mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút ( Câu 1: Cho ma trận Giải: Ta có ) Xác định phần tử đường chéo ma trận ( với => ) Dễ dàng tính Từ suy Do phần tử đường chéo ( ) ( Câu 2: Cho ma trận ( ) Chứng minh Giải: Tính tốn, ta thấy ma trận , ( ) chéo hóa Do đó, tồn ma trận ( ) khả nghịch cho ) ma trận chéo Suy ( => ( ) ( ) ( ) định thức để hệ phương trình sau có nghiệm độc lập tuyến tính ( ( { Giải: Gọi ) ) ) ( Ta có: khác Câu 3: Xác định ( ( ) ( ) ) ) ma trận hệ số phương trình mt ( ( ( ( Nhân dòng Nhân dòng với cộng vào dòng với ( cộng vào dòng ) ) ) ( ) ) ( ), ta ( ) ), ta ( ) Dễ dàng suy hệ phương trình có nghiệm độc lập tuyến tính Câu 4: Cho ma trận vng cấp cho dịng chứa phần tử khác , phần tử nằm đường chéo , phần tử lại Chứng minh ma trận khả nghịch Giải: Đặt ( ) Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, suy biến Kí hiệu , coi cột tổ hợp tuyến tính la2 vector phụ thuộc tuyến tính cột thứ Đo phải có ( ) hệ số khác Giả sử | hai phần tử khác khơng dịng thứ | *| | | | | ( |+ Đương nhiên | | Giả sử ) Từ ( ) suy Suy | mâu thẫn với cách chọn | | Vậy Câu 5: Cho ma trận vuông cấp ma trận suy biến Giải: Nếu Nếu | | | | | khả nghịch thỏa mãn điều kiện Chứng minh hiển nhiên , xét ánh xạ xác định sau ( ) Khi ( ) khơng gian kì ( ) Khi có số chiều (do ) Gọi * + vector khác bất Bằng quy nạp, ta thu đẳng thức mt ( Suy tính ( Câu 6: Cho đa thức ( ) bậc có ) Nghĩa hệ phương trình tuyến ma trận suy biến nghiệm thực phân biệt lớn Chứng minh đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) nghiệm thực phân biệt Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) với ( ) Rolle, phương trình ( ( ) Mặt khác, đa thức trình ( ( Như có nghiệm khơng tầm thường Vậy ) có ) ( )) Nếu tồn cho ( )) : ( ) có ( ) ( ) ( ) ( ) Khi phương trình hay đa thức ( ) ( ) Gọi ( ) nghiệm có nghiệm Theo định lí ( ) có nghiệm khoảng ( ) nghiệm Lại áp dụng định lí Rolle, phương hay đa thức ( ) có nghiệm khoảng ( đa thức ( ) có ) nên nghiệm thực phân biệt Bây giờ, giả sử Thế ( ) ( ) ) ( ) Do ( hay ( ) Suy ( ) nghiệm phân biệt (!) Vậy, đa thức ( ) có ( ) ( ) , với , Như đa thức ( ) có nghiệm thực phân biệt mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XV NĂM 2007 Mơn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút * Câu 1: Cho ( ) ma trận vng cấp có tính chất sau: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính ( ) với ma trận đơn vị cấp , ( ) Giải: Ta có tầm thường Câu 2: Giả sử ma trận vuông cấp thực khác Chứng minh Giải: Theo giả thiết ta có: Suy ( )( ) ( hay Do )( )( ( Giải: Nếu Nếu ) thì ( ) Tính ( )   2   A=  n-1 n-1  n n          +   n - n - 1  n n     1 2 n-1 n-1 n-1 1 2 n-1 n-1 => Dễ thấy ( 3 trận cấp nằm bên trái phía , Vậy Câu 4: Tìm tất đa thức ( ) Giải: Ta chứng minh hai số ) phần tử , - nên ) hay Câu 3: Cho Vậy hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện ( + , - thỏa      = B1 + B2  n  n   n n n ) Kí hiệu / Khi nên ma ( ) , ( ) ( )- Thật vậy, giả sử tồn đa thức ( ) thỏa mãn giả thiết toán Xét hệ số ( ) => Trường hợp 1: ( ) hai vế đẳng thức toán, ta thu được: Điều mâu thuẫn với , thay vào hệ thức cho, ta thu mt , ( ) Trường hợp 2: ( ) - () ( ) ( ) ( ) Tìm tất ma trận vng ) ) - Thử lại, đa thức bậc hai có dạng thỏa mãn Tốn ( ( Giải: ) Vậy ( ) Câu 5: Cho ma trận ) Theo giả thiết, ta có , ( Suy ( ( cấp cho ) ( ) ( ) ( ) Kí hiệu: ( ) Khi ( ) tương đương ta có: ( ) hay Do ∑ ∑ ( ( ) ( Mặt khác với ) có dạng ) Ngược lại, dễ dàng kiểm tra ma trận / ma trận vng cấp khả nghịch ma trận ) Vậy ma trận ( ) Ta thấy Tóm lại, ta thu Câu 6: Giả sử ( có dạng thỏa mãn điều kiện Toán khả nghịch Chứng minh ma trận vuông cấp cấp xác định hệ thức / khả nghịch GIải: Giả sử / / thỏa mãn hệ phương trình / / / ( ) Khi { ) Nhân phương trình đầu với , phương trình hai với trừ vế, ta ( Do khả nghịch nên => Lập luận tương tự ta có Vậy hệ ( ) có nghiệm tầm thường Do ma trận khả nghịch mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XVI NĂM 2008 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút số thực, dãy * Câu 1: Cho + lập thành cấp số cộng cơng sai Tính định thức ma trận ( ) Giải: Ta có | | | | Cộng cột đầu vào cột cuối, ta ( ) | | | | Do Tiếp tục nhân hàng thứ với cộng vào hàng cuối cùng, nhân hàng thứ hàng thứ nhân hàng với cộng vào hàng ta ( ) | | | | ( ) ( ) với cộng vào | | | | Cộng hàng cuối vào hàng lại, ta được: ( Câu 2: Cho phân biệt ) ( ) | | | | ma trận thực vuông cấp thỏa mãn điều kiện hai ma trận cho ( ) ( ) Chứng minh tồn hai số thực mt Giải: Cách 1: Đa thức đặc trưng ( Do nên ) ( ) => phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ( ) Khi đó, đặt ( ) Suy Vậy Cách 2: Đa thức đặc trưng ( Do nên nên chéo hóa ) ( ) => phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ( ( => Đặt ( / / ) ) Vậy ta tìm hai số thực phân biệt có giá trị riêng ) [ / hay / ( )] / / hai giá trị riêng hai ma trận Câu 3: Cho ma trận vuông thực cấp , vết Tổng phần tử hàng Xác định giá trị riêng Giải: Ta có trưng : tổng phần tử hàng ma trận ( ) ( ) cho Do đa thức đặc ( ) Mặt khác | | | | | ( Suy | )| | giá trị riêng Thay vào ( ), ta mt ( ) Vậy ma trận | | ( )( có giá trị riêng đơn giá trị riêng kép Câu 4: Cho số thực thỏa mãn Chứng minh tồn ma trận thực vuông cấp (∑ Giải: Đặt ) ∑ ) Xét ma trận cấp sau ( ( Do ) ( ) ( ) ) Mặt khác: ∑ ( Khai triển Laplace theo cột thứ nhất, ta được: (∑ ) ) Câu 5: Cho ma trận vuông cấp khả nghịch Mọi phần tử ma trận )| có giá trị riêng số thực | ( Giải: Do phần tử số nguyên nên | => | | | || | | | ( ) đa thức đặc trưng Gọi ( ) Xét đa thức () () ( số nguyên Mặt khác | Với ma trận , đặt Khi ( ) ∏ Ta có số nguyên Chứng minh ( ∏ tất giá trị riêng thực )/ ) Từ suy ∏( ( ) ) ( ) ước ( ) Do | | | ∏( ) () | ∏( )( nên ( ) | || ) ( ) Vậy | mt ( )( | ) ( ) | Câu 6: Tồn hay không đa thức ( ) bậc 2008 thỏa mãn điều kiện ( ) Giải: Với với ? Tại sao? xét biểu thức ( ) Biểu thức nói cho ta xác định đa thức ( ) ( ) đa thức thỏa mãn u cầu Tốn Có thể giải theo cách khác sau: Với đặt ( ) ( ( ) )( ( ) ( ( ))( ( ))( ∑ ( )) ( ( )) ) ( ) ( ) Dễ dàng chứng minh đa thức ( ) thỏa mãn điều kiện Toán mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XVII NĂM 2009 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho số thực thỏa mãn đẳng thức sau: { Chứng tỏ với số tự nhiên , ta có Giải: Từ hệ thức cho: ) trình ( Dễ dàng thấy ba số Vậy Theo định lí Viete, chúng nghiệm phương Câu 2: Tồn hay không ma trận thực vuông cấp cho / Giải: Cách 1: Giả sử tồn ma trận thỏa mãn yêu cầu đề Kí hiệu Theo định lí Caley-Hamilton ta có: ( ) đa thức đặc trưng ma trận (1đ) Bằng quy nạp: 1/ Xét (1đ) : Khi 2/ Xét Đặt / / ( ) (1đ) : /, từ giả thiết suy ( Vậy ) (1đ) => () (1đ) Kết luận: không tồn ma trận Cách 2: Giả sử tồn ma trận thỏa mãn điều kiện Toán thỏa mãn yêu cầu đề Đặt ( ( ( ) Theo giả thiết, ta có: ( 1/ Xét ) ) / (1đ) Ta có: / (1đ) (1đ) : ( 2/ Xét ) hay ( ) ) / (1đ) : 10 mt Kết luận: không tồn ma trận Câu 3: Cho ( / / (1đ) thỏa mãn điều kiện Tốn ma trận vng cấp cho giao hoán với , (ma trận đơn vị) ) a) Chứng minh b) Nếu có thêm điều kiện ( chứng tỏ ) ( ) Giải: a) Theo giả thiết, ta có: ( ) Suy ( ( )1 ( )][ ( Nhân phân phối lại, ta )] [ ( )][ ( )] b) Nếu có thêm điều kiện ) )1 )1 nghịch đảo nên chúng giao hoán [ ( => ( )1 ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( ) Ta có: ( Câu 4: Tính ,( ) ,( ) )( ( ))- , Giải: Đổi chỗ dòng, cột, ta thấy ma trận Ma trận ) ( ) đồng dạng với ma trận ( phép biến đổi tuyến tính (khơng suy biến) là: ( ) ) 11 mt Khi ma trận ( Trong ( Ta có ) ) / ( Ta có ) Do ( Câu 5: Tìm tất ma trận vng cấp ) cho với ma trận vuông cấp , ta có ( ) Giải: Chọn ma trận Giả sử ( ( , ta có ) ) => ( , ta chọn ma trận tam giác ( ) ( => ( ) ) ( { Khi ta thu ) ( Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử trái lặp lại phép chứng minh ta ) ) vị trí góc Vậy ma trận cần tìm ma trận Câu 6: Thí sinh chọn hai câu sau: a) Giải hệ phương trình:  x1  x   x1    2 x1  x1    x1    x2 x2   x3 x3   x4 x4   x5 x5   x6  x6  1    x2 x2 x2    x3 x3 x3    x4 x4 x4    x5 x5 x5    x6  x6  x6  1  x2  x3  x4  x5  x6  b) Ứng với đa thức ( ) với hệ số thực có nhiều nghiệm thực, gọi ( ) khoảng cách ( ) nhỏ hai nghiệm thực Giả sử đa thức với hệ số thực ( ) ( ) ) ( ) có bậc có nghiệm thực phân biệt Chứng minh ( Giải: a) Từ hai phương trình đầu: => Từ phương trình 1, 3: => Vậy ta có Từ phương trình 3, 4: Từ phương trình 2, 4: => 12 mt b) Gọi nghiệm ( ) ) phản chứng Giả sử ( ( ) Khi nghiệm ( ) Đặt ( ) ( cho Ta chứng minh phương pháp ( ) hai nghiệm gần số ( ) nên không nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) Suy )( ( ) ( ) Dễ dàng nhận thấy hàm số ( ) ( ) tồn cho Dễ dàng kiểm tra ( ∑ ( ) nghịch biến khoảng xác định Kết hợp với ( ) suy ( )( ) Khi ) Hay Như vậy, ta có ( ) ( ) ∑ ∑ () 13 mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XVIII NĂM 2010 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho ma trận vuông cấp ( với hệ số thực cho ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) Chứng minh b) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận khơng cịn có ( ) ( ) Giải: a) Nhận xét định thức ( ) ( ( ) Định thức ( ) Do ta có ( ) ( ) - Với ( ) - Với ( ) - Với - Với ta có ( Vậy +* ( ( ) ) nghiệm nên ( ) ( ) ( ) ) / ) ( +* ) đa thức bậc có ) đa thức bậc Mà ( ) / ( Khi Câu 2: Cho * ( ) b) Chọn ( ) ( ( ) ( ) + dãy số thực xác định ) ( ) { Chứng minh số nguyên chia hết cho Giải: Đặt ( ) Đa thức đặc trưng là: ( )( ( ) ( ( Suy ) Ta có )( => ) Do )( )( chéo hóa ) : Tính tốn ta 14 mt Câu 3: a) Chứng minh ứng với số nguyên dương, biểu thức ) bậc không biến đa thức ( ( ) b) Hãy tìm tổng hệ số đa thức biểu diễn dạng Giải: ) ( ) ( ) ( ) đa thức bậc a) Ta chứng minh đẳng thức ( không biến ) - Với : ( ( ) - Với : ) - Với : ( - Giả sử đẳng thức với , ta chứng minh với , tức ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) bậc không Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có đa thức ( ( ) đa thức bậc không quá biến Suy biến ( ) ( ) tức tìm b) Ta có Ta tìm tổng hệ số ( ) Từ định lí Viete, nghiệm phương trình Từ việc ( ) chọn , ta Câu 4: Xác định đa thức thực ( ) thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) Giải: Ta nhận thấy đa thức ( ) ( ) thỏa mãn Toán Ta chứng minh đa thức bậc dương không thỏa Chú ý đẳngthức Toán với giá trị phức Giả sử nghiệm (thực phức) ( ) Nếu ( ) ( ) , ( ) Thế vào điều kiện cho, ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) Điều mâu thuẫn ( ) Vậy √( ) | có giá trị lớn nghiệm ( ) Khi Ta giả thiết modulo | nghiệm Do | | | | |√( ) | Đặt √ | | | √ | : ( ) ( ) ( ) Thay vào tiếp, ta lại có |√( ) ,( ( )( ) √ | ) ( ) ( ) 15 mt Theo ( ), ta có: *( ) + Mâu thuẫn với ( ) Câu 5: Chọn hai câu sau: 5a) Cho ma trận thực, vuông cấp , có vết Tìm đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu 5b) Cho ma trận thực, vuông cấp , ( ) Chứng minh khả nghịch đồng thời giao hoán Giả sử giao hoán với Giải: 5a) Cách 1: Tính trực tiếp Vì nên tồn vector khác cho vector dòng lại biểu diễn tuyến tính qua Do ma trận có dạng sau: ( Đặt ( ( ) Khi • Ta có ) ) ( )( ) ( ) ( Vậy đa thức tối tiểu ( ) • Tính định thức () ( ) ( ) ( ) ) | | | | | | | | | | | | 16 mt | | | | | | | | ( Dễ dàng chứng minh quy nạp rằng: ) ( Vậy đa thức đặc trưng ( ) ) ( ( ) ) Cách 2: Vì hay ( ) nên có vector riêng ứng với Do mà giá trị riêng lại số thực Từ chéo hóa đường chéo có phần rử khác Suy đa thức đặc trưng đa thức tối tiểu 5b) Từ giả thiết, suy Do ( ) hay Suy ( ) ( )( ) nên khả nghịch đồng thời giao hoán ( ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) nghịch đảo nên ( Vậy ( ( ) tức ) ( )( ( ) ) ) 17 mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XIX NĂM 2011 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Xét không gian trường số thực , chứng minh tập hợp * ) không gian hàm liên tục ( Giải: Giả sử ta có hệ thức tuyến tính: Chia vế cho ( suy (3đ) Bài 2: Cho dãy số * Giải: Đặt (2đ) lấy giới hạn Quy nạp + * + * ) + xác định sau: ( Đa thức đặc trưng Lập hpt cho ) (1đ) { ) Khi ( ) ( () () Cách 1: Tính )( )( ) nên có gtr suy Cách 2: Chéo hóa ) (1đ) (1đ) (1đ) ( cách thay giá trị đặc biệt t giải ta tìm ( Suy + độc lập tuyến tính (1đ) kèm ma trận biến đổi sở (2đ) Tính (1đ) Bài 3: Cho ma trận thực vng cấp Đặt hốn với hai ma trận tồn số nguyên dương Chứng minh ma trận giao cho (với ma trận không cấp ) Giải: ( ) (2đ) * Chứng minh quy nạp Với : ok Giả sử ta có ( , ta chứng minh ) Thật ( ) ( ( * Lấy ( ) Ta có đa thức bậc ( ) Từ ( ) suy ( ( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) (1đ) 18 mt Xét đa thức đặc trưng : ( ) Ta có ( ) ( ) (2đ) Theo ( ) ta có ( ) ( ) ( ) Lại chọn ( ) ( ) nhờ vào tính giao hốn , ta có ( Tiếp tục q trình ta được: ( ) ) ( ) ( ) ( ) Bài 4: Tìm điều kiện cần đủ tham số cho đa thức ( ) bậc ( ) ( ) có nghiệm thực thực (kể bội) đa thức ( ) có n nghiệm Giải: * Điều kiện cần: lấy ( ) suy Qua giới hạn suy ⁄ (1đ) ⁄ (1đ) * Điều kiện đủ: bổ đề ( ) ( ) Để chứng minh, xét ( ) nghiệm thực (1đ) ( ) có Áp dụng lần nữa, ( ) đủ (1đ) ( ) có đủ ( ) có nghiệm thực (1đ) nghiệm thực, nên nghiệm thực từ chọn ( ) có nghiệm thực nên ( ) có thích hợp để điều kiện Bài 5: Hai sinh viên A B chơi trò chơi sau: Cho bảng vuông ô, Mỗi lượt, A chọn số ngun điền vào vị trí ( ) (tùy chọn khơng lặp lại) Sau B quyền chỉnh sửa giá trị cách giữ nguyên thêm bớt đơn vị Trò chơi kết thúc sau điền xong bảng để nhận ma trận B khẳng định ln có cách để nhận ma trận khả nghịch khơng có điểm bất động (tức khơng có vector để ) Khẳng định B hay sai? Hãy chứng minh nhận định bạn ( Giải: B chọn | | ( ) ( ) ) ( ) (2đ) (1đ) nên vector đồng dư ̅ Nếu có vector riêng tương ứng với chọn phần tử lấy mod 3) vector riêng (1đ) Nhưng | | có giá trị riêng (tức (1đ) Bài 6: Thí sinh chọn hai câu sau: 6a Tìm điều kiện tham số ( ( ( {( 6b Cho ma trận để hệ phương trình sau có nghiệm ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) / Hãy tính 19 mt Giải: 6a) Định thức tương ứng ( ) ( ( , Trong 6b) Cách 1: => ( )( √ ( )( ) ) )( ( )( √ )( ) ) )- => ) (2đ) => ( đôi phân biệt (1đ) ( ) (2đ) (1đ) Cách 2: / / => Đặt ( /( ) / Khi đó: ( ) ) / √ / / √ => 20 ... Vậy, đa thức ( ) có ( ) ( ) , với , Như đa thức ( ) có nghiệm thực phân biệt mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XV NĂM 2007 Môn thi: Đại số Thời... mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XVI NĂM 2008 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút số thực, dãy * Câu 1: Cho + lập thành cấp số cộng... đa thức ( ) thỏa mãn điều kiện Tốn mt HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TỒN QUỐC LẦN THỨ XVII NĂM 2009 Mơn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho số