Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết Ứng dụng Wavelets trong nội suy dị thường độ cao giới thiệu cách tiếp cận Wavelets ứng dụng trong việc nội suy các đại lượng trắc địa, phương pháp này có thể tính toán nội suy cho các vị trí bất kỳ từ các giá trị đầu vào với phân bố không gian bất kỳ.
Nghiên cứu ỨNG DỤNG WAVELETS TRONG NỘI SUY DỊ THƯỜNG ĐỘ CAO LƯƠNG BẢO BÌNH Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM Tóm tắt: Bài báo giới thiệu cách tiếp cận wavelets ứng dụng việc nội suy đại lượng trắc địa, phương pháp tính tốn nội suy cho vị trí từ giá trị đầu vào với phân bố không gian Sau phần tảng lý thuyết hai tính tốn thử nghiệm sử dụng giá trị từ mơ hình EGM 2008, cho lưới đồng góc toàn cầu cho mạng lưới địa phương với vị trí phân bố khơng đều, nhằm minh họa xác thực tính đắn phương pháp Một cách tóm tắt, wavelets gồm hai bước: “chia” tín hiệu đầu vào thành mức khác (tương ứng với độ bậc điều hịa cầu), sau tổng hợp lại thành tín hiệu đầu (ở vị trí cần giá trị nội suy) Ẩn bên wavelets nhân tái tạo sử dung hàm sở cầu đa thức Legendre, điều giúp cho quy trình giữ tính chất điều hịa cầu cho giá trị nội suy, ưu điểm bật so với phương pháp nội suy quen thuộc khác Tính đắn độ xác phương pháp minh chứng thơng qua hai tính tốn thử nghiệm Ở mức độ tồn cầu, lưới đồng góc 60 giá trị dị thường độ cao đến độ bậc 10 dùng để nội suy cho vị trị cho kết chênh lệch mức 10-12 m Ở mức độ khu vực, 5796 giá trị dị thường độ cao (độ bậc từ 32 đến 900) châu Âu “tự nội suy” với kết chênh lệch cm, với độ nhiễu ngẫu nhiên thêm vào trước Điều với độ bậc điều hòa cao vị trí điểm đo khơng phân bố khó khăn mang tính thực tế chọn cho tính tốn thử nghiệm thứ hai wavelets cho kết tốt Từ khóa: wavelets, nhân tái tạo (reproducing kernel), điều hòa cầu, nội suy Đặt vấn đề Trọng lực đại lượng liên quan dị thường độ cao, dị thường trọng lực, độ lệch dây dọi thường cung cấp từ mơ hình (toàn cầu khu vực) dạng lưới điểm với kích thước lưới định, chẳng hạn 30 phút, phút, 2.5 phút, phút Để có giá trị vị trí cụ thể mà quan tâm, người dùng phải tiến hành nội suy từ giá trị mắt lưới Có nhiều phương pháp nội suy quen thuộc tuyến tính, đa thức, spline, kriging, collocation Tuy nhiên, phương pháp không bảo đảm việc giữ tính chất điều hịa (harmonic) đại lượng nội suy, mà nguyên tắc tính chất chung đại lượng trắc địa kể Ngày nhận bài: 1/5/2022, ngày chuyển phản biện: 5/5/2022, ngày chấp nhận phản biện: 9/5/2022, ngày chấp nhận đăng: 28/5/2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu Một cách tiếp cận khác cho vấn đề wavelets.Việc ứng dụng wavelets trắc địa nói đến số tài liệu, chẳng hạn [1] [2] Tuy nhiên, ta cần quy trình tính tốn cho toán cụ thể nội suy đại lượng trắc địa Bài báo giới thiệu cơng thức tính tốn cụ thể để áp dụng nguyên tắc wavelets, thông qua nhân tái tạo đa thức Legendre giúp bảo tồn tính hài hịa, để nội suy đại lượng trắc địa thường dùng dị thường độ cao Kèm theo hai thử nghiệm thiết kế phạm vi toàn cầu khu vực để kiểm chứng tính đắn đánh giá độ xác phương pháp tính tốn Cơ sở lý thuyết phương pháp Ý tưởng wavelets việc chia liệu đầu vào thành tín hiệu chi tiết mịn thông qua lọc thông thấp (low-pass) Áp dụng cho toán nội suy dị thường độ cao (hoặc liệu trọng lực nói chung), phương pháp gồm hai bước chính: - Phân tích: chia tách tín hiệu nguồn liệu đầu vào thành nhiều cấp tín hiệu chi tiết; - Tổng hợp: kết hợp tín hiệu chi tiết để tái tạo liệu đầu Hình 1: Sơ đồ tính tốn Quy trình minh họa qua sơ đồ hình 1; đó, quan trọng nhân tái tạo (reproducing kernel) giúp thiết lập cầu nối hai vị trí (gốc nội suy) hàm wavelet cầu lọc tín hiệu thành cấp chi tiết riêng biệt Cơ sở tốn học phương pháp giải thích ngắn gọn bên Gọi R hình cầu bán kính R L2(R) khơng gian tất hàm thực khả tích bậc F R, điều hòa cầu Yn,m() độ bậc nm tạo thành sở trực giao hoàn chỉnh L2(R) Hàm F ∈ L2(R) biểu diễn cách thông qua chuỗi Fourier ∞ F() = ∑ 𝑛=0 𝑛 ∑𝑚=−𝑛 𝐹𝑛,𝑚 𝑌𝑛,𝑚 () (1) với ∈ , Fn,m hệ số Stokes tính biến đổi Fourier cầu Cho (nhiễu) trọng lực F mặt cầu R, giá trị tiếp nối hướng lên (upward continuation) tính TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu ∞ 𝑛 F(𝒙) = ∑ 𝑛=0 ∑𝑚=−𝑛 𝐹𝑛,𝑚 𝐻𝑛,𝑚 (𝒙) (2) đó, hàm R 𝑛+1 𝐻𝑛,𝑚 (𝒙) = 𝑅 ( r ) 𝑌𝑛,𝑚 () (3) điều hòa cầu khối (solid spherical harmonics) Mối quan hệ điều hòa cầu đa thức Legendre cho [3] 𝑛 ∑𝑚=−𝑛 𝑌𝑛,𝑚 () 𝑌𝑛,𝑚 () = 2n+1 4π 𝑃𝑛 (𝑇 ) (4) vector đơn vị theo phương hướng tâm R Phương trình (4) tảng cho việc tính wavelets cầu (xấp xỉ đến độ nmax định) B(𝒙, 𝒙𝑘 ) = ∑ 𝑛𝑚𝑎𝑥 2n+1 R 𝑛+1 𝑛=0 4πR (r) 𝐵𝑛 𝑃𝑛 (𝑇 𝑘 ) (5) với x = r ∈ Rext (Rext khơng gian bên ngồi bao gồm mặt cầu R), xk = Rk ∈ R, Bn hệ số Legendre phản ánh tính phổ tín hiệu Như vậy, tín hiệu F(x) ban đầu đại diện wavelets cầu theo phương trình (6) N F(𝒙) = ∑𝑘=1 𝑐𝑘 B(𝒙, 𝒙𝑘 ) (6) với N số lượng vị trí x ck hệ số đóng vai trị tương tự hệ số Stokes Fn,m cách tiếp cận điều hòa cầu Vấn đề quan trọng nhân tái tạo, giới thiệu [4] 𝐾𝑟𝑒𝑝 (𝒙, 𝒙𝑘 ) = ∑ 𝑛𝑚𝑎𝑥 2n+1 R 𝑛+1 𝑛=0 4πR (r) 𝐵𝑛 𝑃𝑛 (𝑇 𝑘 ) (7) thỏa mãn điều kiện [5] 𝐹(𝒙) = (𝐾𝑟𝑒𝑝 ∗ F)(𝒙) (8) Viết lại tích chập (convolution) Krep ∗ F dạng chuỗi khai triển hàm sở cầu Krep, ta thay phương trình (6) phương trình (9) sử dụng nhân tái tạo N (𝐾𝑟𝑒𝑝 ∗ F)(𝒙) = ∑𝑘=1 𝑑𝑘 𝐾𝑟𝑒𝑝 (𝒙, 𝒙𝑘 ) = 𝑘𝑟𝑒𝑝 (𝒙)𝑇 d (9) với krep d vector hàm nhân tái tạo hệ số tỉ lệ Phương trình (8) cho thấy mối liên hệ hàm sở cầu tích chập, cơng cụ lọc Phương trình (10) giới thiệu hàm tỉ lệ cầu 𝑗 (𝒙, 𝒙𝑘 ) = ∑ 𝑛𝑗𝑚𝑎𝑥 2n+1 R 𝑛+1 𝑛=0 4πR2 (r) 𝑗;𝑛 𝑃𝑛 (𝑇 𝑘 ) (10) cấp j, với hệ số Legendre Fj;n = n > nj Điều có nghĩa hàm tỉ lệ hoạt động lọc thông thấp (low-pass) Từ đó, tín hiệu 𝐹𝑗+1 (𝒙) = (𝑗+1 ∗ F)(𝒙) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 (11) Nghiên cứu phân tích thành phiên mịn 𝐹𝑗 (𝒙) = (𝑗 ∗ F)(𝒙) (12) phần tín hiệu chi tiết 𝐺𝑗 (𝒙) = (𝑗 ∗ F)(𝒙) (13) chứa thành phần Fj+1(x) bị thiếu Fj(x) Trong hàm tỉ lệ cầu hoạt động lọc thơng thấp hàm wavelet cầu (𝒙, 𝒙𝑘 ) = ∑ 𝑛𝑗+1𝑚𝑎𝑥 2n+1 R 𝑛+1 𝑛=0 4πR2 (r) 𝑗;𝑛 𝑃𝑛 (𝑇 𝑘 ) (14) xem lọc thơng dải (band-pass) xác định hệ số Legendre 𝑗;𝑛 = 𝑗+1;𝑛 − 𝑗;𝑛 (15) Cuối cùng, tín hiệu F(x) biểu diễn (theo dải phổ) J F(𝒙) = 𝐹𝑗′ (𝒙) + ∑ 𝑗=𝑗′ 𝐺𝑗 (𝒙) + 𝐹𝐽+1 (𝒙) (16) bao gồm phiên mịn (ở cấp j′), tín hiệu chi tiết cấp từ j′ đến (cấp tối đa) J, phần dư 𝐹𝐽+1 (𝒙) = F(𝒙) − 𝐹𝐽+1 (𝒙) = (𝐽+1 ∗ 𝐹)(𝒙) (17) Tóm lại, theo tên gọi wavelets, ý tưởng phương pháp chia nhỏ tín hiệu đầu vào theo dải phổ Ngoài ra, yếu tố quan trọng khác nhân tái tạo giúp “lan truyền” tín hiệu đến vị trí cần tính tốn Và cuối cùng, tín hiệu cấp chi tiết khác tổng hợp thành tín hiệu đầu Phần áp dụng sở lý thuyết vào tính tốn nội suy giá trị dị thường độ cao để đánh giá tính hiệu độ xác cách tiếp cận Kết thử nghiệm thảo luận Để kiểm chứng tính đắn độ xác tính tốn nội suy phương pháp, hai thử nghiệm thiết kế với ý tưởng tổng quát sau: - Thử nghiệm thiết kế đơn giản nhằm mục đích kiểm chứng minh họa tính chất lọc dải phổ wavelets Dị thường độ cao lưới đồng góc tồn cầu dùng để “nội suy” Dù khơng mang tính thực tế việc “tự nội suy” giúp loại bỏ hoàn toàn sai số liệu đánh giá kết Dải phổ liệu hạn chế mức thấp (tương ứng với độ bậc điều hòa 10) để đơn giản hóa tính tốn dễ dàng minh họa hình ảnh - Thử nghiệm giúp đánh giá độ xác phương pháp áp dụng vào tính tốn nội suy dị thường độ cao điều kiện gần với thực tế hơn: từ vị trí điểm liệu đầu vào phân bố khơng nội suy lưới đồng góc khu vực, giá trị dị thường độ cao tính đến độ bậc điều hòa cao bị thêm vào nhiễu giả ngẫu nhiên đóng vai trị sai số TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu 3.1 Tái tạo dị thường độ cao độ bậc điều hòa thấp cho lưới đồng góc tồn cầu Đầu tiên, để kiểm tra tính đắn minh họa trực quan cho tiến trình wavelets, mơ mang tính đơn giản hóa tiến hành sau: số liệu dị thường độ cao độ bậc điều hòa thấp phân bố lưới đồng góc tồn cầu phân tích tổng hợp lại theo quy trình lý thuyết bên trên, hay nói cách khác “tự nội suy” số liệu cho vị trí cũ để so sánh kết nhận với số liệu ban đầu, mà khác biệt sai số phương pháp Dị thường độ cao tính từ mơ hình EGM 2008 [6], sử dụng hệ số điều hịa đến độ bậc 10, tính chương trình GeoH [7] Giá trị dị thường độ cao tính cho mạng lưới đồng góc tồn cầu với kích thước lưới 60 x 60 bao gồm 30 x 60 = 1800 điểm trải dài từ 870 vĩ Bắc đến 870 vĩ Nam từ 00 kinh đến 3540 kinh (60 kinh Tây) Việc sử dụng hệ số điều hòa bậc thấp để giảm số cấp tín hiệu chi tiết, thuận lợi cho việc minh họa hình ảnh Cụ thể với nmax = 10, áp dụng dyadic wavelets, cần cấp tín hiệu đủ bao phủ tồn dải phổ: F2 tương ứng với độ bậc từ đến 3, G2 tương ứng với độ bậc từ đến 7, G3 chứa tín hiệu với độ bậc từ đến 10 Áp dụng bước tính tốn thể hình vào số liệu này, tính hệ số tỉ lệ, phiên tín hiệu mịn F2, cấp tín hiệu chi tiết G2 G3, cuối tính tín hiệu tổng hợp đầu tổng F2 + G2 + G3 Xin lưu ý với tín hiệu bị “cắt cụt” (nmax =10) phần dư 𝐹 khơng cần phải xét đến Hình 2: từ xuống dưới, bên trái: tín hiệu mịn, tín hiệu chi tiết cấp cấp 3; bên phải: tín hiệu tổng hợp đầu ra, giá trị tham khảo, khác biệt chúng TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu Hình thể tín hiệu F2, G2, G3 cột bên trái, từ xuống dưới, tín hiệu tổng (giá trị tái tạo cần tính) bên phải, ngồi cịn có giá trị ban đầu (ở bên phải) khác biệt giá trị (dưới bên phải), thể sai số tính tốn phương pháp Ta thấy khác biệt tín hiệu ban đầu tín hiệu tái tạo áp dụng wavelets mức 10-12 m, hoàn toàn bỏ qua mà khơng sợ phạm sai số Điều chứng tỏ tính đắn phương pháp quy trình tính tốn giới thiệu bên Ngồi ra, hình thể cấp tín hiệu F2, G2, G3 minh họa rõ cho tính chất hoạt động lọc wavelets với mức chi tiết ngày cao cấp tín hiệu cao 3.2 Nội suy dị thường độ cao độ bậc điều hòa cao từ mạng lưới điểm gốc khu vực phân bố không Nếu thử nghiệm (mục 3.1) dùng liệu đơn giản, vốn thiết kế với mục đích khẳng định tính đắn phương pháp thử nghiệm này, yếu tố mang tính thực tế xét đến Bộ liệu đầu vào dị thường độ cao 5796 vị trí phân bố khơng theo quy luật, vị trí đo dị thường trọng lực thực tế châu Âu Từ giá trị vị trí ta nội suy giá trị cho lưới đồng góc bao phủ khu vực, trải dài từ 460 vĩ Bắc đến 49.50 vĩ Bắc từ 90 kinh Đơng đến 180 kinh Đơng, kích thước ô lưới 0,10 x 0,10, bao gồm 36 x 91 = 3276 điểm Giá trị nội suy so sánh với giá trị tham khảo để đánh giá tính xác phương pháp nội suy Để có sở so sánh giá trị dị thường độ cao 5796 điểm ban đầu giá trị dị thường độ cao tham khảo 3276 điểm nội suy tính từ nguồn hệ số điều hòa đến độ bậc 900 mơ hình EGM 2008 Việc sử dụng đến độ bậc 900 để cân mong muốn giảm thiểu việc tính tốn q nhiều cấp tín hiệu bảo đảm tính chi tiết đủ cao Một lưu ý quan trọng khác thành phần bước sóng dài (lớn kích thước khu vực) cần phải khử trước tính tốn, cụ thể hệ số điều hịa nhỏ 32 Ngồi ra, để gần với điều kiện khó khăn thực tế hơn, tập giá trị nhiễu giả ngẫu nhiên với độ lệch chuẩn cm thêm vào giá trị dị thường độ cao 5796 điểm ban đầu, đóng vai trị sai số ngẫu nhiên Áp dụng quy trình tính tốn thử nghiệm 1, cuối ta thu tín hiệu tổng giá trị nội suy 3276 điểm, thể hình bên Bên hình giá trị tham khảo 3276 điểm Các cấp tín hiệu chi tiết khơng thể số lượng nhiều việc minh họa tính chi tiết cho cấp tín hiệu thể thử nghiệm (hình 2) Có hai lưu ý hình 3: thứ nhất, hệ trục tọa độ theo thứ tự hàng (36 hàng từ xuống dưới) cột (91 cột từ trái qua phải) ô lưới; thứ hai, giá trị dị thường độ cao sau khử thành phần bước sóng dài, nên nhỏ so với giá trị đầy đủ Tuy nhiên, điều không ảnh hưởng đến việc so sánh khác biệt giá trị tính tốn nội suy giá trị tham khảo hai bị khử thành phần bước sóng dài đến độ bậc 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu Hình 3: xuống dưới: giá trị tham khảo giá trị nội suy (có áp dụng quy hóa quasi-optimality) Hệ trục tọa độ theo thứ tự hàng cột lưới So sánh giá trị tham khảo (hình 3, trên) giá trị nội suy (hình 3, dưới) cách trực quan ta thấy giống giá trị (màu sắc) kiểu mẫu Sự khác biệt thấy mắt thường khu vực nhỏ xíu sát hình Cịn số độ lệch quân phương (RMS) 3276 điểm cm, mức độ nhiễu giả ngẫu nhiên thêm vào số liệu ban đầu trước đó; hay nói cách khác, sai số cuối mức độ với sai số liệu, nghĩa quy trình tính tốn nội suy xác Xin nói thêm vấn đề tính tốn xuất thử nghiệm này, hệ phương trình chuẩn (khi giải hệ số tỷ lệ) (𝐾𝑟𝑒𝑝 𝑇 𝐾𝑟𝑒𝑝 )d − 𝐾𝑟𝑒𝑝 𝑇 𝑓 = (18) bị rơi vào tình trạng giả định yếu (ill-conditioned) mà để giải giải pháp quy hóa (regularization) thích hợp áp dụng gọi quasi-optimality [8] Vấn đề quy hóa khơng trình bày vượt ngồi phạm vi báo Kết luận Với hai thử nghiệm thiết kế cho hai bối cảnh từ đơn giản đến phức tạp, từ toàn cầu đến khu vực, kết cho thấy quy trình tính tốn dựa cách tiếp cận wavelets giới thiệu báo khả thi xác, ứng dụng việc tính tốn nội suy giá trị dị thường độ cao nói riêng đại lượng trắc địa nói chung với ưu điểm bật bảo tồn tính chất điều hòa cầu đại lượng nội suy Kết từ thử nghiệm cho thấy sai số việc tính tốn mức 10-12 m, hồn tồn bỏ qua ngữ cảnh trắc địa Kể thêm nhiễu giả ngẫu nhiên cm vào liệu ban đầu kết nội suy đạt độ xác RMS = cm (tính cho 3276 điểm), độ lớn nhiễu Nhìn chung, cơng thức tính tốn wavelets phức tạp so với phương pháp nội suy quen thuộc khác Tuy nhiên, ưu điểm quan trọng phương pháp việc bảo tồn tính chất điều hịa cầu cho giá trị nội suy (nhờ vào việc sử dung hàm cầu đa thức Legendre), điều mà phương pháp nội suy tốn học khác khơng làm Ngồi ra, TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 Nghiên cứu tích hợp toán chuyển đổi (giữa đại lượng khác nhau) vào nhân tái tạo phương pháp cịn áp dụng vào vấn đề xây dựng mơ hình geoid [9]. Tài liệu tham khảo [1] Keller W (Ed) (2004) Wavelets in Geodesy and Geodynamics Walter de Gruyter, Berlin [2] Eicker A (2008) Gravity field refinement by radial basis functions from in-situ satellite data Dissertation, Bonn University [3] Freeden W, Gervens T, Schreiner M (1998) Constructive approximation on the sphere (with applications to geomathematics) Clarendon Press, Oxford [4] Schmidt M, Fengler M, Mayer-Guerr T, Eicker A, Kusche J, Sanchez L, Han SC (2007) Regional gravity modeling in terms of spherical base functions J Geodesy 81: 17-38 [5] Moritz H (1989) Advanced physical geodesy (2 ed.) Wichmann, Karlsruhe [6] Pavlis NK, Holmes SA, Kenyon SC, Factor JK (2008) An Earth Gravitational Model to degree 2160: EGM2008 EGU General Assembly 2008 Vienna, Austria, April 13-18, 2008 [7] Lương Bảo Bình (2016) Tính tốn dị thường độ cao từ hệ số điều hòa độ bậc định dải sóng dài, Tạp chí Phát triển khoa học & công nghệ, Tập 19, K4 - 2016, 11 – 18 [8] Tikhonov AN, Arsenin VY (1977) Solutions of ill-posed problems Wiley, Newyork [9] Luong BB (2011) Combined gravity field modeling from satellite gravity and terrestrial data sources applying multi-resolution analysis Dissertation, Graz University of Technology. Summary Apply wavelets to interpolate height anomalies Luong Bao Binh Ho Chi Minh City University of Technology This paper introduces the wavelets approach applied to the interpolation of height anomalies It can be used to compute interpolated values for arbitrary positions from input values with the arbitrary (spatial) distribution Following the theoretical fundamental, two simulations using model EGM 2008 for a global grid and local irregular positions are presented to illustrate and authenticate the correct work of this method. Keywords: wavelets, reproducing kernel, spherical harmonics, interpolation TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 52-6/2022 ... trị nội suy so sánh với giá trị tham khảo để đánh giá tính xác phương pháp nội suy Để có sở so sánh giá trị dị thường độ cao 5796 điểm ban đầu giá trị dị thường độ cao tham khảo 3276 điểm nội suy. .. F2, G2, G3 minh họa rõ cho tính chất hoạt động lọc wavelets với mức chi tiết ngày cao cấp tín hiệu cao 3.2 Nội suy dị thường độ cao độ bậc điều hòa cao từ mạng lưới điểm gốc khu vực phân bố không... Phần áp dụng sở lý thuyết vào tính tốn nội suy giá trị dị thường độ cao để đánh giá tính hiệu độ xác cách tiếp cận Kết thử nghiệm thảo luận Để kiểm chứng tính đắn độ xác tính tốn nội suy phương