CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO (PHẦN 1) Trong chương trình Tốn phổ thơng, phương trình bậc cao (phương trình có bậc lớn 2) nội dung quan trọng, quen thuộc phong phú, đa dạng Thông thường, để giải phương trình bậc cao, phương pháp đưa phương trình bậc thấp (hạ bậc phương trình) đưa dạng tốn đặc thù KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Giải phương trình x  x   Lời giải Đặt x  t  t   ; phương trình cho tương đương với t   t  t  3t    t  t  2t     t  1 t       t   t  2 Với t   x   x   x  x  1 Với t   x   x   x  x     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   2; 1;1; Nhận xét Bài tốn dạng tốn phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy phương trình bậc với ẩn số phụ, tính nghiệm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa phương trình dạng tích hai phương trình bậc nhất, giải kết luận nghiệm trở nên dễ dàng Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x  x   2,  x  1  x  25 3,  x  1  x  x  11 4,  x  1  x  13 5, x  x 1  x   13 _ Bài tốn Giải phương trình x6  x3   Lời giải Phương trình cho tương đương với  x3  x  x  x  x    x  x  1   x  1    x  1 x       x  x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1; 2 3 3 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 3 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Lời giải toán sử dụng túy phương pháp nhóm hạng tử phân tích đa thức vế trái thành nhân tử, không thông qua phép đặt ẩn phụ x3  t tương tự toán Tuy nhiên chất quy phương trình bậc hai với ẩn số phụ, tính nghiệm đơn giản khác hình thức trình bày Tùy theo kinh nghiệm sáng tạo mình, bạn chọn lựa cho cách trình bày khoa học, ngắn gọn, sáng sủa tiết kiệm thời gian Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x6  x   2, x6  x3  x  1  3, x6   x3  1  4, x8  x  5, x8   x  1  _ Bài toán Giải phương trình x3  x  x   Lời giải Phương trình cho tương đương với x3  x  x  x  x    x  x  1  x  x  1   x  1    x  x    x  1   x 1   x 1   33   x    x  5x     x   33   Nhận xét Để ý tổng hệ số phương trình nên đa thức f  x   x  x  x  có nghiệm Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử cho xuất nhân tử x  , đưa phương trình cho phương trích tích Lưu ý Phương trình bậc cao có tổng hệ số có nghiệm 1; tức chứa nhân tử x  Phương trình bậc cao có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ có nghiệm 1 Bài tốn Giải phương trình x3  x  26 x  24  Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x  x  12    x  x  12     x    x  x  12     x    x  3x  x  12     x    x   x  3 x      x   x   Nhận xét Phương trình ban đầu khơng có nghiệm đặc biệt 1 Sử dụng máy tính cho nghiệm 2, Kết hợp phương pháp tách nhóm đưa phương trình cho phương trình tích Giả dụ chọn nhân tử x  , nhân tử cịn lại tích hai nhân tử  x    x   Do có lời giải phía CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x3  x  x   2, x3  x2  x  3, x3  x  x   4, x3  x  10 x  16 5, x  x  x  24 _ Bài toán Giải phương trình x3  x  3x   Lời giải Phương trình cho tương đương với x3  x3  x  x     x  1  2 x3  x    x  x   1 Nhận xét Phương trình ban đầu phương trình bậc ba, đặc biệt khơng cho nghiệm hữu tỷ Có thể nói trường hợp phương pháp phân tích nhân tử thơng thường sử dụng lược đồ Horne bị vô hiệu hóa Tuy nhiên để ý chút, bạn thấy đẳng thức xuất hiện, toán trở nên dễ dàng Bài toán tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x3  3x  x   2, x3  x  27 x  27  3, x3  x  12 x   4, x3  x  12 x   5, x3  x  x   _ Bài toán Giải phương trình x  x3  x  x   Lời giải Phương trình cho tương đương với x3  x  1  x  x  1  x  x  1   x  1    x  1  x  x  x      x  1  x3  x  x  x  x  3    x  1  x  x  3  x  x  3  x  3      x 1    x  1 x    x  x  1    x  3  x  x     Phương trình (*) vơ nghiệm   3  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3;1 Nhận xét Phương trình cho phương trình bậc bốn có tổng hệ số nên tồn nghiệm Tách nhóm đưa phương trình tích, có phương trình bậc ba có nghiệm hữu tỷ Bài toán giải trọn vẹn Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 1, x  x3  x  x   2, x  x3  x  12 x  3, x  x3  x  18 x   4, x  x3  x  28 x  24  _ 3 Bài tốn Giải phương trình  x     x    Lời giải Phương trình cho tương đương với x3  x  27 x  27  x  15 x  75 x  125   x  24 x  102 x  160  x   x3  12 x  51x  80    x    x  x  16      x  x  16     Phương trình (*) vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  5 Lời giải Đặt x   t ; phương trình cho trở thành 3  t  1   t  1   t  3t  3t   t  3t  3t    2t  6t    t  3t   t    t  1  t  t      t  t      Phương trình (*) vô nghiệm   Với t   x    x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  5 Nhận xét Hai lời giải túy sử dụng đẳng thức thông thường, kết hợp với phương pháp nhóm hạng tử đưa phương trình tích Tuy nhiên lời giải sáng tạo lời giải đồng thời gọn gàng mặt hình thức Trong việc giải phương trình, thường chọn cách giải hợp lí, ngắn gọn, giảm bớt tính tốn cồng kềnh, cách hạn chế sai sót khơng đáng có 4 Bài tốn Giải phương trình  x  3   x    16 Lời giải Đặt x   t ; phương trình cho trở thành  t  1   t  1 2 2  16   t   2t    t   2t   16   t  1  4t  t  1  4t   t  1  4t  t  1  4t  16 t  x    t  1  8t  16  t  6t     t  1 t     t     t  1  x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3;5 Nhận xét Phương trình ban đầu giải phương pháp khai triển đẳng thức trực tiếp, không thông qua phép đặt ẩn phụ Cách đặt ẩn phụ trung bình sử dụng khéo léo đẳng thức giúp đưa phương trình dạng 4 trùng phương quen thuộc Bài tốn tổng qt có dạng  x  a    x  b   c a, b, c thỏa mãn phương trình có nghiệm CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 3 Bài tốn Giải phương trình  x  3   x  1   x   Lời giải Đặt x   a; x   b  a  b  x  Phương trình cho trở thành   x  3 x    3 3 3 2x     x  a  b   a  b   a  b  a  b  3ab  a  b   ab  a  b      3 x     x    1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3;  ;  2  Nhận xét Các bạn thấy lời giải tốn nhẹ nhàng ngắn gọn, thông qua phép đặt hai ẩn phụ kết hợp đẳng thức Vì lại ? Dễ thấy x    x  3   x  1 nên có phép đặt Mặc nhiên, toán giải trọn vẹn theo cách khai triển đẳng thức trực tiếp không thông qua ẩn phụ Lưu ý đẳng thức sau để thuận tiện sử dụng  a  b   a3  b3  3a 2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b   a  b   a3  b3  3a2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b  Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 3 1,  x  1   x    64 3 2,  x     x  3  4 3,  x  1   x    162 4 4,  x     x    16 3 5,  x     x     x   3 3 6,  x  3   x    1  x  _ Bài tốn 10 Giải phương trình x2  x   x x 1 Lời giải Điều kiện x  t  x2  1 Đặt  t ; phương trình cho trở thành t    2t  5t     t   2t  1    x t  2t  Với t   x  x     x  1   x  (Thỏa mãn điều kiện x  ) Với 2t   x  x   Phương trình vơ nghiệm   Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S  1 Nhận xét Bài toán giải phép đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai ẩn Đối với phương trình chứa ẩn mẫu, đặt ẩn phụ thường ưu tiên làm giảm cồng kềnh mặt hình thức CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 11 Giải phương trình x  1   3 x    x x  Lời giải Điều kiện x  1 1 Đặt x   t  t  x   x  x   t  x x x x 1 " Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có t  x    x    t  " x x t  Phương trình cho tương tương với t   3t   t  3t     t  1 t      t  Với t   x    x  x   Phương trình vơ nghiệm   x Với t   x    x  x     x  1   x  (Thỏa mãn điều kiện x  ) x Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1 Nhận xét Phương trình cho giải phép đặt ẩn phụ biến thông thường Nội dung dấu "" có khơng, nhằm mục đích loại nghiệm ngoại lai nhanh chóng Ngồi cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy bạn sử dụng phương trình bậc hai để tìm kết tương tự Trong toán biện luận phương trình chứa tham số, tìm điều kiện phía cho ẩn phụ bắt buộc định kết tốn Tùy theo khả riêng mình, bạn lựa chọn cho cách làm phù hợp Bài tốn 12 Giải phương trình x3  1   78  x   x x  Lời giải Điều kiện x  1 1 1 1  Đặt x   t  t  x3   3x  x    x3    x    x3   t  3t x x x x x x x  Phương trình cho trở thành t  3t  78t  t  t   t     t  0; t  9; t  9 Với t   x  1 Phương trình vơ nghiệm   77 x  Với t   x  x       77 x    9  77 x  Với t  9  x  x      9  77 x   Phương trình cho có bốn nghiệm Nhận xét Về phương cách giải tương tự toán Các bạn lưu ý đẳng thức sau thêm lần  a  b   a3  b3  3a 2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b   a  b   a3  b3  3a 2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 1    Bài tốn 13 Giải phương trình  x     x   1  36 x x    Lời giải Điều kiện x  1 1 Đặt x   t  t  x   2.2 x  x   t  x x x x Phương trình cho tương đương với t   t  5  t  5  36  t  5t  5t  11    t  1  t  6t  11    t  6t  11    Phương trình (*) vơ nghiệm   x  Với t   x  x     x  1 x  1    (Thoả mãn điều kiện x  ) x      Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ;1   Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực x2  3x 1,   3x x 1 x  2x x  2,  2 x  x3  x 3, x   x   x x 4, x3   x  x x  3  5, 16 x   x    175 x  x  _ Bài toán 14 Giải phương trình x  x3  x  x   Lời giải Xét x  không thỏa mãn phương trình cho 1 1    x    x     (1) x x x x  t   t  1 Đặt x   t  x   t  Khi 1  t  2t     t  1   t      x x t   3 t  4 Với t   x     x  1   x  x  x  2  Với t  4  x   4  x  x     x  x  2   Xét x  ; phương trình cho tương đương với x  x     Phương trình ban đầu có tập nghiệm S  2  3; 2  3;1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Nhận xét Phương trình tốn 14 mang tên phương trình hồi quy (phương trình đối xứng) Về hình thức tổng quát ax  bx  cx  bx  a  Trước tiên xét x  có thỏa mãn phương trình hay khơng, kết luận   1  Tiếp tục xét x  , chia hai vế phương trình cho x2 ta thu a  x    b  x    c  x   x  1 Đặt ẩn phụ x   t  x   t  x x Lưu ý tìm miền giá trị cho ẩn phụ t bất đẳng thức Cauchy phương trình bậc hai Đưa phương trình at  bt  c  2a  giải nghiệm Bài tốn 15 Giải phương trình x  x3  x  x   Lời giải Xét x  không thỏa mãn phương trình cho   1     x     x     (1) x x x   x  t  1 Đặt x   t  x   t  Khi 1  2t  3t   t  2t      x x 2t   x 1 Với t   x      x  1  x  2 Với 2t    x  x     x     Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S  2; 1; ;1   Nhận xét Phương trình tốn 15 mang tên phương trình phản hồi quy Về cách giải tương tự phương trình 1 hồi quy Dạng tổng quát ax  bx  cx  bx  a  Đặt ẩn phụ x   t  x   t  x x Lưu ý trường hợp ẩn phụ t không cần điều kiện Xét x  ; phương trình cho tương đương với x  x   Bài toán 16 Giải phương trình x  x3  25 x  x  16  Lời giải Xét x  không thỏa mãn phương trình cho 16 16   4  Xét x  ; phương trình cho tương đương với x  x  25     x     x    25  (1) x x x   x  16 Đặt x   t  x   t  24; t  Phương trình (1) trở thành t  2t     t  1   t  x x Với t   x  x   Phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét Phương trình ban đầu gọi phương trình hồi quy mở rộng, cách giải hồn tồn tương tự Dạng tổng quát ax  bx3  cx  dx  e  hệ số thỏa mãn điều kiện CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM e d     ;e  a b SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x  x3  x  x   2, x  x3  16 x  x   3, x  x3  x  x   4, x  x3  x  x   5, x  21x3  74 x  105 x  50  _ Bài tốn 17 Giải phương trình  x  1 x  1 x  3 x    Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  1 x     x  1 x       x  x   x  x  3  (1)    Đặt x  x   t ; phương trình (1) trở thành  x  2    t   t     t  25   t  5t  5    x  x  4 x  x      x  2   x  2     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2  8; 2  8; 2 Bài tốn 18 Giải phương trình  x  1 x   x   x    112 Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  1 x     x   x     112   x  x   x  x  10   112 (1)    Đặt x  x   t (1) trở thành  x  x  18  t  t    112   t   t  14     x  3x   x  3x  18      x  3x    x6  Phương trình (3) vô nghiệm   ;     x   x      x  2  2  3 Kết luận tập nghiệm phương trình S  6;3 Nhận xét Hai toán 17 18 giải phương pháp đặt ẩn phụ Hai lời giải tương ứng có khác câu chữ cách đặt ẩn, đơn nét linh hoạt sáng tạo làm tốn Các bạn nhận thấy lời giải toán 17, cách đặt ẩn trung bình x  x   t giúp đưa phương trình dạng đẳng thức đẹp, khơng qua bước tính nghiệm phương trình bậc hai tốn 18 Tùy theo kinh nghiệm gu trình bày thân, bạn tự lựa chọn cho phương cách phù hợp Trở lại hai tốn, có dạng tổng quát:  x  a  x  b  x  c  x  d   m hệ số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d a  c  b  d ; a  d  b  c đảo vị trí Tất yếu m  Cách giải: Chẳng hạn a  b  c  d  k , ta nhận thấy nhóm  x  a  x  b    x  c  x  d    m   x   a  b  x  ab   x   c  d  x  cd   m       xuất hạng tử chung x  kx , điểm mấu chốt phép đặt ẩn phụ hai lời giải Các bạn đặt ẩn phụ theo nhiều cách, thường cách đặt ẩn phụ trung bình tạo nhiều thuận lợi CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 19 Giải phương trình  x  x  3 x  x  12   36 Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  1 x  3 x   x    36   x  1 x     x  3 x     36    x    x  x   x  x    36    x  x   36  36   x  x       x  5 Vậy tập nghiệm phương trình: S  5;0 Nhận xét Đề tốn 19 mang tính chất "Giấu mặt", bắt buộc phân tích nhân tử thành nhân tử, tiếp tục sử dụng nhóm nhân tử để xuất phần chung Nhưng có khác biệt ? Đó khơng sử dụng ẩn phụ nữa, mà sử dụng trực tiếp đẳng thức Lời giải gọn gàng đẹp mắt Phải " Lạm dụng thứ thường khiến ngày thêm máy móc cứng nhắc" Bài tốn tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1,  x   x  3 x  x  1  60 2, x  x   x  3 x    216 3,  x  1 x  1 x  3 x    9 4,  x  112 x  1 x   x  1  5,  x  x  10  x  13 x  20   300 _ 2 Bài tốn 20 Giải phương trình  x  x  1   x  1  27 Lời giải Phương trình cho tương đương với x 2 2  x  1   x  1  27   x  x  1   x  x  1  27   x  x  1   x  x  1  33 t  11 Đặt x  x   t  t   ta thu t  8t  33   t  11 t      t  x  Loại trường hợp t  11  Với t   x  x    x   x  1     x  2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2;1 2 Bài toán 21 Giải phương trình x  x     x  3  65 Lời giải Phương trình cho tương đương với x 2  x   x  x  56   x  x    x  x    x  x   56  x  7  x  4 2   x  x   x  x     x   x   x  1 x       x  2  x 1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 10 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Lời giải hai toán 20 21 phương pháp khơng có lạ, xoay quanh đẳng thức đặt ẩn phụ Bài toán 21 giải trực tiếp, đưa phương trích tích nhân tử, khơng thông qua phép đặt ẩn, nhiên linh hoạt phép nhóm hạng tử mà thơi Bài tốn tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 2 2 1,  x  x     x    247 4,  x2  x  1   x  3  11 2 3, x  x  1   x  1  86 2 4, x  x     x  1  137 2 5,  x     x  10 x  1  26 _ Bài toán 22 Giải phương trình  x  x  1 x  x  1  21x Lời giải Xét x  không thỏa mãn phương trình cho x  5x  x  x  1  1   21   x     x     21 x x x  x  t  Đặt x    t ta thu  t   t    21  t   21  t  25   x t  5 Với t   x      x  1   x  x  x  4  15 Với t  5  x    5  x  x     x  x  4  15  Xét x  ; phương trình cho tương đương với   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  4  15;1; 4  15 Lời giải 2 Phương trình cho tương đương với  x   x  x   x   21x   x  1  x  x  1  16 x  (1) Đặt x   t (1) trở thành x   t  6tx  16 x   t  2tx  8tx  16 x    t  x  t  x     x  1  x  x  1    x  4  15  x  4  15  2 2   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  4  15;1; 4  15 Nhận xét Vẫn đặt ẩn phụ, có tinh tế chút ! Mấu chốt toán nhận phần chung x  Đối với lời giải 1, chia đồng hai thừa số cho x  , xuất nhân tử chung, phép đặt ẩn trung bình cho lời giải ngắn gọn, nhẹ nhàng Đối với lời giải 2, thực chất đưa toán dạng đồng bậc, với hai ẩn x x   t , sử dụng biệt thức phương trình bậc hai để phân tích nhân tử Về phương pháp sử dụng tính chất này, tác giả trình bày sâu ví dụ CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 11 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 23 Giải phương trình  x  x  3 x  25 x  75   224 x Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  1 x  3 x  5 x  15   224 x   x  1 x  15   x  3 x     224 x      x  29 x  15  x  x  15   224 x 1 Xét x  không thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình (1) tương đương với 2 x  29 x  15 x  x  15 15   15  15  15      224   x  29    x     224   x    28  x    195  x x x  x x x    15 15      x   13   x   15     x  13 x  15  x  15 x  15   x x    15 25  345 25  345 ;x  ;x  4  25  345 15 25  345    Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;  ;1;  4       x  1 x  15   x  15 x  15    x  1; x   Nhận xét Bài tốn 23 mang tính chất "Giấu mặt", sử dụng kỹ thuật tách nhóm tạo phần chung, tiếp tục xuất ẩn phụ sau chia hai vế phương trình hệ cho x  Mặc dù không đặt ẩn phụ công khai mà đưa nhân tử trực tiếp, chất đặt ẩn tính nghiệm phương trình bậc hai Kinh nghiệm linh hoạt bạn gia tăng theo ngày, lựa chọn cách giải ngắn gọn điều tất yếu Bài tập tương tự 1,  x  1 x   x   x  20   400 x 2,  x   x    x  x  24   16 x 3,  x  x  3 x  x    24 4,  x  x  12  x  12 x  27   840 5,  x  1 x   x   x  3  20 x _ Bài tốn 24 Giải phương trình 2x 3x   x  x   x  1  10 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 2x 3x (1)   x  x  x  x  10 Xét x  không thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình (1) trở thành 9      (2) 3 x  x  x  x  10 x   x   10 x x x x 3 1  t ;  2     9t  41t  20    t   9t      x  x   x  13 x  27   x t t  10 Phương trình x  13 x  27  vô nghiệm x  x    x  1; x  Do S  1;3 tập nghiệm Đặt x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 12 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 25 Giải phương trình 10    x  1 x    x   x  3 21x Lời giải Điều kiện x   ; x  6; x  2; x  3; x  (*) Phương trình có dạng 10 10 10         (1) 6 x  13x  x  x  21 x  13 x  x  x  21x x   13 x   21 x x x x Đặt x    t ; phương trình (1) trở thành x 10 6       10t  108t  630    5t  21 t  15     x   28   x     t  t 21 x x      x  14 x   x  x  3   x  1; x  3; x  7  46; x  7  46   Các nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có tập nghiệm S  1;3; 7  46; 7  46 Nhận xét mx nx   p ax  bx  c ax  dx  c Cách giải đặt ẩn phụ, sau chia tử số mẫu số phân thức cho x (x khác 0) mx nx m n m n   p   p  p c c ax  bx  c ax  dx  c ax  bx  c ax  dx  c ax   b ax   d x x x x Bài tốn thường mang đặc tính "Giấu mặt", cần có cách nhìn tinh tế khéo léo để nhận dạng Trình bày cho vừa logic vừa tiết kiệm thời gian giảm thiểu sai sót tính tốn Hai tốn 24 25 có dạng tổng qt Bài tốn 26 Giải phương trình x2  4x   x  1 6 2   x  1  27  137   x  1 x   15 Lời giải Điều kiện x  1; x  Xét x  không thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình cho tương đương với 7 x4 x 1 2 x  x  x  x  28 137 x  x  137    0 7 15 x  2x  x  8x  15 x2 x 8 x x Đặt x    t thu phương trình x t  12 4t  36 137     212t  2690t  5400    2t   53t  540   t  10 t 15 x   x   2    x  11x  14  53x  371x  116     x   x    53x  371x  116     x  371  113049 106    x  371  113049   106 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 13 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 2x 5x 34 1,   x  x  x  x  45 16 2,   2  x  1   x  1  13x 3,  x  2  5  x  1 x    61 112 x 3x 5x 43    x  1 x  12   x  3 x   140 _ 4, Bài tốn 27 Giải phương trình  x    x  x    x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x3  10 x  10 x   Xét x  khơng thỏa mãn phương trình cho 2  Xét x  ; phương trình cho tương đương với x    x    10  x x  Đặt x   t  x   t  Phương trình (1) trở thành x x 2    t   5t  10    t   t      x    x     x x    x     x  1 x    x  x      x   x  x      (1) Phương trình (*) vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Đặt x   t  t   thu t  xt  x    t  x  t  x     x  x   x  3x    x     x  1 x    x  x      x   x2  2x      Phương trình (*) vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Nhận xét Có thể thấy lời giải túy (phương trình hồi quy mở rộng quen thuộc) Trong lời giải trực tiếp, không thực khai triển mà nhẹ nhàng gọn gàng Nguyên quy phương trình bậc hai ẩn t tham số x: t  xt  x  Biệt thức   25 x  4.6 x  x    x nên tính hai nghiệm theo trường hợp x Mặc dù hai trường hợp x  0; x  hốn đổi ta ln hai nghiệm t1  x; t  3x Để tránh sai sót biện luận giá trị tuyệt đối, trình bày lời giải Phương trình t  xt  x  có tính chất đồng bậc hai vế nên dễ dàng tìm t1  x; t  x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 14 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 28 Giải phương trình  x  x  1   x  1  x  15 x  1  Lời giải Phương trình cho tương đương với x 2 2  x  1   x  1 4  x  x  1   x  1     x  x  1   x  x  1  x  1   x  1  (1)   Đặt x  x   a; x   b phương trình (1) trở thành a  4ab  3b   a  ab  3ab  3b   a  a  b   3b  a  b     a  b  a  3b     x  x  x     x  x    x     x  0; x  2; x  2; x     Phương trình cho có tập hợp nghiệm S   2;0; 2; Nhận xét Các bạn nhận thấy tốn 28 mang tính chất "Giấu mặt" Để ý chút đưa phương trình hệ (1), làm bật chất đồng bậc quen thuộc Sau đặt hai ẩn phụ a b ta thu a  4ab  3b  Không thiết coi phương trình bậc hai ẩn a (hoặc ẩn b), tất nhiên khơng cần tính biệt thức  a a Nếu chia hai vế cho b thu        b b a  b  1 t  1 a  b  a Thực phép đặt ẩn  t  t  4t         a  b  a  3b     b t  3 a  3b   a  3 b  Nhiều bạn thắc mắc: Tại chia hai vế cho b mà không xét trường hợp b  ? Về nguyên tắc cần xét trường hợp b  Tuy nhiên phác thảo tồn bước tính tốn trên, sau sử dụng kết (*) kết lời giải phía Đối với tốn khơng có tính đồng bậc, bắt buộc phải coi phương trình bậc hai theo ẩn đó, tính biệt thức phương tính nghiệm theo công thức nghiệm Để giảm thiểu sai sót lý luận thực hành giá trị tuyệt đối, bạn nên sử dụng phép nhân đa thức ngược trở lại để lời giải tự nhiên 2 x2   x2  x2 Bài tốn 29 Giải phương trình   2    x 9  x3  x 3  Lời giải x2 x2  a;  b phương trình cho trở thành x3 x3 2a  2b  5ab  2a  4ab  ab  2b   2a  a  2b   b  a  2b     a  2b  2a  b   Điều kiện x  3; x  3 Đặt  3  33 x  x2 x2 Với a  2b     x  x    x  x   x  3x     x3 x 3  3  33 x     33 x  x2 x2 Với 2a  b     x  x    x  x   x  3x     x 3 x 3   33 x   Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 15 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 4 Bài toán 30 Giải phương trình  x  3   x  x     x   Lời giải 2 Đặt  x  3  a;  x    b  a  0; b    ab   x  x   a  b  Phương trình cho tương đương với a  ab  2b    a  b  a  2b      a  2b x    x  3 Với a  b   a  b     (Vô nghiệm) x   x  Với a  2b  x  x   x  x   x  14 x    x   2; x     Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S   2;7  2 Bài tốn 31 Giải phương trình  x  x  1   x  1  13  x  1 Lời giải Đặt x  x   a; x   b thu phương trình 2a  13ab  7b   a  ab  14 ab  7b    2a  b  a  7b       x  3x  1 x  x      x  1 x  1 x   x     x  1;  ; 2;      Phương trình cho có tập hợp nghiệm S  1;  ; 2;    Nhận xét Các toán 29, 30, 31 giải phép đặt ẩn hai ẩn phụ, đưa ba tốn có phương trình đồng bậc với nghiệm số hữu tỷ Điểm nhấn toán nằm kết hợp ẩn phụ tạo thành biểu thức phức tạp đẳng thức, ẩn giấu chất toán phương hướng giải Những toán dạng thường xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đòi hỏi tư cao khả nhìn nhận tốn theo nhiều chiều Bài tốn tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1,  x  x     x    x  x   2,  x     x  x  20    x   3 3,  x  x  1   x  1   x3  1 2 x2   x 1   x 1  4,   5    0 x 9  x3  x3 5x  x  2  x   5,    0 x2   x 1   x  1 4x2 x  x  2 x2 6,    x    24 x x  2x 1 x 1  2x 1   2x 1  7, x3  x    2  0  x3   x3  8, x  12 x   x  x  3 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 16 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH  x  Bài tốn 32 Giải phương trình x      x 1  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với 2  x2  2x2  x  2x2 x  2x2 2x2  x    3 x  3   3    x   x 1  x 1 x 1  x 1   x 1  x 1 x2  t thu t  2t    t  1; 3 x 1  1     Với t   x  x    x   ;  (Thỏa mãn điều kiện x  1 )     Đặt Với t  3  x  x   0;   nên phương trình vô nghiệm 1      Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ;      1 Bài tốn 33 Giải phương trình  2 x  x  2 Lời giải Điều kiện x  x    Phương trình cho tương đương với 2   2  2 1    2  2     2  x  x  2  x  x  2  x x  x    x  2 x  x  2  x x   x  x  2   Đặt  t ta thu phương trình t  t   t  1; 2 x  x  2   Với t   x  x   x  1  3; 1  Với t  2  x  x      x  1   Các giá trị x thỏa mãn điều kiện x  x    Vậy phương trình có tập nghiệm S  1  3; 1  3; 1 Lời giải Điều kiện x  x    Đặt x  a; x   b  b  a  Ta có hệ phương trình b  a    b  a   b  a  b  a     2 1 2 2 2  a b  ab    b  a   ab  2a b  a  b  2a b   a  b2    Biến đổi 1   ab  1 ab     ab  1; ab   b  a  b  b  a  Với     x  1 a  a      ab  1  a  1   b  a  b  a   b  a  Với     x  1  3; 1  a  1  3; 1  a  a     ab         1   Kết luận: Tập nghiệm S  1  3; 1  3; 1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 17 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Lời giải toán 32 lời giải toán 33 tương tự Mấu chốt hai lời giải sử dụng phép thêm bớt hạng tử khéo léo, đưa bình phương tiếp tục dùng ẩn phụ đơn Trong lời giải toán 33 sử dụng hai ẩn phụ đưa hệ phương trình, tư khơng q khó u cầu tính tốn xác, cẩn thận Bài toán tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 9x2 1,  x2  3  x   x  2, x     15  x 1  1 17 3,   x  x  3 16 _ 2 Bài toán 34 Giải phương trình  x  3x    x  x  16 Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  x     x  x     x  y2  3y   x  Đặt x  x   y ta có hệ phương trình   x  3x   y  Trừ vế hai phương trình hệ thu y  x  x  y   x  y  x  y      x  x   x  x       x  x   x  x     x  1  5; 1  5;0; 4   Kết luận tập nghiệm phương trình S  1  5; 1  5; 0; 4 Lời giải Phương trình cho tương đương với x 2  3x    x  3x   16  x  x  16  x  x  x  16     x  x    x  x     x  1  5; 1  5;0; 4   Kết luận tập nghiệm phương trình S  1  5; 1  5; 0; 4 Nhận xét Các bạn thấy lời giải độc đáo sáng tạo sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại II quen thuộc Mặt khác, lời giải lại nhẹ nhàng ngắn gọn, sử dụng phép khai triển đẳng thức thông thường Đôi sử dụng phương pháp "hiện đại", "đao to búa lớn" lại làm tốn thêm phần phức tạp, chí vào ngõ cụt "Được mùa phụ ngô khoai, đến thất bát lấy bạn cùng" Khi làm toán, rút cho nhiều điều bổ ích lắm, thêm yêu quý thứ thân thương, gần gũi với Tản mạn chút khiến tơi lại nhớ truyện ngắn "Bến quê" nhà văn Nguyễn Minh Châu (1930 – 1989) Bài toán tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x  15 x    x  x  3 2 2,  x  x    x  x   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 18 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 35 Giải phương trình x  10 x3  x  24 x   Lời giải Phương trình cho tương đương với x  10 x3  25 x  16 x  24 x    x  x    x  3 1  13  13  69  69      x  x  3 x  x     x   ; ; ;  2      1  13  13  69  69   Kết luận tập hợp nghiệm S   ; ; ;  2     Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x  x  3  x  x  x     x  x  3  1  13  13  69  69      x  x  3 x  x     x   ; ; ;  2     Nhận xét Dễ thấy nghiệm vơ tỷ nên thấy phương pháp nhẩm nghiệm vô hiệu, tốn khơng nằm dạng đặc biệt mà ta biết Trong trường hợp bạn nghĩ tới kỹ thuật phân tích đẳng thức, đưa toán nhân tử cách tự nhiên lời giải Tuy nhiên có mang yếu tố "may mắn", kinh nghiệm 2 Dạng tổng quát áp dụng:  ax  bx  c    mx  nx  p  Lời giải lời giải "đi ngược", xuất phát từ kết cuối phép phân tích thành nhân tử Vì lại có x  10 x  x  24 x    x  x  3 x  x   ? Thực chất có sử dụng phương pháp hệ số bất định Cụ thể hệ số hạng tử chứa x4 nên giả định x  10 x  x  24 x    x  ax  b  x  cx  d   x   a  c  x   b  d  ac  x   ad  bc  x  bd Trong dễ thấy  b; d    9; 1 ,  9;1 ,  3; 3 Hốn vị khơng thay đổi kết toán  a  c  10 b  d  ac   Sử dụng đồng hệ số   b; d    9; 1 ,  9;1 ,  3; 3 suy hệ số a , b, c, d  ad  bc  24 bd  9  Nếu tích hệ số bd lớn, bạn sử dụng phép gán giá trị thử chọn Bài tốn 36 Giải phương trình 21x  x  10 x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x  x  3  x  x  x     x  x  3   5  21 5  21  13  13      x  x  1 x  x  3   x   ; ; ;  2 2     Lời giải 2 Phương trình cho tương đương với 25 x  10 x   x  x    x  1   x    5  21 5  21  13  13      x  x  1 x  x  3   x   ; ; ;  2 2     Kết luận tập nghiệm phương trình CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 19 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x  x  x  2, x  x  12 x  3, x  x  10 x  _ Bài tốn 37 Giải phương trình x  x3  x  12 x   Lời giải Đặt x  y  ; phương trình cho tương đương với  y  1   y  1   y  1  12  y  1    y  y  y  y   y  12 y  12 y   y  y   12 y  12    y    10 x  1    y   10 x  1  y   10  y  y2        y    10 x  1  y   10     y   10 x  1    10  10  10  10   Kết luận nghiệm phương trình: S    10 ;1   10 ;1   10 ;1   10 Nhận xét Lời giải toán độc đáo mang đậm tính chất "khơng mẫu mực" Nếu thiết lập hai phương trình hệ lấy hai bốn nghiệm vô tỷ dễ thấy không chứa hệ số nguyên Điều khẳng định thêm lần: Phương pháp phân tích đẳng thức hệ số bất định bị vơ hiệu hóa Ngun có lời giải phía ? Lời giải dựa phương pháp ẩn phụ Ferrari – phương pháp sử dụng tính chất hàm số, cụ thể trục đối xứng đồ thị hàm số chẵn, kết hợp với phép tịnh tiến đồ thị hệ trục tọa độ, thuộc phạm vi chương trình Đại số lớp 10 THPT Trong trường hợp này, trục đối xứng đồ thị hàm số f  x   x  x  x  12 x  đường thẳng  : x  Giả định đường thẳng  : x  a trục đối xứng đồ thị hàm số f  x   x  x  x  12 x  x  X  a Đặt  y  Y y  f  x   Y  F  X    X  a    X  a    X  a   12  X  a    Y  F  x   X   a  1 X  BX   a  3x  a  3 X   : x  a trục đối xứng đồ thị hàm số F  X   Y  F  X  hàm chẵn  F  X   F   X  X Điều xảy tổng hệ số bậc lẻ đa thức F  X  Tức a    a 1  : x 1   a  3x  a   Khi F  X   X  X  Đó chất lời giải phía Bài tập tương tự Giải phương trình x  x3  x  10 x   [Hẹn gặp lại bạn Lý thuyết giải phương trình bậc cao phần ; Sở huy trung đoàn – Sư đoàn – Quân đồn binh] CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 20 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... 1; tức chứa nhân tử x  Phương trình bậc cao có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ có nghiệm 1 Bài tốn Giải phương trình x3  x  26 x  24  Lời giải Phương trình cho tương đương với... ẩn giấu chất toán phương hướng giải Những toán dạng thường xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đòi hỏi tư cao khả nhìn nhận tốn...   Phương trình (*) vơ nghiệm   3  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3;1 Nhận xét Phương trình cho phương trình bậc bốn có tổng hệ số nên tồn nghiệm Tách nhóm đưa phương trình