ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— NGUYỄN SỸ ĐÔNG ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011 Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày 08 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Vành, môđun Artin và Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Định lý Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 16 2.1 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Chiều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Chiều của vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Hệ tham số và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành với một phần nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn. Với tinh thần làm việc nghiêm túc, thầy đã tận tình giúp tôi có được phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, hiệu quả trong suốt quá trình xây dựng đề cương cũng như hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn và trường THPT Chi Lăng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành bản luận văn cũng như khóa học của mình. 2 Mở đầu Cho A là một vành Artin, R = A[x 1 , , x m ] là vành đa thức m biến với hệ số trong A. Khi đó R là một vành phân bậc. Nếu M = ⊕ n≥0 M n là một R- môđun phân bậc hữu hạn sinh thì M n là một A-môđun và  A (M n ) < +∞. Hơn nữa, với n đủ lớn thì  A (M n ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ. Kết quả này là nội dung của Định lí đa thức Hilbert. Đa thức Hilbert đóng một vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số; nó cho phép chúng ta nghiên cứu độ lớn, cấu trúc của môđun M thông qua những đại lượng số cụ thể như bậc của đa thức, hệ số của đa thức, Từ khi Định lí đa thức Hilbert được chứng minh đã có nhiều nhóm nghiên cứu về vấn đề này. Đa thức Hilbert trở thành một công cụ được nhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hoán và Hình học đại số quan tâm. Với lí do đó, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, tác giả luận văn chọn đề tài "Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether" làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học của mình. Nội dung chính của luận văn là trình bày Định lí đa thức Hilbert trên vành địa phương Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức, hệ số cao nhất của đa thức (thông qua số bội). Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này trình bày về vành và môđun Noether, Artin; vành và môđun phân bậc; Định lí Artin-Rees. Đây là những kiến thức cơ sở cho các chứng minh trong Chương 2, chương chính của luận 3 văn. Chương 2. Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether. Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều của môđun và vành địa phương; hệ tham số và số bội. Nội dung của chương là hệ thống một số kết quả quan trọng về đa thức Hilbert trên vành địa phương Noether. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS. Nguyễn Tự Cường và tham khảo thêm trong hai cuốn sách Commutative Algebra và Commutative Ring Theory của tác giả H.Matsumura. Bên cạnh đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết một số vấn đề được trình bày vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được trình bày. Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thức Hilbert, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết quả này. Tuy nhiên, do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến góp ý của các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả NGUYỄN SỸ ĐÔNG 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét các vành là giao hoán có đơn vị. 1.1 Vành, môđun Artin và Noether Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R-môđun. i) M được gọi là R-môđun Noether nếu với mọi dãy tăng các R-môđun con của M: M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ đều dừng, nghĩa là ∃n 0 ∈ N sao cho M i = M i+1 , ∀i ≥ n 0 . ii) M được gọi là R-môđun Artin nếu với mọi dãy giảm các R-môđun con của M: M 1 ⊇ M 2 ⊇ ⊇ M n ⊇ đều dừng, nghĩa là ∃n 0 ∈ N sao cho M i = M i+1 , ∀i ≥ n 0 . Nếu xét vành R như môđun trên chính nó thì R được gọi là vành Noether (Artin) khi R là R-môđun Noether (Artin). Khi đó, tập các môđun con của R-môđun R trùng với tập các iđêan của vành R. Định lý 1.1.2. Cho R là một vành. Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh. Chứng minh. (=⇒): Lấy N là môđun con bất kỳ của M. Đặt  là tập 5 tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong N. Ta thấy  = φ vì 0 ∈  , và mọi xích tăng các phần tử của  đều có chặn trên (do M là Noether) nên  có phần tử tối đại là N 0 . Suy ra N 0 ∈  và N 0 là hữu hạn sinh. Nếu N 0 = N thì ∃x ∈ N\N 0 , do đó R-môđun N 1 = N 0 +(x) là hữa hạn sinh và N ⊇ N 1 ⊃ N 0 , mâu thuẫn. Vậy N 0 = N. (⇐=): Giả sử  là tập khác φ các môđun con của R-môđun M. Lấy một xích tăng tùy ý trong  , chẳng hạn M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ (*). Đặt N = ∞  i=1 M i . Khi đó, N là môđun con của M suy ra N là hữu hạn sinh, sinh bởi các phần tử x 1 , , x k , x i ∈ N, ∀i = 1, k. Suy ra tồn tại n 0 sao cho x 1 , , x k ∈ M n 0 , do đó N ⊆ M n 0 và M t = M n 0 , ∀t ≥ n 0 , từ đó suy ra (*) dừng. Vậy M là R-môđun Noether. Định lý 1.1.3. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho R là vành Noether. Khi đó vành đa thức n biến R[x 1 , , x n ] cũng là vành Noether. Chứng minh. Vì R[x 1 , , x n ] = R[x 1 , , x n−1 ][x n ] nên ta chỉ cần chứng minh cho vành R[x] là vành Noether. Lấy tùy ý một iđêan I của R[x]. Ta chứng minh I là hữu hạn sinh. Đặt J = {a ∈ R|∃f(x) ∈ I, f(x) có hệ số cao nhất là a}. Suy ra J là iđêan của R. Vì R là vành Noether nên J là hữu hạn sinh, sinh bởi {a 1 , , a n }. Với mỗi a i ∈ {a 1 , , a n } tồn tại f i (x) ∈ I sao cho f i (x) = a i x n i + h i (x), với degh i (x) < n i , ∀i = 1, n. Đặt I  = (f 1 (x), , f n (x)) là iđêan của R[x] và r = Max{n i |i = 1, n}. Xét R-môđun con M = R + xR + + x r R của R[x]. Khi đó M là hữu hạn sinh và có một tập sinh là {1, x, , x r }, suy ra M là R-môđun Noether (do R là Noether, M là hữu hạn sinh trên R).Ta sẽ chứng minh I = I  + M ∩I. Hiển nhiên ta có I  + M ∩I ⊆ I . Mặt khác, lấy f(x) ∈ I, giả sử f(x) = ax h + g(x), với degg(x) < h. Khi đó a ∈ J = (a 1 , , a n ), suy ra a = b 1 a 1 +, , +b n a n , b i ∈ R, ∀i = 1, n. 6 Nếu deg f(x) = h > n thì f(x) = ( n  i=1 a i b i )x h + g(x). Xét hiệu f(x) − n  i=1 b i x h−n i f i (x) = g(x) ∈ I, deg g(x) < h. Sau hữu hạn bước như trên ta được đa thức h(x) có deg h(x) < r hoặc h(x) = 0 sao cho f(x) = f(x) + h(x), f(x) ∈ I  ⊆ I. Từ h(x) ∈ M và h(x) ∈ I suy ra h(x) ∈ M ∩I . Vậy I = I  +M ∩I và I là hữu hạn sinh, do đó R[x] là vành Noether. Từ đó suy ra R[x 1 , , x n ] là vành Noether. Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành. Một R-môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành. Khi đó độ dài của M, kí hiệu là (M), chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của M. Hệ quả 1.1.5. Giả sử N là một môđun con của một R-môđun M. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R-môđun có độ dài hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có (M) = (N) + (M/N). Chứng minh. (=⇒): Khi N = 0 hoặc N = M thì hiển nhiên kết luận của hệ quả là đúng. Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂ M là một xích của M, xích này có thể làm mịn thành một dãy hợp thành của M A : 0 = A 0 ⊂ A 1 ⊂ ⊂ A k = N ⊂ A k+1 ⊂ ⊂ A n = M. Khi đó xích 0 = A 0 ⊂ A 1 ⊂ ⊂ A k = N là một dãy hợp thành của N, suy ra N có độ dài hữu hạn. Vậy 0 = A k /N ⊂ A k+1 /N ⊂ A n /N = M/N (*) là dãy hợp thành của M/N do (A k+i+1 /N)/(A k+i /N) ∼ = A k+i+1 /A k+i , ∀i = 0, n − k − 1 là những môđun đơn. Từ chứng minh trên suy ra (M) = (N) + (M/N). 7 (⇐=): Giả sử 0 = A 0 ⊆ A 1 ⊆ ⊆ A k = N và 0 = B  0 ⊆ B  1 ⊆ ⊆ B  l = M/N lần lượt là hai dãy hợp thành của N và M/N. Gọi π : M → M/N là phép chiếu chính tắc và đặt B j = π − 1(B  j ), j = 1, l. Rõ ràng khi đó ta có π(B j ) = B  j và N ⊆ B 0 ⊆ B 1 ⊆ ⊆ B l = M vì B  j+1 /B  j là môđun đơn nên từ đẳng cấu (B j+1 /N)/(Bj/N) ∼ = B j+1 /B j suy ra B j+1 /B j ,j = 1, l là những môđun đơn. Vậy xích N ⊆ A 0 ⊆ A 1 ⊆ ⊆ A k = N ⊆ B  0 ⊆ B  1 ⊆ ⊆ B  l = M là một dãy hợp thành có độ dài hữu hạn và (M) = (N) + (M/N). Từ hệ quả trên ta có kết quả sau. Hệ quả 1.1.6. Cho T: 0 −−→ M 1 f 1 −−→ M 1 f 2 −−→ f n−1 −−→ M n −−→ 0 là một dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn M i . Khi đó n  i=1 (−1) i (M i ) = 0. Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.5 ta có (M i ) = (Ker f i ) + (M i / Ker f i ), ∀i = 1, n − 1 Mặt khác, ta biết rằng M i / Ker f i ∼ = Im f i , do đó (M i ) = (Ker f i ) + (Im f i ), ∀i = 1, n − 1. Suy ra n  i=1 (−1) i (M i ) = n−1  i=1 (−1) i (l(Ker f i ) + l(Im f i )) + (−1) n (M n ). 8 [...]... = N suy I n M = N = 0 ra N = 0 Áp dụng Hệ quả 1.3.5 ta có n≥o 15 Chương 2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 2.1 Đa thức Hilbert Ta biết rằng nếu A là vành Artin thì A là vành Noether do đó (A) < +∞ Xét vành đa thức m biến R = A[x1 , , xm ] với hệ số trong A Khi đó R là một vành phân bậc R = ⊕ Rn , trong đó R0 = A, Rn = {f ∈ R|f n≥0 là đa thức thuần nhất bậc n} Cho M = ⊕ Mn là một... vành Noether Định lý 1.2.5 Cho R là vành Noether và I là iđêan của R Khi đó i) R(I) và GI (R) là các vành phân bậc Noether ii) Với M là R-môđun Noether thì RM (I) là R(I)-môđun Noether, GI (M ) là GI (R)-môđun Noether Chứng minh i) R(I) là vành Noether Từ R(I) = ⊕ I n , I m I n ⊆ I m+n suy ra R(I) là vành phân bậc Ta có n≥0 0 (R(I))0 = I = R là vành Noether do R là vành Noether theo giả thiết Vì I là iđêan... {dim(R/p)i |pi tối tiểu trong {p1 , , pn } (3) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là vành Artin (ii) R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại (iii) R là vành Noether và dim R = 0 (4) Cho R là vành địa phương (R, m) Khi đó ta có dim R = ht(m) 22 (5) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó Rp là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất pRp Vậy dim Rp = ht(pRp ) Mặt khác Spec(Rp ) =... là Noether (ii =⇒ i): Từ điều kiện ii) suy ra R có dạng R = R0 [a1 , , an ], ai ∈ R, ∀i = 1, n Khi đó tồn tại toàn cấu vành ϕ : R0 [x1 , , xn ] −→ R0 [a1 , , an ] f (x1 , , xn ) −→ f (a1 , , an ) 11 Theo định cơ sở Hilbert thì R0 [x1 , , xn ] là vành Noether (do R0 là vành Noether) Mà R0 [a1 , , an ] ∼ R0 [x1 , , xn ]/ Ker ϕ là vành Noether suy ra = R0 [a1 , , an ] là vành Noether Vậy R là vành Noether. .. Max{dim(R/pi )|i = 1, 2, , k} = dim M Vậy d(M ) ≥ dim M Hệ quả 2.3.6 Nếu (R, m) là vành địa phương Noether thì dim R < +∞ 2.4 Hệ tham số và số bội Định nghĩa 2.4.1 Cho M là R-môđun, dim M = d Một hệ d phần tử x1 , , xd ∈ m gọi là hệ tham số của M nếu R (M/(x1 , , xd )M ) < +∞ Chú ý 2.4.2 (1) Định lý 2.3.5 đảm bảo hệ tham số của M luôn tồn tại (2) Nếu là một hệ tham số của M , I = (x1 , , xd ) thì I + AnnR M là... , , xn ]/ Ker ϕ là vành = Noether, do (R/I)[x1 , , xn ] là vành Noether theo định lí cở sở Hilbert Vậy GI (R) = là vành Noether Từ GI (R) = ⊕ I n /I n+1 và (I m /I m+1 )/(I n /I n+1 ) ⊆ I m+n /I m+n+1 , n≥0 suy ra GI (R) là vành phân bậc ii) RM (I) = ⊕ I n M là R(I)-môđun Noether n≥0 Từ RM (I) = ⊕ I n M và I n (I m M ) ⊆ I n+m M suy ra RM (I) là môđun n≥0 phân bậc Vì M là môđun Noether nên M là hữu... ) Theo Định lý đa thức Hilbert thì FM,I (n) = PM,I (n), với n là đa thức Hilbert Suy ra HM,I (n) = PM,I (n) khi n 0, PM,I (n) 0 Khi đó PM,I (n) gọi là Đa thức Hilbert- Samuel của M đối với I Mệnh đề 2.3.2 Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó bậc của Đa thức Hilbert- Samuel PM,I (n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I Chứng minh Giả sử I, J là hai iđêan... xi M nên F(M/N +xi M ) (n + 1) là đa thức với n đủ lớn Do vậy FM/N (n + 1) − FM/N (n) là một đa thức Đa thức PM (n) gọi là đa thức Hilbert của M Chú ý 2.1.5 Nếu f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ Z, ∀n ∈ Z và degf (n) = d Khi đó, tồn tại các số nguyên a0 = 0, a1 , , ad sao cho f (n) = a0 n+d n+d−1 − a1 + + (−1)d ad d d−1 Theo Định lý đa thức Hilbert, tồn tại các số nguyên e0 (M ) > 0, e1 (M ), ,... (A)  i=1 m+n−1 m−1   Định lý 2.1.4 (Định lý đa thức Hilbert) Cho A là một vành Artin, R = ⊕ Rn , là vành phân bậc với R0 = A, n≥0 Rn = {f ∈ R = A[x1 , , xm ]|f là đa thức thuần nhất bậc n}, M = ⊕ Mn n≥0 là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó tồn tại một đa thức PM (n) sao cho FM (n) = PM (n) khi n đủ lớn (n 0) Ngoài ra PM (n) là đa thức có hệ số hữu tỉ Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp... Noether Vậy R[a1 , , an ] = R(I) là vành Noether GI (R) là vành Noether Ta có (GI (R))0 = I 0 /I = R/I là vành Noether, vì R là vành Noether Do I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a1 , , an ), trong đó ai ∈ I, ∀i = 1, n Ta thấy ai = ai + I 2 là các phần tử thuần nhất cấp 1 12 của GI (R), ∀i = 1, n Mặt khác ta lại có GI (R) = (R/I)[a1 , , an ] Xét đồng cấu vành ϕ : (R/I)[x1 , , xn ] −→ (R/I)[a1 . 2. Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether. Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều của môđun và vành địa phương; hệ tham số. dụng Hệ quả 1.3.5 ta có  n≥o I n M = N = 0. 15 Chương 2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 2.1 Đa thức Hilbert Ta biết rằng nếu A là vành