HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 15: SPIN HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Từ đầu tới giờ, ta đã mô trạng thái của hạt lượng tử bởi hàm trạng thái chỉ phụ thuộc biến số không gian và biến số thời gian. Các sự kiện thực nghiệm chứng tỏ rằng có những loại hạt mà trạng thái của nó không mô tả được một cách đầy đủ bằng loại hàm trạng thaí như vậy. ý nghĩa và nội dung của việc mở rộng như vậy sẽ được xem xét và cụ thể hoá dần. Do đó, cần xét cả loại hàm trạng thái phụ thuộc một vài “biến số lạ”, phi không gian và phi thời gian. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Trường hợp một biến số lạ với hai giá trị Trường hợp quan trọng nhất của việc mở rộng như đã nhắc đến là trường hợp hàm trạng thái phụ thuộc một biến số lạ s, và biến số lạ này chỉ nhận hai giá trị khác nhau. Có thể hình dung hai giá trị này như hai điểm của một chiều không gian vô hình. Như vậy, hàm trạng thái có dạng: ( , , , ) (15.1)x y z s ψ ψ = (nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian). Gải sử s nhận hai giá trị là s 1 và s 2 . HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta nêu ra yêu cầu sau: Xác suất để hạt nằm trong ở trong vùng không gian A và trong trạng thái với s=s i là: ( ) dvszyxiAW A i 2 ∫ = ),,,(, ψ Từ đó, ta có các hệ quả sau. a. Mật độ xác suất tim thấy hạt ở điểm (x, y, z) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 szyxszyxzyx ,,,,,,,, ψψϖ += (15.2) b. Xác suất tim thấy hạt ở trạng thái với s=s i (i=1, 2) là: ( ) dvszyxiW i 2 ∫ = ),,,( ψ trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý rằng mỗi hàm f(s) với s chỉ nhận hai giá trị (s 1 và s 2 ) có thể đồng nhất với cặp số (f 1 , f 2 ), trong đó f i = f(s i ), nên thay cho một hàm ),,,( szyx ψ , ta có thể xét một cặp hàm:       =Ψ ),,( ),,( ),,( zyx zyx zyx 2 1 ψ ψ (15.3) trong đó ),,,(),,( i szyxzyx ψψ = 2 Dặt ( ) ** , 21 ψψ =Ψ + . Khi đó, vi (15.2) chính là: ( ) 2211 ψψψψϖ ** ,, +=zyx nên: ( ) ΨΨ= + zyx ,, ϖ (15.2’) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Toán tử spin s ˆ là toán tử tác dụng lên hàm ),,,( szyx ψψ = (s=1 hoặc 2). Vi hàm số như vậy có thể coi như một cặp hàm nên nếu s ˆ chỉ tác dụng lên biến số s thi s ˆ có thể biểu diễn dưới dạng ma trận vuông cấp 2. Giả sử Toán tử vector s ˆ  gồm ba thành phần zyx sss ˆ , ˆ , ˆ được gọi là toán tử spin, nếu các thành phần này thoa mãn các hệ thức giao hoán sau; HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [ ] [ ] [ ]      = = = zyx yxz xzy siss siss siss ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    (15.4) Dễ dàng thấy (15.4) giống hệt các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo đã xét trong bài 11 Chú ý rằng các chỉ số x, y, z ở ba toán tử này không nói lên rằng chúng tác dụng lên các biến số x, y, z. ý nghĩa của các chỉ số sẽ được nêu sau. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do sự “đồng dạng” của các toán tử zyx sss ˆ , ˆ , ˆ so với các toán tử moment quỹ đạo zyx MMM ˆ , ˆ , ˆ TA CHẤP NHẬN MỘT TÍNH CHẤT CỦA zyx sss ˆ , ˆ , ˆ là: nếu toán tử 2222 zyx ssss ˆˆˆˆ ++= nhận các giá trị )( 1 2 +ll thi mỗi thành phần của nó có thể nhận một trong 12 +l giá trị sau:  llll ,)(, ,)(, 11 −+−− (15.7) Do các toán tử zyx sss ˆ , ˆ , ˆ là các ma trận vuông cáp hai nên mỗi toán tử chỉ nhận cùng lắm hai giá trị khác nhau HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nhưng nếu l là số nguyên thi hoặc dãy (15.7) chỉ có một số (khi l = 0), hoặc có ít nhất ba số (l ≤ 0) Dễ chứng tỏ rằng trường hợp l = 0 thực chất quy về trường hợp hàm trạng thái không chứa biến số lạ (biến số lạ này từ đây ta gọi gọi là biến số spin) nên ta sẽ không xét trường hợp này. Dể dãy (15.7) chỉ có đúng hai số, tức là l− và l mà 1+−= ll bắt buộc phai có 2 1 =l Do đó, mỗi toán tử zyx sss ˆ , ˆ , ˆ chỉ nhận đúng hai giá trị kha dĩ là 2  ± [...]... µc   µc  (15. 14) 5 Phương trình Pauli Trong điện động lực học cổ điển, hạt với khối lượng là µ và điện tích là q chuyển động trong điện từ trường cho bởi thế vô  hướng V và thế vector A có nang lượng là: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  2 1  q E=  p − A  + qV 2µ  c  (15. 15) Chuyển sang cơ học lượng tử, theo nguyên lý Bohr, hệ thức (15. 15) phải thay...  trong đó ψ   2 ( ) (15. 19) PHƯƠNG TRÌNH (15. 19) GỌI LÀ PHƯƠNG TRÌNH PAULI HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú thích lịch sử: Thí nghiệm Stern-Gerlach về sự tách chùm nguyên tử hydrrogen được thực hiện vaòi năn 1922 Giả thuyết J Uhlenbeck và S Goudsmit về spin được nêu ra năm 1925 Cả hai sự kiện này đều xảy ra trước khi cơ học lượng tử chính thức được xây... (190 0-1 958) đã phát biểu lại giả thuyết spin theo ngôn ngữ cơ học lượng tử và biểu diễn toán tử spin qua các ma trận mang tên ông Wolfgang Pauli cũng là người đề xuất nguyên lý cấm (hay nguyên lý Pauli), theo đó hai hạt có spin bán nguyên không thể tồn tại trong cùng một trạng thái HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nguyên lý này cũng được nêu ra trước khi có cơ học. .. UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5 Moment từ riêng Kèm theo moment cơ học riêng (spin), hạt cũng có moment từ riêng Thực nghiệm cho thấy hai loại moment riêng này liên hệ với nhau bởi công thức:  e  ˆ ms = − s (15. 13) µc Như vậy, giá trị tuyệt đối của hệ số tỷ lệ giữa moment cơ học riêng và moment từ riêng là bằng hai lần hệ số tương ứng trong trường hợp moment quỹ đạo Điều...  ˆ = 1  p − q A  + qV H ˆ 2µ  c  (15. 16) cho hạt không có spin, và  2   1  q ˆ− A  + qV − q σ H ˆ H= p 2µ  c  2 µc ( cho hạt có spin 1 2   ˆ σ = σ ) (trong đó ) (15. 17) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đối với electron, (15. 17) trở thành  ˆ= 1  p− e H ˆ 2µ  c  2 e   A  + eV − σ H 2 µc  ( ) (15. 18) Vì vậy, thay vì phương trình Schrodinger,... x  ˆ ˆ ˆ [σ z , σ x ] = 2iσ y  ˆ ˆ ˆ  σ x , σ y = 2iσ z [ (15. 8) ] (15. 9) đồng thời mỗi toán ˆ ˆ ˆ σ x , σ y , σ z nhận hai giá trị là ± 1 tử HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Có nhiều cách chọn các ma trận như vậy, và chúng mô tả cùng một sự kiện vật lý Theo đề xuất của W Pauli, ta chọn: 1 0  (15. 10) ˆ σ z =σ3 =   0 − 1    ˆ ˆ Khi đó có thể chứng minh... cần thừa nhận rằng spin là đặc trưng riêng của một loại hạt, giống như khối lượng hoặc điện tích, chứ không phải do tương tác gây ra Tuy nhiên, nó thể hiện qua tương tác và năng lượng tương tác phụ thuộc vào cả các yếu tố bên ngoài HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Trong từ trường H nang lượng tương tác của hạt với trường thể hiện bởi toán tử:       ˆ e ... thể chứng minh rằng σ x và σ y phai là hai ma trận sau: 0 1 ˆ σ x = σ1 =  1 0    (15. 11) 0 − i ˆ σ y =σ2 =  i 0     (15. 12) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng, với cách chọn như trên thi ˆ ˆ ˆ σ x ,σ y ,σ z thoa mãn các hệ thức (15. 9), đồng thời bằng tính toán trực tiếp kiểm tra lại rằng mỗi ma trận ˆ ˆ ˆ σ 1 ,σ 2 ,σ 3... loại hàm trạng thái mà ta đã xét ở các bài trước (không chứa biến số spin) không thể mô tả đầy đủ electron, nhất là trong tương tác với từ trường Việc khẳng định bằng thực nghiệm sự tồn tại spin của electron ngày nay không còn là vấn đề gây tranh cãi nữa Tuy vậy, cũng cần nói về một trong những thí nghiệm đơn giản và nổi tiếng dẫn đến khái niệm spin: thí nghiệm Stern-Gerlach Hai ông này đã cho một chùm... niệm spin: thí nghiệm Stern-Gerlach Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều có cùng mức năng lượng và đề ởởtrạng thái s, tức là có moment có cùng mức năng lượng và đề trạng thái s, tức là có moment quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt HONG DUC UNIVERSITY 307 . Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 15: SPIN HONG DUC. ]      = = = zyx yxz xzy siss siss siss ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    (15. 4) Dễ dàng thấy (15. 4) giống hệt các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo đã xét trong bài 11 Chú ý rằng