Đang tải... (xem toàn văn)
cộng hòa xã hội chủ nghĩa vệt nam TRườNG Đại Học Sư phạm HÀ Nội Môn thi: Đại số Thi gian làm bài: 180 phút (không ke thi gian phát dê) Ngi thi không s dng tài lieu
C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u Câu I (3 i m): Cho R trư ng s T2 ) th c R – không gian vectơ R3 Cho ma tr n th c −2 A = −2 v i a tham s Ch ng minh r ng: 1 a (i) Ánh x f : R3 → R3 cho b i f ( x, y, z ) = ( z − x, z − y, x + y + az ) m t ánh x n tính A ma tr n c a f theo s e1 = (1, 0, ) ; e2 = ( 0,1, ) ; e3 = ( 0, 0,1) c a R (ii) V i a = -3, tìm tr riêng vec tơ riêng c a f (iii) V i giá tr c a a f khơng m t ơn c u, trư ng h p f khơng m t ơn c u tìm m t s cho Imf Câu II (2 i m): Cho Q trư ng s h u t , Q[X] vành a th c v i bi n X Q Ch ng minh r ng: (i) Q – khơng gian vectơ Q[X] có chi u vô h n, ch m t khơng gian vectơ c th c a Q[X] có chi u 2009 n (ii) T p {1} ∪ + ( X − ) + ( X − ) + + ( X − ) l p thành m t s c a Q – { } n ≥1 không gian vectơ Q[X] Câu III (3 i m): Cho m t vành A I, J hai ideal khác ideal không A V i m i ph n t a ∈ A , ta ký hi u (a) ideal sinh b i a Chưng minh r ng: (i) I m t ideal nguyên t ch I m t ideal c c i (ii) I ∩ J ≠ {0} , n u I ∩ J m t ideal nguyên t I = J ∩ ( a ) m ∞ (iii) n t ideal c c i A m t trư ng i =1 Câu IV (2 i m): Cho G m t nhóm cyclic Chưng minh r ng: (i) N u G có c p vơ h n G ng c u v i nhóm c ng s nguyên Z G ch có úng hai ph n t sinh (ii) Không t n t i G có úng 2009 ph n t sinh Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: a) nh nghĩa khơng gian mêtric compact Cho ví d v không gian mêtric compact b) Phát bi u chưng minh tiêu chu n Hausdorff v t p compact không gian mêtric y Câu 2: a) nh nghĩa tốn t compact gi a khơng gian nh chu n ch ng minh i u ki n tương ương i v i toán t compact ∞ b) Ch ng minh r ng n u { f n }n =1 ⊂ L ( E , F ) dãy tốn t compact t khơng gian Banach E vào không gian Banach F h i t t i f L ( E , F ) f toán t compact Câu 3: Phát bi u ch ng minh nh lý v s t n t i phép chi u tr c giao không gian Hilbert II Bài t p: Câu 1: Gi i s X không gian metric compact f : X → X ánh x th a mãn i u ki n ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) < ρ ( x, y ) , ∀x ≠ y Ch ng minh r ng f có i m b t ng nh t L y ví d cho th y n u b gi thi t compact k t qu khơng cịn úng Câu 2: Cho X, Y hai khơng gian nh chu n, A : X → Y tốn t n tính liên t c Ch ng minh r ng: a) N u A ' : Y ' → X ' tồn ánh A ơn ánh b) N u A’ ơn ánh A(X) trù m t Y Câu 3: Gi s X không gian Banach, A ∈ L ( X ) m t toán t compact, λ m t s khác không Ch ng minh r ng n u Aλ = A − λ1X ơn ánh phép ng phơi Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) Câu I (3 i m): Cho R trư ng s th c m t ánh x f : R3 → R3 cho b i tương ng ( x, y, z ) ( x − y, −2 x + y, z ) (i) Ch ng minh r ng f m t ng c u n tính c a R – khơng gian vectơ R3 (ii) Tìm ma tr n c a f theo s e1 = (1, 0, ) ; e2 = ( 0,1, ) ; e3 = ( 0, 0,1) c a R3 tr riêng c a f (iii) Tìm tr riêng vectơ riêng tương ng c a f2009 Câu II (2 i m): Cho m t khơng gian vectơ V có chi u h u h n trư ng K; M N hai không gian vectơ c a V Ch ng minh r ng: (i) dim(V/M) = dimV – dimM (ii) ó suy ng th c M / (M ∩ N ) ≅ (M + N ) / N , t dim ( M + N ) = dim M + dim N − dim ( M ∩ N ) Câu III (2 i m): Cho I J ideal c a m t vành giao hốn A có ơn v Ch ng minh r ng: (i) Các t p IJ = ∑ bi | a1 , a2 , , an ∈ I ; b1 , b2 , , bn ∈ J & n = 1, 2,3, n i=1 I + J = {x + y | x ∈ I & y ∈ J } u ideal c a A (ii) N u I + J = A I J = I ∩ J Câu IV (3 i m): Cho G m t nhóm v i phép tốn nhân có c p h u h n n ≥ a m t ph n t c a G Ch ng minh r ng: (i) Quy t c T ( a ) : G → G cho b i x ax v i m i x ∈ G m t song ánh G T ( bc ) = T ( b ) T ( c ) v i m i b, c ∈ G (ii) T m t h S nh ng nhóm tùy ý có c p ≤ n cho trư c, bao gi t n t i m t nhóm có c p h u h n, ch a nh ng nhóm ng c u v i nhóm c a S (iii) T m t h vơ h n nh ng nhóm có c p ≤ n cho trư c, bao gi t n t i m t h vô h n nh ng nhóm ng c u v i Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (khơng k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: a) nh nghĩa không gian metric y Cho m t ví d v khơng gian metric khơng y b) Phát bi u ch ng minh nguyên lý ánh x co cho l p không gian metric y Câu 2: a) nh nghĩa toán t compact gi a không gian nh chu n ∞ b) Ch ng minh r ng n u { f n }n =1 ⊂ L ( E , F ) dãy toán t compact t không gian Banach E vào không gian Banach F h i t t i f L ( E , F ) f tốn t compact Câu 3: Phát bi u ch ng minh nh lý bi u di n Riesz v d ng n tính liên t c khơng gian Hilbert II Bài t p: Câu 1: Cho φ hàm liên t c [a,b] Hãy ch ng minh r ng t p hàm s f liên t c [a,b] th a mãn f ( x ) < φ ( x ) , ∀x ∈ [ a , b ] m C[ a,b] v i kho ng cách max Câu 2: Gi s ϕ : E → F ánh x n tính t không gian nh chu n E t i không gian nh chu n F Ch ng minh ϕ liên t c ch f oϕ ∈ E ' v i m i f ∈F ' Câu 3: Gi s L khơng gian óng c a không gian Hilbert E x ∈ E Ch ng minh r ng x ⊥ L ⇔ x ≤ x − y , ∀y ∈ L Câu 4: Cho không gian Hilbert H A ∈ L ( H ) Ch ng minh r ng n u Ao* A m t tốn t compact A m t toán t compact Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2008 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) −1 Câu I (3 i m): Cho m t ma tr n th c A = −1 v i a tham s −1 −1 a (i) Hãy bi n lu n h ng c a A theo tham s a (ii) V i a = 3, tìm tr riêng vectơ riêng c a A (iii) V i a = 3, tìm ma tr n tr c giao T cho T-1AT ma tr n ng chéo Câu II (2 i m): Cho R trư ng s th c, Q trư ng s h u t Ch ng minh r ng: (i) R m t Q-Không gian vectơ vô h n chi u (ii) T n t i t p S s th c vô t cho V = S ∪ {0} l p thành m t Q-Không gian vectơ c a R R = V + Q Câu III (2 i m): Cho m t s nguyên n ≥ Ch ng minh r ng: (i) Ideal I = (n) m t ideal c c i c a vành s nguyên Z ch n s nguyên t (ii) Vành Zn (Vành l p th ng dư modolo n) m t mi n nguyên ch n m t s nguyên t Câu IV (3 i m): Cho G nhóm cyclic có c p h u h n n ≥ , a b ph n t c a G có c p l n lư t p q Ch ng minh r ng: (i) N u ab m t ph n t sinh c a G t n t i s nguyên dương t1 t2 n n n n t1 t2 s nguyên cho t1 + t2 ≡ 1( mod n ) p q p q (ii) N u n = 5k G khơng t n t i nhóm khơng t m thư ng H K G ng c u v i nhóm HxK Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2008 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: a) nh nghĩa khơng gian metric compact Cho ví d b) Phát bi u ch ng minh c trưng Hausdorff c a t p compact không gian metric y Câu 2: Cho E, F hai không gian nh chu n Ch ng minh r ng: a) L(E,F) không gian nh chu n b) N u F Banach L(E,F) khơng gian Banach Câu 3: a) nh nghĩa toán t compact l p không gian nh chu n ∞ c) Cho E,F không gian Banach { f n }n =1 ⊂ L ( E , F ) dãy toán t compact h i t L ( E , F ) t i ánh x f Hãy ch ng minh f toán t compact II Bài t p: Câu 1: Ch ng minh hàm cho b i d ( f , g ) := ∫ f ( x ) − g ( x ) dx, ∀f , g ∈ C[a ,b] m t metric b t p C[a.b] hàm liên t c o n [ a, b] ⊂ R a Câu 2: Cho H siêu ph ng óng khơng gian nh chu n E có phương trình f ( x ) = 0, f ∈ E ' Ch ng minh r ng: ρ ( a , H ) := inf { a − y : y ∈ H } = f (a) f , ∀a ∈ E Câu 3: Gi s E không gian Hilbert A : E → E tốn t n tính th a mãn A ( x ) , y = x, A ( y ) , ∀x, y ∈ E Ch ng minh r ng A liên t c _ Copywrite: Quách ăng Thăng CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2008 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) Câu I (3 i m):Cho R – không gian vectơ Pn[x] g m t t c a th c có b c khơng vư t n (n>0) m t ánh x D : Pn [ x ] → Pn [ x ] cho tương ng m i ph n t f c a Pn[x] v i Ch ng minh r ng: (i) D m t ánh x n tính Hãy tìm giá tr riêng vectơ riêng c a D (ii) Pn [ x ] ≅ R ⊕ Pn −1 [ x ] (iii)V i m i a ∈ R , {( x − a ) d o hàm f’ c a } | d = 0,1, , n m t s c a Pn [ x ] Câu II (2 i m): Cho W m t khơng gian vectơ có chi u d ương trư ng s th c R Ch ng minh r ng: (i) W có vơ h n s Hãy cho bi t W có vơ h n khơng gian (ii) N u W có chi u vơ h n W có vơ h n khơng gian vectơ ng c u v i W Câu III (2 i m): Cho I I ideal c a m t mi n nguyên A (i) Cho bi t I ∩ J = {0} (ii) Ch ng minh r ng vành a th c A[x] v i bi n x m t mi n nguyên Câu IV (3 i m): Cho Sn nhóm t t c phép th b c n ( n ≥ ) Ch ng minh r ng: (i) Sn ch a m t nhóm ng c u v i nhóm Sn-1 (ii) Sn ch a m t nhóm cyclic c p n Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2008 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: Ch ng minh r ng không gian metric X y ch m i dãy hình c u óng l ng vào th t d n có i m chung nh t Câu 2: Phát bi u ch ng minh nguyên lý b ch n u cho l p không gianb Banach ∞ p ≥ l p = x = ( x1 , x2 , ) : ∑ x j j =1 Câu 3: Gi i s p < +∞ không gian Banach v i ∞ p p chu n x = ∑ x j Ch ng minh r ng t p A c a lp hoàn toàn b ch n n u ch j =1 n u A b ch n v i m i ε > t n t i nε cho { } ∑x ∞ p j j =1 < ε , ∀x = ( x1 , x2 , ) ∈ A II Bài t p: Câu 1: Cho c0 = x = ( x1 , x2 , ) : l im x n = không gian Banach v i chu n x = sup xn x →∞ Siêu ph ng H = x = ( x1 , x2 , ) ∈ c0 : ∑ a j x j = v i < ∑ a j < +∞ ∞ n ≥1 ∞ j =1 j =1 a) Tính d ( x, H ) = inf { x − y : y ∈ H } , x = ( x1 , x2 , ) ∈ c0 b) Tìm i u ki n c a ( a1 , a2 , ) t n t i x0 ∉ H , y0 ∈ H cho d ( x0 , H ) = x0 − y0 Câu 2: Cho { xn }n≥1 h tr c giao không gian Hilbert E Ch ng minh r ng dãy n ∑ x j h i t y u n u ch n u j =1 n≥1 ∑ ∞ xj < ∞ j =1 Câu 3: Cho X không gian nh chu n, E không gian Hilbert có h s tr c chu n y {en }n≥1 Ch ng minh r ng A : X → E toán t compact n u ch n u t n t i dãy toán t liên t c h u h n chi u An : X → E th a mãn lim An − A = n→∞ Câu 4: Cho E không gian nh chu n Gi i s A t p ch n y u E nghĩa f(A) t p b ch n v i m i f ∈ E ' Ch ng minh r ng A t p b ch n Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2007 TRƯ NG I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) x + y + z + t = trư ng s th c R 2x − y − z − t = Câu I (3 i m): Cho h phương trình 1) Ch ng minh r ng t p V t t c nghi m c a h vectơ c a R-không gian vectơ R4 2) Tìm chi u tìm s c a V ã cho m t không gian x + y + z + t = 2x − y − z − t = 3) Tìm nghi m t ng quát c a h Câu II (2 i m): Cho V không gian vectơ n chi u ( n ≥ 1) trư ng K f m t t ng c u c a V Gi i s Kerf = Kerf Hãy ch ng minh r ng: 1) V = Im ( f ) + Kerf 2) V / Im ( f ) ≅ Kerf Câu III (2 i m): Cho H nhóm c a nhóm nhân G G/H t p l p ghép trái c a G theo H 1) Ch ng minh r ng quy t c f : ( G / H ) × ( G / H ) → G / H cho b i f ( xH , yH ) = xyH m t ánh x ch H m t nhóm chu n t c c a G 2) Gi s H nhóm chu n t c c a G Ch ng minh r ng nhóm thương G/H m t nhóm giao hốn ch aba −1b−1 ∈ H v i m i a, b ∈ G Câu IV (3 i m): Cho A m t vành chính, a b hai ph n t c a A Ký hi u (x) m t ideal sinh b i ph n t x Ch ng minh r ng: 1) ( a ) ∩ ( b ) = ( ab ) ch a b nguyên t ∩ ( a ) ideal không ∞ 2) N u a không kh ngh ch n n =1 3) A/(a) m t trư ng ch a b t kh quy A _ Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2007 TRƯ NG I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: nh nghĩa khơng gian metric y Cho ví d Ch ng minh r ng không gian metric E y ch m i dãy hình c u óng th t d n có i m chung nh t Câu 2: Phát bi u ch ng minh nguyên lý ánh x m cho l p không gian Banach Câu 3: Phát bi u ch ng minh nh lý Riesz v d ng phi m hàm n tính liên t c khơng gian Hilbert II Bài t p: Câu 1: Gi s f : E → F ánh x gi a hai không gian metric Ch ng minh hai phát bi u sau tương ương: a) f liên t c E b) V i m i A ⊂ F , f −1 ( IntA) ⊂ Int ( f −1 ( A) ) Câu 2: Gi s f : E → F ánh x gi a hai không gian nh chu n E, F Ch ng minh f liên t c ch v i m i dãy { xn } ⊂ E , xn → dãy { f ( xn )} b ch n F ∞ Câu 3: Gi s {en }n=1 h tr c chu n không gian Hilbert E {λn } dãy s d n t i Ch ng minh toán t n tính T : E → E cho b i T ( x ) = ∑ λn 〈 x, en 〉en toán ∞ n =1 t compact Câu 4: Gi s { An } dãy gi m t p o c v i khơng âm, kh tích theo o µ A1 ∞ t A = ∩ An Ch ng minh n =1 ∫ A fd µ = lim ∫ n →∞ An o không âm µ f hàm fd µ Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2006 TRƯ NG I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: a) nh nghĩa t p hồn tồn b ch n, t p compact khơng gian metric compact Cho ví d b) Phát bi u ch ng minh k t qu v ánh x liên t c hàm liên t c t p compact Câu 2: nh nghĩa giá tr quy ph c a tốn t n tính liên t c Ch ng minh n u E khơng gian Banach trư ng K ph σ ( f ) c a m i f thu c i s L(E) t p compact hàm λ → ( λ − f ) gi i tích giá tr quy S ( f ) Hơn n a n u K = C σ ( f ) ≠ ∅ Câu 3: Phát bi u ch ng minh nh lý Riesz v d ng phi m hàm n tính liên t c không gian Hilbert II Bài t p: Câu 1: Gi s { f n } dãy ánh x liên t c t không gian metric compact X vào X h it u X t i ánh x f : X → X Ch ng minh ánh x f n có i m b t ng f có i m b t ng Câu 2: Cho E F hai không gian Banach A : E → F ánh x n tính liên t c Ch ng minh A ' : F ' → E ' toàn ánh ch A ơn ánh có nh óng Câu 3: Ch ng minh m i d ng n tính, khác khơng khơng gian nh chu n ánh x m Câu 4: Gi s ( en )n≥1 h tr c chu n không gian Hikbert E {λn }n≥1 dãy h i −1 A t E t i E cho b i Ax = ∑ λn ( x | en ) en toán t ∞ t t i o Ch ng minh toán t n =1 compact Câu 5: Gi s E khơng gian Hilbert Tốn t A ∈ L ( E ) g i dương n u ( Ax | x ) ≥ v i m i x ∈ E Ch ng minh: a) M i toán t dương liên h p b)M i phép chi u tr c giao lên không gian óng c a E tốn t dương _ Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2006 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy t: Câu 1: a) nh nghĩa không gian metric y b) Ch ng minh m i t p óng khơng gian metric y khơng gian metric y v i metric c m sinh Câu 2: Phát bi u ch ng minh nh lý Hahn – Banach trư ng h p không gian nh chu n Câu 3: Phát bi u ch ng minh nh lý Riesz v d ng phi m hàm n tính khơng gian Hilbert II Bài t p: Câu 1: Cho f : [ a; b ] → [ a; b ] hàm liên t c Ch ng minh f có i m b t ng Câu 2: Gi s E F hai không gian Banach τ : E → F ánh x n tính Ch ng minh τ liên t c n u ch n u f oτ ∈ E ' v i m i f ∈ E ' ó E’ F’ hai không gian i ng u c a E F Câu 3: Gi s A : E → F toán t n tính liên t c gi a khơng gian nh chu n E F Ch ng minh n u toán t i ng u A ' : E ' → F ' ơn ánh A(E) trù m t F ∞ ∞ Câu 4: Gi s ( en )n=1 h tr c chu n không gian Hikbert E {λn }n=1 dãy s Ch ng minh n u v i m i x ∈ E chu i ∑ λ 〈 x, e 〉 e ∞ n n =1 n n h i t {λn }n =1 dãy b ch n _ Copywrite: Quách ăng Thăng ∞ C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2006 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) Câu 1: Cho nhóm c ng aben A Nhóm B c a A c g i h ng t tr c ti p A n u t n t i nhóm C cho A = B + C (theo nghĩa m i ph n t a ∈ A vi t c dư i d ng a = b + c, v i b ∈ B, c ∈ C ) B ∩ C = {0} Ch ng minh r ng i u sau tương ương: (a) B h ng t tr c ti p A (b) T n t i m t t ng c u ϕ : A → A cho ϕ ( A ) = B ϕ = ϕ (c) T n t i m t ng c u f : A → B cho h n ch c a f B phép ng nh t Câu 2: Cho ánh x n tính L : R → R xác nh b i công th c L ( x; y; z ) = ( x + y;0; z − x ) Hãy tìm s s chi u c a không gian Im(L) Ker(L) Câu 3: Cho E F hai K - không gian vectơ h u h n chi u, U = {e1 , e2 , , en } m t s c a E u1 , u2 , , un nh ng ph n t c a F Ch ng minh r ng: 1) T n t i nh t m t ng c u f : E → F cho f ( ei ) = ui , i = 1, 2, , n 2) N u f : E → F m t tồn c u t n t i m t ng c u g : F → E cho fg = id F Hơn n a ó ta có: E = Img + Kerf Im g ∩ Kerf = {0} Câu 4: Cho p(x) m t a th c b c n > 0, b t kh quy vành a th c Q[x] α m t nghi m ph c c a Ch ng minh r ng: Q [α ] = { f (α ) / f ( x ) ∈ Q [ x ]} m t không gian vectơ Q _ Copywrite: Quách ăng Thăng C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2006 TRƯ NG I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) Câu 1: Ch ng minh i u ki n sau tương ương a/ G nhóm xyclic c p nguyên t b/ Nhóm G có úng nhóm Câu 2: Cho K m t trư ng CMR: a/ M i ideal c a vành a th c K[x] u ideal b/ N u p(x) a th c b t kh quy K[x] ideal sinh b i p(x) ideal t i i K[x] K x c/ Vành thương K = [ ] K m t trư ng Hơn n a, K ch a trư ng ng c u v i K Câu 3: Cho E F hai K – Không gian vectơ h u h n chi u f : E → F m t ánh x n tính CMR: a/ N u f tồn ánh t n t i m t ánh x n tính g : F → E cho f g ánh x ng nh t c a F b/ Cho ví d ch ng t r ng ánh x g nói câu a không nh t Câu 4: Ánh x n tính f : R → R có ma tr n i v i s ( u i ) :u1 = (1;1; ) , u = ( 0;1;1) , u = (1;0;1) 1 A = 0 1 0 − 2 1 a/ Hãy xác nh ma tr n chuy n T t s (ui) sang s t c b/ Tìm ma tr n B c a f i v i s t c (ei) ( ei ) :e1 = (1; 0; ) ,e = ( 0;1;0 ) , e3 = ( 0;0;1) c/ Hãy xác nh f(x;y;z) tìm chi u c a Imf Copywrite: Quách ăng Thăng ... NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T2 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (khơng k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy... T NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: IS Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) Câu I (3 i... NAM CL P–T DO – H NH PHÚC TUY N SINH CAO H C 2009 TRƯ NG T1 I H C SƯ PH M HÀ N I Môn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát Ngư i thi không s d ng tài li u ) I Lý thuy