WWW.VIETMATHS.COM TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH TỔ: TOÁN ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ SỐ 4: Câu I (2,5 điểm). Cho hàm số   3 2 3 4 y x x C    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) có hệ số góc là k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A( - 1; 0) , B, C sao cho hai điểm B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8. Câu II (3,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 2.5 5 3 5 5 4 x x x    2.Giải phương trình sau:   2 3 1 1 3 3 1 log 5 6 log 2 log 3 2 x x x x       3. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm thực:   2 2 3 2 3 1 1 x x a x x      . Câu III (1,5 điểm). Tính tích phân: e 1 (x 2)ln x x dx x(1 ln x)     Câu IV (1,5 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có  0 , 2 , 120 AC a BC a ACB   và đường thẳng ' A C tạo với mặt phẳng   ' ' ABB A góc 0 30 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng ' , ' A B CC theo a. Câu V (1,5 điểm). Cho x , y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện: )(21)(4 22 yxxyyx  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 22 yxyxxyP  . …………………….Hết…………………… WWW.VIETMATHS.COM ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ SỐ 4 Câu Nội dung Điểm I (2,5điể m) 1.(1,5 điểm) Hàm số (C 1 ) có dạng 3 2 3 4 y x x     Tập xác định: D R   Sự biến thiên - lim , lim x x y y       - Chiều biến thiên: 2 0 ' 3 6 0 2 x y x x x          0.25 Bảng biến thiên X  0 2  y’ + 0 - 0 + Y 4   0 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;0  và   2;  , nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại tại 0, 4 CD x y   . Hàm số đạt cực tiểu tại 2, 0 CT x y   0.25  Đồ thị: 0.5 2.(1,0 điểm) 2. Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y = k(x+1) = kx+ k . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: x 3 – 3x 2 + 4 = kx + k  x 3 – 3x 2 – kx + 4 – k = 0  (x + 1)( x 2 – 4x + 4 – k ) = 0       044)( 1 2 kxxxg x 0.25 d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình: x 3 – 3x 2 + 4 = kx + k có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x 2 – 4x + 4 – k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1 (*)90 09 0 0)1( 0'              k k k g 0.25 Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(-1;0) ,     1 1 2 2 ; ; ; B x kx k C x kx k   1 2 ; x x là hai nghiệm của phương trình :           2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ; 1 1 BC x x k x x BC x x k x x k            Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : 2 1 k h k   2 3 2 3 3 1 1 . . 2 1 2 2 1 8 8 64 4 OBC OBC k S h BC k k k k S k k k               0.25 So với điều kiện (*) ta được k = 4. 0.25 II 1.(1,0 điểm) WWW.VIETMATHS.COM (3điểm) Điều kiện: 5 log 2 x  (*). Đặt 5 x t  , điều kiện: t > 2. Bất phương trình đã cho trở thành: 2 2 3 5 4 t t t    (1). 0.25 Bình phương 2 vế của BPT (1) ta được : 4 2 2 2 20 4 45 4 4 5 t t t t t t            0.25 Suy ra: 5 log 20 5 20 1 5 5 2 x x x x                 (**) 0,25 Kết hợp (*) và (**) ta được : 5 log 20 x  hoặc 1 2 x  . 0,25 2.(1,0 điểm) 0.25 Điều kiện: 3 x  Phương trình đã cho tương đương:       1 1 2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x               2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x         0.25         3 3 3 log 2 3 log 2 log 3 x x x x               3 3 2 log 2 3 log 3 x x x x                0.25    2 2 3 3 x x x x       2 10 9 1 10 x x x            0.25 Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 10 x  . 0.25 2.(1,0 đi ểm)   2 2 3 2 3 1 1 x x a x x         2 2 2 2( 1) ( 1) 1 1 x x a x x       .  2 2 2 1 1 2 1 1 x x a x x                   (1). 0,25 Đặt   3 2 2 1 1 1 1 x x t t x x               ; 0 1 t x     x  1  ' t + 0  t 2 1  1 Từ bảng biến thiên suy ra đó  1; 2 t     0,25 WWW.VIETMATHS.COM Khi đó phương trình (1) trở thành : 2 2 2 t at a t t      (2) (do t =0 không là nghiệm phương trình). Xét hàm số 2 ( )g t t t   với  1; 2 t     2 2 ( ) 1 0 2 g t t t        . t - 1 0 2 ' g   0 g - 3   2 2 0,25 Từ bảng biến thiên suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi 3 ; 2 2 a a   0,25 Câu III (1,5điể m) I =      e e dxdx xx xxx 1 1 )ln1( ln2)ln1( -2 dx xx x e   1 )ln1( ln Ta có :   e edx 1 1 0.5 Tính J = dx xx x e   1 )ln1( ln Đặt t = 1 + lnx 1 dt dx x   1 1, 2 x t x e t       Suy ra : J = dt t t   2 1 1 = dt t ) 1 1( 2 1   = (t - ln t ) = 1 - ln2 0,5 Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 0,5 Câu IV (1điểm) Trong (ABC), kẻ CH AB    H AB  , suy ra   ' ' CH ABB A  nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó:        0 ' , ' ' ' , ' ' 30 A C ABB A A C A H CA H      . 0,25 WWW.VIETMATHS.COM  2 0 1 3 . .sin120 2 2 ABC a S AC BC    0,25  2 2 2 0 2 2 . .cos120 7 7 AB AC BC AC BC a AB a        2. 21 7 ABC S a CH AB    Suy ra: 0 2 21 ' sin30 7 CH a A C   . 0,25 Xét tam giác vuông AA’C ta được: 2 2 35 ' ' 7 a AA A C AC   . Suy ra: 3 105 . ' 14 ABC a V S AA    . 0,25 Do   '/ / ' '/ / ' ' CC AA CC ABB A  , Suy ra:           21 ' , ' ', ' ' , ' ' 7 a d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH    . 0,5 V (1,5điể m) Ta có: )(21)()(3)(21)(4 2222 yxyxyxyxxyyx  2 )(3)(21 yxyx  1 3 1  yx , vì x ; y không âm nên ta có 10    yx . 0.25 P = 22 2 22 )( 4 1 )( 2 1 2 )( yxyxyxyx yx yxyxxy          (vì 2 2         yx xy và 222 )()(2 yxyx  ) . 0.5 Đặt t = x + y ; ta có : 10   t , và P 2 4 1 )( tttf  ; có 2 2 1 )( ' t t tf  = 0 1 . 2 1   t tt , với   1;0t . 0,5   4 3 )1()(max 1;0  ftf  maxP = 4 3 , dấu = xảy ra  x = y = 2 1 0.25 . WWW.VIETMATHS.COM TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH TỔ: TOÁN ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm. phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ SỐ 4: Câu I (2,5 điểm). Cho hàm số   3 2 3 4 y x x C    1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) 2. Gọi