Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình        .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình 2 3 2x 1 3 4x 2x 1 3 8x 1.        Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức         .2512411 22  xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.   2 3 7 n n 1 n 1.2 2.3 n n 1              Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1(  ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP  . _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Giải Vòng I Câu I 1)Giải hệ phương trình        .2 231283 22 22 yx xyyx        2 2 2 2 2 2 2 3x 8y 12xy 23 x y 0 17x 24x4 7y 0 x y 17x 7y 0 x y 7y x 17                        Với x y  ta có 2 2 2 2 x x 2 2x 2 x 1 x 1 y 1              Với 7y x 17  ta có 2 2 2 2 2 7 49y 338y 17 7 y y 2 y 2 2 y x 17 289 289 13 13                    Vậy nghiệm của hệ phương trình là     7 17 7 17 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; 13 13 13 13                 2) Giải phương trình 2 3 2x 1 3 4x 2x 1 3 8x 1.        (1) Đk 1 x 2         2 2 1 2x 1 3 4x 2x 1 3 2x 1 4x 2x 1           Đặt      2 2x 1 a 4x 2x 1 b a 3 1 a 3b 3 ab a 3 b 1 b 1                         Với a=3 2x 1 3 2x 1 9 x 4         Với b=1 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 2 2 2 x 0 4x 2x 1 1 4x 2x 1 1 4x 2x 0 1 x 2                   Vậy nghiệm của phương trình là x 4 x 0 1 x 2           Câu II 1)Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức         .2512411 22  xyyxxyyx                 2 2 2 2 2 2 2 1 x y x y 4xy 2 x y 1 xy 25 x y xy 1 2 x y 1 xy 25 x y 1 xy 25 x y 1 xy 5 x 1 y 1 5 x 0;y 4 x 4;y 0                                        Vậy các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài là     0;4 ; 4;0 2)Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.   2 3 7 n n 1 n 1.2 2.3 n n 1              Ta có     2 n n 1 1 1 n n 1 n n 1       Thay vào ta được     2 3 7 n n 1 1 1 1 A 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 1.2 2.3 n n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 2 2 3 n n 1 n 1                            n A n 1     Vậy   A n  (đpcm) Câu III Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 1)Ta có  0 AC cot ACB AC AB.cot30 2 3R AB      0 AB AB sin ACB BC 4R BC sin30     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AH AB AC 12R 4R 3R AH R 3        2) Ta có   ACB HAB  (cùng phụ với  CAH ) Mà   HAB HNB  (cùng bằng 1 2 số đo cung  HB )   HNB ACB  Từ đó tứ giác CMNH nội tiếp. Tâm đường tròn nội tiếp CMNH thuộc đường trung trực của CH cố định. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1(  ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP  . Ta có: Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath     2 2 1 a 1 b 9 (1 a)(1 b) 9 2 a b 4 4 2 a b 3 a b 1 2 a b 3 a b 5                                Áp dụng bất đẳng thức     2 2 2 2 2 2 a b c d a c c d        . Dấu bằng xảy ra khi a b c d  ;         2 2 2 2 2 2 a b 2 a b a b a b 2        (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)     4 2 4 4 2 2 2 a b 1 17 P 1 a 1 b 2 a b 4 4 4 4 2              Dấu bằng xảy ra khi 1 a b 2   . LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2 010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 12 0 phút (Không kể thời gian phát đề) . 1 1 1 A 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 1.2 2.3 n n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 2 2 3 n n 1 n 1                            n A n 1     Vậy