Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh phát hiện, tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân tôi đa mạnh dạn chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử”.
Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử MỤC LỤC TT Nội dung Trang 1 Lời giới thiệu 2 Tên chuyên đề 3 Tác giả chuyên đề 4 Chủ đẩu tư tạo chuyên đề 5 Lĩnh vực chuyên đề 6 Ngày áp dụng chuyên đề 7 Mô tả chất chuyên đề 7.1 Mục đích nghiên cứu 7.2 Điểm ý nghĩa đề tài 10 7.3 Thực trạng vấn đề 11 7.4 Các biện pháp tổ chức thực 12 Những vấn đề cần bảo mật 22 13 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 22 14 10 Kết sáng kiến kinh nghiệm 22 15 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả 22 16 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức, cá nhân 23 17 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 24 18 Tài liệu tham khảo 25 1 Lời giới thiệu Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy học vấn đề thường xuyên, liên tục quan trọng Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS điều cần thiết nhằm khơi dậy, phát triển lực tự học; khả tư duy, độc lập sáng tạo học sinh; nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kỹ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, tính áp dụng dạng tốn phong phú đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai lớp 9,…Qua thực tế giảng dạy qua việc theo dõi kết kiểm tra, đặc biệt khảo sát chất lượng học kỳ học sinh lớp vừa qua, tơi thấy thực tế việc phân tích đa thức thành nhân tử (giới hạn chương trình tốn bản) khơng khó nhiều học sinh làm sai lúng túng chưa thực được, chưa nắm phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh phát hiện, tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn tốn nên thân đa mạnh dạn chọn đề tài: “Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” Tên chuyên đề: “Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” Tác giả chuyên đề: - Họ tên: - Địa chỉ: - Số điện thoại: Chủ đầu tư tạo chun đề - Giáo viên: - Dạy mơn Tốn Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Áp dụng vào giảng dạy tốn 8, có liên quan đến kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Ngày chuyên đề áp dụng Từ năm học 2020 - 2021 đến Mô tả chất chuyên đề 7.1 Mục đích nghiên cứu Để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi người học phải có quan sát, tư khả phán đoán Trong phạm vi nghiên cứu đề tài (các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình SGK, SBT tốn hành) tơi mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung rèn kỹ phân tích thành nhân tử nói riêng Thơng qua: + Củng cố kiến thức cho học sinh yếu theo phương pháp riêng biệt: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử + Tăng cường khả vận dụng phát triển kỹ học sinh trung bình thơng qua kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử + Phát triển tư học sinh khá, giỏi qua phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử + Chỉ sai lầm mà học sinh hay mắc phải biện pháp khắc phục 7.2 Điểm ý nghĩa đề tài - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: + Góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà + Phát triển tư suy luận, biết quy lạ quen, rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử + Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh giải tốn + Trình bày lời giải cách lơgic, chặt chẽ, khoa học + Thu hút ý đem lại hứng thú học tập cho học sinh + Học sinh tự tin đứng trước dạng tốn - Tuy cịn hạn chế đề tài trang bị cho học sinh kiến thức, phương pháp chung để giải tốt dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử chương trình 7.3 Thực trạng vấn đề 7.3.1 Cơ sở lý luận Kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, phong phú đa dạng Lượng thời gian phân phối cho nội dung có khoảng tiết song kiến thức lại sở vận dụng cho mảng kiến thức sau: "giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, " Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, giúp học sinh phát sửa chữa sai lầm hay mắc phải Đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn 7.3.2 Cơ sở thực tiễn Đa số học sinh cịn yếu tính tốn, kỹ quan sát nhận xét, cách tư tìm lời giải, kỹ biến đổi thực hành giải tốn, khơng nhớ kiến thức lớp dưới, khả sâu chuỗi kiến thức hạn chế chưa thực nỗ lực tự học, tự rèn luyện, tự tìm tịi Trong q trình làm em chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp tối ưu 7.4 Các biện pháp tổ chức thực Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác 7.4.1 Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử theo đối tượng HS 7.4.1.1 Củng cố kiến thức học sinh yếu 7.4.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp chung: Bước 1: Tìm nhân tử chung Nhân tử chung đơn tức đa thức có mặt tất hạng tử Nhân tử chung tích hệ số với phần biến: + Hệ số ước chung lớn hệ số hạng tử (nếu hệ số số nguyên) + Phần biến gồm biến chung hạng tử với số mũ nhỏ Bước 2: Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác Bước 3: Viết nhân tử chung dấu ngoặc viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức 7x2 y – 28xy2 + 14x2y2 thành nhân tử Phân tích giải Ta thấy ƯCLN(7, 28, 14) = biến chung x với số mũ nhỏ biến y với số mũ nhỏ Do nhân tử chung 7xy Vì vậy: 7x2 y – 28xy2 + 14x2y2 = 7xy.x – 7xy.4y + 7xy.2xy = 7xy.(x – 4y + 2xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2(x + 1) – 5x(x + 1) b) (x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z Phân tích giải a) Dễ dàng nhận nhân tử chung x(x + 1) Vì 2x2(x + 1) – 5x(x + 1) = x(x + 1)(2x – 5) b) Dễ dàng nhận nhân tử chung x – y + z Vì (x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z = (x – y + z)2 – z(x – y + z) + (x – y + z) = (x – y + z)(x – y + z – z + 1) = (x – y + z)(x – y + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 14x(x – y) – 6y(y – x) b) 3x2y2 (x – y + z) + 2xy(y – x – z) Phân tích giải a) Ta thấy ƯCLN(14, 6) = Hạng tử thứ có nhân tử x – y, hạng tử thứ hai có nhân tử y – x Mà y – x = – (x – y) Từ xuất nhân tử chung 2(x – y) Vì vậy: 14x(x – y) – 6y(y – x) = 14x(x – y) + 6y(x – y) = 2(x – y)(7x + 3y) Cách khác: Đổi dấu tích 14x(x – y) = –14x(y – x) b) Hạng tử thứ có nhân tử x – y + z, hạng tử thứ hai có nhân tử y – x – z Mà y – x – z = –(x – y + z) Từ xuất nhân tử chung x – y + z Vì 3x2y2 (x – y + z) + 2xy(y – x – z) = 3x2y2 (x – y + z) – 2xy(x – y + z) = xy(x – y + z)(3xy – 2) c) Bài tập áp dụng 1) 2) 3) 4) 5) 6) 2a b x y 4a b x y m 1 m 7) x x m2 8) x x m m 9) x x m 1 m 1 10) x x 2axy 4a xy 6a x -7x y5 -14x y -21y3 xy a 1 x y a 5a x y 10a x y 3ab x 9a x 7.4.1.1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức: a) Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Để phát vận dụng tốt đẳng thức học sinh cần thuộc lòng nhận diện đẳng thức thông qua số mũ số hạng tử đa thức: * Nếu đa thức có hạng tử ta thường nghĩ đến việc vận dụng đẳng thức 3, 6, * Nếu đa thức có ba hạng tử ta thường nghĩ đến việc vận dụng đẳng thức * Nếu đa thức có bốn hạng tử ta thường nghĩ đến vận dụng đẳng thức b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x2 – 9y2 b) x3 – 8y3 c) 27 + 64y6 Phân tích giải: a) Đa thức có hạng tử bậc đa thức nên ta nghĩ đến đẳng thức số Ta viết 4x2 = (2x)2 , 9y2 = (3y)2, đa thức cho có dạng hiệu hai bình phương Vì 4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x+3y) b) Đa thức có hạng tử bậc đa thức nên ta nghĩ đến đẳng thức số Ta viết 8y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương Vì x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) c) Đa thức có hạng tử bậc đa thức nên ta nghĩ đến đẳng thức số Ta viết 27 = 3, 64y3 = (4y2)3, đa thức cho xuất tổng hai lập phương 3 2 Vì 27 + 64y6 = + (4y ) = (3 y )(9 12 y 16 y ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + x + a) 4x - 4x + b) Phân tích giải a) Đa thức có hạng tử bậc đa thức nên ta nghĩ đến đẳng thức số 2 2 Ta phân tích 4x - 4x + = (2x) - 2.2x.1 + = (2x - 1) b) Đa thức có hạng tử bậc đa thức nên ta nghĩ đến đẳng thức số 2 1 x + 2.x + x +x+ x 2 = 2 = Ta viết * Nhiều ta phải đổi dấu nhận đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức – + 4x – x2 thành nhân tử Phân tích giải: Đa thức cho khơng có dạng đẳng thức Nhưng ta đổi dấu đa thức nhận đẳng thức ngoặc 4x x 4x x x 4x x Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 15x + 75x 125 b) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 Phân tích giải: 3 2 a) Ta phân tích x 15x + 75x 125 = x 3.x + 3.x.5 Dễ thấy đa thức có dạng đẳng thức thứ 3 2 Do x - 15x + 75x - 125 = x - 3.x + 3.x.5 - = (x 5) b) Để kiểm tra xem đa thức có dạng đẳng thức khơng ta phân tích: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 Đến ta thấy đa thức có dạng đẳng thức thứ Vì 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 c) Bài tập áp dụng 1) 25a 2) 144a 81 a 2b 4b 3) 4) x 10 x 25 5) 25 x 20 xy y 6) x y3 7) x 125 y 64 8) 9) x3 15 x 75 x 125 27 a 54a 2b 36ab 8b 6 10) x y 7.4.1.1.3 Phương pháp nhóm hạng tử: a) Phương pháp chung: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực b) Ví dụ * Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 5x – 5y + ax – ay b) x2 – xy + x – y Phân tích giải a) Để làm xuất nhân tử chung ta nhóm hai hạng tử đầu hai hạng tử cuối nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư Vì ta làm theo hai cách: Cách 1: 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay) = 5(x – y) + a(x – y) = (x – y)(5 + a) Cách 2: 5x – 5y + ax – ay = (5x + ax) + (– 5y – ay) = x(5 + a) – y(5 + a) = (5 + a)(x – y) b) Để làm xuất nhân tử chung ta nhóm hai hạng tử đầu hai hạng tử cuối nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư (chú ý nhóm đằng trước ngoặc có dấu “ – ’’ ta phải đối dấu hạng tử ngoặc) Hai cách làm là: Cách 1: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: x – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x – y)(x + 1) * Nhóm nhằm xuất đẳng thức: Nếu nhóm hai hạng tử mà đa thức khơng phân tích chuyển sang nhóm ba hạng tử nghĩ đến việc áp dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu hiệu hai bình phương Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 - 2xy – z2 + y2 b) x2 - 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 c) x2 + 3xy – 4x – 6y + Phân tích giải a) Ta thấy nhóm hai hạng tử đầu hạng tử cuối xuất đẳng thức bình phương hiệu, áp dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích tiếp Do x2 – 2xy + y2 – z2 = (x2 – 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)( x – y + z) b) Ta thấy nhóm ba hạng tử đầu với nhau, ba hạng tử lại với xuất đẳng thức, áp dụng tiếp đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích tiếp Vì x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – ( z – t )2 = ( x – y – z + t ) ( x – y + z – t) c) Đa thức có năm hạng tử nên nhóm hai hạng tử với lẻ hạng tử, đa thức khơng phân tích Như có nhóm có hạng tử, nhóm phải có dạng đẳng thức số số Ta làm sau: x2 + 3xy – 4x – 6y + = (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y) = (x – 2)2 + 3y(x – 2) = (x – 2)(x – + 3y) * Nhiều ta phải khai triển đa thức tìm cách nhóm hạng tử Ví dụ 3: Phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2 thành nhân tử Phân tích giải: Nhiều học sinh gặp toán cảm thấy bế tắc đa thức khơng có nhân tử chung khơng có dạng đẳng thức Tuy nhiên khai triển đa thức ta dễ dàng phân tích Do đó: (xy – 1)2 + (x + y)2 = x2y2 – 2xy + + x2 + 2xy + y2 = x2y2 + + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1) = x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (y2 + 1)(x2 + 1) c) Bài tập áp dụng: 2 1) ax ay x y 6) 3ax 3bx ax bx 5a 5b 2 2) x xy x y 7) ax bx 2ax 2bx 3a 3b 2 3) 10ax 5ax 5ay x y 8) ax x ax x a 2 4) 2a x 5by 5a y 2bx 9) ax bx cx 2a 2b 2c 5) x xy x 15 y 10) ax bx 2cx 2a 2b 4c 7.4.1.2 Vận dụng phát triển kỹ học sinh trung bình, a) Phương pháp chung: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp theo thứ tự ưu tiên: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 + 4x + – 2y2 b) x3 – 2x2 – 4xy2 – 4xy c) x4 – 9x3 + x2 – 9x 10 Phân tích giải: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? a) 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) = 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] = 2(x + 1– y)(x + – y) b) x3 – 2x2 – 4xy2 – 4xy = x(x2 – 2x – 4y2 – 4y) = x[(x2 – 4y2) – (2x + 4y)] = x[(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)] = x(x + 2y)(x – 2y – ) c) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Phân tích giải Ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Từ đó: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 + z]3 – x3 – y3 –2 z3 3 3 = x y z x y z x y z x y z = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x3 + y)3 2– x3 – y32] + 3z(x + y)(x + y + z) x 3x y 3xy y3 x y3 3z x y x y z = = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) x y x y z z y z 3. x y y z x z 11 Ví dụ 3: Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử Phân tích giải Ta biết: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Nên suy A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x3 + y3) + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – [3xy(x + y) + 3xyz] = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz) c) Bài tập áp dụng 2 a 4b 16a 2b 1) 6) x 2a b xy 2aby 2 ab x y xy a b 2) x xy y 25 7) 2 2 3) x x a 2ab b 8) x 12 xy y 2 x a b xy a b ay by 4) 9) 12 x y 12 x y 3x y 2 2 2 5) x x y xy x 10) x xy y a 2ab b 7.4.1.3 Phát triển tư học sinh khá, giỏi Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới hạn ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên, phần tập lại có khơng thể áp dụng ba phương pháp để giải Do đó, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải tốn sử dụng hai phương pháp sau: 7.4.1.3.1 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử a) Phương pháp Ở ta xét đa thức bậc hai Xét đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a khác 0), có hướng tách hạng tử Cách 1: Tách hạng tử ax2 Cách 2: Tách hạng tử bx Bước 1: Tìm tích ac, phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích ac = aici với + ci = b 12 Bước 3: Viết bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Cách 3: Tách hạng tử c Cách 4: Viết đa thức thành c b b2 c b2 b f(x) = a x + x+ = a x +2.x + + 2a a 2a 4a a 4a b b 4ac = a x+ 4a 2a Đến đa thức ngoặc có dạng hiệu hai bình phương ta phân tích tiếp Trong bốn cách trên, cách thông dụng đa thức thực bốn cách b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức P(x) = x2 – 5x + thành nhân tử Có nhiều cách phân tích Cách 1: Tách hạng tử - 5x = - 2x – 3x P(x) = x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x + = (x2 – 2x) – (3x – 6) = x(x – 2) - 3( x – 2) = (x – )( x – 3) Cách 2: Tách hạng tử - 5x = - 4x – x = + 2 P(x) = x2 – 5x + = x - 4x –x + + 2 = (x - 4x + 4) – ( x – 2) = (x – 2) - ( x – 2) = (x – )(x – – 1) = (x – 2)( x – 3) Cách 3: Tách hạng tử = 10 - P(x) = x2 – 5x + = x2 – 5x + 10 - = (x2 – 4) – ( 5x – 10) = (x + 2)( x – ) – (x – 2) = (x – 2)( x + – 5) = ( x – )(x – 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – 13 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Cách 1: Tách hạng tử 8x = 2x + 6x 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (3x + 2)(x + 2) Cách 2: Tách hạng tử 3x2 = 4x2 – x2 để làm xuất hiệu hai bình phương 3x2 + 8x + = 4x2 – x2 + 8x + = 4x2 + 8x + – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Cách 3: Tách hạng tử 3x = 4x2 – x2 3x2 = 12x2 – 9x2 để nhóm hạng tử thích hợp 3x2 + 8x + = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – (x2 – 4) = 4x(x+2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(4x – x + 2) = (x + 2)(3x + 2) Hoặc 3x + 8x + = 12x2 – 9x2 + 8x + = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = 4x(3x+2) – (3x – 2)(3x + 2) = (3x + 2)(4x – 3x + 2) = (3x + 2)(x + 2) Cách 4: Tách hạng tử = 16 – 12 3x2 + 8x + = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 – 4) + 8(x + 2) = 3(x – 2)(x + 2) + 8(x + 2) = (x + 2)[3(x – 2) + 8)] = (x +2)(3x + 2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức 4x – 4xy – 3y2 thành nhân tử 14 Cách 1: Tách hạng tử – 4xy = –6xy + 2xy 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 –6xy + 2xy – 3y2 = (4x2 – 6xy) + (2xy – 3y2) = 2x(2x – 3y) + y(2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + y) Cách 2: Tách hạng tử – 3y2 = y2 – 4y2 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 – 4xy + y2 – 4y2 = (4x2 – 4xy + y2) – 4y2 = (2x – y)2 – (2y)2 = (2x – y – 2y)(2x – y + 2y) = (2x – 3y)(2x + y) Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = 4x2 – 4x – b) g(x) = 7x2 + 12x – Phân tích giải: a) Ta thấy 4x2 – 4x = (2x)2 – 2.2x.1 nên cần thêm vào 4x2 – 4x để làm xuất đẳng thức Do đó: 4x2 – 4x – = 4x2 – 4x + – = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – – 2)(2x – + 2) = (2x – 3)(2x + 1) b) Ta thấy 12x – = – (– 2.3x.2 + 2) nên cần thêm 9x2 vào dấu ngoặc để đẳng thức Do đó: 7x2 + 12x – = 16x2 – 9x2 + 12x – = (4x)2 – (9x2 – 12x + 4) = (4x)2 – (3x – 2)2 = (4x – 3x + 2)(4x + 3x – 2) = (x + 2)(7x – 2) 7.4.1.3.2 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm, bớt hạng tử để làm xuất đẳng thức Ta thấy x4 + = (x2)2 + 22 cần thêm 4x2 bớt 4x2 để làm xuất đẳng thức: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 15 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Cách 2: Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)( x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + 64y4 thành nhân tử Ta thêm, bớt hạng tử để làm xuất đẳng thức Ta thấy x4 + 64y4 = (x2)2 + (8y2)2 cần thhêm 16x2y2 bớt 16x2y2 để làm xuất đẳng thức x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Ví dụ 3: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) 7.4.2 Một số sai lầm học sinh thường mắc phải phân tích đa thức thành nhân tử Qua phân tích làm học sinh, số sai lầm mà nhiều học sinh thường mắc phải sau: 7.4.2.1 Học sinh xác định nhân tử chung không hết dẫn đến phân tích khơng triệt để Ví dụ: Phân tích đa thức 2x x2 y x x y thành 2nhân tử 2x x y x x y x y 2x x Sai lầm: , học sinh cho sau đặt nhân tử chung ( x – y ) ngồi đa thức ban đầu đưa dạng tích xong Lời giải 2x x y x x y x y 2x x x y x x x x y x 7.4.2.2 Học sinh bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức 2x2 – 4x + thành nhân tử Sai lầm: 2x2 – 4x + = 2(x2 – 2x), học sinh cho sau đặt nhân tử chung hạng tử thứ ba Lời giải 2x2 – 4x + = 2(x2 – 2x + 1) = 2(x – 1)2 16 Lưu ý học sinh: Khi đặt nhân tử chung, đa thức ban đầu có hạng tử đa thức ngoặc có nhiêu hạng tử 7.4.2.3 Học sinh phân tích khơng triệt để Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2x2 + 4x + thành nhân tử Sai lầm: 2x2 + 4x + = 2(x + 2x + 1), học sinh phân tích đến dừng lại chưa triệt để khơng nhận đẳng thức ngoặc Lời giải 2x2 + 4x + = 2(x2 + 2x + 1) = 2(x + 1)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 – 25 thành nhân tử Sai lầm: Đa số học sinh áp dụng lần đẳng thức hiệu hai bình phương dừng lại Thực chất ta áp dụng lần đẳng thức việc phân tích kết thúc Lời giải đúng: x4 – 25 = (x2 – 5)( x2 + 5) = (x 5)(x 5)(x 5) 7.4.2.4 Học sinh áp dụng sai đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 4y2 thành nhân tử Sai lầm: x2 – 4y2 = (x – 4y)(x + 4y) Lời giải đúng: x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x – 2y)(x + 2y) 7.4.2.5 Không biết đổi dấu hạng tử (hoặc đối dấu sai) để làm xuất nhân tử chung đẳng thức * Học sinh phát phải đổi dấu hạng tử để xuất nhân tử chung lại đổi dấu sai Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x(x – 5) – 2(5 – x) thành nhân tử Sai lầm: 3x(x – 5) – 2(5 – x) = 3x(x – 5) – 2(x – 5) = (x – 5)(3x – 2) Lời giải đúng: 3x(x – 5) – 2(5 – x) = 3x(x – 5) + 2(x – 5) = (x – 5)(3x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 2x(x – y) – 5(y – x)2 thành nhân tử Sai lầm: 2x(x – y) – 5(y – x)2 = 2x(x – y) + 5(x – y)2 = (x – y)[2x + 5(x – y)] = (x – y)(7x – 5y) Lời giải 2x(x – y) – 5(y – x)2 = 2x(x – y) – 5(x – y)2 = (x – y)[2x – 5(x – y)] = (x – y)( –3x + 5y) Do GV cần lưu ý học sinh: +) A = –(–A) +) Lũy thừa bậc chẵn hai số đối nhau: 17 (x – y)2 = (y – x)2 +) Lũy thừa bậc lẻ hai số đối đối nhau: (x – y)3 = (y – x)3 * Học sinh đổi dấu hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức –4 + 4x – x2 thành nhân tử Học sinh cảm thấy lúng túng gặp tốn đa thức khơng có dạng đẳng thức nào, ta đổi dấu đa thức nhận đẳng thức ngoặc 7.4.2.6 Học sinh thấy lúng túng đa thức xếp không theo thứ tự đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử a) – x2 + 9y2 b) x2 – 10x – 9y2 + 25 Ta dễ dàng nhận đẳng thức đổi chỗ hạng tử a) – x + 9y2 = 9y2 – x2 = (3y)2 – x2 = (3y – x)(3y + x) b) x2 – 10x – 9y2 + 25 = (x2 – 10x + 25) – 9y2 = (x – 5)2 – (3y)2 = (x – 3y – 5)(x + 3y – 5) 7.4.2.7 Học sinh nhóm hạng tử không linh hoạt dẫn tới bế tắc phân tích Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – y2 – 2x – 2y thành nhân tử Sai lầm: x2 – y2 – 2x – 2y = (x2 – 2x) – (y2 + 2y) = x(x – 2) – y(y + 2) Đến học sinh dừng lại bế tắc khơng phân tích Lời giải đúng: x2 – y2 – 2x – 2y = (x2 – y2) – (2x + 2y) = (x – y)(x + y) – 2(x + y) = (x + y)(x –y – 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 10x – 9y2 + 25 thành nhân tử Sai lầm: Đa số học sinh nghĩ đến nhóm hai hạng tử x2 – 10x – 9y2 + 25 = (x2 – 9y2) – (10x – 25) = (x – 3y)(x + 3y) – 5(2x – 5) x2 – 10x – 9y2 + 25 = (x2 – 10x) – (9y2 – 25) = x(x – 10) – (3y – 5)(3y + 5) cho đa thức không phân tích Lời giải đúng: x2 – 10x – 9y2 + 25 = (x2 – 10x + 25) – 9y2 18 = (x – 5)2 – (3y)2 = (x – 3y – 5)(x + 3y – 5) Cần lưu ý học sinh: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm mà q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 7.4.2.8 Học sinh nhóm hạng tử hay mắc lỗi đổi dấu dẫn đến khơng phân tích phân tích sai * Học sinh không đổi dấu số hạng đưa hạng tử vào ngoặc mà đằng trước có dấu trừ dẫn đến kết sai Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – y2 – 2x – 2y thành nhân tử Sai lầm: x2 – y2 – 2x – 2y = (x2 – y2) – (2x – 2y) = (x – y)(x + y) – 2(x – y) = (x – y)(x + y – 2) Lời giải x2 – y2 – 2x – 2y = (x2 – y2) – (2x + 2y) = (x – y)(x + y) – 2(x + y) = (x + y)(x – y – 2) * Học sinh không đổi dấu số hạng đưa hạng tử vào ngoặc mà đằng trước có dấu trừ dẫn đến khơng phân tích Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2xy – x + 2y thành nhân tử Sai lầm: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x + 2y) = x(x – 2y) – (x + 2y) Lời giải x – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x – 2y) = x(x – 2y) – (x – 2y) = (x – 2y)(x – 1) Lưu ý học sinh: Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu trừ “ – ” trước dấu ngoặc phải đổi dấu hạng tử, đặt dấu trừ “ + ” trước dấu ngoặc khơng phải đổi dấu hạng tử 7.4.2.9 Học sinh viết ngoặc phá ngoặc đằng trước có dấu trừ học sinh thường quên không đổi dấu hết hạng tử ngoặc Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + y2 thành nhân tử Sai lầm: 2x – 2y – x2 + y2 = (2x – 2y) – (x2 – y2) = 2(x – y) – (x – y)(x + y) = (x – y)(2 – x + y) Lời giải đúng: 2x – 2y – x2 + y2 = (2x – 2y) – (x2 – y2) = 2(x – y) – (x – y)(x + y) 19 = (x – y)[2 – (x + y)] = (x – y)(2 – x – y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Sai lầm: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) = 0.2x = Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Lưu ý học sinh: Cần viết đầy đủ dấu ngoặc phá ngoặc đằng trước có dấu “ – ” phải đổi dấu hạng tử * Lưu ý: - Cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích đề để từ xác định phương pháp phân tích cho phù hợp - Cần luyện kĩ cộng, trừ đơn thức biến đổi đa thức cho học sinh - Cần luyện kĩ tính tốn, cần nhắc nhở học sinh ý dấu - Học sinh cần phải ghi nhớ có kĩ vận dụng đẳng thức đáng nhớ cách linh hoạt - Lưu ý bước thử lại quan trọng, có số học sinh q trình biến đổi, tính tốn bị sai dấu, sai số sai luỹ thừa biến dẫn đến kết sai Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề: Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh, tài liệu tham khảo 10 Kết sáng kiến kinh nghiệm 10.1 Đánh giá lợi ích thu hoặc dự kiến có thể thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả 10.1.1 Đối với giáo viên Sau thực đề tài, tơi thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tập cải thiện Học sinh nắm vững kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự nhiều tốn 20 Tuy nhiên cịn nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà chưa đề cập phạm vi chuyên đề Tôi tiếp tục nghiên cứu trình bồi bồi dưỡng học sinh khiếu năm học 10.1.2 Đối với học sinh Đối tượng áp dụng: Học sinh khối – Trường Trung học sở Yên Lập Sau áp dụng đề tài “RÈN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ’’ vào q trình giảng dạy, tơi thu kết sau: Năm học Tổng số học sinh Trung bình trở lên Trước áp dụng năm học 2019 - 2020 134 90 67,2% Sau áp dụng năm học 2020 – 2021 134 110 82,1% 10.2 Đánh giá lợi ích thu hoặc dự kiến có thể thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức, cá nhân Để thực đề tài cách có hiệu góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn trường Trung học sở n Lập nói riêng, tơi xin đưa số đề xuất sau: + Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh để có phương pháp dạy phù hợp Đối với học sinh yếu cần thường xuyên củng cố, sửa chữa sai lầm, rèn luyện kỹ để nắm phương pháp bản, thực hành theo mẫu tập tương tự, từ đơn giản đến phức tạp bám sát nội dung SGK Ngoài việc nắm phương pháp bản, cần tăng cường kỹ biến đổi, kỹ vận dụng, phối hợp phương pháp học sinh đại trà, tìm hiểu phương pháp nâng cao, tập mở rộng nhằm tạo thói quen tự học, tìm tịi sáng tạo, phát triển tư cho đối tượng học sinh giỏi + Sau tập giáo viên nên hệ thống lại kiến thức có liên quan phương pháp giải chung cho dạng bài, sai lầm học sinh cần tránh q trình phân tích + Giáo viên phải tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ Với lực cịn hạn chế q trình nghiên cứu nên việc trình bày đề tài tơi khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong đóng góp chân thành từ đồng nghiệp để thân tiến hơn! 21 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Tên tổ chức/ cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng PP phân tích đa thức thành nhân tử PP phân tích đa thức thành nhân tử Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính – Tơn Thân, “Tốn – Tập 1”, NXB Giáo dục, 2013 [2] Vũ Hữu Bình, “Nâng cao phát triển Tốn – Tập 1”, NXB Giáo dục, 2013 [3] Tôn Thân – Vũ Hữu Bình, “Bài tập Tốn – tập 1”, NXB Giáo dục, 2013 [4] Bùi Văn Tuyên – Nguyễn Đức Trường “Trọng tâm kiến thức phương pháp giải tập toán – tập 1”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016 22 ... pháp tổ chức thực Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác 7.4.1 Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử theo đối tượng HS 7.4.1.1 Củng cố kiến thức học sinh yếu... tốn nên thân tơi đa mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử? ?? Tên chun đề: ? ?Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử? ?? Tác giả chuyên đề: - Họ tên: - Địa chỉ:... đẳng thức * Nếu đa thức có bốn hạng tử ta thường nghĩ đến vận dụng đẳng thức b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x2 – 9y2 b) x3 – 8y3 c) 27 + 64y6 Phân tích giải: a) Đa thức