BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM XUÂN THÀNH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 18 tháng 8 năm 2011 * Có thể tìm thấy thông tin luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bất đẳng thức là một trong những vấn đề cổ điển nhất của toán học, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất. Nội dung xuyên suốt của luận văn là hệ thống các bất đẳng thức lượng giác. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của các bất đẳng thức lượng giác trong toán sơ cấp là khó và rất khó, nhưng có thể giải chúng hoàn toàn bằng phương pháp sơ cấp, không vượt qua giới hạn của chương trình toán học phổ thông. Việc đi tìm lời giải cho bài toán bất đẳng thức là niềm say mê của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp giảng dạy toán. Các bài toán về bất đẳng thức rất đa dạng về đề tài, phong phú về chủng loại và phù hợp với nhiều đối tượng thuộc các cấp học khác nhau. Đề tài "Bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác" nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông. Đề tài này liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các vấn đề về đặc trưng, tính chất và biểu diễn của hàm số, sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như: AM-GM, Jensen, Cauchy-Schwarz, Chebyshev, Karamata,. . . . 2. Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan các bài toán về bất đẳng thức lượng giác cơ bản, bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác. Nắm được một số kỹ thuật về chứng minh một số lớp bất đẳng thức lượng giác tổng quát dạng không đối xứng trong tam giác. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 Nghiên cứu các bài toán về bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác và hệ thống các kiến thức liên quan. Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, tạp chí toán học và tuổi trẻ, . . . 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của thầy hướng dẫn, của các đồng nghiệp cũng như các bạn học viên trong lớp. 5. Ý nghĩa khoa học Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng giáo viên và học sinh trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học các chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Một số hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác: Trong chương này, tác giả trình bày một số bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng trong tam giác. Độ gần đều và thứ tự sắp được của các biểu thức dạng đối xứng trong tam giác. Một số ví dụ minh họa. Chương 2. Một số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác: Trình bày một số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác. Chương 3. Áp dụng: Xét một số áp dụng của bất đẳng thức vào tìm cực trị của biểu thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác, giải phương trình lượng giác. 3 Chương 1 MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC 1.1 Một số bất đẳng thức cơ bản Định lí 1.1 ([2] Bất đẳng thức AM - GM). Giả sử x 1 , x 2 , . . . , x n là các số không âm. Khi đó x 1 + x 2 + ··· + x n n  n √ x 1 x 2 . . . x n . (1.1) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ··· = x n . Định lí 1.2 ([2] Jensen). Giả sử hàm số f (x) liên tục trên I(a, b) (trong đó I(a, b) được ngầm hiểu là một trong các tập [a, b], [a, b), (a, b], (a, b). Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) lồi trên I(a, b) là f  x 1 + x 2 2   f(x 1 ) + f (x 2 ) 2 , ∀x 1 , x 2 ∈ I(a, b). (1.2) Định lí 1.3 ([2] Bất đẳng thức Chebyshev). Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm đơn điệu tăng và (x k ) là một dãy đơn điệu tăng: x 1  x 2  ···  x n . Khi đó mọi bộ trọng (p j ) : p j  0, j = 1, 2, . . . , n; p 1 + p 2 + ··· + p n = 1, ta đều có  n  k=1 p k f(x k )  n  k=1 p k g(x k )    n  k=1 p k f(x k )g(x k )  . (1.3) 4 Định lí 1.4 ([2] Bất đẳng thức Karamata). Cho hai dãy số x k , y k ∈ I(a; b), k = 1, 2, . . . n, thỏa mãn điều kiện x 1  x 2  ···  x n , y 1  y 2  ···  y n và                x 1  y 1 x 1 + x 2  y 1 + y 2 . . . . . . . . . x 1 + x 2 + ··· + x n−1  y 1 + y 2 + ··· + y n−1 x 1 + x 2 + ··· + x n = y 1 + y 2 + ··· + y n Khi đó, ứng với mọi hàm lồi khả vi f(x), (f  (x)  0) trên I(a; b), ta đều có f(x 1 ) + f (x 2 ) + ··· + f(x n )  f(y 1 ) + f (y 2 ) + ··· + f(y n ). (1.4) 1.2 Bất đẳng thức cơ bản dạng đối xứng trong tam giác Giả sử f (A, B, C) là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc trong tam giác ABC. Giả sử các góc A, B, C thỏa mãn điều kiện: 1. f(A) + f(B)  2f  A + B 2  hoặc f(A)f (B)  f 2  A + B 2  , (1.5) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B. 2. f(C) + f  π 3   2f  C + π 3 2  hoặc f(C)f  π 3   f 2  C + π 3 2  , (1.6) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C = π 3 . Khi cộng (hoặc nhân) (1.5) và (1.6) ta sẽ có bất đẳng thức f(A) + f(B) + f(C)  3f  π 3  hoặc f(A)f (B)f(C)  f 3  π 3  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B = C. 5 Các bất đẳng thức cơ bản dạng đối xứng trong tam giác dạng f(g(A, B, C)) + f(g(B, C, A)) + f (g(C, A, B))  0, hoặc f(g(A, B, C)) + f(g(B, C, A)) + f (g(C, A, B))  0, trong đó f(t) là một trong các hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cott và g(x, y, z) là hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx + βy + γz, đã được đề cập nhiều trong các sách chuyên đề và sách tham khảo. Trong mục này, ta chỉ xét một số ví dụ của các dạng đối xứng phụ thuộc vào tổng và tích các hàm số lượng giác cơ bản. Bất đẳng thức của các dạng không đối xứng mf(g(A, B, C)) + nf(g(B, C, A)) + qf(g(C, A, B))  0, hoặc mf(g(A, B, C)) + nf(g(B, C, A)) + qf(g(C, A, B))  0, sẽ được xét ở mục tiếp theo. 1.2.1 Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh bởi hàm cos x Ta nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Bài toán 1.1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có cos A + cos B + cos C  3 2 . (1.7) Bài toán 1.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có cos A 2 + cos B 2 + cos C 2  3 √ 3 2 . (1.8) Bài toán 1.3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có cos A cos B cos C  1 8 . (1.9) Bài toán 1.4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có cos A 2 cos B 2 cos C 2  3 √ 3 8 . (1.10) 6 1.2.2 Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh bởi sin x Bài toán 1.5. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có sin A + sin B + sin C  3 √ 3 2 . (1.11) Bài toán 1.6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có sin A 2 + sin B 2 + sin C 2  3 2 . (1.12) Bài toán 1.7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có sin A 2 sin B 2 sin C 2  1 8 . (1.13) Bài toán 1.8. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có sin A sin B sin C  3 √ 3 8 . (1.14) Bài toán 1.9. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C  9 4 . (1.15) 1.2.3 Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh bởi hàm tan x Bài toán 1.10. Chứng minh rằng tam giác nhọn ABC, ta đều có tan A + tan B + tan C  3 √ 3. (1.16) Bài toán 1.11. Chứng minh rằng mọi tam giác ABC, ta đều có tan A 2 + tan B 2 + tan C 2  √ 3. (1.17) Bài toán 1.12. Chứng minh rằng mọi tam giác ABC, ta đều có tan A 2 tan B 2 tan C 2  1 3 √ 3 . (1.18) Bài toán 1.13. Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta luôn có tan A tan B tan C  3 √ 3. (1.19) Bài toán 1.14. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương ta luôn có tan 2n A 2 + tan 2n B 2 + tan 2n C 2  1 3 n−1 . (1.20) 7 1.2.4 Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm số cot x Bài toán 1.15. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có cot A + cot B + cot C  √ 3. (1.21) Bài toán 1.16. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta đều có cot A 2 + cot B 2 + cot C 2  3 √ 3. (1.22) Bài toán 1.17. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta luôn có cot A 2 cot B 2 cot C 2  3 √ 3. (1.23) Bài toán 1.18. Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta luôn có cot A cot B cot C  1 3 √ 3 . (1.24) 1.3 Độ gần đều và thứ tự sắp được của các biểu thức dạng đối xứng trong tam giác Định nghĩa 1.1 ([1]). Với mỗi tam giác ABC cho trước, ta kí hiệu δ ∆ABC = max {A, B, C}− min {A, B, C} (1.25) và gọi δ ∆ABC là độ gần đều của tam giác ABC. Rõ ràng δ ∆ABC  0 và δ ∆ABC = 0 khi và chỉ khi tam giác ABC là một tam giác đều. Định nghĩa 1.2 ([1]). Với mỗi cặp tam giác A 1 B 1 C 1 và A 2 B 2 C 2 thoả mãn đồng thời các điều kiện  max {A 1 , B 1 , C 1 }  max {A 2 , B 2 , C 2 } min {A 1 , B 1 , C 1 }  min {A 2 , B 2 , C 2 } thì ta nói cặp tam giác A 1 B 1 C 1 và A 2 B 2 C 2 là cặp được sắp thứ tự và tam giác A 1 B 1 C 1 gần đều hơn tam giác A 2 B 2 C 2 . 8 Vậy trong trường hợp có sắp thứ tự: Với mỗi cặp tam giác A 1 B 1 C 1 và A 2 B 2 C 2 (với A 1  B 1  C 1 và A 2  B 2  C 2 ) thoả mãn đồng thời các điều kiện  A 1  A 2 C 1  C 2 thì ta có tam giác A 1 B 1 C 1 gần đều hơn tam giác A 2 B 2 C 2 . Nhận xét 1.1. Tam giác đều gần đều hơn mọi tam giác khác. Nhận xét 1.2. Trong tập hợp các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân gần đều hơn mọi tam giác khác. Định lí 1.5 ([1]). Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f  (x) trong khoảng (a;b). i) Nếu f  (x)  0 với mọi x ∈ (a; b) thì f(x)  f (x 0 ) + f  (x 0 )(x − x 0 ), ∀x 0 ∈ (a; b). ii) Nếu f  (x)  0 với mọi x ∈ (a; b) thì f(x)  f (x 0 ) + f  (x 0 )(x − x 0 ), ∀x 0 ∈ (a; b). Định lí 1.6 ([4]). Điều kiện cần và đủ để tam giác A 2 B 2 C 2 gần đều hơn tam giác A 1 B 1 C 1 , tức là thỏa mãn điều kiện  max{A 1 , B 1 , C 1 }  max{A 2 , B 2 , C 2 } min{A 1 , B 1 , C 1 }  min{A 2 , b 2 , C 2 } là giữa chúng có một phép biến đổi tuyến tính dạng      αA 1 + βB 1 + γC 1 = A 2 αB 1 + βC 1 + γA 1 = B 2 αC 1 + βA 1 + γB 1 = C 2 trong đó α  0, β  0, γ  0, α + β + γ = 1. Hệ quả 1.1 ([4]). Cho tam giác ABC, các số dương α, β, γ thỏa mãn điều kiện α + β + γ = 1. Đặt A 1 = αA + βB + γC, B 1 = αB + βC + γA, C 1 = αC + βA + γB. Khi đó A 1 , B 1 , C 1 cũng là các góc của một tam giác A 1 B 1 C 1 nào đó và tam giác này gần đều hơn tam giác đã cho. [...]... LUẬN Luận văn nhằm trình bày theo hướng hệ thống các lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng sinh bởi các hàm số lượng giác Trình bày dạng tổng quát các lớp bất đẳng thức lượng giác với các hệ số không đối xứng Đó là các bất đẳng thức cơ bản dạng đối xứng trong tam giác dạng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, hoặc trong. .. biểu thức M0 = sin(αA+βB+γC)+sin(αB+βC+γA)+sin(αC+βA+γB) (1.41) trong M (∆), tức là A, B, C là các góc trong tam giác suy rộng ABC 13 Chương 2 MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG TRONG TAM GIÁC Các bất đẳng thức cơ bản dạng không đối xứng trong tam giác dạng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, hoặc trong. .. thay bất đẳng thức đối xứng bằng bất đẳng thức dạng không đối xứng sau đây Bài toán 2.24 Cho các số dương m, n, p là độ dài các cạnh một tam giác Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có m cot A + n cot B + p cot C 2(mn + np + pm) − m2 − n2 − p2 (2.86) 22 Chương 3 ÁP DỤNG 3.1 Tìm cực trị của biểu thức lượng giác trong tam giác Bài toán 3.1 Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √... cot t, g(x, y, z) là hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx + βy + γz và q ∈ R Trong mục này, ta xét các ví dụ của các dạng đối xứng bộ phận và không đối xứng phụ thuộc vào tổng của các hàm lượng giác cơ bản 14 2.1 Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh bởi hàm cos x Ta xét một số bất lượng giác dạng đối xứng bộ phận Bài toán 2.1 ([4]) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có a) cos 2A + cos 2B... rằng khi đó tam giác A0 B0 C0 gần đều hơn tam giác ABC Kết quả sau đây bao hàm hầu hết các bất đẳng thức đối xứng dạng cơ bản trong tam giác Bài toán 1.20 ([1]) Cho tam giác A2 B2 C2 gần đều hơn tam giác A1 B1 C1 và cho hàm số f (x) có f (x) 0 với mọi x ∈ (0; π) Khi đó f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ) (1.26) Bài toán 1.21 ([1]) Cho tam giác A2 B2 C2 gần đều hơn tam giác A1 B1... hoặc trong đó f (t) là một trong các hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cott, g(x, y, z) là hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx+βy +γz và m, n, p 0 Các bất đẳng thức cơ bản dạng đối xứng bộ phận trong tam giác dạng f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, hoặc f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, trong đó f (t) là một trong các hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t,... có thể mở rộng bất đẳng thức đối xứng (2.85) thành bất đẳng thức dạng không đối xứng sau đây Bài toán 2.20 ([1]) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M1 = ax + by + cz (2.73) 21 Bài toán 2.21 Cho các số dương m, n, p là độ dài các cạnh một tam giác Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều... khảo sát bài toán cơ bản về bất đẳng thức không đối xứng trong tam giác sinh bởi hàn số cos t, t ∈ [0; π] Bài toán tổng quát 1 Cho các số dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tc = x cos A + y cos B + z cos C, trong tập M (∆), tức là A, B, C là các góc của tam giác suy rộng ABC 15 Kí hiệu M (∆) là tập hợp tất cả các tam giác ABC kể cả tam giác suy biến, tức là A 0, B... B + C = π Ta gọi các tam giác thuộc M (∆) là các tam giác suy rộng 1 1 1 , , lập thành x y z độ dài các cạnh của một tam giác XY Z cho trước Khi đó với mọi tam giác ABC, ta đều có yz xz xy x cos A + y cos B + z cos C + + (2.8) 2x 2y 2z Bài toán 2.6 ([4]) Cho các số dương x, y, z sao cho Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đồng dạng với tam giác XY Z Nhận xét 2.1 Biểu thức P = x cos A + y... mọi tam giác ABC, ta đều có: m tan A m α +n tan B n α +p tan C p α (m+n+p) tan α π m+n+p (2.78) với α > 1 2.4 Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh bởi hàm cot x Bài toán 2.23 Cho các số dương m, n, p Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có n+p p+m m+n cot2 A + cot2 B + cot2 C m n p Nhận xét 2.5 Ta biết trong tam giác ABC luôn có √ cot A + cot B + cot C 3 2 (2.81) (2.85) Ta có thể thay bất . số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác: Trình bày một số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác. Chương. ABC. 13 Chương 2 MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG TRONG TAM GIÁC Các bất đẳng thức cơ bản dạng không đối xứng trong tam giác dạng mf(g(A, B,