ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 Cho hàm số 4 2 2 2y x mx m m= + + + có đồ thị (C m ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 2m = − 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 4 2 4 0x x k− + = . 3. Tìm a để phương trình 4 2 3 4 log 0x x a− − = có 4 nghiệm phân biệt. 4. Dựa vào đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị hàm số 4 2 4 2y x x= − + 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a. Tại điểm có hoành độ bằng -2. b. Tại điểm có tung độ bằng -1. c. Tại điểm x o với ( ) '' 100f x = o d. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 84 205y x= − . e. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2011 16 y x= − + . f. Biết tiếp tuyến đi qua A ( ) 0;2 6. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1x = − . 7. Tìm m để hàm số có một cực trị. 8. Tìm m để hàm số có ba cực trị. 9. Tìm m để (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 10. Tìm m để (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. 11. Tìm m để (C m ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 BÀI GIẢI CHI TIẾT 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi = −2m . Với 2m = − , ta có : 4 2 4 2y x x= − + có đồ thị (C)  Tập xác định : D = R  Sự biến thiên:  Đạo hàm: 3 ' 4 8 ,y x x x D= − ∀ ∈ ( ) ( ) 3 0 2 ' 0 4 8 0 2 2 x y y x x x y  = = = ⇔ − = ⇔  = ± = −    Giới hạn: lim x y →−∞ = +∞ lim x y →+∞ = +∞  Bảng biến thiên:  Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;0− , ( ) 2;+∞ và nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 2−∞ − . ( ) 0; 2 Hàm số đạt cực đại tại 0x = và 2 CĐ y = Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = ± và 2 CT y = − Hàm số không có tiệm cận  Đồ thị :  Bảng giá trị: 2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình 4 2 4 0x x k− + = : Ta có : ( ) 4 2 4 0 *x x k− + = 4 2 4 2 2x x k⇔ − + = − + Gọi : 4 2 4 2y x x= − + có đồ thị (C), 2y k= − + là đường thẳng d vuông góc với Oy. Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (*) x ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 Dựa vào đồ thị (C), ta có:  2 2 4:k k − + < − ⇔ > phương trình (*) vô nghiệm.  2 2 4:k k− + = − ⇔ = phương trình (*) có 2 nghiệm.  2 2 2 0 4:k k − < − + < ⇔ < < phương trình (*) có 4 nghiệm.  2 2 0 :k k− + = ⇔ = phương trình (*) có 3 nghiệm.  2 2 0:k k − + > ⇔ < phương trình (*) có 2 nghiệm. 3/ Tìm a để phương trình 4 2 3 4 log 0− − =x x a có 4 nghiệm phân biệt. Ta có : ( ) 4 2 3 4 log *0x x a− − = 4 2 3 4 2 log 2x x a⇔ − + = + Gọi : 4 2 4 2y x x= − + có đồ thị (C), 3 log 2y a= + là đường thẳng d vuông góc với Oy. Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (*) Dựa vào đồ thị (C), ta có: Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt 3 3 1 2 log 2 2 4 log 0 1 81 a a a⇔ − < + < ⇔ − < < ⇔ < < Vậy : 1 ;1 81 a   ∈  ÷   thỏa yêu cầu đề bài. 4/ Từ đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị các hàm số 3 2 4 2y x x= − + Gọi 4 2 4 2y x x= − + có đồ thị (C 1 ) Ta có : ( ) 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 0 4 2 4 2 4 2 0 x x x x y x x x x x x  − + − + ≥  = − + =  − + − + <   − neáu neáu Đồ thị (C 1 ) gồm 2 phần:  Phần 1: Phần đồ thị (C) bên trên Ox.  Phần 2: Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) bên dưới Ox. Sau đó, bỏ phần đồ thị (C) bên dưới Ox. 5/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a/ Tại điểm có hoành độ bằng -2: Gọi ( ) ; o o M x y là tiếp điểm. Ta có: ( ) 2 2, ' 16 o o o x y f x= − ⇒ = = − Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 2 16 2 16 30y x y x− = − + ⇔ = − − Vậy: có 1 tiếp tuyến thỏa đề bài là 16 30y x= − − . b/ Tại điểm có tung độ bằng -1: ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 Gọi ( ) ; o o M x y là tiếp điểm. Ta có: 4 2 4 2 1 2 4 2 1 4 3 0 3 o o o o o o o x y x x x x x = ±  = − ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇔  = ±    ( ) 1 ' 4 o o x f x= − ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 1 4 1 4 3y x y x+ = + ⇔ = +  ( ) 1 ' 4 o o x f x= ⇒ = − . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 1 4 1 4 3y x y x+ = − − ⇔ = − +  ( ) 3 ' 4 3 o o x f x= − ⇒ = − . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) 1 4 3 3y x+ = − + 4 3 13y x⇔ = − −  ( ) 3 ' 4 3 o o x f x= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) 1 4 3 3y x+ = − 4 3 13y x⇔ = − Vậy: có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài là 4 3, 4 3, 4 3 13, 4 3 13y x y x y x y x= + = − + = − = − − c/ Tại điểm o x thỏa ( ) o '' 10 0=f x : Ta có: ( ) = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± 2 2 2 o '' 100 12 8 100 12 108 9 3 o o o o f x x x x x Gọi ( ) ; o o M x y là tiếp điểm.  ( ) 3 47, ' 84 o o o x y f x= − ⇒ = = − Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 47 84 3 84 205y x y x− = − + ⇔ = − −  ( ) 3 47, ' 84 o o o x y f x= ⇒ = = Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 47 84 3 84 205y x y x− = − ⇔ = − Vậy: có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài là 84 205, 84 205y x y x= − − = − d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 84 2011y x= + Gọi ( ) ; o o M x y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng : 84 2011d y x= + nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 84 Ta có: ( ) 3 0 0 0 ' 84 4 8 84f x x x= ⇔ − = ( ) ( ) 3 2 0 0 0 0 0 2 21 0 3 3 7 0x x x x x⇔ − − = ⇔ − + + = 0 0 2 0 0 3 0 3 3 7 0 : x x x x − =  ⇔ ⇔ =  + + =   phöông trình voâ nghieäm  3 47 o o x y= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 ( ) 47 84 3 84 205y x y x− = − ⇔ = − ( Trùng với đề bài ) Vậy: Không có tiếp tuyến thỏa đề bài. e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2011 16 y x= − + . Gọi ( ) ; o o M x y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 : 2011 16 d y x= − + nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 16 Ta có: ( ) 3 3 0 0 0 0 0 0 ' 16 4 8 16 2 4 0 2f x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = 0 2x = , ta có : 0 2y = . Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y y f x x x− = − ( ) 2 16 2 16 30y x y x− = − ⇔ = − Vậy: có 1 tiếp tuyến thỏa đề bài là 16 30y x= − . f/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 0;2). Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm đi qua A(0;2) và có hệ số góc k ( ) : 2 0 : 2y k x y kx∆ − = − ⇔ ∆ = + ∆ là tiếp xúc với (C) ⇔ hệ phương trình sau đây có nghiệm ( ) ( ) 4 2 3 4 2 2 1 4 8 2 x x kx x x k  − + = +   − =   Thay (2) vào (1) ta được: ( ) 4 2 3 4 2 0 4 4 8 3 4 0 2 3 x x x x x x x x x =   − = − ⇔ − = ⇔  = ±    0x = . Thay vào (2) ta được : 0k = : Phương trình tiếp tuyến: 2y =  2 3 x = − .Thay vào (2) ta được : 16 3 9 k = : Phương trình tiếp tuyến: 16 3 2 9 y x= +  2 3 x = .Thay vào (2) ta được : 16 3 9 k = − : Phương trình tiếp tuyến: 16 3 2 9 y x= − + Vậy: có 3 tiếp tuyến thỏa đề bài là 16 3 16 3 2, 2, 2 9 9 y y x y x= = + = − + . 6/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1x = − . 4 2 2 2y x mx m m= + + + Tập xác định : D = R. Đạo hàm : 3 ' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈ Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = − nên ( ) ( ) ( ) 3 ' 1 0 4 1 4 1 0 4 4 0 1y m m m− = ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ = − ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 Với 1m = − , ta có : 3 ' 4 4y x x= − , 2 '' 12 4y x= − ( ) ( ) 2 '' 1 12. 1 4 8 0y − = − − = > Suy ra : 1x = − là điểm cực tiểu. Vậy: 1m = − thỏa yêu cầu đề bài. 7/ Tìm m để hàm số có một cực trị: 4 2 2 2y x mx m m= + + + Tập xác định : D = R. Đạo hàm : 3 ' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈ ( ) 3 2 2 0 ' 0 4 4 0 4 0 x y x mx x x m x m =  = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −  Hàm số có một cực trị 0 0m m ⇔ − ≤ ⇔ ≥ Vậy: [ ) 0;m∈ +∞ thỏa yêu cầu đề bài. 8/ Tìm m để hàm số có ba cực trị: 4 2 2 2y x mx m m= + + + Tập xác định : D = R. Đạo hàm : 3 ' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈ ( ) 3 2 2 0 ' 0 4 4 0 4 0 x y x mx x x m x m =  = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −  Hàm số có ba cực trị 0 0m m⇔ − > ⇔ < Vậy: ( ) ;0m∈ −∞ thỏa yêu cầu đề bài. 9/ Tìm m để ( C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 4 2 2 2y x mx m m= + + + Tập xác định : D = R. Đạo hàm : 3 ' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈ ; ( ) 3 2 2 0 ' 0 4 4 0 4 0 x y x mx x x m x m =  = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −  (C m ) có ba điểm cực trị 0 0m m⇔ − > ⇔ < (*) . Khi 0m < , ta có: 2 x m x m= − ⇔ = ± −  2 0x y m m= ⇒ = +  x m y m= − − ⇒ =  x m y m= − ⇒ = Gọi ( ) 2 0;A m m+ , ( ) ;B m m− − , ( ) ;C m m− ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 4 AB m m= − , 4 AC m m= − , 2BC m= − Ta có: AB = AC. Suy ra: ABC∆ đều 2 2 AB BC AB BC⇔ = ⇔ = 4 3 3 4 3 3m m m m m⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = − ( thỏa (*)) Vậy: 3 3m = − thỏa yêu cầu đề bài. 10/ Tìm m để ( C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. 4 2 2 2y x mx m m= + + + Tập xác định : D = R. Đạo hàm : 3 ' 4 4 ,y x mx x D= + ∀ ∈ ; ( ) 3 2 2 0 ' 0 4 4 0 4 0 x y x mx x x m x m =  = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −  (C m ) có ba điểm cực trị 0 0m m⇔ − > ⇔ < (*) . Khi 0m < , ta có: 2 x m x m= − ⇔ = ± −  2 0x y m m= ⇒ = +  x m y m= − − ⇒ =  x m y m= − ⇒ = Gọi ( ) 2 0;A m m+ , ( ) ;B m m− − , ( ) ;C m m− 4 AB m m= − , 4 AC m m= − , 2BC m= − Ta có: AB = AC. Suy ra: ABC ∆ vuông cân ⇔ ABC ∆ vuông cân tại A 2 2 2 2 2 2.BC AB AC BC AB⇔ = + ⇔ = ( ) 4 4 4 2 2 2m m m m m⇔ − = − ⇔ = − 3 1 1m m⇔ = − ⇔ = − ( thỏa (*)) Vậy: 1m = − thỏa yêu cầu đề bài. 11/ Tìm m để ( C m ) cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và trục Ox 4 2 2 2 0x mx m m+ + + = (1) Đặt: 2 , 0t x t= ≥ . Khi đó phương trình (1) trở thành: 2 2 2 0t mt m m+ + + = (2) (C m ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 2 2 1 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 2 0 a m m P m m m m S m ≠  ≠    − > <  ∆ >    ⇔ ⇔ ⇔    > + > + >       > − >   0 0 -1 ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG 1 1m ⇔ < − Vậy: 1m < − thỏa yêu cầu đề bài. . cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. 11. Tìm m để (C m ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH PHONG. − + là đường thẳng d vuông góc với Oy. Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (*) x ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 12 BIÊN SOẠN: PHAN THANH