SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH ĐỀ THI MÔN TOÁN Ngày thi: 28/ 6/ 2013 Thời gian: 120 phút. PHẤN I. TRẮC NGHIỆM(2 điểm) ( thí sinh không cần giải thích và không phải chép lại đề bài, hãy viết kết quả các bài toán sau vào tờ giấy thi) 1. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC bằng 7 cm, · ABC = 30 0 , Cạnh AB = … 2. Giá trị của m để đường thẳng y = - 3x + m cắt đường thẳng y= x tại 1 điểm có hoành độ bằng 1 2 là… 3. Biểu thức A = 22 12 2− có giá trị rút gọn là… 4. Tập hợp nghiệm của phương trình x(x + 1) + (x + 3)(x – 2)+ 2 = 0 là… PHẦN II. TỰ LUẬN (8 điểm) Bài 1: (2 điểm) Cho phương trình x 2 – (2m + 1)x – m 2 + m – 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số). a) Giải phương trình với m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. Bài 2: (2 điểm) Năm 2012, tổng số dân của 2 tỉnh A và B là 5 triệu người. Năm 1013, tổng số dân của 2 tỉnh A và B là 5 072 000 người. Biết tỷ lệ tăng dân số của tỉnh A là 2%; tỉnh B là 1%. Hỏi dân số của mỗi tỉnh năm 2013? Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến taị B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Kẻ đường kính AD. Chứng minh rằng: a) Ba diểm K, A, D thẳng hàng. b) Bốn điểm A, B, K, H cùng thuộc một đường tròn, với H la fgiao điểm của BD và AC. c) KH song song với BC. Bài 4: (1 điểm) Giả sử AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi diện tích tam giác DEF bằng 1 4 diện tích tam giác ABC. ………………………… Hết ……………………. Giải sơ lược PHẤN I. TRẮC NGHIỆM: 1. AB = 21 2 cm 2. m = 2 3. 3 2 - 2 4. x = 1 và x = - 2 PHẦN II. TỰ LUẬN: Bài 1. a) Với m = 1 ta có PT: x 2 – ( 2. 1 + 1)x – 1 2 + 1 – 1 = 0  x 2 – 3x – 1 = 0 Giải PT ta có x 1,2 = 3 13 2 ± b) Vì a = 1 > 0 và c = - 2 1 3 2 4 m   − −  ÷   < 0 với mọi giá trị của m nên PT đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m. Bài 2. Gọi số dân của tỉnh A và B năm 2013 lần lượt là x và y ( triệu người) ĐK: x,y nguyên dương Thì ta có hệ phương trình : 5 5 2,2 102 101 102 101 507,2 2,8 5, 072 100 100 x y x y x x y x y y + =  + = =    ⇔ ⇔    + = = + =     x, y thỏa ĐK Vậy số dân của tỉnh A và B năm 1013 là: 2,2. 102 100 = 2,244 triệu người và 2,8. 101 100 = 2,8281 triệu người. Bài 3. a) Ta có AB = AC; OB = OC; KB = KC => A, O, K nằm trên đường trung trực của BC. Mà D thuộc AD nên D cũng nằm trên đường trung trực của BC => A, K, D thẳng hàng. b) Vì D nằm trên đường trung trực của BC nên AD ⊥ BC => » » DB DC= => · · KBH KAH=  Tứ giác BAKH nội tiếp c) KH // BC vì cùng vuông góc với BC. O H K D C B A Bài 4. +) Chứng minh điều kiện cần: Cho Tam giác ABC đều, AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC ta cần chứng minh:. 2 EF 1 1 2 4 D ABC S s   = =  ÷   Do tam giác ABCđều và AD, BE, CF là các đường phân giác của tam giác nên ta có EF 1 2 DE DF AB BC AC = = = => V DEF đồng dạng với V ABC => 2 2 DEF 1 1 2 4 ABC S DE S AB     = = =  ÷  ÷     +) Chứng minh điều kiện đủ: Cho Tam giác ABC, AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác, thỏa DEF 1 4 ABC S S = , ta cần chứng minh: V ABC là tam giác đều. Đặt BC = a; AC = b; AB = c (a, b, c > 0) Vì AD là phân giác · BAC nên ta có DB c DB c DB c ac DB DC b DB DC c b a c b c b = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + + + +  DC = a – DB = ac ab a c b c b − = + + Chứng minh tương tự ta có: EC = ab a c+ ; EA = bc a c+ ; FA = bc a b+ ; FB = ca a b+ . Ta có EF 1 D ABC AEF BDF CDE AEF BDF CDE ABC ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S S S S S S − − − = = − − − = 1 - AF. . . . . . AE BF BD CE CD AB AC BA BC CA CB − − =…= 2 ( )( )( ) abc a b b c c a+ + + theo giả thiết ta có: 2 ( )( )( ) abc a b b c c a+ + + = 1 4  (a +b)(b + c)(c + a) = 8abc  a(b –c) 2 + b(c - a) 2 + c(b – a) 2 = 0  a = b = c => V ABC là tam giác đều. Vậy D F E C B A . SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2 014 Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH ĐỀ THI MÔN TOÁN Ngày thi: 28/ 6/ 2013 Thời gian:. Gọi số dân của tỉnh A và B năm 2013 lần lượt là x và y ( triệu người) ĐK: x,y nguyên dương Thì ta có hệ phương trình : 5 5 2,2 102 101 102 101 507,2 2,8 5, 072 100 100 x y x y x x y x y y +. ⇔    + = = + =     x, y thỏa ĐK Vậy số dân của tỉnh A và B năm 101 3 là: 2,2. 102 100 = 2,244 triệu người và 2,8. 101 100 = 2,8281 triệu người. Bài 3. a) Ta có AB = AC; OB = OC; KB