Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn thi cao học toán
Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đợc tác giả biên soạn trong chơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc. Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đợc giảng d ạy tại Trờng Đại học Tây B ắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã học xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình này, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên những phơng phá p và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc su tầm, phân loại m ột hệ thống bài tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen t huộc nên chúng tôi có thể tin tởng giáo trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học tập. Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối với những ngời thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng nh gián tiếp qua những tài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính của giáo trình, qua đó tác giả đã đợc trang bị những tri thức, phơng pháp luận và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình này. Tá c giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, trờng Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp 3 hoàn thiện giáo t rình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban g iám hiệu, Phòng Quản lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin trờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh sự tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình này đợc đa và sử dụng. Do kinh nghiệm khoa học của tác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để t ác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập của sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây B ắc. Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông 4 Mục lục 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 9 1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian định chuẩn v à không gian Banach . . . . . . . 11 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 13 1.4 Một số ví dụ về không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14 2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1 22 2.1 BấtđẳngthứcHolder 22 2.2 BấtđẳngthứcMinkowski 23 3 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ánhxạtuyếntínhliêntục 31 4.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Không gian L(E; F ) 34 4.3 Một số ví dụ v ề ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . 39 5 5 Không gian con và không gian thơng 45 5.1 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Tổngtrựctiếptôpô 46 5.3 Siêuphẳng 48 5.4 Không gian thơng 50 6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52 6.2 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7Bàitậpchơng1 59 2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64 1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.1 Nửachuẩnliêntục 64 2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1 Địnhlýánhxạmở 69 2.2 Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 ĐịnhlýHahn-Banach 73 3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73 3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76 3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79 4Bàitậpchơng2 81 3 Toán tử trong không gian Banach 84 6 1 Toántửliênhợp 84 2 Toántửcompact 88 3 Toántửhữuhạnchiều 92 4 Phổcủatoántử 94 4.1 Mộtsốkháiniệmcầnthiết 94 4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . 96 4.3 Phổcủatoántửcompact 103 5Bàitậpchơng3 112 4 Không gian Hilbert và t oán tử trong không gian Hilbert 116 1 Dạnghermite 116 1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2 Tíchvôhớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . 124 3.1 Hệtrựcgiaovàtrựcchuẩn 124 3.2 Phépchiếutrựcgiao 127 4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . 131 5 Cơsởtrựcchuẩn 133 6 Toán t ử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Toán tử tự liên hợp và toán tử compact tron g không gian Hilbert . 143 7.1 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . 143 7 7.2 Toán t ử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt . . . 148 8Bàitậpchơng4 151 5Hớng dẫn giải bài t ập 157 1Chơng1 157 2Chơng2 172 3Chơng3 182 4Chơng4 197 8 Chơng 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C và các không gian vector đợc nói đến đều là không gian vector trên trờng K. 1 Định nghĩa và ví dụ 1.1 Chuẩn trên không gian vec tor Định nghĩa 1.1. Hàm xác định trên không gian vector E đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) (x) 0 với mọi x E và (x)=0 x =0, 2) (x)=||(x) với mọi K và với mọi x E, 3) (x + y) (x)+(y) với mọi x, y E. Khi thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1) (x) 0 với mọi x E,thì đợc gọi là một nửa chuẩn trên E. 9 Mệnh đề 1.2. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y E ta có: |(x) (y)| (x y) (3) Chứng minh. Cho x, y E, từ điều kiện 3) ta có: (x)=(x y + y) (x y)+(y) suy ra (x) (y) (x y)() Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc (y) (x) (y x)= (x y)() Cuối cùng, từ () và () ta có |(x) (y)| (x y). Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cá ch chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Nếu là một chuẩn trên E thì công thức: d(x, y):=(x y), (x, y E) (1.1) xác định một khoảng cách trên E thoả mãn: x, y, z E, K, d(x + z, y + z)=d(x, y), d(x, y)=||d(x, y) (1.2) Khoảng cách d xá c định bởi công thức (1.1) đợc gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn . Cho E là không gian véc tơ và a, b K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b: [a, b]:={x = ta +(1 t)b E : t R , 0 t 1} 10 Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian vector E đợc gọi là: a) Tập lồi nếu [a, b] X với mọi a, b X. b) Tập cân nếu x X với mọi x X và với mọi K mà || 1. c) Tập hút nếu với mỗi x E đều tồn tại số >0 sao cho x X với mọi K mà || . Mệnh đề 1.5. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó các tập hợp: B = {x E : (x) < 1}, B = {x E : (x) 1} là lồi, cân, hút. Chứng minh. Trớc tiên ta chứng minh B là tập lồi, cân và hút: Cho a, b B và 0 t 1.Tacó: (ta +(1 t)b) (ta)+((1 t)b)=t(a)+(1 t)(b) <t+1 t =1 Mặt khác, (x)=||(x) (x) < 1.SuyraB là lồi v à cân. Cuối cùng, nếu x E thì do x B, : || < 1 (x)+1 nên B là tập hút. Vi ệc chứng minh B là lồi, cân và hút hoàn toàn tơng tự. 1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.6. Không gian vector E cùng với một chuẩn xác định trên E đợc gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Một không gian tuyến tính định chuẩn t h ờng gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn. Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn thì với mỗi x E ta viết (x)=x và gọi số x là chuẩn của vector x. 11 Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức: d(x, y):= x y,x,y E. Nh vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa các không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính là những khái niệm tơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn của không gian. Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi là không gi an Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metr ic đầy. Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x x là liên tục đều trên E. Chứng minh. Trớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa cá c không gian metric. Cho >0 bất kì, chọn = .Khi đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y E,nếud(x, y)=x y <thì |xy| x y = d(x, y)= = . Chứng tỏ hàm . : E R liên tục đều trên E. Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E là liên tục: Chứng minh. Nhờ các đánh giá dới đây (x + y) (x 0 + y 0 ) x x 0 + y y 0 x 0 x 0 ||x x 0 + | 0 |x 0 12 [...]... sup{ f(x) : x 1} = || sup{ f(x) : x 1} = || f với mọi K, f L(E; F ) +) Cuối cùng ta kiểm tra điều kiện 3 ): f, g L(E; F ) ta c : f + g = sup{ f(x) + g(x) : x sup{ f(x) + g(x) : x sup{ f(x) : x 1} 1} 1} + sup{ g(x) : x = f + g 35 1} Nh vậy L(E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn f f Bây giờ giả sử F là không gian Banach và {fn } là dãy Cauhy trong L(E; F ), nghĩa l : ( > 0)(n0 ) : (m, n N)(m,... hàm khả tích (Lebesgue) bậc p trên X (hai hàm tơng đơng xem là một) |f|p d < +} Lp (X) = {f : x R đo đợc : X Chúng ta sẽ chứng tỏ Lp (X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức: f p 1 p |f|p d := X Việc chứng minh Lp (X) là không gian vector và hàm Lp (X) f : f p R là một chuẩn hoàn toàn tơng tự nh đối với không gian lp các dãy khả tổng bậc p, thay cho phép lấy tổng là phép lấy tích phân... chú ý E ì E hay K ì E đợc xét nh không gian metric tích của các không gian metric với khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông thờng 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10 Tập con X trong không gian định chuẩn E đợc gọi l : a) tập bị chặn nếu: sup{ x : x X} < + b) tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi > 0 tồn tại tập hữu hạn... tính liên tục từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F Dễ dàng kiểm tra đợc rằng L(E; F ) 34 là không gian vector với hai phép toán cộng và phép nhân với vô hớng xác định theo từng điểm sau đây: (f + g)(x) := f(x) + g(x) , (f)(x) := f(x) f, g L(E; F ), K, x E Bây giờ, nhờ định lý 4.1, với mỗi f L(E; F ) có thể đặt tơng ứng với số thực f xác định bởi: f := sup{ f(x) : x E, x 1} (4.2)... nghĩa là x(k) x trong lp Ví dụ 5 Không gian l và không gian c0 Đặt l = {(xn ) KN : sup |xn | < +} và c0 = {(xn ) l : lim xn = 0} n n Khi đó, l = B(N ) không gian các hàm bị chặn trên N nên l là không gian Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l Có thể chứng minh rằng c0 là không gian con đóng của l nên c0 cũng là không gian Banach 21 1 2 Không gian các hàm khả tích bậc p Cho X là tập đo đợc Lebesgue... tuyến tính liên tục f L(E; F ) ta luôn c : f(x) f x với mọi x E - Nếu f : E F là song ánh tuyến tính thì ánh xạ ngợc f 1 : F E cũng là ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.4 Cho f : E F là ánh xạ tuyến tính Khi đ : a) f đợc gọi là một đẳng cấu nếu f là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều, nghĩa là f : E F cùng với f 1 : F E là liên tục Kí hiệu f : E F Hai không gian định chuẩn E và F đợc gọi là... không gian đầy Vậy Kn là không gian Banach Ví dụ 2 Không gian các hàm liên tục Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b] Đặt: f = sup{|f(x)| : x [a, b]}, f C[a; b] Dễ dàng thấy rằng hàm f f xác định một chuẩn trên không gian C[a; b] và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn 15 Ta sẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {fn } là một dãy Cauchy... inf{C > 0 : f(x) Do x E, x = 0 : nên ta có x x {x E : x = 1} {x E : x 1} Lại do C x với mọi x E} = inf{C > 0 : f(x) f(x) = inf{C > 0 : x C, 0 = x E} nên = inf{C > 0 : Vậy f(x) x C, 0 = x E} sup x =0 f x x = Mặt khác, do f(x) x với mọi x E nên x E, x = 0, do đ : = sup f(x) x 1 sup 0= x 1 f(x) x sup x =0 f(x) x f(x) = x với mọi Từ các lập luận trên ta suy ra = = = 4.2 Không gian... tập tuỳ ý Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên S, tức là sup{|f(s)| : s S} < + Đặt f := sup{|f(s)| : s S} < +, Có thể thấy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên không gian định chuẩn Hơn nữa, có thể chỉ ra f B(S) (1.7) B(S), do đó B(S) là một B(S) là không gian Banach Ví dụ 4 Không gian các dãy khả tổng bậc p Kí hiệu KN = {x = (x1 , x2, , xn , ) : xn K, n N } là tập hợp... cả các dãy số khả tổng bậc p: lp = {x = (xn ) KN : |xn |p < +} n1 Chúng ta sẽ chứng tỏ lp là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức: x p |xn | := 1 p p , x = (x1, x2 , , xn , ) lp (1.8) n=1 Để chứng minh lp là không gian vector và công thức (1.8) thực sự xác định một chuẩn trên lp , trớc tiên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề quan trọng sau đây: Bổ đề 1.12 Nếu p, q > 1 với . mọi x, y E ta có: |(x) (y)| (x y) (3 ) Chứng minh. Cho x, y E, từ điều kiện 3) ta có: (x)=(x y + y) (x y)+(y) suy ra (x) (y) (x y )() Thay đổi vai trò. và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc (y) (x) (y x)= (x y )() Cuối cùng, từ () và () ta có |(x) (y)| (x y). Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa