Chương 1 • Giới hạn của dãy số thực: Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ. Số e. • Giới hạn của hàm số: Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp. Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng. Dạng vô định. • Hàm số liên tục: Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính liên tục của hàm sơ cấp. Hàm liên tục trên một khoảng đóng. ÁNH XẠ 1. Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y Y∈ Ký hiệu f : X Y x y = f(x) → a X Y 2. Phân loại ánh xạ Ánh xạ f là đơn ánh: mỗi y Y, có ∈ nhiều nhất một x X∈ sao cho y = f(x). Ánh xạ f là toàn ánh: mỗi y Y, ∈ có ít nhất một x X∈ sao cho y = f(x). Ánh xạ f là song ánh: mỗi y Y, ∈ có duy nhất x X∈ sao cho y = f(x). DÃY SỐ THỰC 1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N * vào tập hợp các số thực R. Ký hiệu {x n }, n =1, 2,…, để chỉ một dãy số. Ví dụ: { } n n 1 2 n 1 1 1 a) ; ; 1; ; ; ; n 2 n x x x x x = = = = L L { } n n 1 2 n b) ; 1; 1; 1; ; 1;x x x x x = = = = L L { } ( ) ( ) n n n n 1 2 n c) ; 1 ; 1; 1; ; 1 ;x x x x x = − =− = = − L L { } 2 2 n n 1 2 n d) ; n ; 1; 4; ; n ;x x x x x = = = = L L { } n n n n 1 2 n 1 9 1 e) ; 1 ; 2; ; ; 1 ; n 4 n x x x x x     = + = = = +  ÷  ÷     L L DÃY SỐ HỘI TỤ 1.Định nghĩa: Dãy số {x n } hội tụ về a ⇔ giá trị x n “rất gần” a 0 0 n a R, N : n N :| x - a| < ⇔ ∃ ∈ ∀ε >0, ∃ ∀ > ε Ký hiệu n n lim a; lim a n x x →+∞ = = Ví dụ: khi n đủ lớn. 2 1 a) lim 0 n = n 1 b) lim 0 2 = CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN 1. Nếu dãy số {x n } hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất 2. Nếu limx n , limy n tồn tại thì  lim(x n + y n ) = limx n + limy n  lim(Cx n ) = Climx n  lim(x n y n ) = limx n limy n  n n n n x limx lim y limy = Ví dụ: n 2 1 1 a) lim 2 n   +  ÷   n 1 b) lim 3. 2    ÷   DÃY SỐ PHÂN KỲ 1. Định nghĩa: Dãy {x n } phân kỳ nếu nó không hội tụ 2. Giới hạn vô hạn: Định nghĩa: Ta nói dãy số x n có giới hạn vô hạn nếu x n có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn. 0 0 n M > 0, N , n > N : x >M ⇔ ∀ ∃ ∀ Ký hiệu n lim x = ∞ Nếu dãy số x n có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là x n > 0 hoặc x n < 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết tương ứng. n lim x = +∞ hoặc n lim x = −∞ Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát x n = An k (n N), ∈ trong đó A ≠ 0 và k > 0. Ta có k limAn = +∞ nếu A > 0; k limAn = −∞ nếu A < 0 NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN Chuyển về các giới hạn cơ bản và thay vào biểu thức cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định) n 1 a 1 lima 0 0 a < +∞ >  • =  <  k 0 k 0 limn 0 k < +∞ >  • =   Ví dụ: Tính các giới hạn sau 2 2 2n + 1 a) lim n - 1 n n n n 5 - 2 b) lim 4 + 3 ( ) c) lim n n-1 − ( ) 1 1 1 1 d) lim 1.2 2.3 3.4 n n+1   + + + +     TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP n n n n n n n x y z lim y limx limz a lim y a ≤ ≤ ∃   ⇒   = = =   Hệ quả: n n n n 0 x y lim x 0 limy 0  ≤ ≤  ⇒ =  =   Ví dụ: Chứng minh rằng Định lý 2 nsinn lim 0 n +1 = DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Định nghĩa: Dãy {x n } được gọi là tăng nếu n n 1 x x , n + ≤ ∀ là giảm nếu n n 1 x x , n. + ≥ ∀ Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu. Dãy {x n } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao cho , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho n x c, n ≤ ∀ n x d, n. ≥ ∀ DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Ví dụ: Xét các dãy số sau n 1 x n = a) Dãy {x n } với b) Dãy {x n } với ( ) n n x 1 = − c) Dãy {x n } với 2 n x n = d) Dãy {x n } với n n 1 x 1 n   = +  ÷   Định lý 1. Nếu dãy số {x n } tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. 2. Nếu dãy số {x n } giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Ví dụ: Dãy {x n } với n n 1 x 1 n   = +  ÷   là một dãy tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ. Gọi e là giới hạn của dãy ấy, ta được. n 1 lim 1 n e   + =  ÷   HÀM SỐ là quy tắc cho tương ứng với mỗi x X, với mỗi y Y.∈ ∈ Định nghĩa: Hàm số: f : X R Y R ⊂ → ⊂ Ký hiệu: f : X R Y R x y = f(x) ⊂ → ⊂ a Miền xác định : D f = {x : f(x) có nghĩa} Miền giá trị : T f = { y = f(x) , với mọi x D∈ f } Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x. [...]... không đúng 2 Hàm số có đạo hàm tại x0 ⇔f (x ' 0 ) =f (x ) ' + 0 3 Nếu f(x) khả vi trên khoảng (a, b) thì f(x) là 1 hàm xác định trên (a, b) ĐẠO HÀM 2 Các quy tắc tính đạo hàm a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại x 0 thì tại điểm đó: 1 ( u ± v ) = u ± v / / 2 ( ku / / ) / = ku / u / v − uv / u 4  ÷ = (v ≠ 0) 2 v  v 3 ( u v ) = u / v +