SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 180 phút. Phần bắt buộc (7 điểm) Câu 1. (2điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − , (1) và điểm (0;3)A . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng : y x m∆ = − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5 2 . Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 1 1 2.cos2 sin cos x x x = + 2. Giải bất phương trình: 2 1 2 1 x x x x x − ≥ − − − Câu 3. (1 điểm) Tính 4 0 cos sin 2 1 cos2 x x M dx x π + = + ∫ Câu 4. (1 điểm) Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , AC a= , 2 ' 3 a AA = . Hình chiếu của 'A trên đáy ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Lấy điểm I trên đoạn 'B D và điểm J trên đoạn AC sao cho IJ // 'BC . Tính theo a thể tích của khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D và khối tứ diện ' 'IBB C Câu 5. (1 điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình: 2 2 2 2 1x m x x− + − = có nghiệm thực. Phần tự chọn. (3 điểm). Thí sinh chọn và chỉ làm một trong hai phần: A hoặc B A. Theo chương trình chuẩn: Câu 6. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A , biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong của góc · ABC có phương trình là 2 5 0x y+ − = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm (6;2)K 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm (1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)A B C− − và mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0x y z α + + − = . Lập phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm trên mặt phẳng ( ) α và đi qua ba điểm , ,A B C . Tìm diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( ) α . Câu 7. (1 điểm) Giải phương trình: 1 1 2 1 2 2 9.2 2 0 x x x x + − + + − − + = B. Theo chương trình nâng cao: Câu 6. (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 4 3 3 0x y∆ − + = và ': 3 4 31 0x y∆ − − = . Lập phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '. ∆ Tìm tọa độ tiếp điểm của ( )C và '∆ . 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :3 2 29 0x y z α − + − = và hai điểm (4;4;6)A , (2;9;3)B . Gọi ,E F là hình chiếu của A và B trên ( ) α . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) α đồng thời ∆ đi qua giao điểm của AB với ( ) α và ∆ vuông góc với .AB Câu 7. (1 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 log ( ) log 2 2 2 4 2 ( ) 3( ) 12 xy xy x y x y  = +   + − + =   _________________Hết________________ Câu 1a: (1,0 đ) Hàm số: 2 1 1 x y x − = − Tập xác định { } \ 1D R= Giới hạn tiệm cận 1 1 lim ;lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ ⇒ 1x = là tiệm cận đứng lim 2 x y →±∞ = 2y⇒ = là tiệm cận ngang Sự biến thiên: 2 1 ' 0 ( 1) y x = − < − hàm số nghịch biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ Bảng biến thiên: Đồ thị -Nhận giao điểm hai tiệm cận là (1;2)I làm tâm đối xứng - Đi qua các điểm ( ) 0;1 , 3 1; 2   −  ÷   ( ) 5 2;3 , 3; 2    ÷   4 2 -2 5 O 1 I C A Câu 1b: (1,0 đ) Pthđgđ của (C) và ∆ : 2 2 1 (1 ) 1 0,( 1),(*) 1 x x m x m x m x x − = − + ⇔ + − + − = ≠ − (*) có 2 nghiệm phân biệt khi 1 0 5 m m <  ∆ > ⇔  >  , B C x x là 2 nghiệm của (*) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2( ) 8 2( 1) 8( 1) C B C B C B C B C B BC x x y y x x x x x x m m= − + − = − = + − = − − − ( ) 3 , 2 m d A − ∆ = ( ) 2 3 1 1 5 . , 2( 1) 8( 1). 2 2 2 2 ABC m S BC d A m m − = ∆ = − − − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 5 1 3 5 3 ( 1) 4( 1) 5 6 9 6 5 5 6 5 5 3 5 m m m m m m m m m m m m m   − + = = + ⇔ − − − − = ⇔ − + − + = ⇔ ⇔   − + = − = −    Đối chiếu điều kiện có 3 5m = ± Câu 2a (1,0 đ) Giải phương trình: 1 1 2.cos2 sin cos x x x = + ,(1) Điều kiện: 2 x k π ≠ cos sin (1) 2.cos 2 0 sin .cos x x x x x + ⇔ − = 2 (cos sin )(cos sin )sin 2 (cos sin ) 0 2 x x x x x x x⇔ − + − + = 6 4 2 -2 5 O 1 I (cos sin ) (cos sin )sin 2 2 0x x x x x   ⇔ + − − =   cos sin 0 (cos sin )sin 2 2 0 x x x x x + =  ⇔  − − =  ( ) 2 2 sin 0 4 (cos sin ) 1 (cos sin ) 2 0 x x x x x π    + =  ÷    ⇔   − − − − =  3 sin 0 4 (cos sin ) (cos sin ) 2 0 x x x x x π    + =  ÷  ⇔     − − − + =  ⇔ 2 sin 0; (cos sin ) 2 . (cos sin ) 2(cos sin ) 1 0 4 x x x x x x x π       + = − + − − − + =  ÷       sin 0 sin 0 4 4 4 3 2 sin 1 cos sin 2 4 4 x x k x x k x x x π π π π π π π    −   + =   = +  ÷   + =  ÷     ⇔ ⇔ ⇔          = + − = − − = −   ÷       ĐS: 4 x k π π − = + , k Z∈ Câu 2b (1,đ) Giải bất phương trình: 2 1 2 1 x x x x x − ≥ − − − (2) Điều kiện: 2 2 0 0 1 0 1 1 1 0 x x x x x x x x x x  − ≥ ≤ ∨ ≥ ≤    ⇔ ⇔    ≠ > − − − ≠     ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 3 (3 1) 8 5 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − ≤ − − + − − − ≥ ∨ ≤   − ≥    ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤     − ≤ −   − + ≥  Câu 3(1,0 điểm) 1 2 4 4 4 0 0 0 cos sin 2 sin 2 cos 1 cos2 1 cos2 1 cos2 M M x x x x M dx dx dx x x x π π π + = = + + + + ∫ ∫ ∫ 1 44 2 4 43 1 44 2 4 43 ( ) 4 4 1 0 0 1 cos2 1 1 1 ln 1 cos 2 ln 2 2 1 cos2 2 2 | d x M x x π π + = − = − + = + ∫ 4 4 2 2 0 0 cos 1 cos 1 cos2 2 1 sin x x M dx dx x x π π = = = + − ∫ ∫ Đặt sinu t= 1 1 2 2 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ln ln(1 2) 2 1 4 1 1 4 1 2 | du u M du u u u u +   = = + = = +  ÷ − − + −   ∫ ∫ Vậy 1 ln(2 2 2) 2 M = + Câu 4(1,0 điểm) ABC∆ đều cạnh a nên 2 3 3 a AG AM= = , 2 2 2 2 4 ' ' 3 3 a a A G AA AG a= − = − = 2 3 . ' ' ' ' 3 3 ' 2 ' 2 . 4 2 ABCD A B C D ABCD ABC a a V S A G S A G a= = = = Kéo dài DJ cắt BC tại E nên / / '/ / 'IJ EB BC ⇒ B là trung điểm EC ' 2 ' 3 IB JE JC DB DE AC = = = ; ' ' '. ' ' ' '. ' ' 2 ' 3 IBB C B IBC DBB C B DBC V V B I V V B D = = = 3 ' ' ' ' . ' ' ' ' 2 2 1 3 3 3 6 18 IBB C DBB C ABCD A B C D a V V V⇒ = = = Câu 5(1,0điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình: 2 2 2 2 1x m x x− + − = có nghiệm thực. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 0 2 2 1 0 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2( 1) x m x x x m x x x x x x x x x m x x m x x x m x x x − + − = ⇔ − = − −  − ≥   − − ≥ ≤ ≤     ⇔ ⇔ ≥ − ⇔    − = − −    = − − +  = − − −    Xét hàm số 2 4 ( ) 2 2 2, 1; 3 f t t t t t   = − − + ∈     2 2 2 1 '( ) 2; '( ) 0 2 1 2 t f t f t t t t t t − = − = ⇔ − = − − vô nghiệm Từ bảng biến thiên: Phương trình đã cho có nghiệm khi 2 0 3 m≤ ≤ Câu 6a: 1,(1,0điểm) (5 2 ; ), (2 5; )B b b C b b− − − , (0;0)O BC∈ Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong góc · ABC nên (2;4)I và I AB∈ Tam giác ABC vuông tại A nên ( ) 2 3;4BI b b= − − uur vuông góc với ( ) 11 2 ;2CK b b= − + uuur 2 1 (2 3)(11 2 ) (4 )(2 ) 0 5 30 25 0 5 b b b b b b b b =  − − + − + = ⇔ − + − = ⇔  =  Với 1 (3;1), ( 3; 1) (3;1)b B C A B= ⇒ − − ⇒ ≡ loại Với 5 ( 5;5), (5; 5)b B C= ⇒ − − 31 17 ; 5 5 A   ⇒  ÷   . Vậy 31 17 ; ; ( 5;5); (5; 5) 5 5 A B C   − −  ÷   Câu 6a : 2,(1,0 điểm)Goi ( ; ; )I a b c là tâm mật cầu ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( 3 ) (1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( 1 ) (1 ) 2 2 1 0 a b c a b c IA IB IA IC a b c a b c a b c I α  − + − + − = − + − + − −  =   = ⇔ − + − + − = − + − − + −     + + − = ∈   I J E G M A' D' C' N D A B C B' 7 6 1 5 4 3 6 1 (1; 1;1) 2 2 1 0 1 b c a a b c b I a b c c + = =     ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ −     + + − = =   2 2 25R IA= = 2 2 2 ( ) :( 1) ( 1) ( 1) 25S x y z− + + + − = . Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên 25 3 2 ABC S = ( ) ( ) ( ) 0; 1; 7; 5; 4; 3; , 25; 35;5 17 cos ( ),( ) cos , 15 3 AB AC p AB AC ABC n p α α   = − − = − − = = − −   = = uuur uuur ur uuur uuur uur ur Gọi 'S là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng ( ) α Ta có ( ) 50 3 17 85 ' .cos ( ),( ) 4 6 15 3 ABC S S ABC α = = = (đvdt) Câu 7a: (1,0 điểm) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 9.2 2 0 2.2 9.2 4.2 0 2.2 9.2 4 0 1 1 1 2 4 2 1( ) 9 13 2 2 2 9 17 0 1 4 1 2 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x vn x x x x x x x + − + − − − + + − − − − − − − − − + = ⇔ − + = ⇔ − + =  − −  = −  =   ≥ + = −  +  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    − + =  − − − = −     =  =    Câu 6b: 1, (1,0 điểm) Gọi ( ) ;I a b là tâm của đường tròn ( )C tiếp xúc với ∆ tại điểm M(6;9) và ( )C tiếp xúc với '. ∆ nên : 4 3 3 0x y∆ − + = ( ) ( ) 54 3 4 3 3 3 4 31 , , ' 4 3 3 6 85 4 5 5 (3;4) 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54 25 150 4 6 85 10; 6 54 3 190; 156 4 a a b a b d I d I a a IM u a b a b a a a b a a b b ∆  −  − + − −  ∆ = ∆ − + = − =    ⇒ ⇔    ⊥ =     − + − = + =    − = − = =   ⇔ ⇔  −  = − = =    uuur uur ĐS: 2 2 ( 10) ( 6) 25x y− + − = tiếp xúc với '∆ tại ( ) 13;2N 2 2 ( 190) ( 156) 60025x y+ + − = tiếp xúc với '∆ tại ( ) 43; 40N − − Câu 6b: 2, (1,0 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 19 ( 2;5; 3), (3; 2;1);sin ,( ) cos , 532 361 171 .cos ,( ) 1 sin ,( ) 38 1 532 14 AB n AB AB n EF AB AB AB AB α α α α α = − − = − = = = = − = − = uuur uur uuur uur AB cắt ( ) α tại (6; 1;9)K − , (1;7;11)u AB n α ∆   = =   uur uuur uur Vậy 6 : 1 7 9 11 x t y t z t = +   ∆ = − +   = +  Câu 7b(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 log ( ) log 2 2 2 4 2 ( ) ,(1) 3( ) 12,(2) xy xy x y x y  = +   + − + =   Ta có (1) ( ) 3 3 2 log ( ) log ( ) 2 2 2 0 xy xy ⇔ − − = 3 3 log ( ) log ( ) 2 1( ) 3 2 2 xy xy vn xy  = − ⇔ ⇔ =  =   Vây ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 3 3 3( ) 2 12 3( ) 18 0 6 3 3 6; 3 6 3 3 6; 3 6 3 xy xy x y x y xy x y x y x y xy x y x y x y xy = =     ⇔   + − + − = + − + − =      + =     = = + = −   ⇔ ⇔   + = −  = − = +     =    . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 180 phút. Phần bắt buộc (7 điểm) Câu 1. (2điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − . 2 1 ' 0 ( 1) y x = − < − hàm số nghịch biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ Bảng biến thi n: Đồ thị -Nhận giao điểm hai tiệm cận là (1;2)I làm tâm đối xứng - Đi qua các điểm ( ) 0;1 , 3 1; 2 . (7 điểm) Câu 1. (2điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − , (1) và điểm (0;3)A . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng : y x m∆ =