Đang tải... (xem toàn văn)
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic. Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một tài liệu tham khảo phù hợp. Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các kỳ thi Olympic 304, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng, không tìm được lời giải. Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi. Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi nó mang tính chủ quan.
Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Độc lập – Tự – Hạnh phúc An Giang, ngày 20 tháng năm 2019 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ: Họ tên: Lê Quốc Sang Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982 Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An Chức vụ nay: Tổ trưởng tổ Tốn, Bí thư Chi KHTN Lĩnh vực cơng tác: chun mơn Tốn II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ: Đặc điểm tình hình: BI Trường THPT Chu Văn An thành lập từ năm 1975, tiền thân trường cấp Phú Tân, trải qua thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày lớn mạnh Nhìn chung, máy tổ chức trường THPT Chu Văn An ổn định, tổ chun mơn đồn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ giao Trường học nhiều năm liền đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ” Thành tích đạt năm học 2017-2018 sau: Chất lượng văn hóa: Học lực: Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68% Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14% Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19% Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18% Hạnh kiểm: Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52% Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4% Trung bình: học sinh, tỉ lệ: 0,08% Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh: Học sinh giỏi mơn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh Chất lượng hoạt động thi: Tham gia nhiều thi Sở, Huyện tổ chức tích cực, đạt hiệu Tổ chức Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … thành công, học sinh giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều viết, nhiều tiết mục sáng tạo, phát học sinh có nhiều tiềm triển vọng Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Lĩnh vực sáng kiến: Tốn học BI MỤC ĐÍCH U CẦU CỦA SÁNG KIẾN: Thực trạng cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến: Dãy số, hàm số vấn đề tảng giải tích, lĩnh vực khó rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác toán học Có nhiều tốn dãy số tìm số hạng tổng quát dãy, chứng minh tính chất dãy, tính tổng số hạng dãy, tìm giới hạn dãy,….trong tốn tìm giới hạn dãy thường xuất nhiều kì thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic Những năm gần đây, toán dãy số xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số ít, có nội dung đề cập cao so với trình độ học sinh phổ thơng khơng chun Do học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý định ơn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu tham khảo phù hợp Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt học sinh trường THPT Chu Văn An khơng có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua kỳ thi Olympic 30/4, kỷ yếu, trường chuyên tổ chức Thực tế nay, em chủ yếu học tập toán dãy số sách giáo khoa sách tập, gặp toán dãy số kỳ thi học sinh giỏi, em thường lúng túng, khơng tìm lời giải Bài viết tất vấn đề giới hạn dãy số đề cập mà viết đề cập đến số tốn tìm giới hạn dãy gặp nhiều kì thi Bài viết khơng phải giáo trình, tài liệu dãy số mà cóp nhặt, ghi nhận thân trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đơi mang tính chủ quan Rất mong quý thầy, cô, bạn đọc giả xem tài liệu mở tiếp tục triển khai, ghi nhận góp ý cho chưa hay, chưa xác Phần nội dung giải pháp, sáng kiến xoay quanh số tốn tìm: Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số Giới hạn dãy số dạng: un f un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang n Giới hạn tổng thường gặp: lim H xi i Giới hạn dãy số sinh nghiệm phương trình Nội dung sáng kiến: 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: 2.1.1 Các định nghĩa: 1) Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un gọi dãy số tăng u u n Dãy số un gọi dãy số giảm u n 1, u n n n 1, n * * 2) Dãy số bị chặn Dãy số un gọi bị chặn tồn số M cho u n Dãy số un gọi bị chặn tồn số m cho u n M,n * m,n * Dãy số un gọi bị chặn bị chặn bị chặn 3) Cấp số cộng * Dãy số un gọi cấp số cộng un un d , n , d số không đổi, gọi công sai cấp số cộng Nếu dãy số un cấp số cộng un u1 n 1d,n Nếu dãy số un cấp số cộng tổng S n u1 u n u1 un un 4) Cấp số nhân * Dãy số un đươc gọi cấp số nhân un un.q , n , q số khơng đổi, gọi cơng bội cấp số nhân Nếu dãy số un cấp số nhân u n u1.q n , n Nếu dãy số un cấp số nhân với q 1, q tổng n S n u q u u n u 1 q 2.1.2 Các định lý: 1) Định lý Nếu lim un a lim u n a 2) Định lý Nếu q lim q n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 3) Định lý Cho dãy un xác định công thức truy hồi un f (un ), f (x) hàm số liên tục Khi đó, un a a nghiệm phương trình f (x ) x Định lý Cho dãy số un với u1 a số thực cho trước un Khi 4) a) Nếu f (x) hàm số đồng biến x x2 un dãy số tăng b) Nếu f (x) hàm số đồng biến x x2 un dãy số giảm Định lí Cho dãy số (un ) với u1 a số thực cho trước un Khi 5) a) b) f (un ) f (un ) Nếu f (x) hàm số nghịch biến x x2 u2n dãy số tăng u2n dãy số giảm Nếu f (x) hàm số nghịch biến x x2 u2n dãy số giảm u2n dãy số tăng 6) Nguyên lý kẹp Cho ba dãy số un , , wn cho: n n lim u n 7) u v n wn n , n ,n n lim w n a lim n v a n n Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ Một dãy số giảm bị chặn hội tụ 8) Định lý LAGRANGE Nếu f (x) hàm số liên tục đoạn a ; b , có đạo hàm c) khoảng a ; b tồn c a ; b cho f (b ) f (a) hay f (b ) f (a ) f '(c )(b a) b a 2.2 Các dạng toán thường gặp: f '(c ) 2.2.1 Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số Trong dạng này, chủ yếu áp dụng công thức định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng n số hạng đầu cấp số cộng, cấp số nhân đặt dãy số phụ u Bài toán 1: Cho dãy số un xác định bởi: u n 1 u 2n 3, n n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang un Tính giới hạn L lim u n1 Bài giải u1 Theo đề suy ra: u u1 2.1 u u2 2.2 … un … un n Cộng theo vế n đẳng thức ta u n 21 u n n 1n 3n n un un 2n n un L lim u n 2 3n 4n 2n 2 lim n n 4n lim n 2n n n n n u 2 Bài tốn 2: Cho dãy số un Tính giới hạn L un xác định bởi: un 1 ;n 3n un limun Bài giải Từ công thức truy hồi suy u n 1 3n 2; n un Từ ta có 1 u1 1 u 3.12 3.22 u u2 u Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 3.3 u3 u4 … … u 3n n1 un Cộng n đẳng thức theo vế ta u n 2n n n 1n 32 n 2n 1 un n 2 un 3n Vậy L lim un n u Bài toán Cho dãy số un u xác định bởi: n un ,n 2 Tính giới hạn L limun Bài giải un 1 Ta có un 2un un 1 un un 1 Đặt vu Ta được: 2v n n v u n n 1, n n 1 n 1 (v ) cấp số n 1 cơng bội q n n n nhân có số hạng đầu v u Suy v v 1v n 2 n1 Vậy L lim u lim n 11 u Bài toán Cho dãy số (u n ) xác định sau: u n 2, u 5u 6u , n (1) n n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang u Tính giới hạn L lim n n Bài giải Từ đẳng thức (1), ta có: un 2un un 2un Đặt v n u n 2u n , n Khi đó: un 2un un 2un v n 3.v n (vn ) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu v1 u 2u1 Suy v n v1.q n n ,n Mặt khác, từ đẳng thức (1), ta có: un 3un un 3un Đặt w n u n 3u n , n Khi đó: un 3un un 3un w n 2.w n (wn ) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu w1 u 3u11 Suy w n n w 1.q n , n u n 2u n 3u Ta có hệ phương trình 2n n n 1 u u n Vậy L lim n n1 n1 n lim n ,n n u n n lim 1 3 n1 Bài toán Cho dãy số (un ) xác định công thức: u 1; u 2 * n u 2).u n 2(n 1).u n, n (3n n (1) u n Tính giới hạn L lim n n.2 Bài giải Từ đẳng thức (1): n un (3n 2).un 2(n 1).un n un u n un u n 2(n 1) u n un u u n n n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An n Trang Trường THPT Chu Văn An u Đặt v Giáo viên: Lê Quốc Sang u n n , ta được: v n n 2v (v ) cấp số nhân có cơng n n n bội q số hạng đầu v1 u u1 Suy v n n ,n u n Khi đó: u n u u 1.2 n n u 2.2 3.22 (n 1).2n n ,n 1 2.2 3.2 (n 1).2 n 2u 2.2 3.2 (n 2).2 n (n 1).2 n n 2u n u n (n un (n 1).2 u L lim n lim n n n 1).2 (2 n n (n 2).2 2 2) (n n n n 2.2.2 Giới hạn dãy số dạng un f un 2 2).2 lim n n n n n n n.2 u Bài toán Cho dãy số thực (u n ) xác định u un n un ,n (1) Tính giới hạn L limun Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh u n bị chặn 0, n 1, dãy (un ) Từ hệ thức (1), ta suy được: , un un n u3 un * u un n , dãy (un ) dãy số n u2 n giảm Do (un ) giảm bị chặn nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n a a a2 a ta có: Một số tốn giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Vậy L lim un u Bài toán Cho dãy số thực (un ) 1 xác định u n 2019 u 2n un ,n (1) Tính giới hạn L limun Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh u n 0, n Mặt khác, ta lại có: 2019 u n u n 1 u 2019 u n1 n 2019 u , dãy (u n ) bị chặn n Từ hệ thức (1), ta suy được: * n,u n u n u 2019 n u u 2019 un n 2u , dãy (u n ) Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 12 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang ;và Từ bảng biến thiên suy xn x x0 f tăng nên xn dãy tăng Nếu tồn giới hạn dãy b b 0;1; khơng tồn b Suy dãy khơng có giới hạn a 4 3 b a , a nên Trường hợp a Khi dãy xn dãy lim xn Trường hợp a 0; Từ bảng biến thiên suy x 0; n x n 1 x n x (do xn x n n xn 1 3xn 1 ) nên 0; Bằng phương pháp qui nạp ta thu x n 1 a 1 , suy xn có giới hạn n 2.2.3 Giới hạn tổng thường gặp i1 H xi n Cho dãy số x n H fx n 1,n Để tính giới hạn i H xi (trong xi biểu thức theo số hạng dãy cho) ta thực theo bước sau Bước Chỉ lim xn n Bước Tính i1 H xi n Bước Tìm lim H xi i Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 13 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang x Bài toán 12 Cho dãy số xn thoả mãn x x x2 x x Tìm L lim 2019x n x n , n n xn x n Bài giải Bước (có thể sử dụng định nghĩa tính chất dãy đơn điệu) Ta có x dương xn n 2019x n nên dãy xn dãy tăng dãy n 1,2, Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn a a 2019a a a (vô lý) Vậy lim xn Bước xk x Ta có x Suy k 2019x xk k x1 x x2 x x xk 1 2019 x x x k 1 xn n x x x Vậy L lim k xn 1 2019 xn x 2019 n1 x Bài toán 13 Cho dãy số xn xác định x x n 4x n n x n ,n 2 n Chứng minh dãy yn với yn i có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn xi Bài giải Nhận thấy x n 0, n Ta có xn x n x 4x n n x n x x n n 0, n x Do dãy xn n 4x n x n dãy tăng Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 14 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang a 4a a Giả sử lim x n a suy a a a (vơ lí) Vậy lim xn x 4x n xn n 1 , n 2,3, Từ x n x x 1x n n n 1 ,n xn n 1 x x x x x1 1 1 n 1 i 1 i Vậy yn x xn n Suy y n1 x x n x ,n x x nxnx1 có giới hạn hữu hạn lim yn 2.2.4 Giới hạn dãy sinh phương trình Bài tốn 14 Xét phương trình x 1 2 k x 4x n x 1 n số nguyên dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1; ký hiệu nghiệm xn lim x 2) Chứng minh n n Bài giải 1) Chứng minh với số ngun dương n, phương trình có nghiệm 1; 1 x (1) (1) f (x) n n x 1 với Xét phương trình x 1; 2 k x 4x 1 x 4x Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 1; Dễ thấy f (x) liên tục 1; k x n x (2) Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 15 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Do ' f (x ) n x 2 4x nên fn(x) nghịch biến x k 2 k x 1; n2 0, x 1; nx1 (3) Xét tồn nghiệm phương trình (2) 1; lim f (x) n (4) x Do fn (x) liên tục 1;và lim f (x) n x Từ (3) (4) suy với số ngun dương n, phương trình có nghiệm 1; 2) Ký hiệu nghiệm xn Chứng minh lim xn n So sánh fn (xn ) fn(4), ta có f (4) n 2 14 2k 1 1 1 3 2 2n 2n 2k 2k 1 2n 2n Do fn (xn ) nên fn (x n ) fn(4) Do fn(x) nghịch biến 1; fn (x n ) fn(4)nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy xn Lại tiếp tục đánh giá x n Áp dụng định lý Lagrange cho f (x n ) x n ; 4, ta suy n với số n nguyên dương, tồn cn xn ;4 cho ' ' fn fn (x n ) fn (cn )(4 x n ) fn (cn ) 2n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An xn Trang 16 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Mặt khác ' f (c ) n n c c c1 n kc 2 2n x n nc n x n xn n 1 ) nên cn 42 Tóm lại ta ln có: n n n n 4c n (Do x k 9 2n với số nguyên dương n (5) 2n Từ (5) theo nguyên lý kẹp ta suy lim n 1 xn 2 x k Bài tốn 15 Xét phương trình xn x x x n số nguyên dương 1) Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm 0;1 ký hiệu nghiệm xn 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim xn n Bài giải 1) Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm 0;1 Xét phương trình x 0;1 x Đặt f (x) n x 1 x x k với x n (1) 1 2x x x4 x k x n Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 0;1 Do ' 1 fn(x ) 2x x1 2 x k 0, x 0;1 2 x n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 17 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang (2) nên fn(x) nghịch biến 0;1 Xét tồn nghiệm phương trình (1) 0;1 f (x) lim Do fn (x) liên tục n x 0;1 (3) f (x) lim n x Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim xn n Khảo sát tính đơn điệu bị chặn xn Với số nguyên dương n ta có: f n (x ) n 2x n x 1 xn k xn n xn xn n xn Mặt khác limn f (x)và f n 1 n (x) nghịch biến n fn 1(x n ) fn (x n ) 2 xn n (do xn 1) 0; x n nên suy nghiệm 0;xn , gọi nghiệm x phương trình fn 1(x) có xn Do 0;xn 0;1 nên x n xn Dãy xn dãy đơn điệu giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn n Bài tốn 16 Xét phương trình x n 1) n x x n số nguyên dương Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn lim xn 2) Tìm n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm Xét phương trình x n x x suy phương trình có nghiệm x x n x x 1 x 0, n (1) Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 18 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang n Đặt fn xx x x 1, x 1, n Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 1; Do fn '(x ) nx n 2x 1, fn "(x ) n n x ' Suy fn '(x ) fn n 0, n 2 n 3, x n nên fn(x)đồng biến x 1; (2) Xét tồn nghiệm phương trình 1; f (x) lim n x Do fn(x) liên tục 1;và lim 0, n n x tồn x0 n f (x ) nên 1;2 cho fn(x0) (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;2 2) Ký hiệu nghiệm xn Chứng minh lim xn n Do xn nghiệm phương trình (1) nên : x n x n n x x n x x n n n n n Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: x n xn x n n xn x n 1.1 n sô x n x 11 n n sô n Kết hợp với x x x n n n (4) n 2, với n 1,2 ta được: n x x n (5) n Từ (4) (5) suy ra: xn n Do lim n theo nguyên lý kẹp suy n n lim x n n Bài toán 17 Xét phương trình x x n n số nguyên dương n 1) Chứng minh với số ngun dương, phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 19 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 2) Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn lim xn n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n x n x Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) Dễ thấy fn x ' Do fn (x ) nx 1; 0, x n n x 0;1 (1) với x 1; liên tục 0; nên fn(x) hàm số đồng biến (2) n f (1) Do fn(x) n , x n n f (n ) n nên tồn x 2n 01;n n cho fn(x0) (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;n 2) Ký hiệu nghiệm xn Tìm lim xn n Do xn nghiệm phương trình (1) nên n xn xn n Vì lim n xn xn n n 2n x 2n 1, theo nguyên lý kẹp ta lim n n Vậy lim xn n n Bài tốn 18 Xét phương trình x n 1) n x n x với n số nguyên dương Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn lim xn 2) Tìm n Bài giải 1) Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n x n x (1) Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 20 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Khảo sát tính đơn điệu fn(x ) x n x n x 0; Dễ thấy f (x) liên tục trên0; ' Do fn (x ) nx n n 1x n .10 với x 0;và n nên f (x) hàm số đồng biến 0; (2) n Xét tồn nghiệm phương trình (1) Do f n (x) liên tục 0; 0; f (0) 10 f (1) n n n nên tồn x 0;1 cho fn(x0) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có (3) nghiệm 0;1 2) Ký hiệu nghiệm xn Tìm lim xn n Do xn nghiệm phương trình (1) nên: x n n x x x n n (4) n Vì xn nên từ (4) suy (xn ) dãy giảm, mặt khác lại bị chặn 0, nên tồn giới hạn hữu hạn lim x a (5) n Ta lại có: x n x n n x n n n x a a n n n lim x xn n nên kết hợp với n 1 (4), (5) suy a 1 Vậy x lim xn n IV HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Bản thân mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 trường THPT Chu Văn An năm qua Sau trình học tập em làm quen với toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếp cận Chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Toán trường nâng lên rõ rệt Kết thi học sinh giỏi năm qua sau: Năm học 2013 – 2014: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh Năm học 2014 – 2015: Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 21 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhất, giải Vào vòng 2: học sinh Học sinh giỏi cấp quốc gia: học sinh Năm 2015-2016: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhất, giải nhì, giải ba Vào vòng 2: học sinh Năm 2016-2017: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh Năm 2017-2018: V Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải nhì, giải ba Vào vịng 2: học sinh MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG: Giáo viên trường trung học phổ thông không chuyên ngồi tỉnh áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt áp dụng để giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi tốn trường Học sinh khối lớp 11 có nhìn bao qt cách giải tốn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun, từ giúp em tự tin đứng trước toán dãy số VI KẾT LUẬN: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư duy, yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Tơi vui nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An tập làm quen cách tiếp cận toán dãy số cách tự nhiên, em khơng cịn ngán ngại gặp câu dãy số đề thi học sinh giỏi Điều góp phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán trường ngày nâng cao năm vừa qua Với thời gian ngắn nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Một lần nữa, tơi mong góp ý chân tình q thầy, bạn đồng nghiệp Xin chân thành cám ơn! Xác nhận đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Lê Quốc Sang Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 22 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 năm [5] Tơ Văn Ban Giải tích tập nâng cao NXBGD 2005 [6] Các diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net/ http://mathscope.org/ http://k2pi.net.vn/ http://boxmath.vn/forum/ http://www.mathvn.com/ http://www.vnmath.com/ http://www.hexagon.edu.vn/ http://artofproblemsolving.com/community/c89 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 23 ... cấp số cộng, cấp số nhân đặt dãy số phụ u Bài toán 1: Cho dãy số un xác định bởi: u n 1 u 2n 3, n n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT. .. lima n (2) hội tụ Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 11 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang x xn Bài toán 11 Cho dãy số x xác định Tìm... có số hạng đầu v u Suy v v 1v n 2 n1 Vậy L lim u lim n 11 u Bài toán Cho dãy số (u n ) xác định sau: u n 2, u 5u 6u , n (1) n n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT