TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ , T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG , T ÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, tập lời giải Hà Nội- 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng năm 2017) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Hà Nội, Ngày 28 tháng năm 2017 MỤC Mục lục LỤC Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 1.1 Đường cong mặt phẳng R2 1.2 Độ cong đường cong 1.3 Hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 2.1 Hàm véctơ 2.2 Đường cong không gian R3 2.3 Độ cong đường cong 2.4 Mặt cong không gian R3 2.5 Đường cong cho dạng giao hai mặt cong Chương Tích phân bội Tích phân kép 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes 1.3 Phép đổi biến số tích phân kép 1.4 Bài tập ôn tập Tích phân bội ba 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ Descartes 2.3 Đổi biến số tích phân bội ba 2.4 Bài tập ôn tập Các ứng dụng tích phân bội 3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.2 Tính thể tích vật thể 3.3 Tính diện tích mặt cong 5 9 13 13 13 14 15 18 23 23 23 28 39 51 54 54 54 58 74 76 76 82 89 MỤC LỤC 3.4 Bài tập ôn tập 89 Chương Tích phân phụ thuộc tham số 91 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1 Giới thiệu 1.2 Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.3 Các tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi 1.4 Bài tập Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.1 Các tính chất tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.2 Bài tập 2.3 Một số tích phân quan trọng 2.4 Bài tập ôn tập Tích phân Euler 3.1 Hàm Gamma 3.2 Hàm Beta 3.3 Bài tập Chương Tích phân đường 91 91 91 94 95 98 98 107 112 112 116 116 117 120 123 Tích phân đường loại I 1.1 Định nghĩa 1.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại I 1.3 Bài tập 1.4 Bài tập ôn tập Tích phân đường loại II 2.1 Định nghĩa 2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 2.3 Công thức Green 2.4 Ứng dụng tích phân đường loại II 2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Chương Tích phân mặt Tích phân mặt loại I 1.1 Diện tích mặt cong 1.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại I 1.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại I 1.4 Bài tập Tích phân mặt loại II 2.1 Định hướng mặt cong 2.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại II 123 123 124 124 126 128 128 128 131 137 139 143 143 143 145 147 147 150 150 151 MỤC LỤC 2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II 2.4 Công thức Ostrogradsky 2.5 Công thức Stokes 2.6 Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II Chương Lý thuyết trường Trường vô hướng 1.1 Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo hướng 1.3 Gradient 1.4 Bài tập Trường véctơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Thông lượng, dive, trường ống 2.3 Hồn lưu, véctơ xốy 2.4 Trường - hàm vị 2.5 Bài tập 153 157 160 161 165 165 165 165 166 167 169 169 169 169 170 170 MỤC LỤC CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Đường cong mặt phẳng R2 Ở chương trình học phổ thơng, làm quen với khái niệm đường cong cho phương trình y = f ( x ), chẳng hạn đường parabol y = x2 , đường cong bậc ba y = x3 Tuy nhiên, lúc "may mắn" biểu diễn đường cong dạng y = f ( x ), với giá trị x = x0 , ứng với có hai nhiều giá trị y tương ứng Chẳng hạn như, tưởng tượng có hạt chuyển động dọc theo đường cong C hình vẽ Đường cong C biểu diễn dạng y = f ( x ) Tuy nhiên, tọa độ x y hạt hàm số phụ thuộc thời gian t Chính thuận lợi ta biểu diễn đường cong C dạng x = f (t), y = g(t) Đây Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phương trình đường cong cho dạng tham số giới thiệu học phần Giải tích I Ví dụ 1.1 (Đường Cycloid) Giả sử có bánh xe hình trịn cố định điểm P bánh xe Cho bánh xe lăn khơng trượt đường thẳng Quỹ tích điểm P gọi đường Cycloid Hãy viết phương trình tham số đường cong y (πa, 2a) a y θ x 2πa aθ x [Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính r điểm xuất phát P gốc tọa độ, đồng thời cho bánh xe lăn không trượt trục Ox Gọi θ góc quay bánh xe (θ = P gốc tọa độ) Khi đó, bánh xe lăn khơng trượt, nên OT = độ dài cung PT = rθ Do đó,   x = |OT | − | PQ| = rθ − r sin θ = r (θ − sin θ ) y = | TC | − | QC | = r − r cos θ = r (1 − cos θ ) Một số điều thú vị đường Cycloid • Một người nghiên cứu đường cong Cycloid Galileo Ông đề xuất cầu nên xây theo đường cong Cycloid người tìm diện tích miền nằm phía cung Cycloid Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng • Đường cong Cycloid sau xuất toán "Brachistochrone" sau Cho hai điểm A B cho điểm A cao điểm B Hãy tìm đường cong nối A với B cho ta thả viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong (dưới tác dụng lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn Nhà toán học người Thụy Sĩ, John Bernoulli rằng, số tất đường cong nối A với B viên bi thời gian để lăn từ A đến B theo đường Cycloid • Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, đường cong Cycloid lời giải cho toán "Tautochrone" sau Cho dù đặt viên bi đâu cung Cycloid ngược khoảng thời gian để lăn đáy Điều ứng dụng ông phát minh đồng hồ lắc Ông đề xuất lắc nên lắc theo cung Cycloid, lắc khoảng thời gian để hồn thành chu kì dao động, cho dù lắc theo cung dài ngắn Điểm quy • Cho đường cong ( L) xác định phương trình f ( x, y) = Điểm M ( x0 , y0 ) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm riêng ′ ′ f x ( M ) , f y ( M ) không đồng thời   x = x (t) • Cho đường cong ( L) xác định phương trình tham số y = y (t) Điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm x ′ (t0 ) , y′ (t0 ) không đồng thời Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học • Một điểm khơng phải điểm quy gọi điểm kì dị Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong • Chúng ta biết hệ số góc k tiếp tuyến đường cong C điểm M y′x ( M ) Do đó, đường cong cho phương trình f ( x, y) = xác định hàm ẩn y = y( x ) đạo hàm tính theo cơng thức k = y′x = − f x′ f y′ Vậy – Phương trình tiếp tuyến M ( d ) : y − y0 = − f x′ ( M ) ( x − x0 ) f y′ ( M ) ′ (1.1) ′ ⇔ f x ( M) ( x − x0 ) + f y ( M) (y − y0 ) = – Phương trình pháp tuyến M y − y0 x − x0 = ′ ′ f x ( M) f y ( M) d′ : Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho phương trình y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến đường cong điểm M ( x0 , y0 ) quy y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) Đây công thức mà học sinh biết chương trình phổ thơng   x = x (t) • Nếu đường cong (C ) cho phương trình tham số y = y (t) k = y′x = y′ dy dy/dt = = t′ dx dx/dt xt Do đó, – Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) quy: y ′ ( t0 ) x − x ( t0 ) y − y ( t0 ) ( x − x ( t0 ) ⇔ = ( d ) : y − y ( t0 ) = ′ ′ x ( t0 ) x ( t0 ) y ′ ( t0 ) Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến đường cong C điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) n = ( x ′ (t0 ), y′ (t0 )) – Phương trình pháp tuyến M: d′ : x ′ (t0 ) ( x − x (t0 )) + y′ (t0 ) (y − y (t0 )) = Tích phân mặt loại II 157 z y O x Hình 5.6 Lời giải Ta có: • Mặt S : z = − R2 − x − y2 • Hình chiếu S lên Oxy hình trịn, D : x2 + y2 ≤ R2 → • β = (− n , Oz) góc nhọn Do x y2 I=− R2 − x2 − y2 dxdy D  x = r cos ϕ đặt y = r sin ϕ R 2π I= sin2 ϕ cos2 ϕ dϕ =− ⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ R, J = −r 2R 105 R2 − r2 r5 dr 2.4 Công thức Ostrogradsky Giả sử P, Q, R hàm khả vi, liên tục miền bị chặn, đo V ⊂ R3 V giới hạn mặt cong kín S trơn hay trơn mảnh, đó: Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = S V ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến Chú ý: 157 dxdydz, 158 Chương Tích phân mặt • Nếu tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − S V ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz • Nếu mặt cong S khơng kín, bổ sung thành mặt cong S′ kín để áp dụng cơng thức Ostrogradsky, trừ phần bổ sung Bài tập 5.7 Tính xdydz + ydzdx + zdxdy S phía ngồi mặt cầu x2 + S y2 + z2 = a2 z − → n ( x, y, z) y O x Hình 5.7 Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có 3dxdydz = 3V = 4πa2 xdydz + ydzdx + zdxdy = V S Bài tập 5.8 Tính y2 + z2 = R2 x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy S phía ngồi mặt cầu x2 + S 158 Tích phân mặt loại II 159 Lời giải Xem hình vẽ 5.7, áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: x2 + y2 + z2 dxdydz I= V      x = r sin θ cos ϕ đặt y = r sin θ sin ϕ    z = r cos θ π 2π I=3 dϕ = S , J = −r2 sin θ r4 sin θdr dθ 12πR5 Bài tập 5.9 Tính R     0 ≤ ϕ ≤ 2π ⇒ 0≤θ≤π    0 ≤ r ≤ R y2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz S phía ngồi miền x ≤ 0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2 z y O x Hình 5.9 159 160 Chương Tích phân mặt Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: y2 + z + x2 dxdydz I= V      x = r cos ϕ đặt π = y = r sin ϕ    z = z π = Bài tập 5.10 Tính x2 + y2 , a S z r2 dϕ ⇒ π , J = −r 0≤r≤1    0 ≤ z ≤ r r2 + z rdr dr     0 ≤ ϕ ≤ xdydz + ydzdx + zdxdy S phía miền (z − 1)2 1, a > z − → n a y a−1 O 1−a x Hình 5.10 Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: I= V 3dxdydz = 3V = Bh = π (1 − a)3 2.5 Công thức Stokes Giả sử S mặt hai phía, đơn trơn có biên giới đường cong kín L Giả sử n hướng dương pháp tuyến S Khi đó, ta xác định hướng dương biên giới L mặt S hướng cho, người đứng thẳng theo hướng pháp tuyến n, theo hướng thấy phần mặt gần người nằm phía tay trái 160 Tích phân mặt loại II 161 Định lý 5.18 (Định lý Stokes) Giả sử S mặt cong trơn, có biên ∂S đường cong trơn Giả thiết P, Q, R hàm số liên tục có đạo hàm riêng liên tục tập mở chứa S Khi Pdx + Qdy + Rdz = S ∂S ∂R ∂Q − ∂y ∂z dydz + ∂P ∂R − ∂z ∂z dzdx + ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy, tích phân đường vế trái lấy theo hướng dương ∂S phù hợp với hướng dương mặt S 2.6 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II [ P( x, y, z) cos α + Q( x, y, z) cos β + R( x, y, z) cos γ] dS (5.1) S = P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy, S cos α, cos β, cos γ cosin phương véctơ pháp tuyến đơn vị mặt S Bài tập 5.11 Gọi S phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = nằm mặt trụ x2 + x + z2 = 0, y ≥ 0, hướng S phía ngồi Chứng minh S ( x − y)dxdy + (y − z)dydz + (z − x )dxdz = 161 162 Chương Tích phân mặt z y O −1 x Hình 5.11 → − x2 − y2 nên véctơ pháp tuyến S − n = ±(−y′x , 1, −y′z ) Vì Lời giải Ta có y = → (− n , Oy) < π2 nên − → n = (−y′x , 1, −y′z ) = → n|= Do |− x2 1− x − z2 + + 1−xz2 −z2 = √ √ x − x − z2 1− x − z2 , 1, √ z − x − z2 Vậy  →  cos α = cos(− n , Ox ) =      → n , Oy) = cos β = cos(−     − →  cos γ = cos( n , Oz) = n1 =x − → |n| n2 =y − → |n| n3 =z − → |n| Áp dụng công thức liên hệ tích phân mặt loại I II 5.1 ta có I= S = S [( x − y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x ) cos α] dS ( x − y)z + (y − z) x + (z − x )ydS = 162 Tích phân mặt loại II 163 Bài tập 5.12 Tính tích phân mặt loại II I= xdydz + ydzdx + zdxdy, S S phía ngồi mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 [Đáp số] I = 4πa3 Bài tập 5.13 Tính tích phân mặt z = x + y2 (0 ≤ z ≤ 2) ydzdx, S phía ngồi mặt paraboloid S [Đáp số] I = 2π 163 164 Chương Tích phân mặt 164 CHƯƠNG LÝ §1 TRƯỜNG THUYẾT TRƯỜNG VƠ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.14 Cho Ω tập mở R3 (hoặc R2 ) Một hàm số u:Ω→R ( x, y, z) → u = u( x, y, z) gọi trường vô hướng xác định Ω Cho c ∈ R, mặt S = {( x, y, z) ∈ Ω|u( x, y, z) = c} gọi mặt mức ứng với giá trị c (đẳng trị) 1.2 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 6.15 Cho u = u( x, y, z) trường vô hướng xác định Ω M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ − → Ω Giả thiết l = ( a, b, c) véctơ đơn vị R3 Giới hạn (nếu có) tỉ số u( M0 + tl ) u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 ) = lim t →0 t →0 t t lim (6.1) − → gọi đạo hàm theo hướng l M0 trường vô hướng u kí hiệu ∂u − → ( M0 ) ∂ l Chú ý: 165 166 Chương Lý thuyết trường • Nếu l véc tơ đơn vị giới hạn cơng thức 6.1 thay u( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u( x0 , y0 , z0 ) lim , t →0 t − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l − → ∂u • Nếu l ↑↑ Ox ∂u − → ( M0 ) = ∂x ( M0 ) ∂ l − → • Đạo hàm theo hướng l điểm M0 trường vô hướng u thể tốc độ biến − → thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l Định lý 6.19 Nếu u = u( x, y, z) khả vi M ( x0 , y0 , z0 ) có đạo hàm theo hướng − → l = M0 ∂u ∂u ∂u ∂u − → ( M0 ) = ∂x ( M0 ) cos α + ∂y ( M0 ) cos β + ∂z ( M0 ) cos γ, ∂ l − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l (6.2) Lời giải Giả sử cos α = a, cos β = b, cos γ = c Xét hàm số biết số g(t) = u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) Khi đó, theo định nghĩa, g′ (0) = lim t →0 g ( t ) − g (0) u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 ) ∂u = lim = ( M0 ) t →0 t t ∂l Mặt khác, g(t) viết dạng g(t) = u( x, y, z), x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc Vì vậy, theo cơng thức đạo hàm hàm hợp, g′ ( h) = ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z + + = u x ( x, y, z).a + uy ( x, y, z).b + uz ( x, y, z).c ∂x ∂h ∂y ∂h ∂z ∂h Thay t = vào phương trình trên, ta có x = x0 , y = y0 , z = z0 , ∂u ∂l ( M0 ) = u x ( M0 ).a + uy ( M0 ).b + uz ( M0 ).c 1.3 Gradient Định nghĩa 6.16 Cho u( x, y, z) trường vô hướng có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 , z0 ) Người ta gọi gradient u M0 véctơ ∂u ∂u ∂u ( M0 ), ( M0 ), ( M0 ) ∂x ∂y ∂z −−→ kí hiệu gradu( M0 ) 166 Trường vô hướng 167 Định lý 6.20 Nếu trường vô hướng u( x, y, z) khả vi M0 ta có ∂u ∂l Chú ý: ∂u ∂l −−→ ( M0 ) = gradu.l ( M0 ) thể tốc độ biến thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l −−→ −−→ −−→ ∂u ∂u Từ công thức ( M0 ) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có ( M0 ) đạt giá trị lớn ∂l ∂l −−→ −−−→ gradu l l có phương với grad u Cụ thể • Theo hướng l, trường vơ hướng u tăng nhanh M0 l có phương, −−−→ hướng với grad u • Theo hướng l, trường vô hướng u giảm nhanh M0 l có phương, −−−→ ngược hướng với grad u 1.4 Bài tập − → − → Bài tập 6.1 Tính đạo hàm theo hướng l u = x3 + 2y3 − 3z3 A(2, 0, 1), l = −→ AB, B(1, 2, −1) −→ Lời giải Ta có AB = (−1, 2, −2) nên −1 −1 , cos α = −→ = | AB| 2 cos β = −→ = , | AB| −2 −2 , cos γ = −→ = | AB| ∂u ∂u = 3x2 ⇒ ( A) = 12 ∂x ∂x ∂u ∂u = 6y2 ⇒ ( A) = ∂y ∂x ∂u ∂u = −9z2 ⇒ ( A ) = −9 ∂z ∂x Áp dụng cơng thức 6.2 ta có ∂u −1 −2 − → ( A) = 12 + + (−9) = ∂ l −−→ Bài tập 6.2 Tính mơnđun gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz A(2, 1, 1) Khi −−→ −−→ gradu⊥Oz, gradu = Lời giải Ta có −−→ gradu = ∂u ∂u ∂u , , ∂x ∂y ∂z = (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy) √ √ −−→ −−→ nên gradu = (9, −3, −3) gradu = 92 + 32 + 32 = 11 167 168 Chương Lý thuyết trường −−→ −−→ − → • gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = ⇔ −−→ • gradu = ⇔      x = yz y2 = zx    z2 = xy ∂u ∂x = ⇔ z2 = xy ⇔x=y=z −−→ Bài tập 6.3 Tính gradu với u = r2 + 1r + ln r r = x + y2 + z2 Bài tập 6.4 Theo hướng biến thiên hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ độ O(0, 0) lớn nhất? −−→ −−→ −−→ ∂u ∂u Lời giải Từ công thức (O) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có (O) đạt giá ∂l ∂l −−→ −−→ trị lớn gradu l l có phương với gradu(O) = (0, −1, 0) −−→ Bài tập 6.5 Tính góc hai véctơ gradz hàm z = M (3, 4) x2 + y2 , z = x − 3y + Lời giải Ta có −−→ • gradz1 = −−→ • gradz2 = √ x x + y2 1+ √ ,√ y x + y2 −−→ nên gradz1 ( M ) = √ 3y √ , −3 + √3x y x 5, −−→ nên gradz2 ( M ) = 2, − 94 Vậy −−→ −−→ gradz1 , gradz2 −12 cos α = −−→ = √ −−→ 145 gradz1 gradz2 168 3xy Trường véctơ 169 §2 TRƯỜNG VÉCTƠ 2.1 Định nghĩa Cho Ω miền mở R3 Một hàm véctơ − → F : Ω → R3 − → − → M → F = F ( M ), − → − → − → − → F = Fx ( M ) i + Fy ( M ) j + Fz ( M ) k 2.2 Thông lượng, dive, trường ống − → a Thông lượng: Cho S mặt định hướng F trường véctơ Đại lượng φ= Fx dydz + Fy dzdx + Fz dxdy (6.3) S − → gọi thông lượng F qua mặt cong S − → b Dive: Cho F trường véctơ có thành phần Fx , Fy , Fz hàm số có đạo hàm − → ∂Fy ∂Fz x riêng cấp tổng ∂F ∂x + ∂y + ∂z gọi dive trường véctơ F kí hiệu − → div F − → − → c Trường véctơ F xác định Ω gọi trường ống div F ( M ) = với M ∈ Ω − → Tính chất: Nếu F trường ống thơng lượng vào thơng lượng 2.3 Hồn lưu, véctơ xốy a Hồn lưu: Cho C đường cong (có thể kín khơng kín) khơng gian Đại lượng Fx dx + Fy dy + Fz dz C − → gọi hoàn lưu F dọc theo đường cong C b Véctơ xoáy: Véctơ − → → − → − i j k → − →− ∂ ∂ ∂  rot F :=  ∂x ∂y ∂z  Fx Fy Fz − → gọi véctơ xoáy (hay véctơ rota) trường véctơ F 169 (6.4) 170 Chương Lý thuyết trường 2.4 Trường - hàm vị − → Trường véctơ F gọi trường (trên Ω) tồn trường vô hướng u cho −−→ − → gradu = F (trên Ω) Khi hàm u gọi hàm vị − → − → Định lý 6.21 Điều kiện cần đủ để trường véctơ F = F ( M ) trường (trên → − →− Ω) rot F ( M ) = với M ∈ Ω − → Chú ý: Nếu F trường hàm vị u tính theo cơng thức y x u= Fx ( x, y0 , z0 )dx + z Fy ( x, y, z0 )dy + y0 x0 Fz ( x, y, z)dz + C (6.5) z0 2.5 Bài tập Bài tập 6.6 Trong trường sau, trường trường thế? → − → − → − → a = 5( x2 − 4xy) i + (3x2 − 2y) j + k a − − → − → − → → b − a = yz i + xz j + xy k − → − → − → → c − a = ( x + y) i + ( x + z) j + (z + x ) k Lời giải a Ta có − →→ rot− a = ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 6x − 20y) = nên trường cho trường − →→ b Ngồi cách tính rot− a , sinh viên dễ dàng nhận thấy tồn hàm vị u = xyz − → nên a trường c Ta có − →→ rot− a = ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 0) → nên − a trường Hàm vị tính theo cơng thức 6.5: y x Fx (t, y0 , z0 )dt + u= tdt + = x2 z ( x + 0)dt + + xy + Fz ( x, y, t)dt + C z0 y x Fy ( x, t, z0 )dt + y0 x0 = z (t + y)dt + C z2 + yz + C 170 Trường véctơ 171 − → − → − → − → − → Bài tập 6.7 Cho F = xz2 i + j + zy2 k Tính thơng lượng F qua mặt cầu S : x2 + y2 + z2 = hướng Lời giải Theo cơng thức tính thơng lượng 6.3 ta có xz2 dydz + yx2 dxdz + zy2 dxdy φ= S Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có ( x2 + y2 + z2 )dxdydz φ= V Thực phép đổi biến toạ độ cầu         0 ≤ ϕ ≤ 2π  x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ , ≤ θ ≤ π       0 ≤ r ≤ z = r cos θ ta có π 2π φ= dϕ , J = −r2 sin θ r2 r2 sin θdr = dθ 0 4π − → − → − → − → Bài tập 6.8 Cho F = x (y + z) i + y(z + x ) j + z( x + y) k L giao tuyến mặt − → trụ x2 + y2 + y = nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ Chứng minh lưu số F dọc theo L Lời giải Theo cơng thức tính lưu số 6.4 I= x (y + z)dx + y(z + x )dy + z( x + y)dz L Áp dụng công thức Stokes ta có I= S = S ∂ ∂y ∂ ∂z Q R dydz + ∂ ∂z ∂ ∂x R P dzdx + ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dxdy (z − y)dydz + ( x − z)dzdx + (y − x )dxdy = (theo tập 5.11) 171 ... cơng thức tính tích phân mặt loại I 1.4 Bài tập Tích phân mặt loại II 2.1 Định hướng mặt cong 2.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại II ... trình làm tốn đổi thứ tự lấy tích phân ψ( x ) b Bài toán 1: Đổi thứ tự lấy tích phân f ( x, y)dy dx a ϕ( x ) Từ biểu  thức tích phân lặp, suy biểu diễn giải tích miền lấy tích phân  a x b, (D) :... khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Chương Tích phân mặt Tích phân mặt loại I 1.1 Diện tích mặt cong 1.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại I