Đang tải... (xem toàn văn)
Hiện nay bộ môn Vật lí lí thuyết hiện đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lí và đặc biệt là sinh viên Khoa Vật lí quan tâm. Nó là một phần không thể thiếu của Vật lí học. Sinh viên sau khi học xong Vật lí đại cương được tiếp xúc và tìm hiểu học tập với các học phần Vật lí lí thuyết như: Điện động lực học, Vật lí thống kê, Cơ lượng tử, … Việc sử dụng các phép toán trong các môn học trên là điều rất quan trọng. Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, … Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép toán trên. Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu. Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r3)=4πδ3(r)”
MỤC LỤC PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2 I. Lý do chọn đề tài 3 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 IV. Phương pháp nghiên cứu 4 V. Đối tượng nghiên cứu 4 VI. Phạm vi giới hạn của đề tài 4 VII. Bố cục tiểu luận 4 PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 5 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 5 1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 5 1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac 5 1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ 8 1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 9 1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 14 1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức 3 3 4 r div r r 15 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC 17 Bài tập 1 17 Bài tập 2 18 Bài tập 3 21 Bài tập 4 22 Bài tập 5 28 Bài tập 6 32 Bài tập 7 33 PHẦN C: KẾT LUẬN 35 PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Hiện nay bộ môn Vật lí lí thuyết hiện đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lí và đặc biệt là sinh viên Khoa Vật lí quan tâm. Nó là một phần không thể thiếu của Vật lí học. Sinh viên sau khi học xong Vật lí đại cương được tiếp xúc và tìm hiểu học tập với các học phần Vật lí lí thuyết như: Điện động lực học, Vật lí thống kê, Cơ lượng tử, … Việc sử dụng các phép toán trong các môn học trên là điều rất quan trọng. Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, … Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép toán trên. Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu. Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r 3 )=4πδ 3 (r)” II. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng định nghĩa tính chất và một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac góp phần nâng cao hiệu quả học tập đồng thời làm phong phú thêm tư liệu học tập cho các bạn sinh viên. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của hàm Delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r 3 )=4πδ 3 (r). Đưa ra một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac. IV. Phương pháp nghiên cứu Tích cực, tự giác và chủ động trong học tập và nghiên cứu lý thuyết. Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan. Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu. Tranh thủ sự hướng dẫn của thầy giáo và sự góp ý của các bạn sinh viên để hoàn thành đề tài. V. Đối tượng nghiên cứu Định nghĩa và các tính chất, bài tập áp dụng của hàm Delta Dirac. VI. Phạm vi giới hạn của đề tài Đưa ra một số tính chất và định nghĩa của hàm Delta Dirac. Áp dụng để giải một số bài tập liên quan. VII. Bố cục tiểu luận Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo tiểu luận gồm 2 phần: Chương I: Cơ sở lí thuyết 1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức div(r/r 3 )=4πδ 3 (r). Chương II: Một số ví dụ về hàm Delta Dirac PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac Hàm bước đơn vị Heaviside được định nghĩa: 1, 0 0, 0 H (1) (hàm bằng đơn vị khi đối số là hàm dương và bằng không khi đối số là hàm âm) Hàm bước đơn vị Heaviside dùng để định nghĩa hàm xung: o o o 1 , x x H x x H x x (2) là hàm có độ cao 1 trong khoảng o x và o x ; và bằng không ở các vị trí khác. Đồ thị được biểu diễn trên hình 2. Hình 1: Hàm bước đơn vị Heaviside Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa: o o 0 lim . x x x x (3) Hàm Delta Dirac không phải là một hàm theo nghĩa thong thường. Hàm này bằng không ở mọi nơi, trừ tại điểm o x mà tại đó nó có giá trị vô hạn sao cho: 1 o x x dx . (4) Một tính chất khác của hàm Delta Dirac là: . o o x x f x dx f x (5) Thật vậy bằng định nghĩa hàm Delta Dirac ta có thể viết: 0 0 lim 1 =lim 0. 0. . o o o o o o x x x x x x x f x dx x x f x dx f x dx f x dx f x dx (6) Dùng định lí giá trị trung bình trong tích phân, chọn 0 1 ta có thể viết: 0 0 1 1 lim lim . o o x o o o x x x f x dx f x dx f x f x (7) Một tính chất khác là đạo hàm hàm bước Heaviside là hàm Delta Dirac: . o o dH x x x x dx (8) Thật vậy, điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa đạo hàm: 0 lim . o o o o o dH x x H x x dx H x x H x x x x Tích phân các hàm Delta Dirac được: 0, , . x o o o o x x x x dx H x x x x (9) Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm: Hình 2: Hàm o o o 1 , x x H x x H x x , , , 1 . o o o o o o n n n o o x x f x dx f x x x f x dx f x x x f x dx f x x x f x dx f x (10) Trong không gian 2 hoặc 3 chiều ta có các hàm Delta Dirac: 2 3 1, 1. o o o o o I x x y y dxdy I x x y y z z dxdydz (11) 1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ Hàm Delta Dirac này có thể biểu diễn trong các hệ trục tọa độ khác nhau. Ví dụ nếu chuyển sang hệ tọa độ cực: cos . sin x r dxdy rdrd y r (12) thì công thức 2 I có dạng: 2 2 0 0 o o I A r r rdrd . (13) Do đó có thể nói rằng, khi chuyển sang hệ tọa độ cực thì hàm o o x x y y chuyển thành hàm o o r r r . Nếu có tính chất đối xứng đối với biến thì hàm o o x x y y biến thành hàm 2 o r r r . Trong trường hợp 3 chiều, hàm Delta Dirac được biểu diễn trong cá hệ tọa độ cong như sau: Tọa độ trụ , , r z . o o o r r z z r Tọa độ trụ , , r z có tính đối xứng theo . 2 o o r r z z r Tọa độ cầu , , r . 2 o o o r r r Tọa độ cầu , , r có tính đối xứng theo . 2 2 sin o o r r r Tọa độ cầu , , r có tính đối xứng theo và . 2 4 o r r r 1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac Nói một cách đơn giản, hàm Delta Dirac x một chiều là hàm, bằng không tại điểm 0 x , còn tại 0 x nó phải như thế nào đó, sao cho: 1 x dx (14) Giá trị của hàm x tại 0 x phải bằng vô hạn, bởi vì nếu không, do độ đo của một điểm bằng không, tích phân đó sẽ bằng không. Ta thấy rằng trong định nghĩa của hàm Delta Dirac điều kiện tích phân (14) là có vai trò quan trọng chứ không phải giá trị của nó tại gốc tọa độ. Bằng cách tích phân từng phần, ta có: 0 n x x dx . (15) Cho nên, nên ( ) f x là một hàm khả giải tích và giới nội, ta sẽ có: ( ) 0 f x x dx f . (16) Hoặc tổng quát hơn: ( ) f x x a dx f a . (17) Chính từ tính chất này, hàm Delta Dirac được coi như là một phân bố hoặc một phiếm hàm xác định trên tập các hàm khả tích giới nội (hàm cơ sở). Bằng cách như vậy, hàm Delta Dirac chính là đạo hàm của hàm Heaviside như đã trình bày ở trên phần 1.1. Thực vậy: a a x a f x dx x a f x f x dx f a . (18) Trong số những công thức liên quan đến hàm Delta Dirac, ta thường sử dụng nhất các hệ thức sau đây: 1 x x . (19) Thực vậy, nếu 0 : 1 1 0 . x x f x dx x f dx f (20) Nếu 0 , ta có: [...]... trường ba chiều thì hàm r bằng tích của ba hàm Delta theo ba trục: r x y z (41) Dạng lượng giác của hàm này là: r 1 2 e dk hay k 3 irk k 1 e 2 3 k ikr dr (42) 1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức r div 3 4 3 r r Trong trường ba chiều thì hàm r bằng tích của ba hàm Delta theo ba trục:... (26) Như vậy: g x x g Tổng quát hóa, nếu hàm g là đều và có p không điểm i g i 0 , i 1,2, , p Khi đó: (27) x i g i i 1 p g x (28) Người ta thường dung biểu thức thể hiện tính đầy đủ hoặc tính trực chuẩn của hệ hàm riêng nào đó để biểu diễn hàm Delta Dirac Từ hệ hàm riêng đầy đủ, trực chuẩn bằng kí hiệu Kronecker n x , ta... Đặt hàm sóng của hạt tự do p r ipr Ae p k vào biểu thức: i p 2 * * p p p p A j m 2m Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng bằng hàm p p ta xác định được A 2 A e i px x p y p z y z i px x p y y p z z e dxdydz p p x py p y p p z x z Chú ý rằng theo tính chất của hàm Delta Dirac: ... Tương tự hàm sóng của hạt tự do, ta có thể biểu diễn hàm Delta Dirac ba chiều: r r 1 d q exp iq r r 2 3 3 (37) Với trường hợp một chiều: x 1 2 cos qx dq (38) 1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac Có thể chứng minh rằng x tương đương với giới hạn sau: x lim Lx , khi L x (39) Từ (39) ta có thể suy ra dạng lượng giác của hàm ... k k k 0 Sử dụng các công thức: * k (*) ikx e dx 2 k , cos kxdx k 2 và do đó hàm riêng chuẩn hóa của Hamitonian có Ta tìm được A dạng: k x 2 sin kx, x 0 Hàm riêng của Hamitonian sau khi chuẩn hóa về hàm E E sẽ có dạng: 1/4 2mE dk 2m E x k x 2 2 sin x dE 2 E Tính đầy đủ của hệ hàm k x , E... điện động lực và các môn Vật lí lí thuyết có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyết lẫn thực tiễn Ý nghĩa của đề tài khi đưa ra hàm Delta Dirac có thể nâng cao hiệu quả học tập của các bạn sinh viên và các bạn đọc yêu thích Vật lí Tuy nhiên do Tiểu luận làm trong thời gian ngắn, mặt khác do hạn chế về kiến thức bản thân nên việc trình bày không tránh khỏi những sai sót về nội dung và bài tập Vậy... hạt trong vùng 0 x L Hãy vẽ hàm sóng và mô tả trạng thái riêng năng lượng cực tiểu của hạt Nếu một hố thế năng đẩy dạng hàm delta, H x L / 2 0 được thêm vào tại tâm hố, hãy vẽ dạng hàm sóng mới và cho biết năng lượng của hệ sẽ tăng lên hay giảm đi Nếu năng lượng ban đầu là Eo , thì nó sẽ bằng bao nhiêu khi ? (Bài 1024, trang 36, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung... (29) n Ví dụ, từ hàm sóng chuẩn hóa của một hạt trong hộp một chiều có vách cao vô hạn ta có: 1 2n 1 x cos 2n 1 y a x a cos x y a n 0 2a 2a 0 x a, x a (30) Để đơn giản khi tiến hành kiểm tra xem hàm này có thỏa mãn tính chất của hàm hay không, ta chọn y 0 Khi đó , ứng với x 0 , và với những giá trị của n khác nhau, ta có họ các hàm 2n dưới dạng:... nhỏ GE x là hàm Green của hạt tự do đối với phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian với năng lượng E và các điều kiện biên của sóng đi ra (Bài 6016a, trang 498, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung Kuo Lim, Nhà xuất bản Giáo dục) Lời giải: Để giải phương trình Schrodinger một chiều không phụ thuộc vào thời gian: 2 d 2 E V 2 2m dx Ta định nghĩa hàm Green GE ... xo 0 xo xo 0 xo 0 Áp dụng vào bài toán này ta thu được: A B, o m Từ đó suy ra: m 2 Eo 2 Nghĩa là chỉ tồn tại một trạng thái duy nhất thuộc phổ dán đoạn Hàm sóng chuẩn hóa của trạng thái này có dạng: o x o exp o x o x o x Và là hàm chẵn: Với hàm sóng như trên ta sẽ thu được: m 2 U x x . của hàm Delta Dirac 5 1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac 5 1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ 8 1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac. 1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh