VI TÍCH PHÂN A2 CHƯƠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ A. Các bước giải bài toán đi tìm cực trò của hàm số Cho hàm số f(x,y) xác đònh trên miền D: B1: Giải hệ        0 0 ' ' y x f f để đi tìm điểm dừng của hàm số B2: Xét dấu của biểu thức  =B 2 -AC tại từng điểm dừng trong đó: A = '' xx f ; B = '' xy f ; C = '' yy f - Nếu  <0, A >0 hàm số đạt cực tiểu - Nếu  <0, A <0 hàm số đạt cực đại - Nếu  >0 hàm số không có cực trò - Nếu  =0 chưa khẳng đònh liền được B. Các bước giải bài toán đi tìm GTLN, GTNN của hàm số Cho hàm số f(x,y) xác đònh trên miền D: B1: Giải hệ        0 0 ' ' y x f f để đi tìm điểm dừng của hàm số nằm trong miền D B2: Tìm các điểm dừng của hàm số trên biên D B3: Tính giá trò tại các điểm dừng vừa tìm được ở B1, B2. So sánh và kết luận C. Các bước giải bài toán tìm cực trò có điều kiện Cho hàm số f(x,y) trong đó x,y bò ràng buộc bởi g(x,y)=0 B1: Đặt F(x,y,  )=f(x,y) +  g(x,y) Giải hệ         0),( 0 0 ' ' yxg F F y x để tìm các điểm dừng của hàm số B2: Ứng với từng điểm dừng M. Xét dấu của của biểu thức: dF(M,  )= 2'' ),( dxMF xx  + dxdyMF xy ),( ''  + 2'' ),( dyMF yy  - Nếu dF(M,  )<0 hàm số đạt cực đại - Nếu dF(M,  )>0 hàm số đạt cực tiểu - Nếu dF(M,  )=0 chưa thể khẳng đònh D. Bài tập mẫu Bài 1: Tìm cực trò của hàm số sau: f(x,y) = x 4 +y 4 - 2(x-y) 2 Giải: Giải hệ        0 0 ' ' y x f f         0)(44 0)(44 3 3 yxy yxx                  2 2 0 y y y yx          2;2 2;2 0 yx yx yx Hàm số có 3 điểm dừng 0(0,0); M 1 ( 2,2  ); M 2 ( 2,2 ) Tính A = '' xx f =12x 2 – 4; B = '' xy f =4; C = '' yy f =12y 2 – 4 b. Tại điểm 0(0,0) ta có  =B 2 -AC =0 ta chưa thể khẳng đònh ngay được Xét f(0,k)-f(0,0) =k 4 – 2k 2 = k 2 (k 2 -2) thay đổi dấu khi k thay đổi nên hàm số không đạt cực trò tại 0(0,0) - Tại điểm M 1 ( 2,2  ); M 2 ( 2,2 ) đều có  =- 384<0 và A=20>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M 1 , M 1 f CT =f(M 1 )=f(M 2 )=-8 Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: f(x,y) = )( 22 yx e  (2x 2 +3y 2 ) trong miền D={(x,y): x 2 +y 2  1} Giải: Giải hệ        0 0 ' ' y x f f           0)323( 0)322( 22)( 22)( 22 22 yxye yxxe yx yx         0)323( 0)322( 22 22 yxy yxx          0;1 1;0 0 yx yx yx Hàm số có 1 điểm dừng nằm trong miền D là 0(0,0)  f(0)=0 - Tính các giá trò của hàm số trên biên D Ta có x 2 +y 2 =1  y 2 = x 2 – 1 với x  [-1,1] thay vào hàm số ta có f(x,y)=g(x)= e x 2 3  với x  [-1,1] nhận thấy e 2  g(x)  e 3 với x  [-1,1] g(x)= e 2  x=0  y=  1; g(x)= e 3  x=  1  y=0 So sánh tất cả các giá trò ta có: GTLN Maxf = e 2 tại (0,1); (0,-1) GTNN Minf = e 3 tại (1,0); (-1,0) Bài 3: Tìm cực trò của hàm số f(x,y) =x+y với điều kiện 1 11  yx 3 Giải: Đặt F(x,y,  ) = x+y +  ( 1 11  yx ) Giải hệ             01 11 0 0 ' ' yx F F y x              01 11 01 01 2 2 yx y x                )3(01 11 )2( )1( 2 2 yx y x   Từ (1) và (2)  x 2 = y 2  y=  x - Với y =x thay vào phương trình (3) ta có x=2 ứng với  =4 - Với y =-x thay vào phương trình (3) ta có -1=0 vô lý Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm dừng là M(2,2) ừng với  =4 Xét dF(M,  ) = 2'' ),( dxMF xx  + dxdyMF xy ),( ''  + 2'' ),( dyMF yy  (*) Trong đó ),( ''  MF xx = 3 2 x  = 8 4.2 =1; ),( ''  MF xy =0; ),( ''  MF yy = 3 2 y  = 8 4.2 =1 Và dy=dx Thay tất cả vào (*) ta có dF(M,  )=2dx 2 > 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M(2,2); f CT = 4 Bài 4: Tìm cực trò của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) với D ={(x,y): 0  x  2 3  ;0  y  2 3  } Giải: - Tìm các điểm dừng của hàm số trong miền D Giải hệ        0 0 ' ' y x f f       )2(0)sin(cos )1(0)sin(cos yxy yxx Lấy (1) trừ (2)  cosx=cosy         2 2 kyx kyx ; với k  Z - Với x=-y+k2   x+y = k2  thay vào hệ ta có:      0)2sin(cos 0)2sin(cos   ky kx       0cos 0cos y x               ky kx 2 2           2 3 ; 2 2 3 ; 2   y x Do x,y  D - Với x= y+k2  thay vào pt (2) ta có: cosy – sin(y+k2  +y)=0  cosy=sin(2y+ k2  )=sin2y  cosy=cos( 2  - 2y)              2 2 2 22 2 hyy hyy             hy h y 2 3 2 6  2 3 ; 6 5 ; 2 ; 6     y do y  D                         2 2 3 ; 2 3 2 6 5 ; 6 5 2 2 ; 2 2 6 ; 6 kxy kxy kxy kxy                 2 3 ; 2 3 6 5 ; 6 5 2 ; 2 6 ; 6     xy xy xy xy Vậy hàm số có 6 điểm dừng: M 1 ( 6  , 6  ); M 2 ( 2  , 2  ); M 3 ( 6 5  , 6 5  ); M 4 ( 2 3  , 2 3  ); M 5 ( 2  , 2 3  ); M 6 ( 2 3  , 2  ) Tính A = '' xx f =-sinx – cos(x+y); B = '' xy f = -cos(x+y); C = '' yy f =-siny – cos(x+y) - Tại điểm M 1 , M 3 thì: A =-1; B =- 2 1 ; C =-1   =- 4 3 <0 . Mà A =-1<0 nên hàm số đạt cực đại tại M 1 , M 3  f CĐ = f(M 1 )=f(M 3 )= 2 3 - Tại điểm M 2 , M 4 thì A =0; B =1; C=0   =1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M 2 , M 4 b. Tại điểm M 5 thì A = -2; B = -1; C = 0   =1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M 5 - Tại điểm M 6 thì A = 0; B = -1; C = -2   =1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M 6 Vậy hàm số đạt cực đại tại M 1 ( 6  , 6  ); M 3 ( 6 5  , 6 5  ) và f CĐ = 2 3 4 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI A. Các dạng bài toán tích phân kép  D dxdyyxf ),( 1. Nếu D={(x,y): a  x  b; c  y  d} thì:  D dxdyyxf ),( =  d c b a dyyxfdx ),( 2. Nếu D={(x,y): a  x  b; y 1 (x)  y  y 2 (x)} thì:  D dxdyyxf ),( =  )( )( 2 1 ),( xy xy b a dyyxfdx 3. Dùng phương pháp đổi biến số để đưa miền D giới hạn bởi x,y  D’ giới hạn bởi u, v Với x=x(u,v); y=y(u,v) và J = '' '' vu vu yy xx hoặc '' '' 1 yx yx vv uu khi đó  D dxdyyxf ),( =  ' ||)),(),,(( D dudvJvuyvuxf 4. Dùng phương pháp chuyển về tọa độ cực đưa miền D giới hạn bởi x,y  D’ giới hạn bởi r,  Với x=rcos  ; y=rsin  và J=r  0  D dxdyyxf ),( =  ' ||)sin,cos( D drdJrrf  B. Ứng dụng trong tích phân kép 1. Tính diện tích hình phẳng:   D dxdyS 2. Tính diện tích mặt cong:   D yx dxdyzzS 2'2' )()(1  3. Tính thể tích của vật thể:   D dxdyyxzV ),( C. Các bước giải bài toán tích phân 3 lớp  V dxdydzzyxf ),,( 1. Nếu V là thể trụ mở rông giới hạn bởi 2 mặt cong 1  , 2  xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục 0z thì:  V dxdydzzyxf ),,( =   D yx yx dxdydzzyxf )),,(( ),( ),( 2 1   2. Nếu V là hình hộp giới hạn bởi các mặt: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì  V dxdydzzyxf ),,( =  f e d c b a dzzyxfdydx ),,( 3. Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ trụ đưa miền V giới hạn bởi x,y,z  V’ giới hạn bởi r,  , z Với x=rcos  ; y=rsin  ; z=z và J=r  0  V dxdydzzyxf ),,( =  ' ||),sin,cos( V dzdrdJzrrf  4. Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ cầu đưa miền V giới hạn bởi x,y,z  V’ giới hạn bởi r,  ,  Với x=rcos  sin  ; y=rsin  sin  ; z=rcos  và |J|=r 2 sin   V dxdydzzyxf ),,( =  ' ||)cos,sinsin,sincos( V ddrdJrrrf  D. Một số mặt cần lưu ý 1. Trong mặt phẳng 2. Trong không gian E. Bài tập mẫu Bài 1: Tính tích phân sau: 5     D yx yx dxdyeI , D={(x,y): x  0; y  0; x+y  1} Giải: Đặt 2 1 || 2 2                   J vu y vu x yxv yxu D  D’={(u,v): u+v  0; -u+v  0; v  1}     D yx yx dxdyeI =  'D v u dudve =   v v v u duedv 1 0 = )( 4 1 1  ee Bài 2: Tính tích phân sau:   D dxdyyxI 22 4 với D là nửa hình tròn 1)1( 22  yx Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt rJ ry rx       || sin cos   D  D’ giới hạn bởi 0  r  2cos  ; 0    2    D dxdyyxI 22 4 =   ' 2 4 D drdr  =      cos2 0 2 2 0 4 rdrrd = ) 3 2 2 ( 3 8   Bài 3 : Tính tích phân sau:   D dxdyxyI 2 với D là miền giới hạn bởi các đường tròn 1)1( 22  yx và 04 22  yyx Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt rJ ry rx       || sin cos   D  D’ giới hạn bởi 2sin   r  4sin  ; 0       D dxdyxyI 2 =  ' 2 )sin(cos D rdrdrr  =      sin4 sin2 4 0 2 cossin drrd =0 Bài 4 : Tính tích phân sau:    D yxyx dxdyeI )( 22 với D={(x,y): 1 22  yxyx } Giải: Ta có: 1 22  yxyx  1) 2 3 () 2 ( 22  yy x Đặt:          2 3 2 y v y xu           3 2 3 v y v ux 3 2 ||  J D  D’={(u,v): 1 22  vu }    D yxyx dxdyeI )( 22 =   ' )( 22 3 2 D vu dudve Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt rJ rv ru       || sin cos   D’  D’’: 0  r  1; 0    2     ' )( 22 3 2 D vu dudveI =   1 0 2 0 2 3 2 rdred r   = ) 1 1( 3 2 e   Bài 5: Tính diện tích phần mặt 22 yxz  nằm trong hình trụ xyx 2 22  Giải: 22 ' yx x z x   ; 22 ' yx y z y    2)()(1 2'2'  yx zz Hình chiếu của D xuống mp 0xy là D’: xyx 2 22    ' 2'2' )()(1 D yx dxdyzzS  =  ' 2 D dxdy =  2)'(2 DS (đvdt) Bài 6: Tính diện tích phần mặt phẳng z=2x nằm phía trong parabolid 22 yxz  Giải: 2 '  x z ; 0 '  y z ; 5)()(1 2'2'  yx zz Hình chiếu của D xuống mp 0xy là D’: 1)1( 22  yx   ' 2'2' )()(1 D yx dxdyzzS  6 =  ' 5 D dxdy =  5)'(5 DS (đvdt) Bài 7: Tính tích phân sau:   V dxdydzyxzI 22 với V là miền giới hạn bởi xyx 2 22  ; 0  y ; z=0; z=a Giải: Hình chiếu của V xuống mp 0xy là D: xyx 2 22  ; 0  y Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt rJ zz ry rx          ||sin cos   V  V’: 0  r  2cos  ; 0    2  , 0  z  a   V dxdydzyxzI 22 =  ' 2 V dzdrdzr  =  a zdzdrrd 0 cos2 0 2 2 0    = 9 8 2 a Bài 8: Tính tích phân sau:   V dxdydzxzyI )cos( trong đó V là miền giới hạn bởi y=0; y= x ; z=0; x+z= 2  Giải:   V dxdydzxzyI )cos( =    x o x o dzxzydydx 22 0 )cos(  = x x xz y dx    2 00 2 2 0 |)sin(.| 2 .   =   2 0 2 )sin1(  dx x x = ) 8 ( 2 1 2 J  với   2 0 sin  xdxxJ =1 )1 8 ( 2 1 2   I Bài 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi zzyx 2 222  ; 222 zyx  Giải: Ta có hệ:        222 222 2 zyx zzyx  1;0022 2  zzzz Hình chiếu của V xuống mp 0xy là miền D: 1 22  yx Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt rJ zz ry rx          ||sin cos   V  V’: 0    2  ; 0  r  1; r  z  1+ 2 1 r   V dxdydzV =  'V drdzrd  =   2 111 0 2 0 r r dzrdrd   =   1 0 2 2 0 )11( drrrrd   = 2  . 2 1 =  (đvtt) Cách khác: chuyển sang hệ tọa độ cầu Đặt x=rcos  sin  ; y=rsin  sin  ; z=rcos  và |J|=r 2 sin  V  V’: 0    4  ; 0    2  ; 0  r  2cos    V dxdydzV =  ' 2 sin V drddr  =     cos2 0 2 2 0 4 0 sin drrdd =  4 0 3 sincos 3 16   d = 4 0 4 |cos 4 1 . 3 16    =  Bài 10: Tính thể tích của vật thể năm trong mặt cầu 6 222  zyx và nằm trên parabol 22 yxz  Giải: Ta có hệ        22 222 6 yxz zyx  2;36 2  zzzz Hình chiếu của V lên mp 0xy là miền D: 2 22  yx Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt x=rcos  ; y=rsin  ; z=z  |J|=r V  V’: 0    2  ; 0  r  2 ; 2 r  z  2 6 r    2 2 62 0 2 0 r r V dzrdrddxdydzV   = )1166( 3 2   (đvtt) 7 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT A. Tích phân đường loại 1  L dsyxf ),( - Nếu L : x=x(t); y=y(t);   t    L dsyxf ),( = dttytxtytxf     22 ))('())('())(),(( - Nếu L : y=y(x); a  x  b  L dsyxf ),( = dxxyxyxf b a   2 ))('(1))(,( B. Tích phân đường loại 2   L dyyxQdxyxP ),(),( - Nếu L : x=x(t); y=y(t);   t     L dyyxQdxyxP ),(),( =   L dttytytxQtxtytxP )]('))(),(()('))(),(([ - Nếu L : y=y(x); a  x  b   L dyyxQdxyxP ),(),( =   L dxxyxyxQxyxP )]('))(,())(,([ - Công thức Green đối với đường cong kín         L D dxdy y P x Q dyyxQdxyxP )(),(),( - Tích phân không phụ thuộc vào đường nối 2 điểm mà chỉ phụ thuộc vào 2 điểm đó Nếu y P x Q      khi đó:   L dyyxQdxyxP ),(),( =   );( );( ),(),( bb aa yx yx dyyxQdxyxP =  );( );( )),(( bb aa yx yx yxd  Trong đó:    x x y y dyyxQdxyxPyx 0 0 ),(),(),( 0  Hoặc    x x y y dyyxQdxyxPyx 0 0 ),(),(),( 0  D. Ứng dụng của tích phân đường loại 2 Tính diện tích:   L ydxxdyDS 2 1 )( C. Tích phân mặt loại 1  S dSzyxf ),,( - Nếu mặt cong S có phương trình z=z(x,y)  S dSzyxf ),,( =   D yx zzyxzyxf 2'2' )()(1)),(,,( D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng 0xy D. Tích phân mặt loại 2: sinh viên tự soạn thêm nhé, chưa có thời gian đề cập E. Một số bài tập mẫu Bài 1: Tính tích phân đường:   L xydsI trong đó L là elip 1 4 2 2  y x nằm trong góc phần tư thứ nhất Giải: Đặt ] 2 ,0[; cos' sin2' sin cos2              t ty tx ty tx   L xydsI =   2 0 22 cossin4sincos2  dttttt =   2 0 2 .1sin3cossin2  dtttt =   2 0 2 2 1 2 )1sin3()1sin3( 3 1  tdt = 2 0 2 3 2 |)1sin3( 9 2  t = 9 14 Bài 2: Tính  L dsx 2 dọc theo đường cong là giao của 2 mặt phẳng x-y+z =0 và x+y+2z =0 từ gốc 0 đến điểm (3,1,-2) Giải: d: x-3y =0 là giao tuyến của 2mp khi đó L : y= 3 1 x; 0  x  3  L dsx 2 = dxxyx   3 0 22 ))('(1 =  3 0 2 3 10 dxx = 3 0 3 | 9 10 x = 103 8 Bài 3: Tính   L dsyx )( với L là nửa đường tròn 2 xaxy  Giải Ta có: 2 xaxy   1) 2 () 2 2 ( 22   a y a a x Đặt          t a y t a x sin 2 )cos1( 2           t a y t a x cos 2 ' sin 2 ' ; với 0  t     L dsyx )( = dttytxt a t a    0 22 )(')('(]sin 2 )cos1( 2 [ =    0 2 )sincos1( 4 dttt a =  0 2 |)cossin( 4 ttt a  = )11( 4 2   a = )2( 4 2   a Bài 4: Tính dyyxdxyx L )34()(2 22   trong đó L là đường gấp khúc 0AB với 0(0,0); A(1,1); B(2,0) Giải: QdyPdx L   = QdyPdx OA   + QdyPdx AB   Trong đó OA: y=x; OB: y=2-x QdyPdx OA   =   1 0 22 )]34()(2[ dxxxxx =   1 0 2 )38( dxxx = 1 0 23 |) 2 3 3 8 ( xx  = 2 3 3 8  = 6 25 QdyPdx AB   =   2 1 22 )]3)2(4())2((2[ dxxxxx =   2 1 2 )8198( dxxx = 2 1 23 |)8 2 19 3 8 ( xxx  = 6 11   dyyxdxyx L )34()(2 22   = 6 25 6 11  = 3 7 Bài 5: Tính dyyadxya L )()2(   Với L :      )cos1( )sin( tay ttax từ điểm O(0,0) đến A(2  a,0) Giải: Ta tính x’ = a(1-cost); y’ =asint Nhận thấy f(t)=t –sint đồng biến nên Với 0  x  2  a  0  t-sint  2   f(0)  f(t)  f(2  )  0  t  2  dyyadxya L )()2(   =    2 0 2 ]sincos)cos1)(cos1[( dttttta =    2 0 2 )2sin2cos1( 2 dttt a =  2 0 2 |)2cos 2 1 2sin 2 1 ( 2 ttt a  = ) 2 1 2 1 2( 2 2   a = 2  a Bài 6: Tính   L dyxxydx 2 2 với L là biên miền D giới hạn bởi xyxy  ; 2 lấy theo chiều dương. Tính diện tích miền D Giải: - p dụng công thức Green đối với đường cong kín   L dyxxydx 2 2 = dxdy y P x Q D       )( =   x x dyxxdx 2 )22( 1 0 =   1 0 2 )(4 dxxxx = 3 1  b. Ta có công thức:   L ydxxdyDS 2 1 )( =       D dxdy y P x Q )( 2 1 =   D dxdy))1(1( 2 1 =  x x dydx 2 1 0 =   1 0 2 )( dxxx = 6 1 (dvdt) Bài 7: Tính    )1,3( )1,1( 2 )( )2( yx ydydxyx Giải: Nhận thấy 3 )2( 2         x y y P x Q Chọn điểm (1,0) cố đònh:     x y dy yx y dx x yx 1 0 2 )( 1 ),(  = 1)ln(    yx x yx     )1,3( )1,1( 2 )( )2( yx ydydxyx =  )1,3( )1,1( )),(( yxd  = )1,3 )1,1( |),( yx  = 4 1 2ln  9 CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình với biến số phân ly M(x)dx+N(y)dy=0 Cách giải: tích phân 2 về 2. Phương trình thuần nhất: ),( yxf dx dy  Hàm f(x,y) được gọi là thuần nhất nếu: ),(),( yxfyxf n   Cách giải: Đặt x y u   y=u.x  dx du xu dx dy  thay vào phương trình ta có: )(uf dx du xu   uuf dx du x  )( : Phương trình với biến số phân ly 3. Phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x) B1: Giải pt thuần nhất y’ +P(x)y =0 Phương trình có nghiệm tổng quát là:    dxxP Cey )( y =0 cũng là nghiệm của pttt thuần nhất ứng với C=0 B2: Giải phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x) Ta có nghiệm tổng quát:     ))(( )( CdxexQyy dxxP B. Phương trình vi phân cấp 2 Trong chương trình này chỉ trình bày phương pháp giải phương trình vi phân cấp 2 với hệ số không đổi y’’+py’+q=f(x) (1) B1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất y’’+py’+q=0 (2) - Giải phương trình đa thức đặc trưng: 0 2  qpkk (3)  TH: pt (3) có 2 nghiệm 21 , kk  Pt (2) có nghiệm tổng quát: xkxk eCeCy 21 21   TH: pt (3) có nghiệm kép k  Pt (2) có nghiệm tổng quát: kxkx xeCeCy 21   TH: pt (3) có 2 nghiệm phức bia   Pt (2) có nghiệm tổng quát: bxeCbxeCy axax sincos 21  B2: Giải tìm nghiệm riêng Y của phương trình tuyến tính không thuần nhất: y’’+py’+q=f(x) - Xét trường hợp )()( xPexf n x    TH:  là không là nghiệm của pt (3)  )(xQeY n x    TH:  là nghiệm đơn của pt (3)  )(xQxeY n x    TH:  là nghiệm bội của pt (3)  )( 2 xQexY n x   Tìm Y’ và Y’’. Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để tìm )(xQ n - Xét trường hợp: )sin)(cos)(()( xxQxxPexf n x     TH: i    không là nghiệm phức của pt (3)  )sin)(cos)(( xxVxxUeY ll x     TH: i    là nghiệm phức của pt (3)  )sin)(cos)(( xxVxxUxeY ll x    Với },max{ mnl  Tìm Y’ và Y’’. Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để tìm )(xU l , )(xU l Suy ra nghiệm của phương trình tổng quát (1): Yyy  C. Bài tập mẫu Bài 1: Giải phương trình: 01' 2 yxy (1) Giải: (1)  1 2  y dx dy x  dxyxdy )1( 2  TH: 0)1( 2 yx  x=0; 1   y là nghiệm của pt TH: 0)1( 2 yx . Chia 2 vế của pt(1) cho )1( 2 yx dxyxdy )1( 2   x dx y dy  1 2 Tích phân 2 vế ta có: 2 1 2 ln 1 C x dx y dy     2 1 ln||ln| 1 1 |ln 2 1 Cx y y    2 ln| 1 1 |ln Cx y y     2 1 1 Cx y y     2 2 1 1 Cx Cx y    Vây pt có nghiệm tổng quát: 2 2 1 1 Cx Cx y    ; 1   y Bài 2: Giải phương trình: '.' 22 yxyyxy  (2) Giải: (2)  22 ')( yyxxy  TH: x =0  y =0 là nghiệm phương trinh TH: y=x không là nghiệm phương trình TH: 0 2  xxy . Chia 2 vế cho 2 xxy  ta có: 22 ')( yyxxy   2 2 ' xxy y y   : hàm thuần nhất 10  1 )( 2   x y x y dx dy . Đặt uxy x y u   dx du xu dx dy  thay vào phương trình ta có: 1 2   u u dx du xu  udxduux   )1( TH: u =0  y =0 là nghiệm pt TH: u  0. Chia 2 vế cho ux ta có: dx x du u u 11   Tích phân 2 vế ta có: Cdx x du u ln 1 ) 1 1(    Cxuu ln||ln||ln     Cx x y x y ln||ln||ln   Cy x y ln||ln   C x y y ln||ln   C x y y ln||ln   x y C x y Ceey  ln Vậy pt có nghiệm tổng quát: x y Cey  ; y =0 ứng với C=0 Bài 3: Giải phương trình: xy x y 3 1 '  Giải: Ta có: P(x)= x 1 ; Q(x)=3x Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất 0 1 '  y x y có dạng:       dx x dxxP eey 1 )( = x e ln = x 1  Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất có dạng: ))(( )( CdxexQyy dxxP     = ).3( 1 1 Cdxex x dx x    = ).3( 1 ln Cdxex x x   = )3( 1 2 Cdxx x   = )( 1 3 Cx x  Bài 4: Giải phương trình: xeyyy x 2sin8'4'' 2  (1) Giải: - Tìm nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất: 08'4''    yyy Xét pt đa thức đặc trưng: 084 2  kk       ik ik 22 22 2 1  Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất có dạng: xeCxeCy xx 2sin2cos 2 2 2 1  - Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất: x eyyy 2 8'4''  (2) Xét x exf 2 )(   2   ; P(x)=1 Do 2 không là nghiệm của pt đa thức đặc trưng, bậc P(x)=0 nên nghiệm riêng có dạng: AeY x2 1   AeY x2' 1 2 ; AeY x2'' 1 4 Thay vào pt(2) ta có: xx eAe 22 4   4 1 A  x eY 2 1 4 1  - Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất: xyyy 2sin8'4''    (3) Xét )2sin.12cos0(2sin)( 0 xxexxf x   0   ; 2   ; P(x) =0 và Q(x) =1 Do i20  không là nghiệm phức của pt đa thức đặc trưng, bậc của P(x) và Q(x) bằng 1 nên nghiệm riêng có dạng: xBxAY 2sin2cos 2   xBxAY 2cos22sin2 ' 2  xBxAY 2sin42cos4 '' 2  Thay vào pt(3) ta có: xxBAxBA 2sin2sin)48(2cos)84(     Đồng nhất hệ số ta có:                20 1 10 1 148 084 B A BA BA  xxY 2sin 20 1 2cos 10 1 2  Vậy nghiệm tổng quát của PTTT không thuần nhất là: 11 YYyy  = xeCxeC xx 2sin2cos 2 2 2 1  + + x e 2 4 1 + xx 2sin 20 1 2cos 10 1  11 MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC CẦN THƠ TỪ NĂM 2006 ĐẾN 2011 Đề thi năm 2006 Câu 1: Tính tích phân:     2 0 4 0 2 2 )4( y dxdyxI Câu 2: Tính tích phân đường:   L xydsI với L là đường giao tuyến của các mặt 22 22 yxz  và 2 xz  từ điểm A(0,1,0) đến B(1,0,1) Câu 3: Tìm cực trò của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) với D ={(x,y): 0  x  2 3  ;0  y  2 3  } Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của phương trình: a. )102(24'4'' 22  xxeyyy x b. 0)( 22  ydydxxyx Đề thi năm 2007 Câu 1: Cho miền V giới nội bởi các mặt z=0; y=z; y=x 2 ; y=1 a. Biểu diễn miền V b. Tính thể tích miền V c. Tính   V dxdydzyx )( Câu 2: Tính tích phân đường   L dyxyydxyxI )4(ln)22( 22 với L là đường nối 2 điểm A(-1,1); B(4,e) Câu 3: Tìm cực trò của hàm số f(x,y)=(x-2)lnxy Câu 4: Tìm nghiệm tổng quát của pt: )5(9'6'' 22  xeyyy x Đề thi năm 2008 Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo 21 CCC    C dyxyydxyxI )8(ln)44( 22 trong đó: },21:),{( 2 1 xyxyxC  và }28,42:),{( 2 xyxyxC  Câu 2: Cho miền D giới hạn bởi 2 4 yx  ; x=0; -1  x  1 a. Biểu diễn miền D b, Tính diện tích miền D c. Tính  D xydxdy Câu 3: Tìm cực trò hàm số sau: 102104),( 23  yxyxyxf Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau: )54('4''5 22  xxeyyy x Thỏa mãn điều kiện y(0)=5; y’(0)=10 Đề thi năm 2009 Câu 1: Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kỳ:   C ydyxdxyxI ))(( 22 Câu 2: Cho miền D giới nội bởi: )(2)( 222222 yxayx  a. Tính diện tích miền D b. Tính  D xydxdy Câu 3: Tìm cực trò của hàm số: 53),( 33  xyyxyxf Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau: 533'4'' 2  xxyyy Đề thi năm 2010 Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo C là các cạnh của tam giác nối các đỉnh O(0,0); A(2,0); B(0,2)   C xdyydxyxI )( 2 Câu 2: Cho miền D giới nội bởi: }4:),{( 2222   yxyxD a. Biểu diễn hình học miền D b. Tính   D dxdyyxI 22 sin Câu 3: Tìm cực trò của hàm số: 53),( 22  xyyxyxf Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của pt: xyxxy    )21(' Đề thi năm 2011 (đợt 1) Câu 1: Cho hàm f(x,y)=x+y-xy và tập }2;10:),{( 2 yyxyyyxD  a. Tìm GTLN, GTNN của hàm f trên miền D b. Tính  D dxdyyxf ),( Câu 2: Tính tích phân đường:     )2,3( )1,2( ])1()1[( dyyxdxyxeI yx Câu 3: a. Giải pt vi phân sau: 2 2 ' xxy y y   b. GPT vi phân sau: 0) 3 () 2 ( 22  dy y xdx x y Đề thi năm 2011 (đợt 2) Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm )(2 ),( yx yexyxf   trên miền D đóng và bò chặn bởi x  0; y  0 và x+y  4 12 [...]...Câu 2 : Tính thể tích vật thể nằm trong mặt cầu Y '  e 2 x ( 2 Ax 2  ( 2 A  2 B) x  B  2C ) x 2  y 2  z 2  4 và trong mặt trụ x 2  y 2  2 y y Câu 3 : Tính tích phân đường  arctg dy  dx x (OmAn ) Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B) x  2 A  4 B  4C ) 1 1 75 Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có A  ; B  ; C  8 8 64 Trong đó O(0,0); A(1,1); OmA: y  x ; OnA:y=x Vi t nghiệm tổng quát... của phương trình: Câu 4 : a GPT vi phân: y ln ydx  x (1  ln y )dy  0 y= C1e 2 b Tìm nghiệm tổng quát của pt: x x y ' '3 y'2 y  xe 2 x (sin  cos ) 2 2 2 Đề thi năm 2011 (đợt 2) Câu 1 : Tìm cực trò hàm ẩn z=z(x,y) xác đònh bởi phương trình x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0 2 2 2 mặt parabolid z  x  y và mặt trụ x  y  a 2 (a>0) Câu 3 : Tính tích phân mặt sau:  xz 2 2 3 Đề thi... y  x(e  x  e 2 x ) x2 1 1 1 1 y 1  dxdydz =  dx  dy  dz V Câu 2 : Tính thể tích vật thể nằm trên mp 0xy và giới hạ n bởi 2 1 1 75  C 2 xe 2 x + e 2 x ( x 2  x  ) 8 8 64 2 2 b ( x  y  x) dx  ydy  0 2 x 3x  C 2 xe 3 x + e 2 x ( x 2  4 x  11) Đề thi năm 2008 Câu 1 : Câu 2 : b, Tính diện tích miền D 13 4 y 2 1 S   dxdy =  dy D Câu 4 : y  C1e  C 2 e x  dx 1 0 22 = ... (3 ) =  6 2 Câu 4 : Vi t nghiệm tổng quát củ a pt: xy'(1  2 x) y  x TH: x=0  y=0 là nghiệm củ a pt Y '  e 2 x ( 2 Ax 2  ( 2 A  2 B) x  B  2C ) Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B ) x  2 A  4 B  4C ) TH: x  0 Chia 2 vế pt cho x ta có: y ' Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có y’+P(x)y=Q(x) 1  76 1711 A  ;B  ;C  11 121 1331 Nghiệm tổng quát: y  1  2x  1 dạng x Vi t nghiệm tổng quát... D' a 4 (đvtt) 2 P Q R Câu 3 : I   (   )dxdydz x y z V  2 = 2 2 2  ( z  x  y )dxdydz = V =  2 0 2  cos |  |0 5 r a 2a |0 = 5 5 2 a 4  sin d  d  r dr 0 0 0 5 Câu 4 : a vi phân toàn phần Chọn (1,1) làm điểm cố đònh ta có x y 2 3  ( x, y)   (1  2 ) dx   ( x  2 )dy x y 1 1 2 x 3 y 2 3 = ( x  ) |1  ( xy  ) |1  xy    2 x y x y 2 3   ( y  2 ) dx  ( x  2 )dy... ( 2 A  2 B) x  B  2C ) ' I   xyds =  x 1  x 2 1  ( y x ) 2 dx =  xdx = L 1 2 Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B) x  2 A  4 B  4C ) Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có A  1; B  4; C  11 Vi t nghiệm tổng quát của phương trình: y= C1e Câu 3 : Bài 4 chương 1 Câu 4 : a Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất: y  C1 e 2 x  C 2 xe 2 x Nghiệm riên g của PTTT không thuần nhất có dạng: Y  . CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình với biến số phân ly M(x)dx+N(y)dy=0 Cách giải: tích phân 2 về 2. Phương.    2 2 62 0 2 0 r r V dzrdrddxdydzV   = )1166( 3 2   (đvtt) 7 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT A. Tích phân đường loại 1  L dsyxf ),( - Nếu L : x=x(t);