Đang tải... (xem toàn văn)
3. Một số ứng dụng của thặng dư 3.1. Tích phân đường 3.2. tích phân xác định 3.3. Tích phân suy rộng 3.4. Tìm tổng của chuỗi 3.5. Bài tập 3.5.1. Tích phân đường 3.5.2. Tích phân xác định 3.5.3. Tích phân suy rộng 3.5.4. Tìm tổng của chuỗi
Mục lục TÍCH PHÂN PHỨC 2 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 3.1 Tích phân đường 3.2 Tích phân xác định 2π R(cost, sint)dt Tích phân suy rộng 3.2.1 Tích phân dạng 3.3 +∞ R(x)dx eiax R(x)dx R(x)xα dx 3.4 Tìm tổng chuỗi 3.5 Bài tập 10 3.3.1 Tích phân dạng −∞ 3.3.2 Tích phân dạng R 3.3.3 Tích phân dạng R+ 3.5.1 Tích phân đường 10 3.5.2 Tích phân xác định 14 3.5.3 Tích phân suy rộng 15 3.5.4 Tìm tổng chuỗi 18 Chương TÍCH PHÂN PHỨC Chương LÝ THUYẾT THẶNG DƯ Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 3.1 Tích phân đường Để giải tốn này, ta cần áp dụng định lý thặng dư Định lý 3.1 (Cauchy) Giả sử hàm f (z) chỉnh hình miền D trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập đơn trị a1 , a2 , · · · , aN nằm miền D liên tục D \ {a1 , · · · , aN } Giả thiết biên ∂D miền D gồm số hữu hạn đường cong đóng trơn khúc Khi đó: N Res[f, ak ] f (z)dz = 2πi ∂D (3.1) k=1 biên ∂D miền D định hướng dương Nếu miền D chứa điểm z = ∞ điểm ∞ cần xem điểm bất thường, chí hàm f (z) chỉnh hình Nhận xét 3.1 Nếu hàm f khơng có điểm bất thường khơng lập số điểm bất thường lập khơng thể vơ trường hợp tồn điểm tụ tập hợp điểm bất thường, điểm tụ bất thường khơng lập Một hệ quan trọng định lý (3.1) là: Định lý 3.2 (về tổng toàn phần thặng dư) Nếu hàm f (z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức mở rộng C trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập đơn trị a1 , a2 , · · · , aN −1 aN = ∞ thì: N Res[f ; ak ] = (3.2) k=1 3.2 Tích phân xác định Thặng dư cho ta cơng cụ để tính số tích phân xác định cách hữu hiệu 2π 3.2.1 R(cost, sint)dt Tích phân dạng với R(x, y) hàm hữu tỷ, mẫu khác x2 + y = Phương pháp Đặt z = eit , ≤ t ≤ 2π Khi đó: 1 z+ z 1 z− sint = 2i z dz dt = iz cost = Và: I= i R |z|=1 = 2π z+ Res R k z 1 dz z− 2i z z 1 1 z+ , z− , ak z 2i z z , ak điểm bất thường hàm: R z+ z , 2i z− z z trong|z| < 3.3 Tích phân suy rộng +∞ 3.3.1 R(x)dx Tích phân dạng −∞ Giả sử ta xét tích phân dạng: I= R(x)dx (3.3) R Trong R(x) hàm hữu tỷ biến x Giả sử: R(x) = Pn (x) Qn (x) (3.4) Trong Pn đa thức đại số bậc n x Qm đa thức đại số bậc m Để tính tích phân dạng (3.3) ta thường sử dụng định lý sau đây: Định lý 3.3 Giả sử R(x) = Pn Qn (3.5) hàm hữu tỷ giả sử a1 không - điểm phức không điểm thực cấp Qm m ≥ n + Khi +∞ R(x)dx R(x)dx = v.p v.p −∞ R = 2πi Res Imai >0 Pn Pn Pn ; + ; + Res ;∞ Res Rm Ima =0 Qm Qm i (3.6) Nhận xét 3.2 1) Nếu m ≥ n + Res[R(z); ∞] = (3.7) số hạng thứ ba vế phải (3.6) 2) Nếu R(z) có cực điểm phức khơng có cực điểm R số hạng thứ hai vế phải (3.6) 3) Nếu ta lấy γ(R) = {|z| = R, Imz ≤ 0} (3.8) chạy theo hướng âm γ(ai , ε) = {|z − | = ε; Imz ≤ 0} (3.9) chạy theo hướng dương lý luận tương tự ta có R(x)dx = −2πi v.p R Res [R; ] − πi Imai 0 −2πi 3.3.3 ,α > i Res Imai (tức α > −1) Ta xét điều kiện (b2) Khi x → ∞ ta viết R(x) ≈ const , xm−n (const = 0; m − n ∈ Z) Do điều kiện (b2) thỏa mãn m−n−α−1>0 Hay α + n − m < −1 Như vậy, ta giả thiết R(x) hàm hữu tỷ khơng có cực điểm ≥ 0, R(0) = Tích phân dạng (3.11) hội tụ α > −1 (khả tích 0) (3.13) α + n − m < −1 (khả tích vơ cùng) (3.14) 1−α −1 (3.16) α + n − m < −1 (3.17) Khi R(x)xα dx = I(α) = R+ 2πi − e2πiα Res[R(z)z α ; ] (3.18) Trong z α hàm xác định theo cơng thức z α = eαlnz , lnz = ln|z| + i arg z, < arg z < 2π Định lý 3.6 Với giả thiết định lý (3.5) α số nguyên ta có hệ thức sau ∞ R(x)xα dx = − (1) ∞ (2) 3.4 Res [R(z)z α ln z, ] R(x)xα logxdx = − Res [R(z)z α ln z, ]−πi Res [R(z)z α ln z, ] Tìm tổng chuỗi Các phương pháp lý thuyết thặng dư áp dụng để khảo sát tổng chuỗi Trong số trường hợp, việc thường dựa định lý sau đây: Định lý 3.7 Giả sử R(z) = Pn (z) Qm (z) (3.19) hàm hữu tỷ với cực điểm không nguyên z1 , z2 , · · · , zp (zk ∈ Z, k = 1, 2, · · · , p) giả sử m ≥ n + Khi p R(n) = −π −∞
