Đang tải... (xem toàn văn)
Lêi më ®Çu MỤC LỤC Phần Nội dung Trang 1 1 Mở đầu 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 2 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2 1 C.
MỤC LỤC Phần Nội dung 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phần 1: Các kiến thức Phần 2: Phân loại toán giải phương pháp diện tích Phần 3: Bài tập áp dụng: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt Trang 2 2 3 3 16 động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 16 * Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: * Bài học kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị 17 17 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Như biết, với phát triển tư người, toán học đời Toán học môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho đời mơn khoa học khác Tốn học rèn luyện cho người nhiều đức tính qúi: tính cần cù, lịng say mê, sáng tạo kiên trì Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định “Phương pháp dạy học Toán nhà trường cần phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo” Bắt nguồn từ định hướng giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tịi áp dụng phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, kiểu làm cho hiệu học đạt cao Trong chương trình cấp học nói chung THCS nói riêng mơn học có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học khơng thể khơng kể đến mơn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo khả phân tích tổng hợp Việc tìm phương pháp giải cho tốn hình học ngồi việc phải tìm cách giải cịn phải tìm cách giải ngắn gọn, đơn giản dễ hiểu Trong phương pháp sử dụng diện tích hình phẳng để giải tập hình học phương pháp thú vị Tuy nhiên chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vấn đề Đa số giáo viên nhà trường dạy tốn diện tích dừng lại việc vận dụng trực tiếp công thức tính diện tích vào giải tốn mà chưa khai thác sâu ứng dụng phương pháp vào tốn hình liên quan Với lý trình bày tơi chọn đề tài “Một số phương pháp sử dụng diện tích để giải tốn hình học” Trong đề tài, tơi lựa chọn tập nhiều dạng, có toán nâng cao kiến thức mở rộng so với kiến thức trình bày SGK lớp Do vậy, đề tài áp dụng chủ yếu cho đối tượng học sinh giỏi trường THCS Hà Bình 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu thực trạng, vướng mắc học sinh giải tốn hình liên quan đến diện tích từ đưa dạng tốn thường gặp giải tốn hình có sử dụng phương pháp diện tích 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh đội tuyển chọn HSG khối trường THCS Hà Bình 1.4 Phương pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp lớp với nhóm chun mơn nhà trường NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Cấp tiểu học học sinh học diện tích hình chữ nhật, hình vng, hình tam giác, … Các cơng thức diện tích hình nói chủ yếu em ứng dụng việc giải tập tính tốn có liên quan đến diện tích Khi học lên lớp em lại tiếp tục học diện tích hình diện rộng sâu Tới đây, ta cần cho học sinh thấy ứng dụng tính tốn, cơng thức tính diện tích cịn cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng, chúng có ích số tốn chứng minh đại số hình học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong q trình dạy tốn nhiều năm nhận thấy đa số học sinh học yếu môn tốn nói chung hình học nói riêng em hổng kiến thức từ lớp Vì đặc trưng mơn tốn mơn hệ thống kiến thức xây dựng lên xây tường Muốn học giỏi mơn tốn trước hết học sinh phải nắm vững, xác kiến thức cách chủ động, sáng tạo biết vận dụng kiến thức vào giải tập từ nâng cao mở rộng phát triển Bên cạnh em cịn phải rèn luyện khả tìm tịi, tích luỹ, tổng hợp, tự nghiên cứu nhằm hình thành phát huy tính tích cực sáng tạo hoạt động học tập Trong chương trình tốn THCS (chủ yếu lớp 8) tốn có liên quan đến diện tích dạng tốn hay đa dạng Tuy nhiên học sinh làm dạng toán thành thạo việc áp dụng công thức tính diện tích để tính diện tích trực tiếp hình mà chưa linh hoạt vận dụng kiến thức vào toán khác có liên quan Cụ thể : Tơi cho khảo sát 10 học sinh khối năm học 2020 - 2021 đội tuyển ôn HSG để chọn thi cấp huyện làm đề kiểm tra hình tốn có liên quan đến diện tích chưa áp dụng đề tài thu kết sau: Lớp Tổng số HS 10 >9 SL % 0 Điểm đạt 7- Đặc biệt ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (k = 1) S ABC = SA’B’C’ [5] [4] Bài tập toán tập [5] Bài tập toán tập - NXB Giáo dục Phần Phân loại tốn giải phương pháp diện tích Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ Dạng 2: Tổng hiệu đoạn thẳng đoạn thẳng khác Dạng 3: Tổng hiệu diện tích hình diện tích hình khác Dạng 4: Tỉ số diện tích hai hình phẳng Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức tốn cực trị hình học Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ Bài toán 1: Lấy điểm O ∆ ABC Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC + + =2 BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh AP BQ CR Chứng minh Từ O kẻ OK ⊥ BC, từ A kẻ AH ⊥ BC (K, H ∈ BC) SOBC OK = Khi ta có: (theo tốn 2) A SABC AH Mặt khác OK // AH OK OP OP R = => SOBC = => (1) Q AH AP SABC AP O Chứng minh tương tự ta có: SAOB OQ = (2) C B SABC BQ H K P SAOC OR = (3) SABC CR OP OQ OR SOBC SAOB SAOC + + = + + =1 Từ (1) (2) (3) ta có: AP BQ CR SABC SABC SABC AO BO CO AP − OP BQ − OQ CR − OR + + = + + Ta có: AP BQ CR AP BQ CR OP OQ OR + + ) = −1 = =3-( AP BQ CR AO BO CO + + = (đpcm) => [1] AP BQ CR Bài toán 2: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA’ ; BB’ ; CC’, gọi H trực tâm ∆ ABC HA ' HB' HC' + + Chứng minh : =1 AA ' BB' CC' [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục Chứng minh: Ta nhận thấy ∆ CHB ∆ CAB hai tam giác có chung đáy CB SCHB HA ' = Nên (1) SABC AA ' SAHC HB' = Tương tự ta có (2) SABC BB' SHAB HC' = (3) SABC CC' Từ (1) (2) (3) ta có HA ' HB' HC' SHBC SAHC SAHB + + = + + AA ' BB' CC' SABC SABC SABC SHBC + SAHC + SAHB SABC Do ∆ ABC có ba góc nhọn nên trực tâm H nằm miền ∆ ABC Do SHBC + SAHC + SAHB = SABC SHBC + SAHC + SAHB SABC HA ' HB' HC' = = => + + => =1 [2] SABC SABC AA ' BB' CC' = Bài toán 3: (Hệ tốn 2) Cho ABC có ba góc nhọn AA’, BB’, CC’ đường cao, H trực tâm ∆ABC Chứng minh ∆ ABC tam giác nếu: HA ' HB' HC' = = AA ' BB' CC' Chứng minh Theo kết toán ta có C’ B’ HA ' HB' HC' + + =1 AA ' BB' CC' H HA ' HB' HC' = = (gt) mà AA ' BB' CC' A’ HA ' HB' HC' 1B C = = = Điều chứng tỏ: AA ' BB' CC' => H trọng tâm ∆ ABC, mà H trực tâm ∆ABC => ∆ ABC [1] [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục [2] Nâng cao chuyên đề Hình học - NXB Giáo dục Bài toán : Cho ∆ABC ba điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng A quy (A', B', C' không trùng với đỉnh tam giác) A 'B B'C C'A =1 Chứng minh rằng: B' A 'C B'A C'B C' O (Định lí Xêva) Chứng minh H B C8 A' K Vẽ BH ⊥ AA' CK ⊥ AA' (H, K thuộc đường thẳng AA’) A'B S AA'B => A'C = S (1) (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A) AA'C S BH AA'B = Mà S (2) (hai tam giác có chung cạnh AA') CK AA'C S BH AOB = Ta lại có : S (3) (hai tam giác có chung cạnh OA) CK AOC A'B S AOB Từ (1), (2), (3) => A'C = S (4) AOC B'C S C' A S BOC COA Chứng minh tương tự => B' A = S (5) ; C'B = S (6) BOA COB Nhân vế (4), (5), (6) ta được: S AOB S BOC S COA A'B B'C C' A = S S S = (đpcm) [6] A'C B' A C'B AOC BOA COB Dạng 2: Chứng minh tổng hiệu đoạn thẳng đoạn thẳng khác Bài toán 5: Cho ∆ ABC (AB = AC) Một điểm D di chuyển cạnh đáy BC Từ D kẻ đường thẳng DE DF vng góc với AC, AB Chứng minh tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí điểm D BC A Chứng minh: Để chứng minh DE + DF không phụ thuộc vào vị trí điểm D ta chứng minh ln K đoạn thẳng có độ dài không đổi E Thật kẻ đường cao CK ta có SABD + SACD = SABC F 1 mà SABD = AB.DF,SACD = AC.DE 2 B C D SABC = AB.CK [6] Các dạng toán phương pháp giải tập 1, tập Toán - NXB Giáo dục 1 AB DF + AC DF = AB CK 2 Do AB = AC (gt) => (DF + DE) AB = AB CK => DF + DE = CK; CK đường cao ∆ ABC => CK không đổi => DF + DE không đổi Vậy DF + DE khơng đổi [1] => Bài tốn 6: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm ∆ABC đến cạnh tam giác khơng phụ thuộc vị trí điểm M A Chứng minh Gọi cạnh ∆ABC a, chiều cao tam giác h Ta có : SABC = SMAB + SMBC + SMAC K I Hay SABC = M MI.a MH.a MK.a (MI+ MH + MK)a + + = (1) 2 2 a.h Mà SABC = (2) B H O C Từ (1) (2) => MH + MI + MK = h, mà h không đổi Vậy MH + MI + MK không đổi M vị trí nằm ∆ABC [3] Dạng 3: Chứng minh tổng hiệu diện tích hình diện tích hình khác Bài toán 7: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh BC AD, P giao điểm đường thẳmg AM BN, Q giao điểm đường thẳng CN DM Chứng minh SMPNQ = SABP + SCQD M C B Chứng minh Hạ đường vuông góc BB’; MM’; CC’ xuống AD (B’, M’ C’ thuộc AD) Xét hình thang BB’C’C có MN A đường trung bình nên MM’ = P B’ Q M’ N D C’ BB'+ CC' BB'+ CC' nên MM’ AD = AD 2 [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục [3] Nâng cao phát triển toán tập - NXB Giáo dục 1 AD AD 1 + CC' M’M AD = B’B = B’B.AN + CC’.ND 2 2 2 AD (Vì AN = ND = ) => SAMD = SABN + SCND Mặt khác ta có: S MPNQ = SAMD - (SAPN + SNDQ) Hay SMPNQ = (SABN + SCND) - (SAPN + SNDQ) => 10 SMPQN = (SABN - SAPN) + (SCND - SQND) = SABP + SCQD Vậy SMPQN = SABP + SCQD [2] Bài toán 8: Cho tứ giác lồi ABCD với M trung điểm đường chéo AC Chứng minh rằng: S AMB + SCMD = SAMD + SBMC = SABCD B Chứng minh A Do MA = MC (gt) => SAMB = SMBC SCMD = SAMD cộng vế với vế hai đường thẳng ta M SCMD + SAMB = SAMD + SMBC (1) C mà (SCMD + SAMB) + (SAMD + S BMC) = SABCD (2) Từ (1) (2) => S CMD + SAMB = SAMD + S BMC = SABCD D Vậy SAMB + SCMD = SAMD + SBMC = SABCD [3] Bài tốn 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K hình chiếu B, C đường thẳng ED Chứng minh : SBEC + SBDC = SBHKC Chứng minh A Gọi I trung điểm ED Vẽ EE’, II’, DD’ vng K góc với BC D => II’ đường trung bình I P Q hình thang EE’D’D nên E DD’ + EE’ = 2II’ H Khi ta có : SBEC + SBDC = BC.EE’ + C B E’ D’ I’ 1 BC.DD’ = BC (EE’ + DD’) 2 Hay SBEC + SBDC = BC II’ = BC II’ (1) Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt BH CK P Q [2] Nâng cao chuyên đề Hình học - NXB Giáo dục [3] Nâng cao phát triển toán tập Ta có: BC II’ = SBPQC (2) Ta lại có: ∆ IPH = ∆ IQK (c.g.c) => SIPH = SIQK => SBPQC = SBHKC (3) Từ (1) (3) suy S BEC + SBDC = SBHKC Dạng 4: Chứng minh tỉ số diện tíchcủa hai hình phẳng 11 Bài toán 10: Chứng minh tam giác có đỉnh giao điểm hai cạnh đối tứ giác lồi, hai đỉnh hai trung điểm hai đường chéo tứ giác lồi có diện tích diện tích tứ giác Chứng minh Gọi M N trung điểm đường chéo BD AC tứ gác ABCD, E giao điểm hai cạnh AD BC Ta có: SEMN = SEDC - SEMD - SDMN - SDNC - SENC E 1 1 SEMN = SEDC SEBD SEAC SDNB 2 2 SDAC B 1 SEMN = ( SEDC - SEAC - SDAC) A M 2 1 N + ( SEDC - SEBD - SDNB) C 2 D 1 1 SEMN = + (SDNC + SBNC) = ( SADC + SABC) 1 = (SABC + SADC) = SABCD 4 Vậy SEMN = SABCD [1] Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân A Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Chứng minh: SADOE = SABC A Chứng minh Gọi N trung điểm CD E ⇒ AD = DN = NC = AC D O B H N C [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục S AOD AD = = (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) S AOC AC S AOC AO = = (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) S AHC AH ⇒ => SAOD = SAHC (1) 12 SABC (Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2) => S AOD = SABC mà SAOE = SAOD 12 ⇒ SADOE = SAOD = SABC [1] Mà SAHC = Bài toán 12: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB cắt CD E Gọi F G theo thứ tự trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh rằng: S EFG = SABCD Chứng minh Nối AG , CG Ta có: S EFG = SAEG - SAFG - SAFE Mà SAEG = SABG + SEBG Nên S EFG = SABG + SEBG - SAFG - SAFE A B F G 1 SABD (vì GB = BD); 2 D C 1 SEBG = SEBD (vì GB = BD) 2 1 1 SAFG = SAGC (vì AF = AC) ; SAFE = SACE(vì AF = AC) 2 2 => S EFG = (SABD + SEBD - SAGC - SACE) S EFG = (SADE - SAGCE) 1 S EFG = (SABCD + SEBC - SEBC - SABCG) Do SABCG = SABCD 2 1 =>S EFG = (SABCD - SABCD) => S EFG = SABCD 2 Vậy SEFG = SABCD [2] Có SABG = E [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục [7] Các dạng toán phương pháp giải tập Toán - NXB Giáo dục Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức cực trị hình học Bài toán 13: Cho M điểm nằm A tam giác ABC Qua M vẽ đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác tương ứng C B điểm A1,B1, C1 M1 13 B A C AM BM CM + + ≥6 A M B1M C1M b) Hãy xác định điểm M tam giác ABC AM BM CM + + cho: đạt giá trị nhỏ A M B1M C1M Chứng minh a) Chứng minh rằng: Đặt S1= SMBC, S2 = SMAC, S3 = SMAB + + AA1 SABC S1 + S2 + S3 AA1 = = = + s2 s3 ⇒ − = s2 s3 Ta có: A1M SMBC S1 A1M s1 s1 ⇒ AA1 − MA1 S2 + S3 S2 S3 MA S2 + S3 S2 S3 = = + = = + (1) ⇒ MA1 S1 S1 S1 MA1 S1 S1 S1 Chứng minh tương tự ta có : MB S3 + S1 S3 S1 = = + (2) MB1 S2 S2 S MC S1 + S2 S1 S2 = = + (3) MC1 S3 S3 S3 Từ suy ra: MA MB MC S1 S2 S2 S3 S1 S3 + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + = MA1 MB1 MC1 S2 S1 S3 S2 S3 S1 AM BM CM + + ≥6 Vậy A M B1M C1M AM BM CM + + ≥6 b) Theo câu a ta có A M B1M C1M Dấu “=” xảy S = S2 = S3 AM BM CM đạt giá trị nhỏ + + ⇒ A M B1M C1M ⇔ S1 = S2 = S3 mà S1 + S2 + S3 = SABC ⇔ S1 = S2 = S3 = SABC ⇔ M trọng tâm ∆ ABC [1] AM BM CM + + Vậy nhỏ ⇔ điểm M trọng tâm A M B1M C1M tam giác ABC [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Mơn Tốn)- NXB Giáo dục Bài tốn 14: Cho ∆ABC vng cân có AB = AC = 10cm ∆DEF vng cân D nội tiếp ∆ABC (D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ Bài giải B H E 14 D A F C Đặt AD = x (với x > 0) Kẻ EH ⊥ AB (H ∈ BD) Dễ dàng chứng minh được:∆ADF = ∆HEF (ch-gn) ∆BHE vuông cân H ⇒ AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x Ta có: 1 SDEF = DE.DF = DE = (EH2 + DH2) 2 1 = [x2 + (10 - 2x)2 ] = (5x2 - 40x + 100) 2 5 = (x - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10 ≥ 10 2 ⇒ SDEF = 10 x = (thỏa mãn) [1] Vậy điểm D ∈ AB cho AD = cm S DEF nhỏ Bài tốn 15: Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý đường chéo AC, kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥BC Xác định vị trí M đường chéo AC để E A B diện tích DEF nhỏ Bài giải Dễ thấy : SDEM = SAME (chung cạnh ME, F M chiều cao từ D A xuống ME nhau) SDMF = SCMF (chung cạnh MF, chiều cao từ D C xuống MF nhau) Ta có: SDEF = SDEM + SDMF + SEMF C 1 D = SABC - SBEF = s ABCD − BE.BF 2 = (a2 - BE BF) SDEF đạt giá trị nhỏ ⇔ BE.BF lớn Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn ⇔ BE = BF = a/2 [ 2] ⇔ M trung điểm AC Khi đó: S DEF = a2 (a - ) = a2 [1] Bồi dưỡng học sinh lớp (Môn Toán)- NXB Giáo dục [2] Nâng cao chuyên đề Hình học - NXB Giáo dục Phần 3: Bài tập áp dụng 15 Bài 1: Từ điểm M tùy ý ∆ ABC, đường thẳng MA, MB, MC MA1 MB1 MC1 + + =1 cắt BC, CA, AB A 1, B1 , C1 Chứng minh: AA1 BB1 CC1 Bài 2: Cho ∆ ABC, E trung điểm AC Lấy điểm D BC 1 cho BD = BC Lấy G cho G ∈ AE AG = AE Đoạn thẳng AD cắt 3 BG BE theo thứ tự M N Tính S AMG theo SABC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC góc BAD nhọn, đường phân giác góc BAD cắt CD M cắt đường thẳng BC N Gọi O diểm cách ba điểm C, M, N K giao điểm OB CD.Chứng minh: a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Điểm E tia đối tia BA, điểm F tia đối tia DA Nối BF DE cắt K Chứng minh: SABKD = SCKE + SCKF Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P thứ tự trung điểm AB, BC, CD Chứng minh rằng: S MNP = SABCD Bài 6: Cho ∆ ABC, G trọng tâm a Chứng minh: Bất kỳ điểm P cạnh tam giác ta ln tìm điểm Q cạnh nằm tam giác cho S GPQ > SABC b Chứng minh G điểm có tính chất 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm * Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau vận dụng đề tài công tác giảng dạy, học sinh thấy công thức diện tích khơng phải để tính diện tích mà chúng cịn có ích để giải nhiều tốn chứng minh khác đa số em thích thú, em tự giải tập theo phương pháp nói Qua đó, giúp học sinh vững tin vận dụng kiến thức cách sáng tạo để giải tập theo nhiều phương pháp khác Góp phần đáp ứng yêu cầu đổi nay, giúp cho HS học tập cách động hơn, khả ứng dụng phong phú Qua việc vận dụng đề tài cho học sinh khối trường THCS Hà Bình năm học 2020 - 2021 thu kết sau: Điểm đạt Tổng số >9 7-
![[2] Nâng cao và các chuyên đề Hình học 8- NXB Giáo dục [3] Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 - Toan THCS nguyen văn hảo THCS hà bình hà trung](https://media.store123doc.com/figures/002/469/nang-chuyen-de-hinh-hoc-giao-nang-trien-2469011.png)
