S GD-T VNH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Khi B,D VNH PHÚC Thi gian: 180 phút (Không k giao ) I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH (7 im) Câu 1. Cho hàm s 3 2 2 2 3 3(1 ) 2 2 1 y x x m x m m = − + − + − − (m là tham s). 1. Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s ã cho khi 1. m = − 2. Tìm t  t c  các giá tr  c  a tham s  th  c m  hàm s   ã cho có c  c  i, c  c ti  u;  ng th  i hai  i  m c  c tr  c  a  th  hàm s   i x  ng nhau qua  ng th  ng : 4 5 0. d x y − − = Câu 2. Gi  i ph  ng trình ( ) 2 1 4 4 4 cos 2 cos 2 sin 1 cos2x x x x π π     + − + + =         v  i 0 . 4 x π ≤ ≤ Câu 3. Gi  i h  ph  ng trình 3 3 3 2 2 27 7 8 9 6 x y y x y y x  + =   + =   ( ,x y ∈  ) Câu 4. Tính tích phân 1 ln 2 ln e x x x x I dx − + =  Câu 5. Cho hình chóp . S ABCD có áy ABCD là hình bình hành, vi 2 2 SA SB AB a BC = = = = và 0 120 . ABC∠ = Gi H là trung im ca cnh AB và K là hình chiu vuông góc ca H trên mt phng ( ), SCD K nm trong tam giác SCD và 3 5 . HK a= Tìm th tích ca hình chóp theo a. Câu 6. Cho a , b là các s thc dng tha mãn 3. ab a b + + = Chng minh rng 2 2 3 3 3 1 1 2 a b ab b a a b a b + + + + + ≤ + + II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c mt trong hai phn riêng, phn A hoc phn B. A. Theo chng trình chun Câu 7a. Trong mt phng vi h ta  Oxy , cho ng tròn 2 2 ( ):( 1) ( 1) 16 C x y − + + = có tâm I và im (1 3;2). A + Vit phng trình ng thng ∆  i qua A và c  t ( ) C t  i hai  i  m B, C phân bi  t sao cho tam giác IBC không có góc tù  ng th  i có di  n tích b  ng 4 3. Câu 8a. Trong không gian v  i h  t  a  Oxyz, cho  i  m (0;4;2) M và hai m  t ph  ng ( ),( ) P Q l  n l  t có ph  ng trình 3 1 0, 3 4 7 0. x y x y z − − = + + − = Vi  t ph  ng trình c  a  ng th  ng ∆  i qua M và song song v  i giao tuy  n c  a ( ) P và ( ). Q Câu 9a. Tìm t  t c  các s  th  c a, b sao cho s  ph  c 2 3 z i = + là nghi  m c  a ph  ng trình 2 0. z az b + + = B. Theo chng trình nâng cao Câu 7b. Trong m  t ph  ng v  i h  t  a  Oxy, cho  i  m (3;4) M và  ng tròn 2 2 : 6 2 2 0. x y x y ω + − + + = Vi  t ph  ng trình c  a  ng tròn Γ v  i tâm M, c  t ω t  i hai  i  m A, B ssao cho AB là c  nh c  a m  t hình vuông có b  n  nh n  m trên . ω Câu 8b. Trong không gian v  i h  t  a  Oxyz, vi  t ph  ng trình c  a m  t c  u có tâm (1;2;3) I và ti  p xúc v  i  ng th  ng 2 : . 1 2 2 x y z d + = = − Câu 9b. Hãy gi  i ph  ng trình sau trên t p h  p s  ph  c 2 2 2 ( ) ( ) 5 5 0. z i z i z − + − − = Cán b coi thi không gii thích gì thêm! S  GD-  T V  NH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN HD chm môn TOÁN 12 – Khi B,D VNH PHÚC Hng dn chung: - M i mt bài toán có th có nhiu cách gii, trong HDC này ch trình bày s lc mt cách gii. Hc sinh có th gii theo nhiu cách khác nhau, nu  ý và cho kt qu úng, giám kho vn cho im ti a ca phn ó. - Câu (Hình hc không gian), nu hc sinh v hình sai hoc không v hình chính ca bài toán, thì không cho im, nhng không nht thit phi v hình 1; câu (Hình hc gii tích) không nht thit phi v hình. - im toàn bài chm chi tit n 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu Ni dung trình bày im 1 1. 3 2 3 1: 3m y x x− = − + = . TX:  0.25 Chi!u bin thiên: 3 ( 2), 0 0 2 y x x y x x ′ ′ = = − = ⇔ = ∨ =  Xét d  u y ′ và k  t lu n: hàm s   ng bi  n trên ( ;0),(2; ) −∞ +∞ , ngh  ch bi  n trên (0;2) Hàm s   t c  c  i t  i 0, 3 cd x y = = ; hàm s   t c  c ti  u t  i 2, 1 ct x y = = − 0.25 Nhánh vô c  c: lim , lim x x y y →+∞ →−∞ = = +∞ = = −∞   ; l p b  ng bi  n thiên 0.25 V   th  4 2 0.25 2. 2 2 3 6 3(1 ) y x x m ′ = − + − Hàm s  có c  c  i, c  c ti  u khi và ch  khi 0 y ′ = có hai nghi  m phân bi  t và " i d  u khi qua hai nghi  m  ó.  i ! u này t  ng  ng v  i ph  ng trình 2 2 2 1 0 x x m − + − = có hai nghi  m phân bi  t, t  c là 0. m ≠ 0.25 Khi  ó,  th  c  a hàm s  có hai  i  m c  ctr  3 2 3 2 (1 ; 2 1), (1 ;2 1) A m m m B m m m + − − + − − + 0.25 Hai  i  m này  i x  ng nhau qua d khi và ch  khi trung  i  m c  a AB n  m trên d và AB d ⊥ .  i ! u này t  ng  ng v  i 2 2 1 4(1 ) 5 0 2 2 4 m m m  − − − =  ⇔ = ±  − = −   0.25 Kt lu n 0.25 2 Bin "i tích thành t"ng, thu c 1 cos( ) cos 4 (1 cos 2 )(1 cos2 ) 2 2 x x x π + + − + = 0.25 2 1 cos4 1 cos 2 cos4 0 , 2 8 4 k x x x x k π π ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈  0.5 Do 0; 4 x π   ∈     nên 8 x π = 0.25 3 Nh n xét 0, y ≠ nhân hai v  ph  ng trình th  hai v  i 7y, tr #  i ph  ng trình th  nh  t,  c 3 2 (3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0 xy xy xy − + − = T #  ó tìm  c ho  c 1 xy = ho  c 2 xy = ho  c 4 xy = 0.25 V  i 1, xy = thay vào ph  ng trình th  nh  t,  c 3 19 7 y = − do  ó 3 7 19 x = − 0.25 V  i 2, xy = thay vào ph  ng trình th  nh  t,  c 3 26 2 7 y = − do  ó 3 7 26 x = − 0.25 V  i 4, xy = thay vào ph  ng trình th  nh  t,  c 3 215 2 7 y = − do  ó 3 7 2 215 x = − 0.25 4 Vi  t l  i bi  u th  c d  i d  u tích phân ln 2 · ln 1 x dx x x − + 0.25  t ln x t = th  thì khi 1 2 x ≤ ≤ thì 0 1 t ≤ ≤ và , dx dt x = 0.25 Khi  ó 1 1 0 0 2 3 1 1 1 t I dt dt t t −   = = −   + +     0.25 Tính  c 1 3ln 2 1 ln8 I = − = − 0.25 5 G  i I là trung  i  m CD. Ch  ra các tam giác , , , ADH HDI IHB BCI là các tam giác ! u c  nh a. Suy ra 2 2 3 4 3 4 ABCD a S a= × = (  .v.d.t) G  i J là trung  i  m DI. Khi  ó , HJ AB CD ⊥ và do  ó ( ) CD SHJ ⊥ . 0.25 Suy ra . K SJ ∈ Ngoài ra 3 2 a HJ = . H  n n $ a, do tam giác SAB là tam giác ! u c  nh 2a và H là trung  i  m AB nên SH AB ⊥ và 3. SH a= 0.25 Suy ra 2 2 2 2 1 1 5 1 3 SH HJ a HK + = = do  ó tam giác SHJ vuông t  i H . 0.25 T #  ó, do , SH AB HJ ⊥ nên ( ) SH ABCD ⊥ hay SH là  ng cao c  a hình chóp. 0.25 a a a a a a a a C I B H A D Hình 1 a 2a 2a J I H D B A C S K Hình 2 V y 3 .S ABCD V a = =  (  .v.t.t) 6 T # gi  thi  t suy ra (1 )(1 ) 1 4 a b ab a b + + = + + + = .  t , 0 a b x x + = > th  thì 2 2 ( ) 4 4(3 ) 2 x a b ab x x = + ≥ = −  ≥ (do 0 x > ) 0.25 B  t  ng th  c c  n ch  ng minh t  ng  ng v  i ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 3 3 12 1 3 10 0 2 1 1 a a b b a b a b a b a b a b a b + + + + + ≥ + − ⇔ + − + − + ≥ + + + + (1) 0.25 Do 2 2 2 ( ) 2 a b a b ab + = + − nên 2 2 2 2 2(3 ) 2 6, a b x x x x + = − − = + − do  ó (1) tr % thành 2 3 2 12 2 6 3 10 0 4 12 0 x x x x x x x + − − − + ≥ ⇔ − + − ≥ 0.25  ý r  ng 3 2 2 4 12 ( 2)( 6) 0 x x x x x x − + − = − + + ≥ nên b  t  ng th  c cu  i cùng luôn  úng. Suy ra  i ! u ph  i ch  ng minh. 0.25 7a  ng tròn ( ) C có tâm (1; 1) I − và bán kính 4 R = 0.25 Do 1 · · ·sin 4 3 2 ICB IC IB CIB S∠ = = nên 3 sin 2 CIB∠ = . T #  ó, do 0 90 CIB∠ ≤ và IC IB = nên tam giác CIB ! u, v  i  dài ba c  nh b  ng 4. B % i v y, bài toán quy v ! vi  t ph  ng trình  ng th  ng ∆  i qua (1 3;2) A + và cách (1; 1) I − m  t kho  ng b  ng 2 3. 0.25  ng th  ng ∆ có ph  ng trình ( 1 3) ( 2) 0 a x b y − − + − = v  i 2 2 0. a b + ≠ Ta có ph  ng trình 2 2 | 3 3 | 2 3 a b a b − − = + , t #  ó tìm  c 3 b a = 0.25 Ch  n 1, 3 a b= = , suy ra : 3 1 3 3 0. x y ∆ + − − = 0.25 8a M  t ph  ng ( ) P có véct  pháp tuy  n (3; 1;0) p = −  và m  t ph  ng ( ) Q có véct  pháp tuy  n (1;3;4) q =  0.25 Giao tuy  n d c  a (P) và (Q) có véct  ch  ph  ng [ ; ] ( 4; 12;10) 2(2;6; 5) u p q = = = − − = − −     0.25 Do d ∆  nên ∆ có véct  ch  ph  ng 1 · (2;6; 5) 2 v u = − = −   0.25 Do  ó, ∆ có ph  ng trình 4 2 2 6 5 x y z − − = = − 0.25 9a Tính 2 1 6 , 2 (3 ) z i az a a i = + = + 0.25 Suy ra 2 (2 1) (3 6) z az b a b a i + + = + + + + 0.25 T #  ó, có h  2 1 0 3 6 0 a b a + + =   + =  0.25 Gi  i h  , thu  c 2, 3 a b = − = và k  t lu n. 0.25 7b  ng tròn ω có tâm (3; 1) I − và bán kính 2 2 R = . 0.25 Gi  s & tìm  c  ng tròn 2 2 2 : ( 3) ( 4)x y ρ Γ − + − = th  a mãn yêu c  u. Khi  ó, do AB là dây cung chung, nên , AB IM ⊥ hay  ng th  ng AB nh n (0;5) IM =  làm véct  pháp tuy  n. H  n n $ a, I và M % v ! hai phía c  a AB. Do  ó,  ng th  ng AB có ph  ng trình d  ng 5 0 y c + = v  i 20 5 c − < < (1) 0.25 AB là c  nh c  a hình vuông n  i ti  p ω khi và ch  khi ( ; ) 2 2 R d I AB = = . T #  ó, k  t h  p v  i (1), tìm  c 5 c = − . Suy ra : 1 0. AB y − = 0.25 M  t khác AB là tr ' c  ng ph  ng c  a , ω Γ nên AB có ph  ng trình 2 23 0. 10 y ρ − + = T #  ó 2 13 ρ = , b % i v y 2 2 : ( 3) ( 4) 13 x y Γ − + − = 0.25 8b +  ng th  ng d  i qua (0; 2;0) M − , có véct  ch  ph  ng (1; 2;2) u = −  . Tính  c (1;4;3) MI =  0.25 + Kh  ng  nh và tính  c [ ; ] 233 ( ; ) | | 3 MI u d I d u = = =     0.5 + Kh  ng  nh m  t c  u c  n tìm có bán kính b  ng ( ; ) d I d và vi  t ph  ng trình 2 2 2 233 ( 1) ( 2) ( 3) 9 x y z− + − + − = 0.25 9b Vi  t l  i ph  ng trình v ! d  ng 2 2 2 ( 1) 5 5 0 z z + − − = 0.25 Khai tri  n, rút g  n, nhân t & hóa 2 2 ( 1)( 4) 0 z z + − = 0.5 Gi  i các ph  ng trình, thu  c z i = ± và 2 z = ± r  i k  t lu n. 0.25 . S GD-T VNH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Khi B,D VNH PHÚC Thi gian: 180. coi thi không gii thích gì thêm! S  GD-  T V  NH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN HD chm môn TOÁN