Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 257 BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH I. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích sin sin 2sin cos ; sin sin 2cos sin 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b + − + − + = − = cos cos 2 cos cos ; cos cos 2sin sin 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b + − + − + = − = − Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: ( ) sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2 1 x x x x x+ + = + + Giải ( ) ( ) ( ) 1 sin 2 sin sin 2 1 cos 2 cos x x x x x ⇔ + + = + + ( ) ( ) 2 2sin 2 cos sin 2 2 cos cos sin 2 2 cos 1 cos 2 cos 1 x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + ( )( ) { } 2 5 cos 2 cos 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2 ; 2 2 3 6 6 x x x x k k k k π π π π ⇔ + − = ⇔ ∈ + π ± + π + π + π Bài 2. Giải phương trình: ( ) 1 cos cos 2 cos 3 0 1 x x x+ + + = Giải ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 cos 2 cos 1 cos 3 0 2cos cos 2cos 0 2 2 2 x x x x x x ⇔ + + + = ⇔ + = ( ) 3 3 3 2 cos cos cos 0 4 cos cos .cos 0 2 2 2 2 2 x x x x x x ⇔ + = ⇔ = { } 2 ; 2 3 3 k x k π π π ⇔ ∈ + π + Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos10 cos8 cos 6 1 0 1 x x x− − + = Giải ( ) ( ) ( ) 1 cos10 cos 6 1 cos8 0 x x x ⇔ − + − = 2 2sin 8 sin 2 2 sin 4 4 sin 4 cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 cos 2 0 x x x x x x x x x ⇔ − + = − + = ( ) 4sin 4 sin 2 cos 4 cos 2 0 8sin 4 sin 2 sin 3 sin 0 x x x x x x x x ⇔ − − = ⇔ = { } sin 3 0 sin 4 0 ; 3 4 k k x x x π π ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ Bài 4. Giải phương trình: ( ) 9sin 6 cos 3sin 2 cos 2 8 1 x x x x+ − + = Giải ( ) 2 1 9sin 6 cos 6sin cos 1 2sin 8 x x x x x ⇔ + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0 x x x x x x x x ⇔ + − − − = ⇔ − + − − = ( ) ( ) 1 sin 6cos 2sin 7 0 x x x ⇔ − + − = Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 258 a) Xét 1 sin 0 sin 1 2 2 x x x k π − = ⇔ = ⇔ = + π b) Xét: ( ) 6 cos 2sin 7 0 2 2 sin 6 cos 7 x x x x + − = ⇔ + = Do ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 40 49 7 2 a b c+ = + = < = = ⇒ vô nghiệm Vậy nghiệm của (1) là ( ) 2 2 x k k π = + π ∈ » Bài 5. Giải phương trình: ( ) 1 sin cos 3 cos sin 2 cos 2 1 x x x x x+ + = + + Giải ( ) ( ) ( ) 1 1 cos 2 cos 3 cos sin sin 2 0 x x x x x ⇔ − + − + − = ( ) 2 2sin 2sin2 sin sin 2sin cos 0 sin 2sin 2sin 2 1 2cos 0 x x x x x x x x x x ⇔ − + − = ⇔ − + − = ( ) ( ) [ ] ( )( ) sin 2sin 1 2 cos 1 2 cos 0 sin 1 2 cos 2 sin 1 0 x x x x x x x ⇔ − + − = ⇔ − + = { } 7 1 1 sin 0 cos sin ; 2 ; 2 ; 2 2 2 3 6 6 x x x x k k k k π π π ⇔ = ∨ = ∨ = − ⇔ ∈ π ± + π − + π + π Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 sin 4 sin 3 sin = 6 2 x x x π − + + (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin 3 sin sin 4 sin 0 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 0 6 6 6 x x x x x x x π π π ⇔ + + − − = ⇔ − − = ( ) { } 2 2sin 2 cos cos 2 0 ; 2 6 18 3 6 k x x x x k π π π π   ⇔ − − = ⇔ ∈ + + π     Bài 7. Giải phương trình: ( ) 1 cos 2 2cos 3 2 x x π − + = − (1) Giải ( ) ( ) 1 cos 2 cos cos cos 0 3 3 x x x π π ⇔ − + + + = ( ) ( ) ( ) { } 3 2 2 cos cos cos 0 2 ; 6 2 6 2 6 2 3 2 x x x x k k π π π π π   ⇔ − − + + = ⇔ ∈ − + π + π     Bài 8. Giải phương trình: 2sin cos 3 sin 2 1 sin 4 x x x x + + = + (1) Giải ( ) 1 2sin cos 3 1 sin 4 sin 2 2sin cos 3 1 2 cos 3 sin x x x x x x x x ⇔ + = + − ⇔ + = + ( ) ( ) { } 5 2 1 2sin 1 cos3 1 0 sin cos3 1 2 ; 2 ; 2 6 6 3 k x x x x x k k π π π ⇔ − − = ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + π + π Bài 9. Giải phương trình: 1 sin cos 2 tan cos x x x x + + = + (1) Giải ( ) ( ) ( ) 1 1 sin cos 1 1 0 2 cos x x x k x ⇔ + − − = ⇔ = π Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 259 II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1. Công thức sử dụng ( ) ( ) sin sin cos cos a b a b a b = − − + ; ( ) ( ) cos .cos cos cos a b a b a b = − + + ( ) ( ) sin cos sin sin a b a b a b = + + − ; ( ) ( ) cos sin sin sin a b a b a b = + − − 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) sin 3 cos sin 3 2 1 x x x+ = Giải ( ) ( ) ( ) 3 1 1 sin sin 3 3 cos sin 3 2 cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 2 2 2 x x x x x x x x ⇔ + = ⇔ − + + = 3 3 1 1 cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 2 2 2 2 2 x x x x     ⇔ + − − =         ( ) ( ) ( ) ( ) cos 2 cos 4 3 cos 2 cos 4 1 3 3 3 3 x x x x π π π π ⇔ − − + = ⇔ − = − + = 6 x k π ⇔ = + π Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 cos .sin sin cos 2 1 6 6 x x x x π π + − = Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 cos 2sin sin cos 2 2 cos cos 2 cos cos 2 6 6 3 x x x x x x x π π π   ⇔ + − = ⇔ − =     1 2 cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 2 2 x x x x x x x x ⇔ − ⋅ = ⇔ + − = ( ) 2 cos 3 cos 2 5 k x x x k π ⇔ = ⇔ = ∈ » Bài 3. Giải phương trình: 3 1 8sin cos sin x x x = + (1) Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Với điều kiện (2) thì (1) ( ) 8sin sin cos 3 sin cos x x x x x = + ( ) sin sin 2 3 sin cos 2 cos cos 3 3 sin cos x x x x x x x x ⇔ = + ⇔ − = + 3 1 cos 3 sin 2 cos 3 cos sin cos 3 2 2 x x x x x x ⇔ − = ⇔ − = ( ) cos cos sin sin cos 3 cos cos 3 3 3 3 x x x x x π π π ⇔ − = ⇔ + = { } ; 12 2 6 n x n π π π ⇔ ∈ − + + π Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 260 Bài 4. Giải phương trình: ( ) cos 3 .tg 5 sin 7 1 x x x= Giải Điều kiện: ( ) cos 5 0 5 2 2 10 5 k x x k x π π π ≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ + Với điều kiện (2) thì ( ) sin 5 1 cos 3 sin 7 cos 5 x x x x ⇔ ⋅ = 2sin 5 cos 3 2sin 7 cos 5 sin 8 sin 2 sin12 sin 2 x x x x x x x x ⇔ = ⇔ + = + { } 12 8 2 sin 8 sin12 ; 2 20 10 12 8 2 x x k n n x x x x k = + π  π π π ⇔ = ⇔ ⇔ ∈ +  = π − + π  Thử các nghiệm vừa tìm vào điều kiện (2): 10 5 k x π π ≠ + Với 2 n x π = , xét phương trình 5 1 2 2 10 5 n k n k π π π = + ⇔ = + ( ) ( ) 5 2 1 5 2 5 1 2 2 5 1 2 2 n k n k n k − = ⇔ − = × − × ⇔ − = − ( ) 2 1 5 2 n m m k m = +  ⇔ ∈  = +  » Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì ( ) x m m= π ∈ » Với 20 10 n x π π = + , xét phương trình 10 5 10 20 k n π π π π + = + ( ) 4 2 1 2 2 2 1 k n n k ⇔ + = + ⇔ − = vô nghiệm ,n k ∈ » Suy ra nghiệm 20 10 n x π π = + thỏa mãn điều kiện (2) Bài 5. GPT: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 sin sin sin 4 3cos cos cos 2 3 3 3 3 x x x x x x π π π π + − + + + = (1) Giải ( ) ( ) 2 1 2sin cos 2 cos 2 3 cos cos 2 cos 2 3 3 x x x x π π     ⇔ − − + π + =         ( ) 1 2 sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 2 2 x x x x ⇔ + − − + = ( ) ( ) sin 3 sin sin 3 sin 3 cos 3 cos 2 x x x x x x ⇔ − + + + − = 3 1 sin 3 3 cos3 2 sin 3 cos 3 1 2 2 x x x x ⇔ + = ⇔ + = ( ) cos cos 3 sin sin 3 1 cos 3 1 6 6 6 x x x π π π ⇔ + = ⇔ − = 2 3 2 3 2 6 6 18 3 k x k x k x π π π π ⇔ − = π ⇔ = + π ⇔ = + Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 261 Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 sin 3 1 4sin 1 1 x x− = Giải Nếu cos 0 x = là nghiệm của (1) thì sin 1 x = ± khi đó ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3sin 4 sin 1 4 sin 6 VT x x x = − − = ± ⇒ Vô lý Nhân 2 vế của (1) với cos 0 x ≠ ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2sin 3 1 4sin cos cos 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos x x x x x x x x   ⇔ − = ⇔ − − =   ( ) ( ) 3 2sin3 4cos 3cos cos 2sin3 .cos3 cos sin6 cos sin 2 x x x x x x x x x x π ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = − ( ) 2 6 2 14 7 2 6 2 2 10 5 k x x x k k k x x k x π π π   = + = − + π   ⇔ ⇔ ∈   π π π = + + π = +     » Bài 7. Giải phương trình: cos 2 cos 4 cos 6 cos .cos 2 .cos 3 2 x x x x x x + + = + (1) Giải ( ) ( ) 1 1 cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2 2 x x x x x x ⇔ + + = + + 2 1 1 cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2 2 2 x x x x x x ⇔ + + = + + ( ) ( ) 1 1 cos 3 cos 4 cos 6 1 cos 6 cos 4 cos 2 2 4 4 x x x x x x ⇔ + + = + + + + ( ) 3 9 cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 cos 6 3 4 4 x x x x x x ⇔ + + = ⇔ + + = cos 2 cos 4 cos 6 1 cos 2 1 x x x x x k ⇔ = = = ⇔ = ⇔ = π Bài 8. Giải phương trình: 3 3 1 cos .cos .cos sin sin sin 2 2 2 2 2 x x x x x x − = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 cos cos 2 cos sin cos cos 2 2 2 2 x x x x x x ⇔ + − − = ( ) ( ) cos cos 2 cos sin cos cos 2 1 x x x x x x ⇔ + − − = ( ) ( ) 2 cos 2 cos sin 1 sin sin cos 1 x x x x x x ⇔ + + − − = ( ) ( ) cos 2 cos sin sin sin cos 0 x x x x x x ⇔ + − + = ( )( ) ( ) ( ) 2 cos sin cos 2 sin 0 cos sin 1 2sin sin 0 x x x x x x x x ⇔ + − = ⇔ + − − = ( ) ( ) { } 1 tan 1 sin 1 sin ; ; 1 1 2 4 2 6 k x x x x k k k −π −π π − ⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ ∈ + π + π − + + π Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 262 Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 5 sin 5 cos .sin 1 2 2 x x x= Giải Nếu cos 0 2 x = là nghiệm thì sin 1 2 x = ± và cos 1 x = − nên từ (1) ⇒ 5 sin 1 2 x = ± : Vô lý. Nhân 2 vế của (1) với ( ) 2 cos 0 2 x ≠ ta có: ( ) ( ) 3 3 5 1 2sin cos 5cos 2 sin cos sin 3 sin 2 5 cos .sin 2 2 2 2 x x x x x x x x x ⇔ = ⇔ + = ( ) 3 3 3sin 4 sin 2 sin cos 5 cos sin x x x x x x ⇔ − + = [ ] 3 2 0 sin 5cos 4 cos 2 cos 1 x x x x ⇔ = − − + ( ) ( ) 2 sin cos 1 5 cos cos 1 x x x x = − + − Xét: sin 0 cos 1 x x =   =  với chú ý cos 0 2 x ≠ nên sin 0 2 cos 1 x x  =   =  ta có nghiệm 2 x k = π Xét 2 1 21 1 21 5cos cos 1 0 cos cos cos cos 10 10 x x x x − − − + + − = ⇔ = = α ∨ = = β ( ) 2 ; 2x k x k k⇔ = ±α + π = ±β + π ∈ » Bài 10. Giải phương trình: tan 3 cot 4 sin 3 cos x x x x   − = +   (1) Giải ( ) ( ) sin 3cos 1 4 sin 3 cos cos sin x x x x x x ⇔ − = + 2 2 3 sin 3cos 1 8 sin cos cos sin 2 2 x x x x x x   − ⇔ = +     . Điều kiện: sin 2 0 3 k x x π ≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) 3 1 cos 2 1 cos 2 4sin 2 cos sin sin cos 2 2 3 3 x x x x x + − π π − = + ( ) ( ) ( ) 1 2 cos 2 4 sin 2 sin 2 cos cos 3 3 3 3 x x x x x π π π   ⇔ − − = + = − − +     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos cos2 cos cos 3 cos2 cos cos 3 cos 0 3 3 3 3 3 3 x x x x x x π π π π π π   ⇔ − = − − + ⇔ + − − + + =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 cos cos cos 4 cos sin sin 0 2 6 2 6 2 2 2 6 3 2 6 x x x x x x π π π π π π  − + − + = − + + =     ( ) ( ) ( ) { } 3 4 2 sin 0 sin 0 cos 0 ; 2 6 3 2 6 3 9 3 x x k x x k π π π −π π π ⇔ + = ∨ + = ∨ − = ⇔ ∈ + π + . Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 263 . Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 257 BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH I. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành. + − − = ⇔ = π Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 259 II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1. Công thức sử dụng ( ) ( ) sin