CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài toán mở đầu 1: Xét đường cong y=f(x) Một điểm P cố định đường cong cát tuyến PQ Cho điểm Q chạy đường cong tới điểm P Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt đường thẳng Pt gọi tiếp tuyến đường cong P Bài toán đặt hàm có tiếp tuyến P hệ số góc bao nhiêu? t P Q Đạo hàm Bài toán mở đầu 2: Xét vật chuyển động đường thẳng Tại thời điểm t0 vị trí M0 với hồnh độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t1 vị trí M1 với hồnh độ s1 = s(t1) Nếu vật chuyển động M0 M1 ta có t0 t1 vận tốc vật Nếu vật chuyển động khơng ta tính quãng đường Δs = s1 – s0 khoảng thời gian Δt = t1 – t0 Từ đó, ta có vận tốc trung bình tỉ số Δs/ Δt Khoảng thời gian Δt nhỏ vận tốc gần vận tốc thật Đạo hàm Cả hai tốn dẫn ta đến việc tính giới hạn tỉ số Δf/ Δx Δx→0 Tức dẫn đến việc lập hàm f(x) tính đạo hàm Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định lân cận x0, đạo hàm x0 hàm f(x) f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim = lim x → x0 ∆x →0 x − x0 ∆x Nếu giới hạn hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm ( f + g ) ′ = f ′ + g′ ( f g ) ′ = f g′ + g ′f  f ′ f g′ − g ′f g÷= g   Đạo hàm Bảng đạo hàm hàm −1 x ′ x x ′ x ′ / a = a ln a ⇒ e = e / ( arccos x ) = − x a ′ / x = a.x a −1 ′ 1 10 / ( arctan x ) = ′ ′ / ( log a x ) = ⇒ ( ln x ) = + x2 x ln a x −1 ′ 11 / ( arccot x ) = / ( sin x ) ′ = cos x + x2 / ( cos x ) ′ = − sin x 12 / ( shx ) ′ = chx ′ ′ = shx / ( tan x ) = = + tan x 13 / chx ( ) cos x ′ 14 / ( thx ) = 2 ′ / ( cot x ) = − = −(1 + cot x) ch x sin x ′ 15 / ( cthx ) = − sh x / ( arcsin x ) ′ = − x2 ( ) ( ) ( ) Đạo hàm Đạo hàm phía: Đạo hàm trái: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) f −′ ( x0 ) = lim − ∆x →0 ∆x Đạo hàm phải: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) f +′ ( x0 ) = lim + ∆x →0 ∆x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm x0 có đạo hàm trái, đạo hàm phải x0 đạo hàm Đạo hàm vơ cùng: Nếu f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) lim =∞ ∆x → ∆x Thì ta nói hàm f có đạo hàm vơ cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm hàm f ( x) = x − Áp dụng quy tắc bảng đạo hàm ta có f ′( x) = 3 ( x − 1) Như vậy, x=1 thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (∆x + 1) − f (1) ∆x ′ f (1) = lim = lim = +∞ ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x Vậy:  ,x ≠1  f ′( x) =  ( x − 1)  ∞, x =  Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm  sin x ,x ≠  f ( x) =  x 1, x = Khi x≠0, ta tính bình thường Khi x=0, ta dùng đ/n  sin ∆x  f (∆x + 0) − f (0) = lim − 1÷ = f ′(0) = lim  ∆x →0 ∆x  ∆x ∆x →0 ∆x  Vậy:  x cos x − sin x ,x ≠  f ′( x) =  x 0, x = Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp h = f og ⇒ h′ = f ′.g ′ Tức y = g ( x), h( x) = f ( y ) ⇒ h′( x) = f ′( y ).g ′( x) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm : a f(x) = tan (x3+x) b g(x) = esinx ′ ( x + x) 3x + f ′( x) = = cos ( x + x) cos ( x3 + x) g ′( x) = esin x (sin x)′ = cos x.esin x Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp ( f ( x) ) ′ f ( x) f ′( x ) ′ / ( ln f ( x) ) = f ′( x) f ( x) 1/ e ( / f ( x) a =e ) ′ = a f ( x) a −1 f ′( x) / ( sin f ( x) ) ′ = cos f ( x ) f ′( x) / ( cos f ( x) ) ′ = − sin f ( x) f ′( x ) / ( tan f ( x) ) ′ = f ′( x ) cos ( f ( x)) − f ′( x) ′ / ( cot f ( x) ) = sin f ( x) / ( arcsin f ( x) ) ′ = / ( arccos f ( x) ) ′ = 10 / ( arctan f ( x) ) ′ = f ′( x) − f ( x) − f ′( x) − f ( x) f ′( x) + f ( x) − f ′( x) ′ 11 / ( arccot f ( x) ) = + f ( x) Khảo sát hàm y=f(x) y=e x −x 1 1x e x + x2 Cực trị: y′ = − e − = − x x2 y′ < 0, ∀x ∈ R* x −∞ − y’ +∞ y +∞ − +∞ −∞ Khảo sát hàm y=f(x) exp(1/x) - x 14 12 10 y -2 -4 -6 -6 -4 -2 y=e x x −x y =1 -x y=e x −x Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y = x ( x − 1) MXĐ: R Tiệm cận: lim y = lim x ( x − 1) = ∞ x →∞ x →∞ y x ( x − 1) ( x − 1) lim = lim = lim =∞ x →∞ x x →∞ x →∞ x x Hàm khơng có tiệm cận Cực trị: y′ = ( x − 1) + x ( x − 1) 33 x2 x = Và y’(0)=+∞ y′ = ⇔   x = 1/ y′ = Khảo sát hàm y=f(x) ( x − 1) + x ( x − 1) x2 Vì đạo hàm cấp phức tạp nên ta khơng tính Bảng biến thiên +∞ 1/7 x −∞ y’ + + 0 + +∞ y 0.3841 −∞ 0 Tiếp tuyến nằm ngang Khảo sát hàm y=f(x) Đồ thị x=1/7 y = 0.3841 y=0.3841 y = x ( x − 1) y = x ( x − 1) Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y = lnx-x+1 MXĐ: R+ Tiệm cận: lim+ y = lim+ (ln x − x + 1) = −∞ Hàm có TCĐ x = x →0 x →0  ln x  = −∞ lim y = lim (ln x − x + 1) = + lim x  − 1÷ x →+∞ x → +∞ x →+∞  x  y ln x − x + 1  ln x lim = lim = lim  − + ÷ = −1 x →+∞ x x →+∞ x →+∞  x x x lim ( y + x) = lim (ln x − x + + x) = lim ( ln x + 1) = +∞ x → +∞ x → +∞ Hàm khơng có TCX x →+∞ Khảo sát hàm y=f(x) Cực trị: y′ = − x Bảng biến thiên: x y’ + y -∞ y′ = ⇔ = ⇔ x = x 0 +∞ - -∞ Đồ thị Khảo sát hàm y=f(x) Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y = MXĐ R Tiệm cận: lim y = lim x →∞ y lim = lim x →∞ x x →∞ y lim = lim x → −∞ x x →−∞ x →∞ x −2 = lim x →+∞ x −2 x x − = +∞ x (x −2 x = lim (−1) Hàm khơng có tiệm cận x −2 x → −∞ ) (x =∞ −2 x ) =∞ Khảo sát hàm y=f(x) Cực trị:  ( x − 2) ,| x |≥ y= (2 − x ) ,| x |<  3 x( x − 2) ,| x |≥ ⇒ y′ =  −3 x(2 − x ) ,| x |< y′ = ⇔ x = 0, ± Bảng biến thiên x −∞ − y’ y +∞ − + 0 − 0 + +∞ +∞ Khảo sát hàm y=f(x) y= x −2 Hàm có tiếp tuyến nằm ngang ứng với nghiệm pt y’=0 y=0 y = Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm tiệm cận hàm y = x ln(e + ) x y = x3 − x 1 x=− ,y = x+ e e y = x− sin x y= x y=0 −1 x y= e x x=0, y=0 Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm cực trị hàm y = x 1− x y −1 = y ( ), y max = y ( ) 2 x y= ln x y = y (e) | x − 1| y= x2 y = y (1), ymax = y (2) y = x2 − x y = y(1) Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Khảo sát vẽ đồ thị y = (1 + x) y = x x2 x2 + | x −3| y = x y = x + x − y = e x− x2 −x y = x e 2 y = x ( x − 3) x2 + y = x − 4x + 8x y = x −4 10 y = x ln x ... x − x ÷ Đạo hàm cấp cao Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x) Lấy đạo hàm hàm z, ta đạo hàm cấp hàm f(x) – kí hiệu f ′′( x) Tiếp tục q trình đó, ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) đạo hàm cấp... có đạo hàm x0 có đạo hàm trái, đạo hàm phải x0 đạo hàm Đạo hàm vô cùng: Nếu f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) lim =∞ ∆x → ∆x Thì ta nói hàm f có đạo hàm vơ cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm hàm f ( x) = x... shx + 1) shx Đạo hàm Đạo hàm hàm ngược Giả sử hàm 1-1: y = f(x) có hàm ngược x = g(y) Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác hàm g(y) có đạo hàm y0 = f(x0) g ′( y0 ) = Hay ta vi? ??t ′ f ( x0