UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017 (Lƣu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017 LỜI NÓI ĐẦU Đối tƣợng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Kế toán, Quản trị kinh doanh sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng nhƣ tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng: Gồm chƣơng Học phần Vi Tích Phân đƣợc chia làm chƣơng: Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Mục tiêu môn học Trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tƣ logic, phƣơng pháp định lƣợng kinh tế kỹ thuật Cụ thể  Cung cấp cho ngƣời học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Khái niệm đại lƣợng vô bé – vô lớn áp dụng vào khử dạng vô định tính giới hạn; tính chất hàm số liên tục  Trang bị kiến thức đạo hàm, vi phân hàm biến Ứng dụng đƣợc qui tắc L‟Hospital khử dạng vơ định tính giới hạn khảo sát hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số Từ đó, vận dụng để giải số toán tối ƣu  Cung cấp kiến thức tích phân hàm biến phƣơng pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích vật thể  Trang bị cho sinh viên kiến thức phép tính vi phân hàm nhiều biến, làm sở cho việc nghiên cứu Toán học đại bậc Đại học mơn học khác có liên quan Tuy nhiên, giảng không khai thác sâu vấn đề lý thuyết mà mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý đƣợc phát biểu không chứng minh mà hƣớng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mơ hình hóa vấn đề thực tế thành toán Toán học Phƣơng pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt  Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết  Làm tập lớp : tiết  Tự học : 60 tiết MỤC LỤC Trang Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.2 Các phép toán hàm số 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ 1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn 1.1.3 Hàm số hợp hàm số ngƣợc 1.1.3.1 Hàm số hợp 1.1.3.2 Hàm số ngƣợc 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 10 1.1.4.1 Hàm lũy thừa y  x  ,   10 1.1.4.2 Hàm số mũ y  a x ,  a  11 1.1.4.3 Hàm số logarit y  loga x,  a  11 1.1.4.4 Các hàm số lƣợng giác 12 1.1.4.5 Các hàm lƣợng giác ngƣợc 12 1.2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1.2.1 Giới hạn dãy số 13 1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13 1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14 1.2.1.3 Các phép toán 15 1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy 16 1.2.2 Giới hạn hàm số 16 1.2.2.1 Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  ) 16 1.2.2.2 Giới hạn phía 17 1.2.2.3 Các giới hạn vô tận vô tận 18 1.2.2.4 Các tính chất giới hạn hàm số 18 1.2.2.5 Các phép toán 19  1.2.2.6 Các dạng vô định  ; ; 0.;     19 0   1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22 1.2.2.8 Đại lƣợng vô bé – đại lƣợng vô lớn 23 1.2.3 Tính liên tục hàm số 25 1.2.3.1 Định nghĩa 25 1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25 1.2.3.3 Hàm số liên tục đoạn – khoảng 26 1.2.3.4 Các phép toán hàm số liên tục 27 1.2.3.5 Tính chất hàm số liên tục 27 1.2.3.6 Ý nghĩa hình học hàm số liên tục 27 BÀI TẬP CHƢƠNG 28 Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 2.1 Đạo hàm hàm số 31 2.1.1 Đạo hàm 31 2.1.1.1 Định nghĩa 31 2.1.1.2 Đạo hàm phía 31 2.1.1.3 Mối liên hệ đạo hàm liên tục 32 2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32 2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho phƣơng trình tham số 33 2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33 2.1.2.1 Định nghĩa 33 2.1.2.2 Các phép toán 34 2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 34 2.1.2.4 Ý nghĩa đạo hàm (cấp cấp 2) 34 2.2 Vi phân hàm số 36 2.2.1 Vi phân 36 2.2.1.1 Định nghĩa 36 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36 2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36 2.2.2 Vi phân cấp cao 37 2.2.2.1 Định nghĩa 37 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 37 2.3 Các định lý phép tính vi phân 38 2.3.1 Đinh lý Rolle 38 2.3.2 Định lý Lagrange 38 2.3.3 Định lý Cauchy 38 2.3.4 Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) 39 2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 41 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41 2.3.5.2 Cực trị địa phƣơng hàm số 41 2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 43 2.3.5.4 Bài toán tối ƣu thực tế 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 48 Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50 3.1 Tích phân không xác định 51 3.1.1 Nguyên hàm tích phân không xác định 51 3.1.1.1 Định nghĩa 51 3.1.1.2 Định lý 51 3.1.1.3 Tính chất tích phân khơng xác định 51 3.1.2 Các phƣơng pháp tính 53 3.1.2.1 Phƣơng pháp phân tích 53 3.1.2.2 Phƣơng pháp đổi biến số 53 3.1.2.3 Phƣơng pháp tích phân phần 54 3.1.3 Tích phân số hàm thƣờng gặp 56 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 56 3.1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 59 3.1.3.3 Tích phân hàm số lƣợng giác 60 3.2 Tích phân xác định 62 3.2.1 Định nghĩa 63 3.2.2 Tính chất 63 3.2.3 Các định lý phép tính tích phân 64 3.2.4 Các phƣơng pháp tính tích phân xác định 64 3.2.5 Ứng dụng tích phân xác định 67 3.3 Tích phân suy rộng 72 3.3.1 Tích phân suy rộng loại (tích phân cận vô tận) 72 3.3.2 Tích phân suy rộng loại (hàm số dấu tích phân khơng bị chặn) 74 3.3.3 Một vài tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng 74 BÀI TẬP CHƢƠNG 78 Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80 4.1 Khái niệm hàm nhiều biến 81 4.1.1 Khái niệm không gian n 81 4.1.1.1 Định nghĩa 81 4.1.1.2 Các phép toán 81 4.1.2 Định nghĩa hàm hai biến 81 4.2 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 83 4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83 4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm biến (giới hạn kép giới hạn bội) 83 4.2.3 Tính chất (Tương tự hàm biến) 84 4.2.4 Tính liên tục hàm số 85 4.2.4.1 Định nghĩa 85 4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86 4.3 Đạo hàm hàm hai biến 86 4.3.1 Đạo hàm riêng 86 4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 86 4.3.1.2 Cách tính 87 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87 4.3.2.1 Định nghĩa 87 4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89 4.3.3 Đạo hàm hàm hợp 89 4.3.3.1 Định nghĩa 89 4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89 4.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 90 4.3.4.1 Định nghĩa 90 4.3.4.2 Định lý tồn hàm ẩn 90 4.3.4.3 Đạo hàm hàm ẩn 91 4.4 Vi phân hàm hai biến 93 4.4.1 Sự khả vi 93 4.4.1.1.Định nghĩa 93 4.4.1.2 Mối liên hệ liên tục khả vi 93 4.4.2 Vi phân toàn phần 94 4.4.2.1 Định nghĩa 94 4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94 4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần 94 4.4.3 Vi phân cấp cao 95 4.4.3.1 Định nghĩa 95 4.4.3.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 95 4.4.4 Công thức Taylor 96 4.5 Cực trị hàm hai biến 97 4.5.1 Cực trị địa phƣơng 97 4.5.1.1 Định nghĩa 97 4.5.1.2 Điều kiện cần cực trị 98 4.5.1.3 Điều kiện đủ cực trị 99 4.3.5.4 Ứng dụng vào toán Kinh tế biến 100 4.5.2 Cực trị có điều kiện 102 4.5.2.1 Định nghĩa 102 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 102 a) Phƣơng pháp 102 b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 103 4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 105 BAI TẬP CHƢƠNG 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ  Mục đích yêu cầu Chƣơng cung cấp cho ngƣời học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Các phép tốn tính giới hạn Khái niệm đại lƣợng vô bé – vô lớn áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất hàm số liên tục Sau học xong chƣơng này, Sinh viên cần đạt đƣợc: - Hệ thống hóa kiến thức giới hạn dãy số, hàm số, phép tốn việc thực tính giới hạn Hiểu vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải đƣợc giới thiệu dạng toán, vấn đề, áp dụng công thức giới hạn đặc biệt đƣợc giảng dạy - Hiểu vận dụng đƣợc phép tính đại lƣợng vơ bé (VCB), vô lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định tính giới hạn - Hiểu đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, tính chất hàm số liên tục đoạn a, b  - Làm đƣợc tập tƣơng tự  Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, tính chất đặc biệt hàm số, đồ thị hàm số sơ cấp Ôn lại kiến thức tính giới hạn, tính liên tục hàm số (lớp 11) 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X,Y  ; X,Y   , hàm số f qui luật cho ứng với giá trị biến x  X có giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x ) * Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau: f : X Y y  f (x ) x (1.1.1)  Biến x đƣợc gọi biến độc lập  y  f (x ) đƣợc gọi biến phụ thuộc  Tập D  x  | f (x ) có nghĩa} đƣợc gọi miền xác định hàm số    Tập Y  f (X )  f (x ) | x  X đƣợc gọi miền giá trị hàm số * Đồ thị hàm số y  f (x ) tập hợp điểm có tọa độ (x, f (x )) hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G  M (x, f (x )) : x  X  Ví dụ 1: Tìm miền xác định hàm số sau Miền xác định: D  a) y  2x  b) y  2x x 1 Miền xác định: D  x 3 Hàm số có nghĩa khi: c) y  2x  Vậy miền xác định D   3;   \ 21  \ 1;1  x  3  x    2x      x     Chú ý: Hàm số y  f (x ) mô tả mối liên hệ hai đại lƣợng x y Ví dụ : * Xét chuyển động có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ thời gian chuyển động t(h) quãng đường s(km) chuyển động hàm số s  s(t )  60t * Khi nuôi bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian ni t(tuần) trọng lượng m(kg) bò hàm số m  m(t ) 1.1.1.2 Các phép toán hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có miền xác định D Khi đó, ta xác định hàm số sau : (f  g )(x )  f (x )  g(x ) , (x  D) (1.1.2) i) ii) (f g )(x )  f (x ).g(x ) , (x  D) (1.1.3) f (x ) f   g  (x )  g(x )   lần lƣợt gọi tổng, hiệu, tích, thƣơng f g iii) (g(x )  0, x  D) (1.1.4) 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) đƣợc gọi đơn điệu tăng (hay giảm) miền D với cặp số x1, x thuộc miền D từ x1  x2 suy f (x1)  f (x ) (hay f (x1)  f (x ) ) Nếu từ x1  x2 suy f (x1)  f (x ) (hay f (x1)  f (x ) ) ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) miền Ví dụ 3: Hàm y  f (x )  x tăng nghiêm ngặt khoảng  0;   Thật vậy, giả sử x1, x   0;   x1  x2 Xét f (x1)  f (x )  x12  x 22  (x1  x )(x1  x )  x1  x2 Suy f (x1)  f (x ) Vậy hàm số cho tăng nghiêm ngặt  0;    Q  Chú ý: Đồ thị hàm số đơn điệu tăng (giảm) lên (xuống) theo hƣớng từ trái qua phải y y O a b x O Đồ thị hàm số tăng a b Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định tập đối xứng D (x  D x  D ) Khi đó:  f đƣợc gọi chẵn với x  D , ta có: f (x )  f (x )  f đƣợc gọi lẻ với x  D , ta có: f (x )   f (x ) Ví dụ 4: x * Hàm số y  f (x )  cos x  x  x hàm số chẵn * Hàm số y  g(x )  x  x hàm số lẻ Khi f (x 0, y0 ) đƣợc gọi cực đại (cực tiểu) địa phƣơng f Các giá trị cực đại, cực tiểu địa phƣơng đƣợc gọi chung cực trị địa phƣơng hàm số * Điểm dừng Điểm M 0(x 0, y0 ) đƣợc gọi điểm dừng hàm số z  f (x, y) f 'x (x 0, y0 )  f 'y (x 0, y0 )  (4.5.2) * Điểm kì dị Điểm M 0(x 0, y0 ) đƣợc gọi điểm kì dị hàm số z  f (x, y) f 'x (x 0, y0 ) f 'y (x 0, y0 ) (4.5.3) Ví dụ 23: Tìm điểm dừng hàm số f (x, y)  x  y  4xy Giải: Tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình 3   x  0; x  1; x   f 'x  4x  4y  y  x     y  x3 ' f y x x x        y    x  1  y  1 x   y  x   y   Vậy ta có điểm dừng M1(1, 1); M2(0, 0); M 3(1,1) 4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định lý FERMAT: Nếu f (x 0, y0 ) đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 ) f có đạo hàm riêng M 0(x 0, y0 )  f 'x (x 0, y )    f 'y (x 0, y )  (4.5.4)  Nhận xét Định lý điều kiện cần, nghĩa đạo hàm riêng (x 0, y0 ) (là điểm dừng) ta chƣa kết luận đƣợc (x 0, y0 ) điểm cực trị hàm số Ví dụ 24: Tìm cực trị hàm số b) z  x  y a) z  xy Giải  x  z 'x  y     điểm M (0, 0) điểm dừng a) Tìm điểm dừng:  y  z ' x   y     98 Hàm số không đạt cực trị M (0, 0) lân cận điểm M ln có điểm (x,y) cho x  0; y  , z(x, y)   z(0, 0) Mặt khác tồn điểm (x,y) cho x  0; y  , z(x, y)   z(0, 0) b) Ta có: f (x, y)   f (0, 0) (x, y) Do đó, hàm số đạt cực tiểu điểm M  0,  Mặt khác: Điểm M  0,  điểm kì dị f (0  x, 0)  f (0, 0) x  lim x 0 x 0 x x   z 'x (0, 0),  z 'y (0, 0) Thật vậy: z 'x (0, 0)  lim 4.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị Định lý: Giả sử z  f (x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm M 0(x 0, y0 ) , với M 0(x 0, y0 ) điểm dừng hàm số f (x, y ) Gọi A  f ''xx (x 0, y0 ) Khi đó:   AC  B2  Nếu   f khơng đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 ) B  f ''xy (x 0, y0 ) C  f ''yy (x 0, y0 )  Nếu   f đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 )  A  : f đạt cực đại  A  : f đạt cực tiểu  Nếu   chƣa kết luận, cần phải khảo sát thêm Ví dụ 25: Tìm cực trị hàm số b) z  (x  y )2  (x  y )3 a) z  x  y  3xy Giải a) * Tập xác định: D  * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình z 'x  3x  3y  x  x       y0 y 1 z 'y  3y  3x        Ta đƣợc hai điểm dừng M1(0, 0) M2(1,1) * Ta có: z ''xx  6x z ''xy  3 z ''yy  6y * Xét M1(0, 0) A  z ''xx (0, 0)  B  z ''xy (0, 0)  3 Suy   AC  B2  9  99 C  z ''yy (0, 0)  Do đó, hàm số khơng đạt cực trị M1(0, 0) * Xét M2(1,1) A  z ''xx (1,1)  B  z ''xy (1,1)  3 C  z ''yy (1,1)  Suy   AC  B2  36   27  Mà A   nên hàm số đạt cực tiểu M2(1,1) zCT  1 b) * Tập xác định: D  * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình  z 'x  2(x  y )  3(x  y )2  x      y0 z 'y  2(x  y )  3(x  y )2      Ta đƣợc điểm dừng M (0, 0) * Ta có: z ''xx   6(x  y)  A  z ''xx (0, 0)  z ''xy  2  6(x  y)  B  z ''xy (0, 0)  2 z ''yy   6(x  y)  C  z ''yy (0, 0)  Suy   AC  B2  * Trƣờng hợp ta phải khảo sát thêm phƣơng pháp khác Trong lân cận M (0, 0) tồn điểm (h, h ) cho: z (h, h )  8h  h  z(h, h )  h  Tức là, hàm số đổi dấu Do đó, M (0, 0) điểm cực trị hàm số z Vậy z không đạt cực trị điểm M (0, 0) ?  Tìm cực trị hàm số: z  f (x, y)  x  y  xey ? 4.3.5.4 Ứng dụng vào toán Kinh tế biến Bài tốn tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại Một công ty kinh doanh độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu QD1  D1(P1, P2 ); QD2  D2(P1, P2 ) (*) hàm chi phí C  C (Q1,Q2 ) P1, P2 giá loại sản phẩm thị trường, Q1,Q2 sản lượng loại sản phẩm đơn vị thời gian Hãy tìm sản lượng sản xuất Q1,Q2  để công ty đạt lợi nhuận lớn  Phương pháp giải Với sản lƣợng Q1,Q2  đơn vị thời gian Để bán hết số sản phẩm P1, P2 công ty phải bán với đơn giá cho QD1  QS1  Q1; QD2  QS2  Q2 100 P1 B1: Từ phƣơng trình (*) xem P1, P2 ẩn số, ta tính đƣợc  theo Q1, Q2 P2 B2: Suy : Hàm doanh thu : R(Q1,Q2 )  P1.Q1 + P2.Q2 Hàm lợi nhuận : L  R(Q1,Q2 ) - C (Q1,Q2 ) B3: Ta tìm Q1, Q2  hàm L đạt giá trị lớn Ví dụ 26: Doanh nghiệp tƣ nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền loại sản phẩm võng xếp giƣờng xếp Thông tin xƣởng sản xuất cung cấp nhƣ sau : 1 + Hàm cầu : Q1  14  P1 võng xếp ; Q2  24  P2 giƣờng xếp + Hàm tổng chi phí : C  Q12  5Q1.Q2  Q22 (trong : Q1 số lƣợng võng xếp giá P1 Q2 số lƣợng giƣờng xếp giá P2 ) Hỏi doanh nghiệp nên định giá bán loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa (đơn vị :10.000 đ/ sản phẩm) Giải * Muốn bán hết số sản phẩm Q1, Q2  cơng ty phải bán với đơn giá P1, P2 cho : Q  14  P P1  56  4Q1      P Q 48 2  Q2  24  P2   * Doanh thu : R  P1.Q1  P2.Q2   56 - 4Q1 Q1   48 - 2Q2 Q2 * Lợi nhuận : L  R(Q1,Q2 ) - C (Q1,Q2 )  (56 - 4Q1).Q1  (48 - 2Q2 ).Q2 - Q12 - 5Q1.Q2 - Q22  56Q1  48Q2 - 5Q12 - 3Q22 - 5Q1Q2  Bài tốn đƣa tìm Q1, Q2  cho Lmax  ? * Tìm điểm dừng ' LQ    56  10Q1  5Q2  10Q1  5Q2  56    ' 5Q1  6Q2  48 LQ2  48  6Q2  5Q1      Q  96   35  Q2  40   * Ta có " " " A  LQ  10; B  LQ  5; C  LQ  6 1Q1 Q2 2Q2    AC - B2  60  25  35  A  10  nên hàm L(Q1,Q2 ) đạt cực đại điểm (3, 6) 101 Vậy doanh thu đạt lợi nhuận tối đa mức giá : 96 1576 P1  56    45 (đơn vị :10.000 đ = 450.000 đ/sp) 35 35 40 256 P2  48    36, (đơn vị :10.000 đ = 365.000 đ/sp) 7 4.5.2 Cực trị có điều kiện Sự khác biệt cực trị địa phƣơng cực trị ‘có điều kiện’ (hay “có ràng buộc”) thay cho so sánh giá trị hàm số điểm M 0(x 0, y0 ) với giá trị điểm thuộc lân cận điểm M , ta so sánh với giá trị thoả điều kiện (thƣờng phƣơng trình dạng g(x, y)  (phương trình đường cong mặt phẳng)) 4.5.2.1 Định nghĩa Cực trị hàm số z  f (x, y) với điều kiện ràng buộc g(x, y)  đƣợc gọi cực trị có điều kiện 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x, y ) ta dùng phƣơng pháp phƣơng pháp nhân tử Lagrange a) Phƣơng pháp Từ điều kiện ràng buộc g(x, y)  , ta rút x y vào z  f (x, y) Khi đó, tốn trở tìm cực trị hàm biến Ví dụ 27: Tìm cực trị hàm số z   x  y với điều kiện ràng buộc x  y   (*) Giải * Từ điều kiện x  y    y   x * Thay vào z, ta đƣợc: z  2x  2x  g(x )  Miền xác định: D  0;1  g '(x )   2x x x g '(x )   (x  0; x  1)  2x 0x  1  y  ; g    2 2 x  x2 g '(x ) không xác định x  x  102  Bảng xét dấu x g '( x ) g( x ) 2 (CĐ) Hàm số g(x ) đạt cực đại x  2 1 Vậy hàm số z đạt cực đại với điều kiện (*) M  ;  zCÑ  2 2 ? Tìm cực trị hàm số z  x 2y thỏa điều kiện : x  y   Tuy nhiên nhiều trường hợp từ điều kiện ràng buộc g(x, y)  , ta không rút y  y(x ) sau dùng phép hàm nhận z hàm biến không dễ dàng lấy đạo hàm Khi đó, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Định lý (Điều kiện cần) Giả sử z  f (x, y) đạt cực trị điểm M 0(x 0, y0 ) với điều kiện ràng buộc g(x, y)  Nếu f, g liên tục với đạo hàm riêng cấp lân cận điểm 2 M 0(x 0, y0 ) g 'x (x 0, y0 )  g 'y (x 0, y0 )  tồn số  với x 0, y0 thoả mãn hệ phƣơng trình F 'x  f 'x (x 0, y )  g 'x (x 0, y )   F '  f ' (x , y )  g ' (x , y )  0 y 0 y  y  F '  g(x 0, y )     (4.5.5) số  đƣợc gọi nhân tử Lagrang & F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y) hàm số phụ Lagrange Định lý (điều kiện đủ) Giả sử hàm f (x, y ) g(x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận điểm M (x 0, y0 ) (x 0, y0, ) điểm dừng hàm F Xét d 2F (x 0, y0 )  F ''xx dx  2F ''xy dxdy  F ''yy dy 103 (4.5.6) với dx, dy thỏa hệ sau dx  dy     g dx g dy ' ' y  x (4.5.7) Nếu:  d 2F (x 0, y0 )   M 0(x 0, y0 ) điểm cực đại có điều kiện  d 2F (x 0, y0 )   M 0(x 0, y0 ) điểm cực tiểu có điều kiện  d 2F (x 0, y0 ) không xác định đƣợc dấu  M 0(x 0, y0 ) khơng điểm cực trị có điều kiện  Phƣơng pháp tìm cực trị có điều kiện nhân tử Lagrange B1 Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y) B2 Tìm điểm dừng hàm F, giải hệ phƣơng trình F 'x   F 'y   M (x 0, y )  F '    B3 Tính vi phân cấp 2: d 2F (x 0, y0 )  F ''x dx  2F ''xy dxdy  F ''y dy với dx, dy thoã hệ sau dx  dy     g ' dx g ' dy x y  B4 Dùng định lý điều kiện đủ để xét cực trị có điều kiện f Ví dụ 28: Tìm cực trị hàm z  xy với điều kiện ràng buộc x y a a  0, x  0, y  0 Giải * Lập hàm số phụ Lagrange F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x  y  a ) y    F 'x  x  y  a     * Giải hệ phƣơng trình: F 'y   x     a     F '  a y x        a a Hàm z có điểm tới hạn M  ;  2 2 * Ta có : F ''x  0; F ''xy  1; F ''y  a a  d 2F  ;   F ''xx dx  2F ''xy dxdy  F ''yy dy  2dxdy 2 2 104 với dx, dy thoả hệ sau Suy 2 2   dx  dy  dx  dy        ' ' g dx g dy dx dy y  x    d 2F  2dx  a2 a a Vậy M  ;  điểm cực đại cần tìm zCĐ  2 2 Ví dụ 29: Tìm cực trị hàm z  xy  với điều kiện ràng buộc g(x, y)  x  y   (C) Giải * Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x  y  4) y  2x  F 'x     F  ' * Giải hệ phƣơng trình :  y  x  2y   F '    x  y   Ta tìm đƣợc điểm tới hạn: M1( 2,  2); M2( 2, 2) M 3( 2, 2); M ( 2,  2) * Ta có: z(M )  z(M )  z(M1)  z(M2 )  2 * Vì z  xy liên tục tập đóng bị chặn (C), hàm đạt giá trị nhỏ giá trị lớn (C) z  2 M1( 2,  2); M2( 2, 2) zmax  M 3( 2, 2); M ( 2,  2) ? Tìm cực trị hàm số z  2x  y thỏa điều kiện : x  y  4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ Để tìm GTLN GTNN hàm số z  f (x, y) liên tục miền D đóng bị chặn mặt phẳng Ta tìm i) Các điểm dừng hàm thuộc phần D ii) Các điểm dừng biên D (Nếu biên D đƣờng cong có phƣơng trình g(x, y)  thay xét điểm biên, ta xét điểm cực trị với điều kiện g(x, y)  mút biên) iii) Tính giá trị hàm điểm vừa tìm đƣợc iv) So sánh giá trị vừa tìm  GTLN GTNN hàm f 105  Phƣơng pháp tìm GTLN – GTNN B1 Tìm điểm dừng miền D (cực trị địa phương) z x'   Giải hệ phƣơng trình :  ' zy  B2 Tìm điểm dừng biên D (cực trị có điều kiện)  Miền D bị giới hạn đoạn thẳng : sử dụng phương pháp  Miền D bị giới hạn đường cong : sử dụng phương pháp Lagrange (không kể đầu mút) B3 Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút B4 So sánh giá trị  GTLN – GTNN y Ví dụ 30: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số z  f (x, y)  x  y  xy  x  y miền D   (x, y) : x  0, y  0, x  y  3 A  O -3 x Giải  Ta tìm điểm dừng f (x, y ) miền tam giác: -3 Giải hệ phƣơng trình: z x'  2x  y      ' zy  2y  x     x  1  y  1   B (nhận)  M(-1,-1) điểm dừng  Ta tìm điểm nghi ngờ điểm dừng hàm f (x, y ) biên tam giác: * Trên biên AO: y  0,   x  z  f (x, 0)  x  x  g(x )  g '(x )  2x    x   1  N   ,  điểm dừng hàm f AO   * Trên biên OB: x  0, -  y  z  f (0, y)  y  y  h(x )  h '(x )  2y    y   1  P  0,   điểm dừng hàm f OB 2  * Trên biên AB: x  y  3  y  3  x, x  3,  z  f (x, 3  x )  3x  9x   k(x ) 106  k '(x )  6x    x   3 3 & y    Q   ,   điểm dừng 2  2 hàm f AB  Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút 1 f (1, 1)  1 f   ,      1 f  0,     2  3 f   ,      2 f (0, 0)  f (3, 0)  f (0, 3)  So sánh giá trị trên, ta đƣợc: z max  z(3, 0)  z(0, 3)  z  z(1,1)  1   Ví dụ 31: Tìm GTLN – GTNN hàm z  x  y miền D  x  y  Giải  Ta tìm điểm dừng f (x, y ) miền D : y Giải hệ phƣơng trình:  z x'  2x     ' zy  2y  x  y   O -2  M0(0,0) điểm dừng miền D  z(M )   Ta tìm điểm dừng f (x, y ) biên D : Mọi điểm (x, y ) biên D phải thỏa phƣơng x  y   g(x, y)  x  y   * Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  x  y  (x  y  4) * Giải hệ phƣơng trình 2x  2x  x  F 'x       F 'y   2y  2y   y  2 V   F '      1 x  y   Suy biên D hàm số có điểm dừng: M1(0,2); M2(0, 2); M 3(2, 0); M 4(2, 0) * Ta có: x  2   (nhận) y     z(M )  z(M )  z(M1)  z(M2 )  4 107 trình x Vậy z  4 M1(0,2); M2(0, 2) zmax  M 3(2, 0); M 4(2, 0) (xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7) 108 BÀI TẬP CHƢƠNG Tìm miền xác định hàm sau x y2 c) z    a b xy a) z  x  y2 b) z  ln(1  xy) y 1 d) z  arctan    x  e) u  R2  x  y  z  x  y2  z  r 2 Tính giới hạn sau x 1 a) lim x 0 x  y b) lim x 1 y 0 y 1 d) lim x 0 y 0 x 2y   x  y2 x  xy ln(x  ey ) c) lim(1  xy ) x 0 y 1 x  y2 x y x  x  xy  y sin xy x 0 x e) lim f) lim y a y  Xét liên tục hàm số M 0(0, 0)  x 2y 2  2 ,x  y  a) f (x , y )   x  y b) f (x , y )  2 0 ,x  y   Tìm đạo hàm riêng hàm số sau 2x y a) z  x y  b) z  sin 3x y  d) z  ln x  x  y  e) z  arctan  x 2y  4 ,(x , y )  (0, 0)  x y 0 , (x, y )  (0, 0)  c) z  e2x y sin 6x x M (1,1) y f) z  x y (x  0) Chứng minh hàm số sau thỏa mãn phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc cho z z  x a) z  xey thỏa x y x y x y thỏa x z z y  x y c) u  x 2yz thỏa x u u u y z 0 x y z b) z  Tìm đạo hàm hàm hợp x a) z  u ln v với u  , v  3x  2y y 109 b) z  uv với u  x  ln(1  y ) , v  ey c) z  eu 2v với u  cosx , v  x  y Cho F (x, y, z )  x  4xz  y  Tính z z z z ; 1; 2  ; 1; 2  x y x y Tìm vi phân tồn phần hàm b) z  sin(x  y ) a) z  ln(x  y ) c) z  e 3x 2y xy z  4x  3x 2y  3xy  y 2 d) Tìm đạo hàm cấp hàm a) z  ex y  cos x b) z  (x  y )2 c) z  y ln x c) z  sin x.sin y 10 Cho z  e2x sin y Tính d 2z d 2z (0;  ) 11 Dùng vi phân tính gần giá trị biểu thức sau a) A  4, 052  3, 072 b) B  (2, 01)3,03 c) C  sin  (0, 01)(1, 05)  ln(1, 05) 12 Tìm cực trị hàm số sau a) z  4(x  y)  x  y b) z  x  y  2x  4y  c) z  x  y  6xy  39x  18y  20 y2   d) z  x  4x y 13 Tìm cực trị hàm số sau a) z  f (x, y)  x 2y  9x  với điều kiện ràng buộc x  y   b) z  f (x, y)  x  y thỏa điều kiện x  y  3x  4y 14 Tìm GTLN GTNN hàm số a) z  f (x, y)  x  x  y hình chủ nhật  x  ,  y  x y b) z  f (x , y )   hình trịn x  y  15 Công ty Vissan sản xuất thịt hộp lạp xƣởng phục vụ Tết âm lịch 2009, cung cấp thông tin cho nhƣ sau : - Lạp xƣởng : Q1, giá thị trƣờng P1 = 80 ngàn đồng/1kg - Thịt hộp : Q2, giá thị trƣờng P2 = 50 ngànđồng/1kg Hàm chi phí cho sản phẩm là: C  4Q12  3Q1.Q2  5Q22 110 Nhà quản trị hỏi: Chọn tổ hợp sản xuất (Q1,Q2 ) nhƣ để Công ty Vissan đạt lợi nhuận tối đa? 16 Một doanh nghiệp tƣ nhân Anh Kỳ kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1  520  2P1 , QD2  240  P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C  Q12  2Q1Q2  10 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 17 Một xí nghiệp X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm dầu gội sữa tắm với giá bán thị trƣờng lần lƣợt là: P1  60 P2  75 (đơn vị là: 1000 đồng) lƣợng hàng cho loại chi phí sản xuất Q1, Q2 C Q1,Q2   Q12  Q1Q2  Q2 Hãy xác định sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp đạt đƣợc lợi nhuận cực đại 18 Một doanh nghiệp tƣ nhân X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1  1200  2P1 , QD2  1440  P1  P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C  489Q1  720Q2  400 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 19 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm có thị trƣờng tiêu thụ tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm thị trƣờng lần lƣợt là: QD1  310  P1 , QD2  350  P2 hàm tổng chi phí C  20  30Q  Q (với Q  Q1  Q2 ) Tìm mức sản lƣợng giá bán tƣơng ứng thị trƣờng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, tính lợi nhuận đó? 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Huỳnh (2006), Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3); Bài Tập Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3), Nhà xuất giáo dục Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Lê Trọng Vinh – Dƣơng Thủy Vỹ (2006), Giáo Trình Tốn Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3) (Dùng cho Sinh viên trường Cao Đẳng), Nhà xuất giáo dục Trần Ngọc Liên (2006), Vi Tích Phân A1 – Trƣờng Đại Học Cần Thơ 112 ... số Từ đó, vận dụng để giải số toán tối ƣu  Cung cấp kiến thức tích phân hàm biến phƣơng pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích vật thể  Trang bị... viên làm quen với việc mơ hình hóa vấn đề thực tế thành toán Toán học Phƣơng pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt  Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết  Làm tập lớp : tiết  Tự học... 2.3.5.4 Bài toán tối ƣu thực tế 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 48 Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50 3.1 Tích phân không xác định 51 3.1.1 Nguyên hàm tích phân