Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 1 DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA (tham khảo thêm SBT và HDG bài tập Toán cao cấp HP2) Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số: Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: ( ) 1 1 1. 1 2 1 n n n n +∞ = + − − ∑ ( ) 1 3 5 2. 5 2 1 n n n n n +∞ = + − + ∑ ( ) 2 ln 2 1 3. 1 n n n n +∞ = + − − ∑ Ví dụ 2: Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2 3 1 1 1. 100 1 n n n n +∞ = + − − ∑ 3 4 1 1 1 2. n n n n +∞ = + − − ∑ 2 1 1 3. ln 1 n n n n +∞ = +     −   ∑ 2 2 1 1 3. 3 n n n +∞ = +     −   ∑ 2 1 5. ( 3) n n n n n +∞ + = + ∑ ( ) 4 3 1 ln 1 6. 3 3 n n n n n +∞ = + + − + ∑ ( ) 5 1 ln 1 2 7. n n n +∞ = + ∑ 2 ln 8. 1 n n n n +∞ = + ∑ 1 1 1 9. ln n n n n +∞ = +   −     ∑ 2 1 10. n n n n +∞ = − ∑ 2 1 1 1 11. ln 1 n n n +∞ = + ∑ 2 1 1 12. 1 n n n e +∞ =   −     ∑ ( ) 2 1 ln 2 1 13. 1 n n n +∞ = + + ∑ 2 1 14. ln n n n n +∞ = + ∑ 3 1 cos 15. 1 n n n n +∞ = + + ∑ 1 1 16. arcsin n n n n +∞ = + ∑ 1 3 1 17. 4 2 1 n n n n +∞ = + − + ∑ 1 18. n n e +∞ − = ∑ 3 1 1 19. 1 n n n n n +∞ = + + ∑ 1 20. tan 3 n n n π +∞ = + ∑ 2 3 1 sin 21. 1 n n n +∞ = + ∑ Ví dụ 3: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự hội tụ của các chuỗi số sau: ( ) 2 1 3 1 ! 1. .8 n n n n +∞ = + ∑ ( ) ( ) 2 1 3 ! 2. 2 ! n n n n +∞ = ∑ 2 1 1 2 5 3. tan 2 n n n n π +∞ + = − ∑ 2 1 2 1 4. 2 n n n +∞ = − ∑ 1 2 7 5. .3 n n n n +∞ = − ∑ ( ) 2 2 1 5 ! 6. n n n n n +∞ = ∑ 2 1 1 2 3 7. 2 2 1 n n n n n +∞ = +     +   ∑ 2 1 8. 4 1 n n n n n +∞ =     −   ∑ ( ) 2 1 1 1 9. 3 . n n n n n +∞ + = + ∑ Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 2 Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau: ( ) 1 ln 1. 1 1 n n n n +∞ = − + ∑ ( ) 3 1 1 1 2. ln n n n n − +∞ = − − ∑ ( ) 1 1 1 3. 1 1 n n n n +∞ + = − − + ∑ ( ) ( ) 2 1 1 4. 1 3 1 .3 n n n n n +∞ + = − + ∑ ( ) ( ) 1 5. 1 1 n n n n n n +∞ = − + ∑ ( ) ( ) 2 1 1 1 6. 1 ln 1 n n n n +∞ = − + ∑ 1 sin 7. 2 1 n n n n +∞ = − ∑ ( ) ( ) 1 2 1 8. 1 ! n n n n n +∞ − = − ∑ ( ) 2 1 9. 1 sin 2 1 n n n n +∞ = − − ∑ Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 1 1 1. .3 n n n x n +∞ + = ∑ 2 1 3 2. 5 2 n n n n x n +∞ = − ∑ ( ) 3 1 2 1 3. 2 1 n n n x n +∞ = − − + ∑ ( ) 1 4. 1 n n n n x +∞ = + ∑ ( ) 1 1 5. 2 1 2 1 n n n n x n +∞ = +   −   −   ∑ 2 1 1 2 6. 2 1 2 1 n n n x x n +∞ = − +     +   + ∑ 2 ln 3 7. 3 1 .2 n n n n x x n +∞ = +     −   ∑ ( ) 1 1 8. 4 .ln 1 n n n x n +∞ + = + ∑ ( ) 2 1 9. 1 n n n nx +∞ = − ∑ ( ) 1 1 10. 3 5 . n n n n x +∞ = + ∑ 1 1 11. . (2 1) n n n n x n +∞ =       + ∑ ( ) 1 ! 12. 2 3 3 17 n n n x n +∞ = − − ∑ 2 1 4 2 13. 3 1 3 1 n n n x x n +∞ = −     +   + ∑ ( ) 2 3 1 1 14. 1 2 n n n n x x n +∞ =   +     +   ∑ ( ) 1 15. tan n n n x +∞ = ∑ Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát: 2 1 1. 2 1 n n x n n +∞ = − + ∑ ( ) 2 1 1 1 2. 2 1 ! 2 1 n n n n x n x + +∞ = +     − −   ∑ 1 2 3. . 3 8 1 n n n x n x +∞ =     − −   ∑ ( ) 1 1 3 1 4. 3 3 2 n n n n x +∞ + = − − + ∑ ( ) ( ) 1 4 7 2 1 ln 2 5. . 1 n n n n x +∞ − = + − ∑ ( ) 3 1 1 ln 1 6. 1 . n n n n n x +∞ + = + + ∑ Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 3 1 2 7. 2 .ln n n n x n +∞ + = ∑ ( )( ) 2 1 1 2 1 8. 5 ln n n n n x +∞ + = − + ∑ ( ) 2 1 1 2 1 9. 3 .5 n n n x n − +∞ = − ∑ ( ) 4 1 2 1 1 10. .4 n n n x n + +∞ = + ∑ 2 1 1 1 11. 2 1 n n n n n x − +∞ =         +     ∑ ( ) 2 1 2 12. 1 5 2 n n n n x n +∞ = − − ∑ Ví dụ 3: Sử dụng định lý Abel và hệ quả: 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 n n n a x +∞ = ∑ biết rằng chuỗi số 1 n n a +∞ = ∑ là chuỗi đan dấu và bán hội tụ. 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( ) 1 2 n n n a x +∞ = − ∑ biết rằng 0 1 n a n > ∀ ≥ và tại 0 x = chuỗi bán hội tụ. 3. Cho chuỗi lũy thừa ( ) 1 1 n n n a x +∞ = ∑ có lim n n a α →+∞ = . CMR a) Nếu 0 α ≠ thì miền hội tụ của chuỗi ( ) 1 là ( ) 1;1 T = − b) Nếu 0 α = chuỗi ( ) 1 có bán kính hội tụ là 1 R = Dạng 3: Tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau: 1 2 1. .5 n n n n +∞ = + ∑ ( ) ( ) 1 1 1 2. 1 5 n n n n +∞ + = − + ∑ ( ) 1 1 3. 2 .2 n n n +∞ = + ∑ 1 1 4. (2 1)2 n n n +∞ = + ∑ ( ) 1 1 1 5. (2 1)2 n n n n +∞ − = − − ∑ 1 2 1 6. 3 n n n +∞ = + ∑ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 . 1 7. 5 n n n n +∞ − = − − ∑ ( ) 1 2 2 8. 1 3 n n n n − +∞ = − ∑ 1 2 1 9. .4 n n n n +∞ = + ∑ . Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 1 DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA (tham. Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 2 Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi