1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………… Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai 2 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V. Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này. Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008). Luận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản. Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính, theo các tài liệu [9]-[11]. Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe ([4], 2009). 3 Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M. V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất. Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và tính toán trên máy các ví dụ của M. V. Bulatov và G. V. Berghe. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học). Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy. Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Học viện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã thông cảm, sẻ chia, hy sinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luận văn. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình 4 CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải số phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau. 1.1. Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình   ( ) ( ( ), ), 0,1 x t f x t t t    (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu 0 (0) x x  , (1.2) trong đó     , , f x t x t là các hàm vectơ n - chiều, hàm f xác định trên hình hộp vô hạn   n RD  1,0: . Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)- (1.2) là một hàm khả vi ( ) x t trên   0,  , 1   sao cho ( ) ( ( ), ) x t f x t t   trên   0,  và 0 (0) x x  . Cùng với bài toán (1.1), ta cũng xét trường hợp hàm ( , ) f x t là tuyến tính, tức là ( , ) ( ) ( ) f x t B t x g t   , trong đó ( ) B t là ma trận cấp n n  , còn ( ) g t là vectơ n -chiều, tức là hệ tuyến tính   ( ) ( ) ( ), 0,1 x t B t x g t t     . (1.3) Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận ( ) B t , của các vectơ   , f x t , ( ) g t là đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo định lí Picard- Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm ( ) x t trên toàn đoạn   0,1 (nghiệm có thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem [8], trang 467). Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2). 5 1.2. Giải số bài toán Cauchy Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước, Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta, xuất phát từ qui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2]). 1.2.1. Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp quan trọng để tính tích phân. Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân 0 0 ( ) ( ( ), ) t t x t x f x s s ds    (1.4) nên ta cũng có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản trong việc giải số phương trình vi phân. Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân có thể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ bản. Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [1]). Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ( ) b a f t dt  ta thay ( ) f t bởi một đa thức nội suy (interpolating polynomial). Tích phân của hàm ( ) f t được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức (tính được chính xác). Giả sử ta có s điểm nội suy khác nhau 1 2 , , , s c c c trong khoảng   , a b . Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn s có dạng (xem [1]): 1 ( ) ( ) ( ) s j j j t f c L t     , 6 trong đó 1, ( ) ( ) ( ) s i j i i j j i t c L t c c       . Khi ấy 1 ( ) ( ) b s j j j a f t dt f c      . Các trọng số j  được tính theo công thức ( ) . b j j a L t dt    Nếu 1 s  thì đa thức nội suy 1 ( ) ( ) t f c   và ta có: 1 ( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f c    Ta nói độ chính xác (precision) của quy tắc cầu phương là p nếu quy tắc này chính xác cho mọi đa thức bậc nhỏ hơn p , tức là với mọi đa thức ( ) k P t bậc nhỏ hơn p ta có: 1 ( ) ( ). b s k j j j a P t dt f c      Nếu 0( ) b a h   thì sai số trong quy tắc cầu phương của độ chính xác p là 1 0( ). p h  Ta xét một số trường hợp đặc biệt.  Nếu chọn 1 s  và 1 c a  thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABCD (Hình 1.1): ( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f a    (1.5) Nếu ( ) x t là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm của phương trình tích phân (1.4)) thì: ( ) ( ) ( ( ), ) t h t x t h x t f x s s ds      (1.6) Kết hợp với công thức (1.5) ta đi đến công thức: ( ) ( ) . ( ( ), ) x t h x t h f x t t    (1.7) Gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập t ( h có thể dương hoặc âm, khi h dương thì nghiệm được xây dựng về bên phải của điểm 0 t và ngược lại, khi h âm 7 thì nghiệm được xây dựng về bên trái của 0 t ). Dưới đây ta coi 0 h  , trường hợp 0 h  có thể được xét tương tự. Từ công thức (1.7) ta có 1 0 0 0 . ( , ) x x h f x t   ; 2 1 1 1 . ( , ) x x h f x t   ; ; 1 . ( , ) n n n n x x h f x t    . Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc. Hình 1.1  Nếu chọn 1 s  và 1 c b  thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2): ( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f b    Từ đây ta có: ( ) ( ) . ( ( ), ) x t h x t h f x t h t h      Suy ra công thức Euler lùi: 1 1 1 . ( , ) n n n n x x h f x t      . Hình 1.2 Hai phương pháp Euler tiến và Euler lùi là những phương pháp Runge-Kutta bậc nhất (có độ xấp xỉ bậc nhất).  Nếu chọn 1 s  và 1 2 a b c   thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3): ( ( ), ) . ( ( ), ) 2 2 t h t h h f x s s ds h f x t t      Từ đây ta có: Hình 1.3 ( ) ( ) . ( ( ), ) 2 2 h h x t h x t h f x t t      . O f x C D b B a A E b B a A F O f x 2 ba  M N b B a A O f x 8 Từ công thức trên ta có 1 [ ( ( ), ] 2 2 n n n n h h x x h f x t t      . Đây chính là phương pháp trung điểm (midpoind method).  Nếu chọn 2 s  và 1 2 , c a c b   thì 1 ( ) ( ) t b L t a b    và 2 ( ) . ( ) t a L t b a    Suy ra 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 b b b a a a t b t b b a L t dt dt a b a b             và 2 2 2 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) 2 2 a b b a a b t a t a b a L t dt dt b a b a             Chứng tỏ ( ) [ ( ) ( )] 2 b a b a f t dt f a f b     . Như vậy nếu xấp xỉ tích phân ( ( ), ) t h t f x s s ds   bởi công thức trên (bởi diện tích hình thang ABED, Hình 1.4) thì ta được: ( ( ), ) [ ( ( ), ) ( ( ), )] 2 t h t h f x s s ds f x t h t h f x t t       . Từ đây ta có công thức hình thang: 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h x x f x t f x t       . Phương pháp điểm giữa và phương pháp hình thang là hai phương pháp ẩn, Hình 1.4 chúng có độ chính xác 2 p  .  Nếu chọn 3 s  và 1 2 3 , , 2 a b c a c c b     thì, đặt h b a   , ta có: E D b B a A O f x 9 1 2 ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ), 2 ( )( ) 2 a b t t b a b L t t t b a b h a a b            2 2 ( )( ) 4 ( ) ( )( ), ( )( ) 2 2 t a t b L t t a t b a b a b h a b            3 2 ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ). 2 ( )( ) 2 a b t a t a b L t t a t a b h b a b            Suy ra 1 1 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) [( ) ( )( )] [ ( ) ] 2 3 2 2 2 ( ) . 12 6 b b b a a a b b a a a b a b L t dt t t b dt t b t b dt h h a b t b a b t b t b t b dt h h b a h h                             và 2 2 2 2 3 2 2 4 4 ( ) ( )( ) ( )( ( )) 4 ( ) ( ) 4 [ ( )] . 3 2 6 b b b a a a b a L t dt t a t b dt t a t a a b dt h h t a t a h a b h                       Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có 3 1 6 h     . Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson: ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 2 b a h a b f t dt f a f f b      . Suy ra công thức xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân 10 ( ) ( ) [ ( ( ), ) 4 ( ( ), ) ( ( ), )] 6 2 2 h h h x t h x t f x t t f x t t f x t h t h          và công thức sai phân 1 1 1 [ ( , ) 4 ( ( ), ) ( , )] 6 2 2 n n n n n n n n h h h x x f x t f x t t f x t          . Đây là công thức ẩn của phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical fourth-order Runge-Kutta method). 1.2.2. Phương pháp Runge-Kutta 1.2.2.1. Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta Vì phương pháp ẩn đòi hỏi tại mỗi bước phải giải một phương trình phi tuyến, điều này không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng các công thức Runge-Kutta hiển từ công thức hình thang ẩn, công thức điểm giữa ẩn và công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn ẩn tương ứng như sau.  Trong công thức hình thang ẩn: 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h x x f x t f x t       , ta thay giá trị 1 n x  ở vế phải bằng công thức Euler tiến: 1 ˆ ( , ) n n n n x x hf x t    . Khi ấy ta được công thức: 1 1 1 ˆ [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h x x f x t f x t       Công thức này được gọi là phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal method).  Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc nhất của ( ) 2 n h x t  theo phương pháp Euler tiến: 1 2 ˆ ( , ) 2 n n n n h x x f x t    và thay vào công thức của phương pháp trung điểm ẩn 1 ( ( , ) 2 2 n n n n h h x x hf x t t      [...]... trình vi phân cấp một Chương này trình bày một phương pháp mới do Bulatov đề xuất giải số bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một (xem [9]-[11]) tốt hơn các phương pháp cổ điển Phương pháp mới là một họ phương pháp một bước, bậc hai, trong đó có phương pháp là L-ổn định Nội dung của Chương gồm hai mục Trong 2.1 chúng tôi trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương. .. hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2 Để làm sáng tỏ phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích các hàm nhiều biến dưới dạng chuỗi Taylor, ) mà trong [9]-[11] trình bày không tường minh 2.1 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi... ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn phương pháp Euler hiển không phải là ổn định-A và hội tụ cấp 1 z 1 1 2 và 1  z Hàm ổn định của các phương pháp này tương ứng là , 1 z 1 z 2 16 1.3.3 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta 1.3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13)... Runge-Kutta) là s Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2]) Khai triển Taylor hàm f ( x, t ) theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi so sánh, ta đi đến kết luận: Các hệ số trong phương pháp Runge-Kutta cấp hai phải thoả mãn hệ phương trình 1 1 b1  b2  1, c2b2  , a21b2  2 2 12 Đây là một hệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn Ta có thể chọn một hệ số, thí dụ, b2  0... ta phải giải một hệ ns phương trình phi tuyến (tuyến tính nếu f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) ) để tìm s vectơ X i (mỗi vectơ X i có n tọa độ) Thường phương pháp Runge-Kutta được vi t dưới dạng bảng Butcher (Butcher table) c A bT Hai phương pháp Runge-Kutta quan trọng thường hay được sử dụng là phương pháp Runge-Kutta bậc hai và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 1.2.2.3 Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta... là hàm vectơ n chiều có các phần tử khả vi liên tục đến bậc hai (thuộc lớp C 2 0, 1 ) 2.2.1 Phương pháp một bước 2.2.1.1 Phương pháp một bước Để giải (2.12), ta cũng bắt đầu đi từ phương pháp-  và phương án một tựa của nó (hai phương pháp này đều có cấp chính xác bằng một) : xi 1  xi  h  c1 Bi 1 xi 1  (1  c1 ) Bi xi   h c1 gi 1  (1  c1 ) gi  và xi 1  xi  hB (ti  c2 h)  c2 xi 1... là phương pháp hình thang Có thể kiểm tra được rằng, phương pháp (2.14) cho phương trình thử và phương pháp Runge-Kutta với bảng Butcher 0 ½ -1/2 2/3 1/6 ½ ¼ ¾ cho cùng một kết quả Tuy nhiên, với B(t ) là ma trận phụ thuộc vào t thì kết quả tính toán theo phương pháp Runge-Kutta với bảng trên và theo phương pháp (2.14) là khác nhau Nghĩa là chúng là những phương pháp khác biệt Nhận xét Để thực hiện phương. .. 1 80 Mã nguồn và Chương trình tính toán trên MATLAB được cho trong phần Phụ lục Kết quả tính toán được cho trong bảng dưới đây  e r80 10 5 1.7.10 5 10  6 1.7.10 5 10  7 1.7.10 5 10 8 1.7.10 5 27 2.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Xét trường hợp khi hàm f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) , tức là khi (1.1) trở thành hệ phương trình vi phân tuyến tính... phương pháp (2.3) cần nhân ma trận và 7 n3 phép toán số học ( 2n3 phép toán cần cho 3 n3 phép toán giải hệ phương trình tuyến tính) Để thực hiện 3 phương pháp Runge-Kutta hai nấc cần 8n3 2n3 phép toán và phép toán cho 3 3 34 phương pháp đường chéo hiển Như vậy, trong trường hợp tổng quát, phương pháp hai nấc  1  2  1/2 1 2 0 1  với     ½ 3 có cấp chính xác bậc ba, đòi hỏi số phép toán số học... (1.11) j 0 Phương pháp một tựa tương ứng với nó là k k k   j xi1 j  hf (  j xi 1 j ,   jti1 j ) j 0 j 0 (1.12) j 0 Đối với phương pháp này ta giả thiết rằng các giá trị xuất phát x1, x2 , , xk 1 đã được tính tương đối chính xác Nếu 0  0 và  0  0 thì phương pháp là phương pháp hiển Nếu 0  0 và  0  0 thì ta có phương pháp ẩn 13 1.3 Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 1.3.1 . các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………… Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai