CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ 2.1 Hàm số phức 2.2 Ánh xạ của hàm số phức 2.3 Ánh xạ tuyến tính 2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt 2.4.1 Hàm lũy thừa z n 2.4.2 Hàm lũy thừa z 1/n Một hàm số f từ tập A đến tập B là qui luật tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong A đến một và chỉ một phần tử trong B. 2.1 Hàm số phức: Một hàm số phức f là một hàm số có miền xác định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con của tập số phức C VD : f(z) = -z 3 + 2.z + z a) z = i b) z = 2 – i c) z = 1+2i Giải: a) f(i) = -(i) 3 + 2.(i) + i = 4i b) f(2 - i) = -(2 - i) 3 + 2.(2 - i) + 2 - i = -(8 – 12i + 6i 2 - i3) + 4 – 2i + 2 – i = 4 + 8i c) f(1 + 2i) = -(1 + 2i) 3 + 2.(1 + 2i) + 1 + 2i = -(1 + 6i + 12i 2 + 8i 3 ) + 2 + 4i +1 +2i = 14 + 8i • Phần thực và phần ảo của hàm số phức Ta có w = f(z) mà z = x + iy đặt w = u + iv Giả sử w = z 2 => w = ( x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2xyi => f(z) = u(x,y) + v(x,y)i u(x,y) gọi là phần thực. v(x,y) gọi là phần ảo. • VD: f(z) = 6z – 5 + 9i với z = x + iy ⇒ f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i = 6x – 5 + (6y + 9)i => u(x,y) = 6x – 5 v(x,y) = 6y + 9 • Hàm số mũ số phức e z Hàm số e z được định nghĩa như sau : e z = e x cosy + ie x siny thì được gọi là hàm số mũ số phức và u(x,y) = e x cosy - phần thực v(x,y) = e x siny - phần ảo Một số tính chất: e 0 = 1 e e = e = e (e z ) n = e nz với n = 0, ±1,± 2,… 2 1 z z e e 1 z 2 z 21 zz + 21 zz − VD: a) z = 3 + i => x = 3, y = e 3 + i = e 3 cos ( ) + ie 3 sin ( ) = -e 3 + ie 3 3 π 3 π 3 π 3 π 2 1 2 3 3 π Toạ độ cực: z = x + iy biểu diễn ở dạng Đề Các : z = r(cosθ + isin θ) = re iθ Nếu w = f(z), ta thay z = r(cosθ + isin θ) lúc này hàm số được viết dưới dạng toạ độ cực như sau: w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) u(r, θ) và v(r, θ) vẫn được gọi là phần thực và phần ảo của w. VD: f(z) = r 2 .cos + i.3.sin(2.θ) với z = i Ta có: i = cos + i.sin r = 1 , θ = f(i) = cos + 3.sin .i = 2 θ 4 π π ⇒ 2 π π 2 π 2 2 [...]... i, 2 + i, 2 + 2i và 1 + 2i theo ánh xạ tuyến tính T(z) = z + 2 – i Giải: Ta biểu diễn S và S’ được xây dựng bằng cách vẽ ảnh của mặt phức Theo (1): b = x0 + iy0 = 2 +i(-1) Tập các đỉnh của các vectơ là S’, ảnh của S theo T.Theo hình 2. 9 chứng tỏ rằng S’ là 1 hình vng với các đỉnh ở: T(1 + i) = (1 + i) + (2 – i) =3 T (2 + i) = (2 + i) + (2 – i) =4 T (2 + 2i) = (2 + 2i) + (2 – i) =4+i T(1 + 2i) = (1 + 2i)... thẳng đi từ -i đến -1 2. 3 Ánh xạ tuyến tính: Một hàm số thực có dạng f(x) = ax+b với a,b là hằng số thực ,ta gọi là hàm số tuyến tính Tương tự ta có một hàm số phức tuyến tính là hàm số có dạng f(z) = az + b với a,b là hằng số phức Một ánh xạ tuyến tính phức có thể được tạo thành bằng tổ hợp 3 cách: phép dời trục tọa độ, phép quay, tỷ số giãn  Phép dời trục tọa độ: Một hàm số phức tuyến tính: T(z).. .2. 2 Ánh xạ của hàm số phức: Cơng cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm Đồ thị của hàm y = f(x) là tập tất cả các điểm (x,f(x)) trong hệ toạ độ Đề Các 2 chiều Một định nghĩa tương tự cho hàm số phức Tuy nhiên nếu w= f(z) là hàm phức, cả z và w đều nằm trên mặt phẳng phức, nó gồm tất cả các điểm (z,f(z)) nằm trên khơng gian 4 chiều (2 chiều từ đầu z vào 2 chiều... mp thõa 2 bất đẳng thức đồng thời: v ≥ 2 và -∞ < u < ∞ VD 2: Ảnh của đường thẳng w = z2 Tìm ảnh của đường thẳng đứng x = 1 dưới ánh xạ phức w = z2 và biểu diễn hình học ánh xạ Giải: Đặt C là tập các điểm thuộc đường thẳng x = 1 hay tập các điểm z = 1 + iy với -∞ < y < ∞ Như ở VD 1 phần thực và phần ảo của w = z2 là u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy Vì z = 1 + iy ⇒ u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y ⇒ S’... ảnh của mặt phức, khi đó tất cả các điểm đều nằm trên 1 cung tròn tâm tại 0,bán kính r VD: Ảnh của đường thẳng theo phép quay Tìm ảnh của trục thực y = 0 theo ánh xạ tuyến tính: 1 1 2+ R(z) = ( 2 i )z 2 2 Giải: Đặt C là trục thực y = 0 và C’ là ảnh của C theo R.Vì 1 1 2+ 2 2 i = 1, ánh xạ 2 phức R(z) là một phép quay π i 1 1 Ta có: 2 2 + 2 2 i =e 4 i π 4 Vì y=0 => z=r => R(z)=re Do đó,nếu z và R(z) được... phẳng Re ≥ 2 dưới ánh xạ phức w = iz và biểu diễn hình học ánh xạ Giải: Đặt S là nửa mp chứa tất cả những điểm phức z với Re 2 Tất cả những điểm z trên đường x = 2 có pt z = 2 + iy trong vùng (-∞ < y < ∞) Giá trị của f(z) = iz tại các điểm trên đường thẳng là w = f (2 + iy) = -y + 2i Vì tập các điểm w = -y +2i là đường v = 2 trong mp w Ta kết luận đường x = 2 trong mp z được ánh xạ lên đường v = 2 trong... gần đúng: z(t) = z0 + reit 0 ≤ t ≤ 2 Ảnh của đường cong tham số dưới ánh xạ phức: Nếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu C là đường cong có tham số z(t), a ≤ t ≤ b thì w = f(t) = f(z(t)) a≤t≤b là hàm tham số hố của ảnh C’ của C qua w = f(z) VD: Ảnh của 1 đường cong tham số Tìm ảnh của đọan thẳng đi từ 1 đến i dưới ánh xạ phức w = iz Giải: Đặt C là đọan thẳng đi từ 1 đến i và C’ là ảnh của C theo f(z) = iz... mp z được ánh xạ lên đường v = 2 trong mp w bởi ánh xạ w = iz Ở hình 2. 2 a) tập S có thể được miêu tả bởi 2 bất đẳng thức đồng thời: x ≥ 2 và -∞ < y < ∞ (1) Để biểu diễn ảnh của S, chúng ta biểu diểu ánh xạ w = iz trong phần thực và ảo u, v của nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz w = i(x + iy) = -y + ix u(x,y) = -y và v(x,y) = x (2) ⇒ Từ (1), (2) : v ≥ 2 và -∞ < u < ∞ Đó chính là tập S’ ảnh của S qua w... điểm thuộc w = u + iv thỗ 2 pt đồng thời: u = 1 − y 2   v = 2 y (−∞ < y < ∞ ) v2 ⇒u=14 y có thể lấy giá trị thực từ v nên v nhận giá trị thực C’ (ảnh của C) là đường parabol trong mp w với đỉnh (1,0), cắt u tại (0, 2) .Trên hình đường x = 1 được ánh xạ thành 2 ường parabol v u=1qua ánh xạ phức 4 2 w=z Đường cong tham số trong mp phức: • Định nghĩa: Nếu x(t) và y(t) là những hàm thực của biến thực t... + 2i) + (2 – i) = 3 + i  Phép quay: Một hàm tuyến tính phức: R(z) = az, a = 1 được gọi là một phép quay Nếu α là một số phức bất kì khác 0, khi đó a = α/ α là một số phức và |a|=1 Vì vậy với bất kì số phức khác khơng α, ta có R(z) = α z là một phép quay α Khi a = 1 và Arg(a) > 0, ta có thể viết a ở dạng mũ a = eiθ với 0 < θ ≤ π Nếu a = eiθ và z = reiΦ thì: R(z) = eiθreiΦ = rei(θ + Φ) Nếu z và R(z) . CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ 2. 1 Hàm số phức 2. 2 Ánh xạ của hàm số phức 2. 3 Ánh xạ tuyến tính 2. 4 Hàm lũy thừa đặt biệt 2. 4.1 Hàm lũy thừa z n 2. 4 .2. .i = 2 θ 4 π π ⇒ 2 π π 2 π 2 2 2. 2 Ánh xạ của hàm số phức: Công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm. Đồ