đưa a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định trực giao với véc tơ v1 , v2 công thức b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo f (x) = (4x1 +3x2 −3x3 , x1 −2x2 −3x3 , x1 +3x2 +2x3 ), thủ tục Gram–Schmidt ĐỀ SỐ với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc Bài Giải phương trình R3 x 1 x b) Xác định x ∈ R để f (x) = f (2, −1, 3) x x x x = Bài Bằng phương pháp trực chuẩn hoá x x Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn 2 x x không gian R3 từ sở cho sau đây: Bài Giải hệ phương trình a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3)    x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11 Tính tọa độ phần tử x = (1, 8, 9) sở nhận 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14    2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13 ĐỀ SỐ Bài Cho hai ma trận Bài Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (3, 10, −2, 3) sở khơng gian tuyến tính R4 :     1 a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1);     A =  −2 1 , B = 3 −2  a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1) −2 −2 Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định cơng thức a) Tính det(2A3 B + 3A2 B ) b) Tính hạng ma trận A + 2B Bài Cho hệ phương trình    x1 + x2 + x3 + x4 =    3x + x − x − 2x = − 4x2 + x3 − 2x4 = 2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ   2x1     f (x) = (4x1 +x2 −x3 , 2x1 +3x2 −x3 , −x1 −3x2 +2x3 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 b) Hãy ma trận f sở {a1 , a2 , a3 } R3 với a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1) Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm ma trận đường chéo Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở sở (a) = {a1 , a2 , a3 } (b) = {b1 , b2 , b3 } với trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, 2, 1, 2), u2 = a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), 1 (−1, 2, 4, −2), u3 = (2, −4, 2, −1) Hãy xác định b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2) 5 tất giá trị có u4 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b)   −1   Bài Cho ma trận A = 1 2 −1 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2020